2020年高考物理專(zhuān)題復(fù)習(xí)動(dòng)量和能量

1、2020 年高考物理專(zhuān)題復(fù)習(xí) 動(dòng)量和能量第一講 基本知識(shí)介紹一、沖量和動(dòng)量1、沖力（ Ft 圖象特征） 沖量。沖量定義、物理意義 沖量在 Ft 圖象中的意義從定義角度求變力沖量（ F 對(duì) t 的平均作用力）2、動(dòng)量的定義動(dòng)量矢量性與運(yùn)算二、動(dòng)量定理1、定理的基本形式與表達(dá)2、分方向的表達(dá)式： I x =Px ，I y =Py 3、定理推論：動(dòng)量變化率等于物體所受的合外力。即P=F 外t三、動(dòng)量守恒定律1、定律、矢量性2、條件a、原始條件與等效b、近似條件c、某個(gè)方向上滿(mǎn)足 a 或 b，可在此方向應(yīng)用動(dòng)量守恒定律四、功和能1、功的定義、標(biāo)量性，功在 FS 圖象中的意義2、功率，定義求法和推論求法

2、3、能的概念、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律4、功的求法a、恒力的功： W = FScos = FSF = F S Sb、變力的功：基本原則過(guò)程分割與代數(shù)累積；利用FS 圖象（或先尋求F對(duì) S的平均作用力）c、解決功的“疑難雜癥”時(shí)，把握“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一要點(diǎn)五、動(dòng)能、動(dòng)能定理1、動(dòng)能（平動(dòng)動(dòng)能）2、動(dòng)能定理a、 W的兩種理解b、動(dòng)能定理的廣泛適用性六、機(jī)械能守恒1、勢(shì)能a、保守力與耗散力（非保守力） 勢(shì)能（定義： Ep = W保）b、力學(xué)領(lǐng)域的三種勢(shì)能（重力勢(shì)能、引力勢(shì)能、彈性勢(shì)能）及定量表達(dá)2、機(jī)械能3、機(jī)械能守恒定律a、定律內(nèi)容 b、條件與拓展條件（注意系統(tǒng)劃分）c、功能原理：系統(tǒng)機(jī)械能的增

3、量等于外力與耗散內(nèi)力做功的代數(shù)和。七、碰撞與恢復(fù)系數(shù) 1、碰撞的概念、分類(lèi)（按碰撞方向分類(lèi)、按碰撞過(guò)程機(jī)械能損失分類(lèi)） 碰撞的基本特征： a、動(dòng)量守恒； b、位置不超越； c、動(dòng)能不膨脹。2、三種典型的碰撞 a、彈性碰撞：碰撞全程完全沒(méi)有機(jī)械能損失。滿(mǎn)足m1v10 + m 2v20 = m 1v1 + m 2v21 m1 v12 + 1 m2 v22 21222m1 v10 +2m2 v220 =2解以上兩式（注意技巧和“不合題意”解的舍棄）可得：（m1 m2 ）v10 2v20（m2 m1）v 20 2v10v1 =， v 2 =m1 m 2m 2 m1對(duì)于結(jié)果的討論：當(dāng) m1 = m2 時(shí)

4、，v1 = v 20 ，v2 = v 10 ，稱(chēng)為“交換速度” ；當(dāng) m1 m2 ，且 v20 = 0 時(shí)， v1 v10 ，v2 0 ，小物碰大物，原 速率返回；當(dāng) m1 m2 ，且 v20 = 0 時(shí)，v1 v 10 ，v2 2v10 ， b、非（完全）彈性碰撞：機(jī)械能有損失（機(jī)械能損失的內(nèi)部機(jī)制簡(jiǎn)介） ，只滿(mǎn) 足動(dòng)量守恒定律c、完全非彈性碰撞：機(jī)械能的損失達(dá)到最大限度；外部特征：碰撞后兩物體 連為一個(gè)整體，故有v1 = v 2 =m1v10 m 2v20m 1 m23、恢復(fù)系數(shù)：碰后分離速度（ v2 v 1）與碰前接近速度（ v10 v 20）的比值， 即：e = v2 v1 。根據(jù)“碰

5、撞的基本特征” ， 0 e 1 。v10 v 20當(dāng) e = 0 ，碰撞為完全非彈性；當(dāng) 0 e 1 ，碰撞為非彈性；當(dāng) e = 1 ，碰撞為彈性。八、“廣義碰撞”物體的相互作用1、當(dāng)物體之間的相互作用時(shí)間不是很短，作用不是很強(qiáng)烈，但系統(tǒng)動(dòng)量仍然守 恒時(shí)，碰撞的部分規(guī)律仍然適用，但已不符合“碰撞的基本特征” （如：位置可能超 越、機(jī)械能可能膨脹） 。此時(shí)，碰撞中“不合題意”的解可能已經(jīng)有意義，如彈性碰 撞中 v1 = v 10 ，v2 = v 20 的解。2、物體之間有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)， 機(jī)械能損失的重要定勢(shì)： E = E內(nèi) = f 滑·S相 ，其中 S 相指相對(duì)路程第二講 重要模型與專(zhuān)題

