奇偶性與單調性及典型例題

1、奇偶性與單調性及典型例題函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一,考查內容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義,掌握判定方法,正確熟悉單調函數與奇偶函數的圖象.難點磁場( )設a>0,f(x)= 是R上的偶函數,(1)求a的值；(2)證實：f(x) 在(0 , +8) 上是增函數.案例探究例1函數f(x)在(一1, 1)上有定義,f()= - 1,當且僅當0<x< 1時f(x)<0,且對 任意 x、y ( 1,1)都有 f(x)+f(y)=f(),試證實：(1) f(x)為奇函數；(2)f(x)在(一1 , 1)上單調遞減.命題意圖：此題主要考查函數的

2、奇偶性、單調性的判定以及運算水平和邏輯推理水平.屬*題目.知識依托：奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想錯解分析：此題對思維水平要求較高,如果"賦值"不夠準確,運算技能不過關,結果很難獲得.技巧與方法：對于(1),獲得f(0)的值進而取x= y是解題關鍵；對于(2),判定的范 圍是焦點.證實：(1)由 f(x)+f(y)=f(), 令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y= x,得 f(x)+f( x)=f()=f(0)=0.-f(x)= f( x). f(x)為奇函數.(2) 先證f(x)在(0 , 1)上單調遞減.令 0<x1<x2<1,那么 f

3、(x2) f(x1)=f(x2) f( x1)=f(). .0<x1<x2<1, . x2 x1>0,1 x1x2>0, >0,又(x2 x1) (1 x2x1)=(x2 1)(x1 + 1)<0x2 x1<1 x2x1,- 0<<1,由題意知 f()<0 ,即 f(x2)<f(x1). f(x)在(0 , 1)上為減函數,又f(x)為奇函數且f(0)=0. f(x)在(1 , 1)上為減函數.例2設函數 f(x)是定義在R上的偶函數,并在區(qū)間(一8 ,0)內單調遞增,f(2a2+a+1)<f(3a2 2a+1).求

4、a的取值范圍,并在該范圍內求函數y=()的單調遞減區(qū)間.命題意圖：此題主要考查函數奇偶性、單調性的根本應用以及對復合函數單調性的判定方法.此題屬于級題目知識依托：逆向熟悉奇偶性、單調性、指數函數的單調性及函數的值域問題錯解分析：逆向思維受阻、條件熟悉不清楚、復合函數判定程序紊亂技巧與方法：此題屬于知識組合題類,關鍵在于讀題過程中對條件的思考與熟悉,通過此題會解組合題類,掌握審題的一般技巧與方法解：設0<x1<x2,那么一x2< x1<0, .f(x)在區(qū)間(一8 ,0)內單調遞增, f( x2)<f( x1), f(x)為偶函數,f( x2)=f(x2),f( x

5、1)=f(x1), f(x2)<f(x1). f(x)在(0 , +8)內單調遞減.由 f(2a2+a+1)<f(3a2 2a+1)得：2a2+a+1>3a2 2a+1 .解之,得 0<a<3.又 a2- 3a+1=(a )2 .函數y=()的單調減區(qū)間是:,+8結合0<a<3,得函數y=()的單調遞減區(qū)間為:,3).錦囊妙計本難點所涉及的問題及解決方法主要有：(1) 判斷函數的奇偶性與單調性假設為具體函數,嚴格根據定義判斷,注意變換中的等價性假設為抽象函數,在依托定義的根底上,用好賦值法,注意賦值的科學性、合理性.同時,注意判斷與證實、討論三者的區(qū)別

6、,針對所列的"磁場"及"練習"認真體會,用好數與形的統(tǒng)一.復合函數的奇偶性、 單調性.問題的解決關鍵在于： 既把握復合過程,又掌握根本函數.(2) 增強逆向思維、數形統(tǒng)一.正反結合解決根本應用題目,下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調性的應用.殲滅難點練習一、選擇題1.( )卜列函數中的奇函數是()A.f(x)=(x 1)B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=2.( )函數 f(x)=的圖象()A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱C.關于原點對稱D.關于直線x=1對稱二、填空題3.( )函數f(x)在R上為增函數,那么 y=f(|x+1|)的一個單調遞減區(qū)間

7、是4. ( )假設函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 滿足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0<x1<x2),11,在x2,+ 8上單調遞增,貝J b的取值范圍是 .三、解做題5. ( )函數 f(x)=ax+ (a>1).(1) 證實：函數f(x)在(一1, +8)上為增函數.(2) 用反證法證實方程 f(x)=0沒有負數根.6. ( )求證函數f(x)=在區(qū)間(1 , +8)上是減函數.7. ( )設函數f(x)的定義域關于原點對稱且滿足：(i)f(x1 x2)=;(ii) 存在正常數 a使f(a)=1.求證：f(x)是奇函數.f(x)是周期函數,且有一個周期

