《橢圓與其標準方程》課件

1、第三章第三章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程 2000多年前，古希臘數學家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。 古希臘數學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；用平行圓錐的高的平面截取,可得到雙曲線的一邊;以圓錐頂點做對稱圓錐,則可得到雙曲線1 。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。事實上，阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經取得了今天高中數學中關于圓錐曲線的全部性質和結果。公元公元1609年德國天文學家開普勒發(fā)現

2、許多天體的運動軌跡是橢圓。年德國天文學家開普勒發(fā)現許多天體的運動軌跡是橢圓。生生活活中中的的橢橢圓圓生活中的橢圓生活中的橢圓如何精確地設計、制作、建造出現實生活中如何精確地設計、制作、建造出現實生活中這些橢圓形的物件呢？這些橢圓形的物件呢？ 1.如果將圓的定義中的一個定點變成兩個如果將圓的定義中的一個定點變成兩個定定 點點, 即：即： 動點到動點到定點定點距離為定長距離為定長 變成變成 動點到動點到兩定點兩定點的距離之和為定長的距離之和為定長.那么，這些動點將會形成什么樣那么，這些動點將會形成什么樣 的曲線呢？的曲線呢？ 2.動手作圖工 具： 紙板、細繩、圖釘作 法： 1.用圖釘把準備好的細繩

3、兩端固定在兩個定點（兩個定點間的距離小于繩長）上， 2. 然后用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動，看畫出的是什么樣的一條曲線動畫演示 平面內與兩個定點平面內與兩個定點F F1 1、F F2 2的距離之和等的距離之和等于常數（于常數（大于大于|F|F1 1F F2 2| |）的點的集合叫橢圓。）的點的集合叫橢圓。兩個定點兩個定點F F1 1、F F2 2稱為焦點，兩焦點之間的距稱為焦點，兩焦點之間的距離稱為焦距，記為離稱為焦距，記為2 2c c。若設。若設M M為橢圓上的為橢圓上的任意一點，則任意一點，則|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2|=2a注：定義中對定義中對“常數常數”加上了

4、一個條件，即常加上了一個條件，即常數要數要大于大于|F|F1 1F F2 2| | (2a2c,ac0)(2a2c,ac0)注:這樣規(guī)定是為了避免出現軌跡為一條線段或無這樣規(guī)定是為了避免出現軌跡為一條線段或無任何軌跡兩種特殊情況，這一點非常重要。任何軌跡兩種特殊情況，這一點非常重要。F1F2M例1、填空：(1)已知到橢圓的兩焦點的距離之和為常數2a若CD為過左焦點F1的弦，則F2CD的周長為_F1F2CD練習化化 簡簡列列 式式設設 點點建建 系系F1F2xy 以以F1、F2 所在直線為所在直線為 x 軸，線段軸，線段 F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為 y 軸建立直角坐標系軸建立直角坐標系

5、P( x , y )設設 P( x，y )是橢圓上任意一點是橢圓上任意一點設設|F1F2|=2c，則有，則有F1(-c，0)、F2(c，0)- , 0c , 0cF1F2xyP( x , y )- , 0c , 0c 橢圓上的點滿足橢圓上的點滿足|PF1 | + | PF2 |為定值，設為為定值，設為2a，則，則2a2c221|=+PFxcy222|=-+PFx cy則：則：2222+-+= 2xcyx cya2222+= 2 -+xcyax cy2222222+= 4-4-+-+xcyaax cyx cy222-c =-+axax cy22222222-+=-acxa yaac設設222-=

6、 0acbb得得即：即：2222+=1 0 xyababO方程方程: :2222+= 1 0 xyabab是橢圓的是橢圓的標準標準方程方程xyOF1F2P焦點為：焦點為：F1( -c , 0 )、F2( c , 0 ) 若以若以F1，F2所在的直線為所在的直線為y軸，軸，線段線段 F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為x 軸建立軸建立直角坐標系，推導出的方程又是怎直角坐標系，推導出的方程又是怎樣的呢？樣的呢？方程方程: :2222+= 1 0 xyabba也是橢圓的也是橢圓的標準標準方程方程焦點為：焦點為：F1( 0 , -c )、F2( 0 , c )注注：橢圓的焦點在坐標軸上，且兩焦：橢圓的