6、 一、動(dòng)量定理還是動(dòng)能定理？物理情形：太空飛船在宇宙飛行時(shí)，和其它天體的萬(wàn)有引力可以忽略，但是， 飛船會(huì)定時(shí)遇到太空垃圾的碰撞而受到阻礙作用。設(shè)單位體積的太空均勻分布垃圾 n 顆，每顆的平均質(zhì)量為 m ，垃圾的運(yùn)行速度可以忽略。飛船維持恒定的速率 v 飛 行，垂直速度方向的橫截面積為 S ，與太空垃圾的碰撞后，將垃圾完全粘附住。試 求飛船引擎所應(yīng)提供的平均推力 F 。模型分析：太空垃圾的分布并不是連續(xù)的，對(duì)飛船的撞擊也不連續(xù)，如何正確 選取研究對(duì)象，是本題的前提。建議充分理解“平均”的含義，這樣才能相對(duì)模糊 地處理垃圾與飛船的作用過(guò)程、淡化“作用時(shí)間”和所考查的“物理過(guò)程時(shí)間”的 差異。物理過(guò)

7、程需要人為截取，對(duì)象是太空垃圾。先用動(dòng)量定理推論解題。取一段時(shí)間 t ，在這段時(shí)間內(nèi)，飛船要穿過(guò)體積 V = S·vt 的空間，遭遇 nV 顆太空垃圾，使它們獲得動(dòng)量 P ，其動(dòng)量變化率即是飛船應(yīng)給予那部分垃圾 的推力，也即飛船引擎的推力。F = P = M v = m n V v = m nSv t v = nmSvt t t t如果用動(dòng)能定理，能不能解題呢？同樣針對(duì)上面的物理過(guò)程，由于飛船要前進(jìn) x = v t 的位移，引擎推力 F須做功W = Fx ，它對(duì)應(yīng)飛船和被粘附的垃圾的動(dòng)能增量，而飛船的 Ek為零，所以： 12W = Mv2212即： Fvt = (n m S·

8、;vt )v2得到： F = 1 nmSv22兩個(gè)結(jié)果不一致，不可能都是正確的。分析動(dòng)能定理的解題，我們不能發(fā)現(xiàn)， 垃圾與飛船的碰撞是完全非彈性的，需要消耗大量的機(jī)械能，因此，認(rèn)為“引擎做 功就等于垃圾動(dòng)能增加” 的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。 但在動(dòng)量定理的解題中，由于 I = Ft ，由此推出的 F = P必然是飛船對(duì)垃圾的平均推力，再對(duì)飛船用平t衡條件， F 的大小就是引擎推力大小了。這個(gè)解沒(méi) 有毛病可挑，是正確的。（學(xué)生活動(dòng)）思考：如圖 1 所示，全長(zhǎng) L、總 質(zhì)量為 M的柔軟繩子， 盤(pán)在一根光滑的直桿上， 現(xiàn)用手握住繩子的一端，以恒定的水平速度 v 將繩子拉直。忽略地面阻力，試求手的 拉力 F解：

9、解題思路和上面完全相同答：Mv二、動(dòng)量定理的分方向應(yīng)用 物理情形：三個(gè)質(zhì)點(diǎn) A、B和C ，質(zhì)量分 別為 m1 、m2 和 m3 ，用拉直且不可伸長(zhǎng)的繩子 AB和 BC相連，靜止在水平面上，如圖 2 所示， AB和 BC之間的夾角為（） ?，F(xiàn)對(duì)質(zhì)點(diǎn) C施加以沖量 I ，方向沿 BC ，試求質(zhì)點(diǎn) A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的速度模型分析：首先，注意“開(kāi)始運(yùn)動(dòng)”的理解，它指繩子恰被拉直，有作用力和 沖量產(chǎn)生，但是繩子的方位尚未發(fā)生變化。其二，對(duì)三個(gè)質(zhì)點(diǎn)均可用動(dòng)量定理，但是，B質(zhì)點(diǎn)受沖量不在一條直線上，故最為復(fù)雜，可采用分方向的形式表達(dá)。其三，由于兩段繩子不可伸長(zhǎng)，故三質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度可以尋求到兩個(gè)約束關(guān)系。下面具體看

