高一數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)集合

1、07高一年級數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo) 07高一數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo) 集 合第一章 集 合集合論是整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一，高中教材中的集合概念屬樸素集合論的初步，主要學(xué)習(xí)集合的基本概念，掌握集合的語言。這種語言較之普通語言能更準(zhǔn)確、簡練、清晰地表達數(shù)學(xué)知識和邏輯了解，有利于加深對知識的理解和數(shù)學(xué)思維能力的提高。這一部分的知識有三段，集合及其表示方法，元素與集合的關(guān)系（屬于、不屬于）；集合與集合的關(guān)系（包含、相等），子集、空集的概念；集合的運算（交、并、補），交集、并集、補集的概念。本節(jié)概念多，符號多，要注重辨析概念之間的差異和了解。集合中最基本與最重要的概念是集合的子、交、并、補的意義。熟練地正確使用各種符號，是我

2、們必須掌握的基本技能。集合的運算，既是重點又是難點。靈活地運用集合知識，深刻理解集合語言，強化集合語三種不同表達方式（普通語言、符號語言、圖象語言即韋恩圖）的互譯訓(xùn)練，處理和解決內(nèi)容廣泛的數(shù)學(xué)問題，是我們學(xué)習(xí)這一節(jié)內(nèi)容的目的。1.1 集合 1.2 子集、全集、補集 1.3 交集、并集一、知識點解析（一）集合1集合的概念集合是數(shù)學(xué)中最原始的概念之一，它和幾何中的點、線、面一樣，都是不加定義的，一組對象的全體形式一個集合，也簡稱集。集合的元素具有三個特性：確定性：任意給定的一個對象，都可判定它是不是某一給定集合的元素。如圓周率屬于實數(shù)集，但不屬于有理數(shù)集。而“好人”，“著名科學(xué)家”不能構(gòu)成數(shù)學(xué)意義

3、上的集合?；ギ愋裕航o定的集合中若有兩個或兩個以上的元素，則這集合中任兩個元素都是不相同的對象，即任一集合中元素?zé)o重復(fù)現(xiàn)象。如方程的解集為1。無序性：集合中的元素是不排序的。例如集合a,b也可寫作b,a。集合中的元素不一定只是數(shù)，還可以是任意的具體確定的事物，例如北京，上海，天津，重慶2集合的表示法列舉法：把集合中的每一個元素列舉出來。當(dāng)集合中的元素較少時，可用列舉法。有時，規(guī)律性強的無限個數(shù)也可用列舉法表示。描述法：把集合元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)的方法。又分為語言描述法和代表元素描述法。語言描述法的結(jié)構(gòu)為：具有性質(zhì)P的事物如小于10的正奇數(shù)等。代表元素描述法的結(jié)構(gòu)為：X|X具有性質(zhì)

4、P，如y|y=xx，表達函數(shù)的值域，即y的取值范圍，而（x,y）/，x則表示拋物線上的點組成的集合。3符號“”與“”的用法符號“”與“”是表示元素與集合之間的從屬關(guān)系的，它們不能表示集合與集合之間的包含關(guān)系。例如，。4特定集合N=自然數(shù)=非負(fù)整數(shù)，正整數(shù)，Z=整數(shù)， Q=有理數(shù)，R=實數(shù)，C=復(fù)數(shù)。不含有任何元素的集合叫做空集，用表示。（二）子集，全集，補集1子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，則集合A叫做集合B的子集。即任取XA，若均有XB成立，則A為B的子集，記作AB。如果A是B的子集且B也是A的子集，則稱A與B相等。即若則A=B。如果A是B的子集且A與B

5、不相等，則稱A是B的真子集。即若AB且AB，則AB。 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。2全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。全集可以由我們自由規(guī)定，出于研究的需要，有時我們會以N為全集，有時會以R為全集，但在同一個問題中只能有一個全集。3補集：設(shè)S是一全集，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合叫做S中子集A的補集，記作CsA，即4若集合A有幾個元素，則它的所有子集的個數(shù)是。（三）交集、并集1交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作A。2并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組