7、焦點在坐標軸上，且兩焦 點的中點為坐標原點點的中點為坐標原點.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay3、橢圓的標準方程的再認識：（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標準方程中三個參數）橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數）由橢圓的標準方程可以求出三個參數a、b、c的值。的值。（4）橢圓的標準方程中，）橢圓的標準方程中，x2與與y2的分母哪一個大，則焦點在

8、的分母哪一個大，則焦點在 哪一個軸上。哪一個軸上。2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上222=+abc平面內到兩個定點平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等的距離的和等于常數（大于于常數（大于F1F2）的點的集合）的點的集合12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc標準方程標準方程不不 同同 點點相相 同同 點點圖圖 形形焦點坐標焦點坐標定定 義義a、b、c 的關系的關系焦點位置的判斷焦點位置的判斷4.根據所學知識完成下表根據所學知識完成下表xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO2222

9、1.153xy ，則則a ，b ；22222.146xy ，223.194xy ，則則a ，b ；則則a ，b ；則則a ，b 224.137xy ，53463237變式練習題（一）變式練習題（二）：判定下列橢圓的焦點在什么軸上，寫出焦點坐標1162522yx答：在答：在 X 軸上軸上,（-3，0）和（）和（3，0）116914422yx答：在答：在 y 軸上軸上,（0，-5）和（）和（0，5）62322 yx答：在答：在y 軸上軸上,（0，-1）和（）和（0，1）判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則：判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則：x x2 2與與y y2 2的分母哪一個大，則焦點

10、在哪一個軸上。的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。變式練習題（三）變式練習題（三）求滿足下列條件的橢圓的標準方程：求滿足下列條件的橢圓的標準方程：（1）滿足）滿足a=4,b=1，焦點在，焦點在X軸上的橢圓軸上的橢圓的標準方程為的標準方程為_ （2）滿足）滿足a=4,c= ，焦點在，焦點在Y軸上的橢圓軸上的橢圓的標準方程為的標準方程為_1511622 yx11622 xy例例2：已知：已知a4，b3，求橢圓的標準方程，求橢圓的標準方程解：解： 當焦點在當焦點在 x 軸上的標準方程為軸上的標準方程為221169xy當焦點在當焦點在 y 軸上的標準方程為軸上的標準方程為221916xy例題講析154

11、22yx已知橢圓的方程為： ，則a=_，b=_，c=_，焦點坐標為：_，焦距等于_;曲線上一點P到左焦點F1的距離為3，則點P到另一個焦點F2的距離等于_，則F1PF2的周長為_21(0,-1)、(0,1)252 532 52xyF1 1F2 2PO求橢圓的標準方程需求幾個量？求橢圓的標準方程需求幾個量？答：答：兩個；兩個；a、b 或或 a、c 或或 b、c；且滿足；且滿足 a2 = b2 + c2“橢圓的標準方程橢圓的標準方程”是個專有名詞，就是指上述的是個專有名詞，就是指上述的兩個方程，形式是固定的兩個方程，形式是固定的在在Ax2+By2=C中中，A、B、C滿足什么條件滿足什么條件，就就表

12、示橢圓？表示橢圓？答：當答：當A、B、C 同號，且同號，且 A不等于不等于B 時表示橢圓時表示橢圓1222222222222 2101MFMFaxyxabababcxyyba定義式定義焦點在 軸上橢圓標準方程焦點在 軸上Ax2+By2=C中，中，A、B、C滿足什么條件，就表示橢圓？滿足什么條件，就表示橢圓？答：當答：當A、B、C 同號，且同號，且 A不等于不等于B 時表示橢圓時表示橢圓課后習題課后習題2.2 p68 1、2yxO),(yxPr設圓上任意一點設圓上任意一點P(x，y) 以圓心以圓心O為原點，建立直角坐標系為原點，建立直角坐標系 rOP ryx 22兩邊平方，得兩邊平方，得 222ryx1.1.建系建系2.2.設坐標設坐標3.3.列等式列等式4.4.化簡方程化簡方程yxO)