10、解題過(guò)程繩拉直瞬間， AB繩對(duì) A、B 兩質(zhì)點(diǎn)的沖量大小相等（方向相反） ，設(shè)為 I 1 ，BC 繩對(duì) B、C兩質(zhì)點(diǎn)的沖量大小相等（方向相反） ，設(shè)為 I2 ；設(shè)A獲得速度 v1（由于 A 受合沖量只有 I1 , 方向沿 AB ，故v1的反向沿 AB），設(shè)B獲得速度 v2（由于 B受合沖量為 I1+I2，矢量和既不沿 AB ，也不沿 BC方 向，可設(shè) v2與 AB 繩夾角為，如圖 3 所示），設(shè) C獲得速度 v3（合沖量 I +I2沿 BC方 向，故 v3 沿 BC方向）。對(duì) A 用動(dòng)量定理，有：I 1 =m1v1B的動(dòng)量定理是一個(gè)矢量方程： I1+I2= m2 v2，可化為兩個(gè)分方向的標(biāo)量式

11、， 即：I 2cos I 1 = m2 v 2cosI 2sin = m2 v 2sin 質(zhì)點(diǎn) C 的動(dòng)量定理方程為：I I 2 = m3 v 3AB繩不可伸長(zhǎng)，必有 v1 = v 2cos六個(gè)方程解六個(gè)未知量（ I 1、I 2 、 v1v3 、）是可能的，但繁復(fù)程度非同一般。解方程要注意條理性，否則易造成混亂。建議采取如下步驟1、先用式消掉 v2 、 v3，使六個(gè)一級(jí)式變成四個(gè)二級(jí)式：BC繩不可伸長(zhǎng)，必有 v2cos（ ） = vI1 = m1 v 1I 2cosI 1 = m2 v 1I 2sin = m2 v 1 tg I I 2 = m 3 v 1(cos + sin tg )2、解式

12、消掉，使四個(gè)二級(jí)式變成三個(gè)三級(jí)式：I1 = m1 v 12 m3 sinI 2cosI 1 = m2 v 1I = m 3 v 1 cos + I 2 m2m23、最后對(duì)式消 I1 、I2 ，解 v1就方便多了。結(jié)果為：Im 2 cosm2 (m1m2m3)2m1m3 sin（學(xué)生活動(dòng)：訓(xùn)練解方程的條理和耐心）思考： v2 的方位角等于多少？ 解：解“二級(jí)式”的即可。代入消 I1 ，得 I 2的表達(dá)式，將 I2的表達(dá) 式代入就行了。答： = arc tgm1m2 tgm2三、動(dòng)量守恒中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 物理情形：在光滑的水平地面上，有一輛車(chē)，車(chē)內(nèi)有一個(gè)人和 N 個(gè)鉛球，系統(tǒng) 原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)

13、車(chē)內(nèi)的人以一定的水平速度將鉛球一個(gè)一個(gè)地向車(chē)外拋出， 車(chē)子和人將獲得反沖速度。第一過(guò)程，保持每次相對(duì)地面拋球速率均為 v ，直到將 球拋完；第二過(guò)程，保持每次相對(duì)車(chē)子拋球速率均為 v ，直到將球拋完。試問(wèn)：哪 一過(guò)程使車(chē)子獲得的速度更大？模型分析：動(dòng)量守恒定律必須選取研究對(duì)象之外的第三方（或第四、第五方） 為參照物， 這意味著，本問(wèn)題不能選車(chē)子為參照。 一般選地面為參照系， 這樣對(duì)“第 二過(guò)程”的鉛球動(dòng)量表達(dá)，就形成了難點(diǎn)，必須引進(jìn)相對(duì)速度與絕對(duì)速度的關(guān)系。 至于“第一過(guò)程”，比較簡(jiǎn)單： N 次拋球和將 N個(gè)球一次性?huà)伋鍪峭耆刃У?。設(shè)車(chē)和人的質(zhì)量為 M ，每個(gè)鉛球的質(zhì)量為 m 。由于矢量的方

14、向落在一條直線上， 可以假定一個(gè)正方向后，將矢量運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算。設(shè)車(chē)速方向?yàn)檎?，且第一過(guò)程獲得的速度大小為 V1 第二過(guò)程獲得的速度大小為 V2 。 第一過(guò)程，由于鉛球每次的動(dòng)量都相同，可將多次拋球看成一次拋出。車(chē)子、 人和 N個(gè)球動(dòng)量守恒。0 = Nm(-v) + MV 1Nm得：V1 =v M第二過(guò)程，必須逐次考查鉛球與車(chē)子(人)的作用。第一個(gè)球與( N1)個(gè)球、人、車(chē)系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u1值得注意的是，根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成法則 v球 地 v球 車(chē) v車(chē) 地 ，鉛球?qū)Φ氐乃俣炔⒉皇?(-v )，而是( -v + u 1)。它們動(dòng)量守恒方程為：0 = m(-v + u 1) + M