6、成的集合，叫做A與B的并集，記作A3必須熟練地用圖形（韋恩venn圖）來表示子集、交集、并集和補集。4常用的運算性質(zhì)ABA，ABB，AA=A，A=，AB=BA，ABAAB，ABBAB，AB=BA，AB=AB，AB=ABA，AB=A且AB=AA=BACuA=, AUCuA=U, Cu(CuA)=A, Cu=U,CuU=,(CuA)U(CuB)=Cu(AB), (CuA) (CuB)=Cu(AUB)以上這些關(guān)系式均可用Venn圖來驗證。二、概念辨析例1下面命題中正確的是 （ ）A任何一個集合必有兩個子集。B任何一個集合必有一個真子集。C若兩個集合的交集是空集，則這兩個集合至少一個是空集。D若兩個集

7、合的交集是全集，則這兩個集合都是全集。分析：為什么A，B不正確？考慮空集。排除C只需舉出反例：A=1，B=2，A，但A，B全不空。舉反例是一種強有力的說理方法。構(gòu)作反例靠的是對基本概念的透徹理解。例2若集合M=X|X=M+，N=X|X=，P=X|X=，P，則M，N，P的關(guān)系是 （ ）AM=N BMN CMN=P D以上結(jié)論都不對 分析：因為M=X|X= N=X|X= P=X|X=對于集合，不要誤以為，這是錯誤的。因為，所以，所以本題的答案為例3若，則滿足上述條件的集合A為 。分析：嗎？注意：，且。而，所以A是集合的子集，有8種可能，分別是，。例4已知，則A與B的關(guān)系是 。分析：由符號“”的定義

8、知，B中的元素為A的子集，而A的子集有4個，即，所以。例5已知，則（ ）A B C D以上答案均不對分析：如果你選B就錯了。原因在于沒有先研究集合中元素的屬性、意義，錯誤地認(rèn)為交集為兩曲線的交點（或兩方程的公共解）。正確的解為，所以，選C。例6若A，B是兩個互不相等的非空集，且是全集I的真子集，下列四個關(guān)系中，有多少個是正確的？（1） （2） （3） （4） 分析：畫圖1 I A B 圖1本圖中，=I，A，（C，所以否定（1），（2）（3）。 畫圖2 I A B這張圖中，否定（4）所以（1），（2），（3），（4）都不正確。例7.已知集合，若，求實數(shù)a的取值范圍。錯解：因為或，所以只有當(dāng)時，即

9、時，才有，所以a的取值范圍是分析：這里忽視了空集，因為是任何集合的子集，當(dāng)Q=時，亦滿足，此時 解得a>4，所以，a的取值范圍是例8.設(shè)集合，若，求實數(shù)a 的值，錯解：由題設(shè)知，因為 所以a-1=2 所以a=3分析：集合B由描述法化簡為列舉法，不一定能得保持等價。由描述法知集合乃是關(guān)于X的方程的解集，這個方程一定有實根1，但可能有兩個相等實根1，而，由斷定了B中必有兩元素，漏掉了B中只有一個元素1的情況，應(yīng)補上。當(dāng)a-1=1即a=2，仍有成立。所以a的值為2或3。例9設(shè)，若，則a 。解：顯然，所以得，代入A中檢驗，符合題意，所以。例10集合為單元素集合，則a 。分析：如果你先入為主地認(rèn)為

10、A為一元二次方程的解的集合，馬上會聯(lián)想到A為單元素集合等價于0，由此解得a1。但方程不一定是關(guān)于x的二次方程，當(dāng)a0時，它是一次方程，也只有一個根，仍符合題意。故本題的解為a1或0。例11已知集合，且，求a的值。解： 由 ，或。當(dāng)時，有即 時，兩根之積為1。 與題意不符，應(yīng)舍去。只有與題意相符，此時。若，則由韋達定理知矛盾，故。綜上所述，只有當(dāng)時，。例12已知全集，A、B是U的兩個子集，且，求A、B。解：，用韋恩圖分別表示、及得所以，。例13已知集合，設(shè)，求的值。解：兩個集合相等，則它們對應(yīng)元素相等（元素的確定值）所以，有 或（元素的無序性） 當(dāng)時，解得，與集合中元素的互異性矛盾，應(yīng)舍去。當(dāng)時

11、，解得，經(jīng)檢驗滿足題意。例14已知集合，且滿足，求實數(shù)a的值。解：因為，所以，又因為，所以，故有 解之得或當(dāng)時，而，故舍去；當(dāng)時，與題意均相符。綜上所述，。例15已知，集合，求集合。分析：請先讀懂題意，準(zhǔn)確翻譯好題中兩個集合，它們分別是方程和的解集。即，這個集合是單元素集3表示方程有等根3，據(jù)韋達定理易知，即，所以，代入集合M，得例16設(shè)，求a的值。解：，由知，或或或 對于方程，其判別式（1）當(dāng)，即時，符合題意；（2）當(dāng)，即時，也符合題意；（3）當(dāng)，即時，M應(yīng)等于，必須滿足 綜上所述，的值為或例17已知，若，求p的范圍。分析：如何理解？ 其一：A中元素不是正數(shù)，只能是負(fù)數(shù)或零。設(shè)方程的根為、，