8、是4a.8. ( )函數f(x)的定義域為 R,且對mr n R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f( 一 )=0,當 x> 一時,f(x)>0.(1) 求證：f(x)是單調遞增函數；(2) 試舉出具有這種性質的一個函數,并加以驗證 參考答案難點磁場(1) 解：依題意,對一切 x R,有f(x)=f( x),即+aex.整理,得(a )(ex )=0.因此,有 a =0,即 a2=1,又 a>0, - a=1(2) 證法一：設 0 v x1 v x2,貝U f(x1) f(x2)=由 x1>0,x2>0,x2>x1, . >0,1 ev 0,

9、 f(x1) f(x2) v 0,即 f(x1) v f(x2) f(x)在(0,+ 8)上是增函數證法二：由 f(x)=ex+e x,得 f ' (x)=ex e x=e x - (e2x 1).當 x £ (0,+ °°)時,e 一x>0,e2x - 1>0.此時f ' (x)>0,所以f(x)在0, +8 )上是增函數.殲滅難點練習一、1.解析：f( x)= = f(x),故 f(x)為奇函數.答案：C2.解析：f( x)= - f(x),f(x)是奇函數,圖象關于原點對稱.答案：C二、3.解析：令t=|x+1|,貝U t在

10、(8 , 一 1上遞減,又y=f(x)在R上單調遞增, y=f(|x+1|) 在(8 , 1 上遞減.答案：(00 , 14. 解析：. f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax(x x1)(x x2)=ax3 a(x1+x2)x2+ax1x2x ,b= a(x1+x2),又 f(x)在x2,+ 8單調遞增,故 a>0.又知 0v x1 v x,得 x1+x2>0,b= a(x1+x2) v 0.答案：(00 ,0)三、5.證實：(1 )設1v x1v x2 v +8,那么 x2- x1>0, >1 且>0,. >0,又 x1

11、+ 1>0,x2+1>0>0,于是 f(x2) f(x1)=+ >0f(x)在(1 , +8)上為遞增函數.(2)證法一：設存在 x0v 0(x0乒1)滿足f(x0)=0,那么且由0VV 1得0V V 1,即V x0 v 2與x0 v 0矛盾,故f(x)=0沒有負數根.證法二：設存在 x0 V 0(x0 乒1)使 f(x0)=0,假設1v x0V 0,那么 V 2, V 1, . .f(x0) V 1 與 f(x0)=0 矛盾,假設 x0V 1,貝u>0, >0 ,f(x0)>0 與 f(x0)=0 矛盾,故方程 f(x)=0 沒有負數根.6. 證實:

12、- x 乒 0, f(x)=,設 1 v x1 v x2 v +8,貝J. f(x1)>f(x2), 故函數f(x)在(1 , +勺上是減函數.(此題也可用求導方法解決)7. 證實：(1 )不妨令 x=x1 x2,那么 f( x)=f(x2 x1)=f(x1 x2)= f(x).- f(x)是奇函數.(2 )要證 f(x+4a)=f(x),可先計算 f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=f x ( a)=.- f(x+4a)=f(x+2a)+2a =f(x),故 f(x)是以 4a 為周期的周期函數.8. (1 )證實：設 x1 v x2,那么 x2 x1 >-,由題意 f(

13、x2 x1 )>0, f(x2) f(x1)=f(x2 x1)+x1 : - f(x1)=f(x2 x1)+f(x1) 1 f(x1)=f(x2 x1)1=f(x2 x1)+f( 一) 1=f (x2 x1) - >0, f(x)是單調遞增函數.解：f(x)=2x+1.驗證過程略.難點8奇偶性與單調性(二)函數的單調性、奇偶性是高考的重點和熱點內容之一,特別是兩性質的應用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學會怎樣利用兩性質解題,掌握根本方法,形成應用意識 難點磁場()偶函數f(x)在(0 , + 8)上為增函數,且f(2)=0,解不等式 flog2(x2+5x+4) : > 0.案例