15、 +(N-1)m u1m得：u1 =vM Nm第二個(gè)球與( N -2 )個(gè)球、人、車(chē)系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u2它們動(dòng)量守恒方程為： M+(N-1)m u1 = m(-v + u 2) + M+(N-2)m u2得：u2 =mmv + v M Nm M (N 1)m第三個(gè)球與( N -2 )個(gè)球、人、車(chē)系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u3鉛球?qū)Φ氐乃俣仁? -v + u 3)。它們動(dòng)量守恒方程為：M+(N-2)mu2 = m(-v + u 3) + M+(N-3)m u3得：u3 =m v +M Nmmv(N 1)mmv(N 2)mv +v +v + +v以此類(lèi)推(過(guò)程注意：先找

16、uN和 uN-1關(guān)系，再看 uN 和 v 的關(guān)系，不要急于化簡(jiǎn)通 分)， uN 的通式已經(jīng)可以找出：V2 = u N =M NmM (N 1)mM (N 2)mMmv即： V2 =i 1 M im我們?cè)賹⑹礁膶?xiě)成：Nmvi1M不難發(fā)現(xiàn)，式和式都有 N 項(xiàng)，每項(xiàng)的分子都相同，但式中每項(xiàng)的分 母都比式中的分母小，所以有： V1 > V2 。結(jié)論：第一過(guò)程使車(chē)子獲得的速度較大。（學(xué)生活動(dòng)）思考：質(zhì)量為 M的車(chē)上，有 n 個(gè)質(zhì)量均為 m的人，它們靜止在光 滑的水平地面上?，F(xiàn)在車(chē)上的人以相對(duì)車(chē)大小恒為v、方向水平向后的初速往車(chē)下哪一次車(chē)子獲nmv。i1 M nm跳。第一過(guò)程， N個(gè)人同時(shí)跳下；第二

17、過(guò)程， N個(gè)人依次跳下。試問(wèn)：得的速度較大？解：第二過(guò)程結(jié)論和上面的模型完全相同， 第一過(guò)程結(jié)論為 V1 =答：第二過(guò)程獲得速度大。四、反沖運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)重要定式物理情形：如圖 4 所示，長(zhǎng)度為 L、質(zhì)量為 M 的船停止在靜水中但未拋錨） ，船頭上有一個(gè)質(zhì)量為 m 的 人，也是靜止的?，F(xiàn)在令人 在船上開(kāi)始向船尾走動(dòng)，忽 略水的阻力，試問(wèn)：當(dāng)人走 到船尾時(shí) ，船將 會(huì)移 動(dòng)多 遠(yuǎn)？學(xué)生活動(dòng)） 思考：人可不可能勻速（或勻加速）走動(dòng)？當(dāng)人中途停下休息，船有速度嗎？人的全程位移大小是 L 嗎？本系統(tǒng)選船為參照，動(dòng)量守恒嗎？模型分析：動(dòng)量守恒展示了已知質(zhì)量情況下的速度關(guān)系，要過(guò)渡到位移關(guān)系， 需要引進(jìn)運(yùn)動(dòng)

18、學(xué)的相關(guān)規(guī)律。 根據(jù)實(shí)際情況 （人必須停在船尾） ，人的運(yùn)動(dòng)不可能是 勻速的，也不可能是勻加速的 , 運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律應(yīng)選擇 S = vt 。為尋求時(shí)間 t ，則 要抓人和船的位移約束關(guān)系。對(duì)人、船系統(tǒng)，針對(duì)“開(kāi)始走動(dòng)中間任意時(shí)刻”過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)量守恒（設(shè)末 態(tài)人的速率為 v ，船的速率為 V），令指向船頭方向?yàn)檎颍?則矢量關(guān)系可以化為代 數(shù)運(yùn)算，有：0 = MV + m（-v）即： mv = MV 由于過(guò)程的末態(tài)是任意選取的，此式展示了人和船在任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度大小 關(guān)系。而且不難推知，對(duì)中間的任一過(guò)程，兩者的平均速度也有這種關(guān)系。即：m v = M V 設(shè)全程的時(shí)間為 t ，乘入式兩邊，得：