12、則有：其二：A是空集，綜上所述，知滿足題意的的范圍是。解法二：讓我們變換目標(biāo)，從另一個角度去思考本題。由于方程不可能有零根且兩根必同號，所以的條件是 滿足題意的p的范圍為（巧用補集，簡潔明快）例18.已知集合如果，求實數(shù)m的取值范圍。解：由 消去y，得 x-y+1=0 因為 所以方程在區(qū)間0，2，上至少有一個實根首先由得其次，設(shè)方程的兩實數(shù)根公別為當(dāng)時，由知，均為實數(shù)，與題意不符（在0，2上至少有一實根），應(yīng)舍去。當(dāng)時，由及=1>0及知方程有兩正根，且必有一根在0，1上，（因為兩正根乘積為1，互為倒數(shù)）從而方程至少有一個根在0，2上。綜上所述，所求m的取值范圍是（。注：今后我們還會學(xué)到利

13、用二次函數(shù)根的公布來解答本題。例19.設(shè)。解：將CuA和B表示在數(shù)軸上，（如圖）得例20.集合(1) 若，求實數(shù)a的取值范圍；(2) 若求實數(shù)a的取值范圍；(3) 若且求實數(shù)a的取值范圍。解：將數(shù)集A表示在數(shù)軸上（如圖）（1） 要使，則a<4。（2） 要使則。（3） 要使且應(yīng)得。講評：涉及數(shù)集的子集、交集、補集的問題，借助于數(shù)軸來處理，住住比較直觀。例21.集合，求實數(shù)a的值。解：a2+1-3，只要使AB=-3有兩種可能：a-3=-3或2a-1=-3. （1）當(dāng)a-3=-3時，a=0，此時 A=0，1，-3，B=3，-1，1 則AB=1，-3與AB=-3矛盾 a=0舍去（2）當(dāng)2a-1=

14、-3時，a=-1，此時 A=1，0，-3 B=-4，-3，2 符合條件由（1）、（2）可知，所求實數(shù)a的值為-1。講評：條件AB=-3中，說明集合AB中有一個元素為-3，而且只能有一個元素為-3，第一種情況解出的a=0不合題意。因為在用條件a-3=-3解出a=0時，只能說明A與B有公共元素-3，并不能說明除了-3以外，A與B沒有其它的公共元素。因此有必要把a=0和a= -1反代入原來的集合檢驗AB中是否的確有且只有一個元素為-3，否則易產(chǎn)生增根。例22.若U=(x,y)|x,yR,A=(x,y)|y=3x-2,B=(x,y)| ,求AB及（CuA）B。解：，y=3x-2(x2),即 B=(x,

15、y)|y=3x-2 (x2)BA，于是AB=B；CuA是坐標(biāo)平面上除了直線l:y=3x-2上的點后所有點的集合，B是直線l:y=3x-2上除了（2，4）外所有點組成的點集。（CuA）B=(x,y)|x,yR,(x,y)(2,4)例23.設(shè)集合A=xR|x2-3x+2=0,B=xR|2x2-ax+2=0若AB=A，求：實數(shù)a的取值范圍。解：A=xR|x2-3x+2=0=1，2 AB=A，BA 由x=1代入2x2-ax+2=0得：a=4 而當(dāng)a=4時，B=x|2x2-ax+2=0=1 此時有：AB=1，2=A 由x=2代入2x2-ax+2=0得：a=5 而當(dāng)a=5時，此時B=x|2x2-5x+2=

16、0=2， 此時有：AB=1，2，A，不符合題意 a=5應(yīng)舍去 又在方程2x2-ax+2=0中，由=a2-16<0得： -4<a<4 此時，B=，滿足AB=A綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為a|-4<a4。講評：本題中實際上應(yīng)想到集合B中一元二次方程的兩根恰為x=1和x=2的情況，在上述解法中，我們利用當(dāng)有一個根為x=1時解出a的值，再反代入原方程求出另一個根的方法，結(jié)果出現(xiàn)當(dāng)有一個根為x=1時，另一個根也為x=1；當(dāng)有一個根為x=2時，另一個根為x=,即不可能出現(xiàn)兩根恰為x=1和x=2的情形。解題時還應(yīng)注意不要疏漏B為空集的情況。例24.已知集合A=xR|x2+(p+2)x