14、探究例1奇函數f(x)是定義在(一3, 3)上的減函數,且滿足不等式f(x 3)+f(x2一3)<0,設不等式解集為 A, B=AUx|1 < x< ,求函數g(x)= 3x2+3x 4(x C B)的最大值.命題意圖：此題屬于函數性質的綜合性題目,考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的水平,屬級題目知識依托：主要依據函數的性質去解決問題.錯解分析：題目不等式中的f"號如何去掉是難點,在求二次函數在給定區(qū)間上的最值問題時,學生容易漏掉定義域.技巧與方法：借助奇偶性脫去f號,轉化為xcos不等式,利用數形結合進行集合運算 和求最值.解：由且x乒0,故0<x&l

15、t;,又 f(x)是奇函數,f(x 3)< f(x2 3)=f(3 x2),又 f(x)在(3, 3)上是減函數, x 3>3 x2,即 x2+x 6>0,解得 x>2 或 x< 3,綜上得 2<x<,即 A=x|2<x<, B=X x|1 < x< =x|1 < x<,又 g(x)= 3x2+3x 4=- 3(x )2 -知：g(x)在 B 上為 減函數,g(x)max=g(1)= 4.例2奇函數f(x)的定義域為R,且f(x)在0, +8)上是增函數,是否存在實 數m,使f(cos2 0 3)+f(4m 2mco

16、s 0 )>f(0)對所有0 0,都成立？假設存在,求出符合 條件的所有實數 m的范圍,假設不存在,說明理由.命題意圖：此題屬于探索性問題,主要考查考生的綜合分析水平和邏輯思維水平以及運 算水平,屬題目 知識依托：主要依據函數的單調性和奇偶性,利用等價轉化的思想方法把問題轉化為二次函數在給定區(qū)間上的最值問題.錯解分析：考生不易運用函數的綜合性質去解決問題,特別不易考慮運用等價轉化的思想方法.技巧與方法：主要運用等價轉化的思想和分類討論的思想來解決問題解：. f(x)是R上的奇函數,且在0, +8)上是增函數,f(x)是R上的增函數.于是 不等式可等價地轉化為f(cos2 0 3)>

17、f(2mcos 0 4m),即 cos2 0 3>2mcos. 4m,即 cos2 0 mcos.+2n 2>0.設t=cos.,那么問題等價地轉化為函數g(t) =t2 mt+2m 2=(t )2 +2葉2在0, 1 上的值恒為正,又轉化為函數g(t)在0, 1上的最小值為正. 當 <0,即 m<0時,g(0)=2m 2>0m>1 與 m<0不符；當 0VV 1 時,即 0< n2 時,g(m)= +2m 2>04-2<m<4+2, ,4 2<m 2.當 >1,即 m>2時,g(1)=m 1>0m>

18、;1. m>2綜上,符合題目要求的m的值存在,其取值范圍是m> 2.錦囊妙計本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：(1)運用奇偶性和單調性去解決有關函數的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的水平,并具有綜合分析問題和解決問題的水平(2)應用問題.在利用函數的奇偶性和單調性解決實際問題的過程中,往往還要用到等價轉化和數形結合的思想方法,把問題中較復雜、抽象的式子轉化為根本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數的單調性求實際應用題中的最值問題殲滅難點練習一、選擇題.()設 f(x)是(一8,+ 8)上的奇函數,f(x+2)= f(x),當 0V x< 1 時,f(x

19、)=x, 那么f(7.5)等于()A.0.5B. 0.5C.1.5D. -1.5?.( )定義域為(一1, 1)的奇函數 y=f(x)又是減函數,且 f(a - 3)+f(9 - a2)<0, 那么a的取值范圍是()A.(2 , 3)B.(3 ,)C.(2 , 4)D.( 2, 3)二、填空題3. ( )假設f(x)為奇函數,且在(0 , +8)內是增函數,又 f( 3)=0,貝U xf(x)<0 的解集為.4. ( )如果函數f(x)在R上為奇函數,在(1,0)上是增函數,且f(x+2)= f(x),試比擬f(),f(),f(1)的大小關系 .三、解做題5. ( )f(x)是偶函

20、數而且在(0 , +8)上是減函數,判斷 f(x)在(8 ,0) 上的增減性并加以證實.6. ( )f(x)= (a £ R)是R上的奇函數,(1) 求a的值；(2) 求f(x)的反函數f 1(x);(3) 對任意給定的k R+,解不等式f 1(x)>lg.7. ( )定義在(00 ,4 上的減函數 f(x)滿足f(m sinx) < f( +cos2x)對任意 x R都成立,求實數 m的取值范圍.8. ( )函數 y=f(x)= (a,b,c C R,a>0,b>0)是奇函數,當 x>0 時,f(x)有 最小值2,其中b e N且f(1)<.(1