19、mvt = M V t設(shè) s 和 S 分別為人和船的全程位移大小，根據(jù)平均速度公式，得： m s = M S 受 船 長(zhǎng) L 的 約 束 ， s 和 S 具 有 關(guān) 系 ： s + S = L 解、可得：船的移動(dòng)距離 S = m LMm （應(yīng)用動(dòng)量守恒解題時(shí)，也可以全部都用矢量關(guān)系，但這時(shí)“位移關(guān)系”表達(dá) 起來(lái)難度大一些必須用到運(yùn)動(dòng)合成與分解的定式。時(shí)間允許的話(huà)，可以做一個(gè) 對(duì)比介紹。）另解：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律 人、船系統(tǒng)水平方向沒(méi)有外力，故系統(tǒng)質(zhì)心無(wú)加速度系統(tǒng)質(zhì)心無(wú)位移。先求 出初態(tài)系統(tǒng)質(zhì)心（用它到船的質(zhì)心的水平距離 x 表達(dá)。根據(jù)力矩平衡知識(shí)，得： x =mL2(m M)），又根據(jù)，末態(tài)的質(zhì)量分

20、布與初態(tài)比較，相對(duì)整體質(zhì)心是左右對(duì)稱(chēng)的弄清了這一點(diǎn)后，求解船的質(zhì)心位移易如反掌。學(xué)生活動(dòng)）思考：如圖 5 所示，在無(wú)風(fēng)的天空，人抓住氣球下面的繩索，和氣球恰能靜止平衡，人和氣球地質(zhì)量分別為和 M ，此時(shí)人離地面高 h ?，F(xiàn)在人欲沿懸索下降到地面，試問(wèn)：要人充分安全地著地，繩索至少要多長(zhǎng)？解：和模型幾乎完全相同，此處的繩長(zhǎng)對(duì)應(yīng)模型中的“船的長(zhǎng)度”（“充分安全著地”的含義是不允許人脫離繩索跳躍著地）答：mMMh 。思考：如圖 6 所示，兩個(gè)傾角相同的斜面，互相倒扣著放在光滑的水平地面上，小斜面在大生活動(dòng)）斜面的頂端。將它們無(wú)初速釋放后，小斜面下滑，大斜面后退。已知大、小斜面的質(zhì)量分別為M和 m ，

21、底邊長(zhǎng)分別為a和b ，試求：小斜面滑到底端時(shí)，大斜面后退的距離。解：水平方向動(dòng)量守恒。解題過(guò)程從略。答： m （ ab）。Mm進(jìn)階應(yīng)用：如圖 7 所示，一個(gè)質(zhì)量為 M ，半徑為 R的光滑均質(zhì)半球，靜置于光滑水平桌面上，在球頂有一個(gè)質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)，由靜止開(kāi)始沿球面下滑。試求：質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)球面以前的軌跡。解說(shuō)：質(zhì)點(diǎn)下滑，半球后退，這個(gè)物理情形和上面的雙斜面問(wèn)題十分相似，仔細(xì)分析，由于同樣滿(mǎn)足水平方向動(dòng)量守恒， 故我們介紹的“定式”是適用的。定式解決 了水平位移（位置）的問(wèn)題，豎直坐標(biāo)則需 要從數(shù)學(xué)的角度想一些辦法。為尋求軌跡方程，我們需要建立一個(gè)坐 標(biāo)：以半球球心 O為原點(diǎn)，沿質(zhì)點(diǎn)滑下一側(cè) 的水平軸

22、為 x 坐標(biāo)、豎直軸為 y 坐標(biāo)。由于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球總是做圓周運(yùn)動(dòng)的 （離開(kāi)球面前），有必要引入相對(duì)運(yùn)動(dòng)中半球球心 O的方位角來(lái)表達(dá)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí) 位置，如圖 8 所示。由“定式”，易得：x = M Rsin Mm 而由圖知： y = Rcos 不難看出，、兩式實(shí)際上已經(jīng)是一個(gè)軌跡的參數(shù)方程。為了明確軌跡的性質(zhì)，我們可以將參數(shù)消掉，使它們成為：22x2+ y22 = 1R和 M R 的橢 Mm（ M R）2 R Mm這樣，特征就明顯了：質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)長(zhǎng)、短半軸分別為 圓。五、功的定義式中 S 怎么取值？在求解功的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)遇到力的作用點(diǎn)位移 與受力物體的（質(zhì)心）位移不等， S 是取力的作用 點(diǎn)的

23、位移，還是取物體（質(zhì)心）的位移呢？我們先 看下面一些事例。1、如圖 9 所示，人用雙手壓在臺(tái)面上推講臺(tái)，結(jié)果雙手前進(jìn)了一段位移而講臺(tái) 未移動(dòng)。試問(wèn)：人是否做了功？2、在本“部分”第 3頁(yè)圖 1的模型中，求拉力做功時(shí)， S是否可以取繩子質(zhì)心 的位移？3、人登靜止的樓梯，從一樓到二樓。樓梯是否做功？4、如圖 10 所示，雙手用等大反向的力 F 壓固定汽缸兩邊的活塞，活塞移動(dòng)相 同距離 S，汽缸中封閉氣體被壓縮。施力者（人）是否做功？在以上四個(gè)事例中， S 若取作用點(diǎn)位移，只有第 1、 2、4例是做功的（注意第 3 例，樓梯支持力的作用點(diǎn)并 未移動(dòng)，而只是在不停地交換作用點(diǎn)） ，S 若取物體（受 力