17、+1=0,設(shè)R+為正實數(shù)。若AR+=,求實數(shù)p的取值范圍.分析: R+為正實數(shù),要使AR+=,則有兩種可能: A=或A中的元素為負(fù)數(shù)或0解:(1)當(dāng)A=時,方程x2+(p+2)x+1=0無解 由=(p+2)2-4<0得: -2<p+2<2 即 -4<p<0 (2)當(dāng)A時, AR+= A中的元素為負(fù)數(shù)或0，即方程x2+(p+2)x+1=0的根為負(fù)根或0，而當(dāng)x=0時，原方程變?yōu)?=0，不可能。方程x2+(p+2)x+1=0有負(fù)根，設(shè)為x1、x2。 則 P0 綜合（1）、（2）可得，所求實數(shù)p的取值范圍為p|p>-4.講評：本題中切勿忘記A=的情況，另

18、外，一元二次方程有兩個負(fù)根可以借助于韋達定理利用x1+x2<0且x1·x2>0來解決，當(dāng)然還可類似解決一元二次方程有兩個正根的情形。 例25.設(shè)U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，若集合A、B滿足（CuA）（CuB）=1,2,3,5,6,7,8(CuA）B=3,7(CuB）A=2,8求集合A、B。解：利用圖示法（如圖）得：A=2，4，8，9，B=3，4，7，9。講評：圖示法也是集合的表示法，在解題中常常要注意文字語言，符號語言與圖形語言的轉(zhuǎn)換。例如：設(shè)u是全集，A、B是u的子集，我們可以用陰影部分表示圖下的集合。例26.設(shè)集合A=x|-2xa，B=y|y=2x+3,x

19、A，C=y|y=x2,xA，若BC=B，求實數(shù)a的取值范圍。解：在B中，y=2x+3 xA，-2xa -1y2a+3 即 B=y|-1y2a+3在C中，y=x2, -2xa（1）當(dāng)-2a<0時，a2y=x24即 C=y|a2y4此時要使 BC=B，即CB只要 42a+3a與-2a<0矛盾，此時不可能（2）當(dāng)0a2時，0y=x24即C=y|0y4要使CB只要42a+3a又0a2，a2（3）當(dāng)a>2時，0y=x2a2即 C=y|0ya2要使CB只要a22a+3，即a2-2a-30-1a3，又a>23a>2由（1）（2）（3）可知，所求a的取值范圍為a|a2a|2<

20、;a3即 a|a3【鞏固練習(xí)】1說出下列集合中元素的意義 2已知，則M與N之間的關(guān)系是（ ）A B C DM與N之間無任何包含關(guān)系3設(shè)全集，若，求集合A、B。4，求。5已知且，求集合B。6設(shè)，求（7已知，且，求實數(shù)p的范圍。8設(shè)方程的解集為A，方程的解集為B，有，求p、q、r的值。9已知，其中，、。若且，中所有元素之和為124，求集合A、B。答案1函數(shù)yx22x3中自變量x的取值范圍；函數(shù)yx22x3中值的取值范圍；函數(shù)yx22x3的圖象上的點；不等式x22x30的解集；不等式x22x30的解集；2B 3，45 6（C7 8，9，?！咎岣呔毩?xí)】 1、設(shè)集合A=xR|-4x<5，B=xR|

21、x>2或x<-6，則AB等于（ ）A、x|-6<x<5 B、x|-6<x<-4C、x|2<x<5 D、x|-6<x<22、設(shè)集合M=(x,y)|3x-2y=-1，N=(x,y)|5x+3y=11，則MN等于（ ）A、（1，2） B、（1，2） C、1，2 D、3、設(shè)全集u=1，2，3，4，5，若AB=2，(CuA)B=4，(CuA)(CuB)=1,5,則下面結(jié)論正確的是（ ）A、3A且3B B、3A且3BC、3A且3B D、3A且3B4、設(shè)M=1，2，m2-3m-1，P=-1，3，MP=3，則m的值為（ ）A、4 B、-1 C、1，-4 D、4，-15、已知全集u=R，A=x|-4x2，B=x|-1<x3，P=x|x0或x，那么AB=