21、) 試求函數f(x)的解析式；(2) 問函數f(x)圖象上是否存在關于點(1 , 0)對稱的兩點,假設存在,求出點的坐標；假設 不存在,說明理由.參考答案難點磁場解：f(2)=0,原不等式可化為f log2(x2+5x+4) : > f(2).又f(x)為偶函數,且f(x)在(0 , +8)上為增函數, f(x)在(一8 ,0)上為減函數且 f( 2)=f(2)=0不等式可化為log2(x2+5x+4) > 2或 log2(x2+5x+4) <- 2由得x2+5x+4 > 4x< 5 或 x >0由得 0 v x2+5x+4 < 得 V xv 4 或一

22、1v x<由得原不等式的解集為(x|x < 5 或v x< 4 或一1 v xV或 x> 0殲滅難點練習一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)= f(5.5)= f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)= f(1.5)= 一f( - 0.5+2)=f( 0.5)= f(0.5)= 0.5.答案：B2.解析：. f(x)是定義在(1, 1)上的奇函數又是減函數,且 f(a 3)+f(9 a2) v 0. f(a 3) v f(a2 9).a C (2,3).答案：A二、3.解析：由題意可知：xf(x) V 0 x ( 3,0) U (0,3)答案：(一3,

23、0) U (0 , 3)4.解析：f(x)為R上的奇函數 f()= f( 一 ),f()= f( 一 ),f(1)= f( 1),又 f(x)在(1 , 0)上是增函數且一> 一>-1.- f( - )>f( - )>f( -1), - f() < f() vf.答案：f() V f() V f(1)三、5.解：函數f(x)在(8 ,0)上是增函數,設 x1 v x2 v 0,由于f(x)是偶函數,所 以f( x1)=f(x1),f( x2)=f(x2),由假設可知一x1> x2>0,又 f(x) 在(0 , +8)上是減函數,于是有f( x1) v

24、f( x2),即f(x1) v f(x2),由此可知,函數f(x)在(8 ,0)上是增 函數.6. 解：(1 ) a=1.(2) f(x)= (x£ R)f -1(x)=log2 ( 1 v xv 1.(3) 由 log2>log2log2(1 x) vlog2k, .當 0vkv 2 時,不等式解集為 (x|1 kvxv 1; 當k>2時,不等式解集為x| - 1 vxv 1.7. 解：,對x C R恒成立,: ,3 U .8. 解：(1) - f(x)是奇函數,f( x)= f(x),即- c=0,a>0,b>0,x>0, f(x)= >2,當

25、且僅當 x=時等號成立,于是 2=2, / a=b2,由 f(1)v得v即v , . 2b2 5b+2v 0,解得v bv 2,又 b N, / b=1, / a=1, . . f(x)=x+.(2)設存在一點(x0,y0)在y=f(x)的圖象上,并且關于(1 , 0)的對稱點(2 x0, y0)也 在y=f(x)圖象上,那么消去 y0 得 x02 2x0 1=0,x0=1 土 . y=f(x)圖象上存在兩點(1+,2),(1, 一 2)關于(1 , 0)對稱.函數的單調性、奇偶性是高考的重點和熱點內容之一,特別是兩性質的應用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學會怎樣利用兩性質解題,掌握根本方法,形成

26、應用意識難點磁場( )偶函數f(x)在(0 , + 8 )上為增函數,且f(2)=0,解不等式f log2(x2+5x+4) : > 0.案例探究例1奇函數f(x)是定義在(3, 3)上的減函數,且滿足不等式f(x 3)+f(x2 3)<0, 設不等式解集為 A, B=AUx|1 < x< ,求函數g(x)= 3x2+3x 4(x B)的最大值.命題意圖：此題屬于函數性質的綜合性題目,考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的水平,屬級題目.知識依托：主要依據函數的性質去解決問題.錯解分析：題目不等式中的“f號如何去掉是難點,在求二次函數在給定區(qū)間上的最值問題時,學生容易

27、漏掉定義域.技巧與方法：借助奇偶性脫去“f號,轉化為xcos不等式,利用數形結合進行集合運算和求最值.解：由且x乒0,故0<x< ,又f(x)是奇函數,f(x 3)< f(x2 3)=f(3 x2),又 f(x)在(3, 3)上是減函數,x 3>3 x2,即 x2+x 6>0,解得 x>2 或 x< 3,綜上得 2<x< ,即 A=x|2<x< ,. .B=AU x|1 < x< =x|1 < x< ,又 g(x)= 3x2+3x 4=- 3(x )2 知：g(x)在 B 上為 減函數,g(x)max=g