24、者）質(zhì)心位移，只有第 2、3 例是做功的，而且，盡 管第 2 例都做了功，數(shù)字并不相同。所以，用不同的判 據(jù)得出的結(jié)論出現(xiàn)了本質(zhì)的分歧。面對(duì)這些似是而非的“疑難雜癥” ，我們先回到“做功是物體能量轉(zhuǎn)化的量度” 這一根本點(diǎn)。第 1 例，手和講臺(tái)面摩擦生了熱，內(nèi)能的生成必然是由人的生物能轉(zhuǎn)化而來(lái)， 人肯定做了功。 S 宜取作用點(diǎn)的位移；第 2 例，求拉力的功，在前面已經(jīng)闡述， S 取作用點(diǎn)位移為佳； 第 3 例，樓梯不需要輸出任何能量，不做功， S 取作用點(diǎn)位移； 第 4 例，氣體內(nèi)能的增加必然是由人輸出的，壓力做功， S 取作用點(diǎn)位移。 但是，如果分別以上四例中的受力者用動(dòng)能定理，第 1 例，人

25、對(duì)講臺(tái)不做功， S 取物體質(zhì)心位移；第 2 例，動(dòng)能增量對(duì)應(yīng) S 取 L/2 時(shí)的值物體質(zhì)心位移；第 4 例，氣體宏觀動(dòng)能無(wú)增量， S取質(zhì)心位移。（第 3 例的分析暫時(shí)延后。）以上分析在援引理論知識(shí)方面都沒(méi)有錯(cuò)，如何使它們統(tǒng)一？原來(lái)，功的概念有 廣義和狹義之分。在力學(xué)中，功的狹義概念僅指機(jī)械能轉(zhuǎn)換的量度；而在物理學(xué)中 功的廣義概念指除熱傳遞外的一切能量轉(zhuǎn)換的量度。所以功也可定義為能量轉(zhuǎn)換的 量度。一個(gè)系統(tǒng)總能量的變化，常以系統(tǒng)對(duì)外做功的多少來(lái)量度。能量可以是機(jī)械 能、電能、熱能、化學(xué)能等各種形式，也可以多種形式的能量同時(shí)發(fā)生轉(zhuǎn)化。由此 可見(jiàn)， 上面分析中， 第一個(gè)理論對(duì)應(yīng)的廣義的功， 第二個(gè)理

26、論對(duì)應(yīng)的則是狹義的功， 它們都沒(méi)有錯(cuò)誤，只是在現(xiàn)階段的教材中還沒(méi)有將它們及時(shí)地區(qū)分開(kāi)來(lái)而已。而且，我們不難歸納：求廣義的功， S 取作用點(diǎn)的位移；求狹義的功， S取物體 （質(zhì)心）位移。那么我們?cè)诮忸}中如何處理呢？這里給大家?guī)c(diǎn)建議： 1 、抽象地講“某某力 做的功”一般指廣義的功； 2、講“力對(duì)某物體做的功”常常指狹義的功； 3、動(dòng)能 定理中的功肯定是指狹義的功。當(dāng)然，求解功地問(wèn)題時(shí)，還要注意具體問(wèn)題具體分析。如上面的第 3 例，就相 對(duì)復(fù)雜一些。如果認(rèn)為所求為狹義的功， S 取質(zhì)心位移，是做了功，但結(jié)論仍然是 難以令人接受的。下面我們來(lái)這樣一個(gè)處理：將復(fù)雜的形變物體（人）看成這樣一 個(gè)相對(duì)理

27、想的組合：剛性物體下面連接一壓縮的彈簧（如圖 11 所示），人每一次蹬 梯，腿伸直將軀體重心上舉，等效為彈簧將剛性物體舉起。這樣，我們就不難發(fā)現(xiàn)，做功的是人的雙腿而非地面，人既是輸出能量（生物能）的機(jī)構(gòu)， 也是得到能量 （機(jī)械能） 的機(jī)構(gòu)這里的物理情形更象是一種生 物情形。本題所求的功應(yīng)理解為廣義功為宜。以上四例有一些共同的特點(diǎn)： 要么，受力物體情形比較復(fù)雜 （形 變，不能簡(jiǎn)單地看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。如第 2、第 3、第 4 例），要么，施 力者和受力者之間的能量轉(zhuǎn)化不是封閉的 （涉及到第三方， 或機(jī)械 能以外的形式。如第 1 例）。以后，當(dāng)遇到這樣的問(wèn)題時(shí)，需要我們慎重對(duì)待。（學(xué)生活動(dòng)）思考：足夠長(zhǎng)

