導(dǎo)數(shù)與微分的定義（課堂PPT）

1、第二章導(dǎo)數(shù)與微分微積分學(xué)的創(chuàng)始人: 德國數(shù)學(xué)家 Leibniz 微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 描述函數(shù)變化快慢微分微分 描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動的工具 (從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家 Newton第一節(jié)1.導(dǎo)數(shù)和微分的定義一、導(dǎo)數(shù)的定義一、導(dǎo)數(shù)的定義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系二、單側(cè)導(dǎo)數(shù)二、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、微分五、微分一、一、 引例引例1. 變速直線運(yùn)動的速度變速直線運(yùn)動的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位置的函數(shù)為)(tfs 0t則 到 的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而

2、在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落體運(yùn)動 xyo)(xfy C2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線)(:xfyC NT0 xM在 M 點(diǎn)處的切線x割線 M N 的極限位置 M T(當(dāng) 時(shí))割線 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切線 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx兩個(gè)問題的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬時(shí)速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率xyo)(xfy C NT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量為

3、函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題變化率問題二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義定義定義1 . 設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)若的

4、某鄰域內(nèi)有定義 , 在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)可導(dǎo), 在點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). 運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù))(tfs so0t)(0tf)(tft在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線)(:xfyC在 M 點(diǎn)處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在 ,在點(diǎn) 不可導(dǎo). 0 x若,lim0 xyx也稱)(xf在0 x若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:;y; )(xf ;dd

5、xy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就說函數(shù)就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo). 的導(dǎo)數(shù)為無窮大 .由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟);()() 1 (xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 正（余）弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxCCx . 0 ( )0.C 注注：.)()(, 0) )(000處處的

6、的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值在在點(diǎn)點(diǎn)表表示示函函數(shù)數(shù)而而xxxfxfxf 例例2.正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù).)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)解解0sin()sin(sin )limxxxxxx 0sin2lim cos()22xxxxx .cos x (sin )cos .xx 44cos)(sin xxxx.22 所以所以(cos )sin .xx 同理可得同理可得例例1.例例3. 求函數(shù))N()(nxxfn解解:()( )f xxf xx ( )fx limnnxaxxxx 0lim(x 21()nxxx 32()nxxx 1)nx1nnx冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)0limx

7、10()nxxx 的導(dǎo)數(shù)1()nnxnx 更一般地更一般地1()()xxR說明：說明：對一般冪函數(shù)xy ( 為常數(shù)) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).),(log的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)10aaxya解解0log ()loglimaaxxxxyx 1(ln).xx 0log (1)1limaxxxxxx 01lim log (1)xxaxxxx 11 1log.lnaexxa1(log)lnaxxa例例4.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).)1, 0()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) aaaxfx解解0()l

8、imxxxxxaaax 01limxxxaax ln .xaa()ln .xxaaa ().xxee 例例5.（見（見1-4函數(shù)連續(xù)性的例函數(shù)連續(xù)性的例3 ）01limlnxxaax在點(diǎn)0 x的某個(gè)右右 鄰域內(nèi)五、五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù))(xfy 若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為)(xf在 處的右右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),0 x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 處有,1)0(f1)0(fxyoxy 定義定義2 . 設(shè)函數(shù)有定義,存在,0 xx0 xx定理定

9、理2. 函數(shù)在點(diǎn)0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf簡寫為若函數(shù))(xf)(af)(bf與都存在 , 則稱)(xf在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),),(ba在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,ba可導(dǎo)的充分必要條件是且處可導(dǎo)在點(diǎn)xxf)(四、四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理定理1.處連續(xù)在點(diǎn)xxf)(證證: 設(shè))(xfy 在點(diǎn) x 處可導(dǎo),)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函數(shù))(xfy 在點(diǎn) x 連續(xù) .即1sin, 0,( )0, 0.xxf

10、 xxx0 x 在處的連續(xù)但不可導(dǎo)。注意注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo).證31lim10(1),xxf 例例1:, 1)(3 xxf1x 處連續(xù)但不可導(dǎo)在試證1x 處連續(xù)。在0(1)(1)limxfxfx 又300limxxx 1x 處不可導(dǎo)。在例例2:01/1xy31yx yx01分段函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)性.,),(),()(000可可導(dǎo)導(dǎo)性性的的討討論論在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxxxxxxf 000()()limxf xxf xx 000()()limxxxxx 0()fx0()fx000()()limxf xxf xx 000()()limxxxxx ,)()( )( ,

11、)( axfxfxfxf0000都都存存在在且且若若.)( , )( axfxxf00且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)則則解解yx xyo(0)(0),xfxfxx 00(0)(0)limlimxhfxfxxx , 1 00(0)(0)limlimxxfxfxxx . 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy例例6.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf7. 設(shè)0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時(shí),)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f0sin(0)0limhhh1)0(f0(0)0limhahha故1a時(shí),1)

12、0( f此時(shí))(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .三、三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點(diǎn)),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點(diǎn)駐點(diǎn);),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .xyo0 x0 xyox曲線在點(diǎn)處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0

13、xf,)(0時(shí) xfo( )yf x 0()Tfx 0 x切線切線法線法線xy例8， 求曲線1yx 在1(,2)2處的切線方程和法線方程。解：21211( )42xfx 切線方程：124()2yx 法線方程：112()42yx一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,2xA0 xx面積的增量為2200()Axxx 20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關(guān)于x 的線性主部高階無窮小0 x時(shí)為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當(dāng) x 在0 x取得增量x時(shí),0 x變到,0 xx邊

14、長由其的微分微分,定義定義: 若函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點(diǎn)記作yd,df或即xAyd定理定理: 可微的充要條件充要條件是處可導(dǎo)，在點(diǎn)0)(xxfy )( xoxA則xxfy)(d0在點(diǎn)0 x可微可微,定理定理 : 函數(shù)證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點(diǎn) 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點(diǎn) 的可導(dǎo),0 x且)(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處

15、可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0定理定理 : 函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 線性主部 即xxfy)(d0在點(diǎn) 的可導(dǎo),0 x)0)(0時(shí) xf則說明說明:0)(0 xf時(shí) ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時(shí)yyd很小時(shí), 有近似公式xyyd與是等價(jià)無窮小,當(dāng)故當(dāng)微

16、分的幾何意義xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xydyxtan當(dāng) 很小時(shí),xyyd時(shí)，當(dāng)xy 則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xddyx xd記例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P66表)又如又如,內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 已學(xué)求導(dǎo)公式 :6. 判斷可導(dǎo)性不連續(xù), 一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02.