28、(1)= 4.例2奇函數f(x)的定義域為R,且f(x)在0, +8)上是增函數,是否存在實數 m, 使f(cos2 0 3)+f(4m 2mcos.)>f(0)對所有0 0,:都成立？假設存在,求出符合條件 的所有實數m的范圍,假設不存在,說明理由.命題意圖：此題屬于探索性問題,主要考查考生的綜合分析水平和邏輯思維水平以及運算能力,屬題目.知識依托：主要依據函數的單調性和奇偶性,利用等價轉化的思想方法把問題轉化為二次函數在給定區(qū)間上的最值問題.錯解分析：考生不易運用函數的綜合性質去解決問題,特別不易考慮運用等價轉化的思想方法.技巧與方法：主要運用等價轉化的思想和分類討論的思想來解決問題

29、解：. f(x)是R上的奇函數,且在0, +8)上是增函數,f(x)是R上的增函數.于是不等式可等價地轉化為 f(cos2 0 3)>f(2mcos 0 4m),即 cos2 0 3>2mcos. 4m,即 cos2 0 mcos 0 +2n 2>0.設t=cos 0,那么問題等價地轉化為函數g(t) =t2 mt+2m 2=(t )2 +2m-2在0, 1上的值恒為正,又轉化為函數g(t)在0, 1上的最小值為正. 當 <0,即 m<0時,g(0)=2m 2>0 m>1 與 m<0不符；當 0V < 1 時,即 0v mK 2 時,g(m

30、)= +2m 2>04 2 <m<4+2 ,"4 2 <m< 2.當 >1,即 m>2時,g(1)=m 1>0 m>1. ,. m>2綜上,符合題目要求的m的值存在,其取值范圍是m» 2 .錦囊妙計本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：(1) 運用奇偶性和單調性去解決有關函數的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的水平,并具有綜合分析問題和解決問題的水平(2) 應用問題.在利用函數的奇偶性和單調性解決實際問題的過程中,往往還要用到等價轉化和數形結合的思想方法,把問題中較復雜、抽象的式子轉化為根本的簡單的式

31、子去解決.特別是：往往利用函數的單調性求實際應用題中的最值問題殲滅難點練習一、選擇題.( )設 f(x)是(一8,+ OO)上的奇函數,f(x+2)= f(x),當 0V x< 1 時,f(x)=x,那么 f(7.5)等于()A.0.5B, 0.5C.1.5D, 1.5?.( )定義域為(1, 1)的奇函數y=f(x)又是減函數,且f(a - 3)+f(9 - a2)<0, 那么a的取值范圍是()A.(2 , 3)B.(3 ,)C.(2 , 4)D.( 2, 3)二、填空題3. ( )假設f(x)為奇函數,且在(0 , +8)內是增函數,又f( 3)=0,那么xf(x)<0

32、的解集 為.4. ( )如果函數f(x)在R上為奇函數,在(1 , 0)上是增函數,且 f(x+2)= f(x),試比擬f( ),f( ),f(1)的大小關系 .三、解做題5. ( )f(x)是偶函數而且在(0 , +8)上是減函數,判斷 f(x)在(一8 ,0)上的 增減性并加以證實.6. ( )f(x)= (a £ R)是R上的奇函數,求a的值； 求f(x)的反函數f 1(x); 對任意給定的k R+,解不等式f 1(x)>lg .7. ( )定義在(8 ,4 上的減函數 f(x)滿足f(m sinx) < f( +cos2x)對任意x C R都成立,求實數 m的取值

33、范圍.8. ( )函數 y=f(x)= (a,b,c C R,a>0,b>0)是奇函數,當 x>0 時,f(x)有最小 值2,其中b £ N且f(1)< .試求函數f(x)的解析式； 問函數f(x)圖象上是否存在關于點(1 , 0)對稱的兩點,假設存在,求出點的坐標；假設不存 在,說明理由.參考答案難點磁場解：f(2)=0,原不等式可化為f : log2(x2+5x+4) : > f(2).又f(x)為偶函數,且f(x)在(0 , +8)上為增函數, f(x)在(一8 ,0)上為減函數且 f( 2)=f(2)=0不等式可化為log2(x2+5x+4) > 2或 log2(x2+5x+4) <- 2由得x2+5x+4 > 4x< 5 或 x> 0由得 0 vx2+5x+4 < 得 < xv 4 或一1 V x<由得原不等式的解集為(x|x < 5 或 < x< 4 或一1v x< 或 x >