28、的水平傳送帶維持勻速 v 運(yùn)轉(zhuǎn)。將一袋貨物無(wú)初速 地放上去，在貨物達(dá)到速度 v 之前，與傳送帶的摩擦力大小為 f ，對(duì)地的位移為 S試問(wèn)：求摩擦力的功時(shí)，是否可以用 W = fS ？解：按一般的理解，這里應(yīng)指廣義的功 （對(duì)應(yīng)傳送帶引擎輸出的能量） ，所以“位 移”取作用點(diǎn)的位移。注意，在此處有一個(gè)隱含的“交換作用點(diǎn)”的問(wèn)題，仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)（相對(duì)皮帶不動(dòng)的）作用點(diǎn)的位移為 2S 。（另解：求貨物動(dòng) 能的增加和與皮帶摩擦生熱的總和。 ）答：否。（學(xué)生活動(dòng)）思考： 如圖 12 所示，人站在船 上，通過(guò)拉一根固定在鐵 樁的纜繩使船靠岸。試問(wèn)： 纜繩是否對(duì)船和人的系統(tǒng) 做功？解：分析同上面的

29、“第 3 例”。 答：否。六、機(jī)械能守恒與運(yùn)動(dòng)合成（分解）的綜合物理情形：如圖 13 所示，直角形的剛性桿被固定，水平和豎直部分均足夠長(zhǎng) 質(zhì)量分別為 m1和 m2的 A、B兩個(gè)有孔小球，串在桿上，且被長(zhǎng)為 L 的輕繩相連。忽 略?xún)汕虻拇笮?，初態(tài)時(shí)，認(rèn)為它們的位置在同一高度，且繩處于拉直狀態(tài)?，F(xiàn)無(wú)初 速地將系統(tǒng)釋放，忽略一切摩擦，試求 B 球運(yùn)動(dòng) L/2 時(shí)的速度 v2 。模型分析： A、B 系統(tǒng)機(jī)械能守恒。 A、B 兩球的瞬時(shí)速度不等，其關(guān)系可據(jù)“第三部分” 知識(shí)介紹的定式（滑輪小船）去尋求。（學(xué)生活動(dòng)） A 球的機(jī)械能是否守恒？ B 球的機(jī)械能是否守恒？系統(tǒng)機(jī)械能守恒的理 由是什么（兩法分析

30、： a、“微元法”判斷兩個(gè) WT 的代數(shù)和為零； b、無(wú)非彈性碰撞，無(wú)摩擦， 沒(méi)有其它形式能的生成）？由“拓展條件”可以判斷， A、B 系統(tǒng)機(jī)械 能守恒，（設(shè)末態(tài) A 球的瞬時(shí)速率為 v1 ）過(guò)程的方程為：mv1 + mvsin = 2mv2L1m1v12 + 1m2v 2222在末態(tài)，繩與水平桿的瞬時(shí)夾角為30°，設(shè)繩子的瞬時(shí)遷移速率為 v ，根據(jù)“第三部分”知識(shí)介紹的定式，有：v1 = v/cos30 ° , v 2 = v/sin30兩式合并成： v1 = v 2 tg30 ° = v 2/ 3 解、兩式，得： v2 = 3m2gLm1 m2七、動(dòng)量和能量的

31、綜合（一）物理情形：如圖 14所示，兩根長(zhǎng)度均為 L 的剛性輕桿，一端通過(guò)質(zhì)量為 m的球形鉸鏈連接， 另一端分別與質(zhì)量為 m和 2m的小球相連。 將此裝置的兩桿合攏， 鉸鏈在上、豎直地放在水平桌面上，然后輕敲一下，使 兩小球向兩邊滑動(dòng)， 但兩桿始終保持在豎直平面內(nèi)。 忽略一切摩擦，試求：兩桿夾角為 90°時(shí)，質(zhì)量為 2m的小球的速度 v2 。模型分析：三球系統(tǒng)機(jī)械能守恒、水平方向動(dòng) 量守恒，并注意約束關(guān)系兩桿不可伸長(zhǎng)。（學(xué)生活動(dòng)）初步判斷：左邊小球和球形鉸鏈的速度方向會(huì)怎樣？設(shè)末態(tài)（桿夾角 90°）左邊小球的速度為 v1（方向：水平向左），球形鉸鏈的速 度為 v（方向：和豎

32、直方向夾角斜向左） ，對(duì)題設(shè)過(guò)程，三球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：mg( L-21 mv12 + 1 mv2 +2 1 2121 2mv 22三球系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，有：左邊桿子不形變，有：v1cos45°= vcos（45 ° - ）右邊桿子不形變，有：vcos（45 °+ ） = v 2cos45°四個(gè)方程，解四個(gè)未知量（ v1 、v2 、v 和），是可行的。推薦解方程的步驟如1、兩式用 v2替代 v1和 v，代入式，解值，得：tg = 1/4173、將 v1 、v 的替代式代入式解 v2即可。結(jié)果：3gL(2 2)202、在回到、兩式，得：5 v1 =v

33、2 , v =3（學(xué)生活動(dòng)）思考：球形鉸鏈觸地前一瞬，左球、鉸鏈和右球的速度分別是多 少？解：由兩桿不可形變，知三球的水平速度均為零，為零。一個(gè)能量方程足以 解題。答： 0 、 2gL 、0（學(xué)生活動(dòng)）思考：當(dāng)兩桿夾角為 90°時(shí)，右邊小球的位移是多少？ 解：水平方向用“反沖位移定式” ，或水平方向用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律。32答：L8進(jìn)階應(yīng)用：在本講模型“四、反沖”的“進(jìn) 階應(yīng)用”（見(jiàn)圖 8）中，當(dāng)質(zhì)點(diǎn) m滑到方位角時(shí) （未 脫離半球），質(zhì)點(diǎn)的速度 v 的大小、方向怎樣？解說(shuō)：此例綜合應(yīng)用運(yùn)動(dòng)合成、動(dòng)量守恒、機(jī)械1 m( v12x + v212y)三個(gè)方程，解三個(gè)未知量v2 、v1x、v1y

34、）是可行的，但數(shù)學(xué)運(yùn)算繁復(fù)，推薦步能守恒知識(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算比較繁復(fù)，是一道考查學(xué)生各種能力和素質(zhì)的難題。 據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成，有：v點(diǎn) 半球 = v 點(diǎn) 地 + v 地 半球 = v點(diǎn) 地 - v 半球 地其中 v半球 地必然是沿地面向左的， 為了書(shū)寫(xiě)方便， 我們?cè)O(shè)其大小為 v2 ；v點(diǎn) 半球必然是沿半球瞬時(shí)位置切線方向（垂直瞬時(shí)半徑）的，設(shè)大小為 v 相 。根據(jù)矢量減 法的三角形法則，可以得到 v點(diǎn) 地 （設(shè)大小為 v1）的示意圖，如圖 16所示。同時(shí)，我們將 v1的 x、y 分量 v1x和 v1y 也描繪在圖中由圖可得： v1y = (v2 + v 1x) tg 質(zhì)點(diǎn)和半球系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，有：

35、Mv2 = mv 1x對(duì)題設(shè)過(guò)程，質(zhì)點(diǎn)和半球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：mgR(1-cos ) =1 Mv22 +12mv1 ，即：12mgR(1-cos ) =Mv 22 +驟如下1、由、式得：Mv2 ，mv 1y = ( m M tg ) v 2m2、代入式解 v2，得：v2 =M22m 2gR(1 cos )2 Mm (M m)2 tg23、由 v12 = v12x +v12y 解v1 ，得：v1 =222gR(1 cos )(M 2 2Mm sin 22M 2 Mm22 m sin ) 2 m(M m)sinv1的方向：和水平方向成角， = arctg v1y = arctg （ M mtg

36、） v1xM這就是最后的解。一個(gè)附屬結(jié)果：質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球的瞬時(shí)角速度v相2g(m M)(1 cos )2 。R(M msin2 )八、動(dòng)量和能量的綜合（二）物理情形：如圖 17 所示，在光滑的水平面上，質(zhì)量為 M = 1 kg 的平板車(chē)左端 放有質(zhì)量為 m = 2 kg 的鐵塊，鐵塊與車(chē)之間的摩擦因素 = 0.5 。開(kāi)始時(shí)，車(chē)和鐵 塊以共同速度 v = 6 m/s 向右運(yùn)動(dòng)，車(chē)與右邊的墻壁發(fā)生正碰，且碰撞是彈性的。 車(chē)身足夠長(zhǎng)，使鐵塊不能和墻相碰。重力加速度 g = 10 m/s2 ，試求： 1、鐵塊相對(duì)車(chē)運(yùn)動(dòng)的總路程； 2、平板車(chē)第一次碰墻后所走的總路程模型分析：本模型介 紹有兩對(duì)相互作用時(shí)的 處理常規(guī)。能量關(guān)系介 紹摩擦生熱定式的應(yīng) 用。由于過(guò)程比較復(fù)雜， 動(dòng)量分析還要輔助以動(dòng)力