基本不等式教學設計與反思

1、“根本不等式教學設計與教學反思一、教材背景分析1.教材的地位和作用本節(jié)內(nèi)容是在系統(tǒng)的復習了不等關(guān)系和不等式性質(zhì),掌握了不等式性質(zhì)的根底上展開的. 教材通過趙爽弦圖回憶根本不等式,在代數(shù)證實的根底上,通過“探究引導學生回憶根本 不等式的兒何意義,并給出在解決函數(shù)最值和實際問題中應用,在知識體系中起著承上啟下 的作用；從知識的應用價值上看,根本不等式是從大量數(shù)學問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一 個模型,在公式推導中所蘊涵的數(shù)學思想方法如數(shù)形結(jié)合、抽象歸納、演繹推理、分析法 證實等在各種不等式的研究中均有著廣泛的應用；從內(nèi)容的人文價值上看,根本不等式的 探究、推導和應用需要學生觀察、分析、猜測、歸納和概

2、括等,有助于培養(yǎng)學生思維水平和 探索精神,是培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合意識和提升數(shù)學水平的良好載體.本節(jié)是復習課,不僅應讓學生進一步理解概念,還要掌握應用根本不等式求最值,體會 根本不等式在實際生活中的指導作用.2. 學情分析在認知上,學生已經(jīng)掌握了不等式的根本性質(zhì),并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進行數(shù)、式的 大小比擬,也具備了一定的平面兒何的根本知識.如何讓學生再熟悉“根本二字,是本節(jié)學習 的前提.事實上,該不等式反映了實數(shù)的兩種根本運算即加法和乘法所引出的大小變化, 這一本質(zhì)不僅反映在其代數(shù)結(jié)構(gòu)上,而且也有兒何意義,由此而生發(fā)出的問題在練習學生的 代數(shù)推理水平和兒何直觀水平上都發(fā)揮了良好的作用.因此,必須從

3、根本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu) 和兒何意義兩方面入手,才能讓學生深刻理解它的本質(zhì).另外,在用根本不等式解決最值時,學生往往容易無視根本不等式使用的前提條件和等 號成立的條件,因此,在教學過程中,應借助辨誤的方式讓學生充分領會根本不等式成立的 三個限制條件一正二定三相等在解決最值問題中的作用.3、教學重難點：教學重點：用數(shù)形結(jié)合的思想理解根本不等式,并從不同角度回憶和探索根本不等式的證實過程；用 根本不等式解決一些簡單的最值問題.教學難點：回憶在幾何背景下抽象出根本不等式的過程：根本不等式中等號成立的條件；應用根本不 等式解決實際問題.二、教學目標1、利用“趙爽弦圖回憶重要不等式、根本不等式,再利用教材中

4、的“探究回憶根本不等 式的兒何意義,通過根本不等式的回憶,進一步讓學生體會和感悟形數(shù)統(tǒng)一的思想方法；2、通過對教材“探究再探究,引導學生拓展根本不等式,體會根本不等式的應用；3、通過對教材中例題的變式教學,讓學生體會和感悟應用根本不等式求最值應該注意的問題, 解決根本不等式在實際中的應用；4、利用電腦屏幕的情景,激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情,進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學應用水平；5、通過學生自主構(gòu)建知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖,深化對根本不等式的理解.三、教學對策本節(jié)作為根本不等式的復習課,一是借助弦圖和兒何畫板演示,讓學生回憶根本不等式 的概念形成過程,體驗根本不等式模型的觀察、分析、猜測和概括等系列思維活動過程,復

5、習根本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征,體會數(shù)學抽象思維的方法；二是通過根本不等式的證實方法 的探索和不同角度的欣賞,學生能用文字語言、符號語言和圖形語言表述根本不等式的結(jié)構(gòu) 特點,歸納得出根本不等式中等號成立的條件及其使用條件,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方 法；三是要引導學生用根本不等式解決常見的最值和實際問題,進一步體驗數(shù)學建模的過程;四、教學過程一溫故知新,回憶根本不等式.情景引入：【投影顯示】趙爽弦圖.問題1、請同學們重溫“趙爽弦圖,比擬正方形ABCD的面積S和里面的四個小三角形面積之 和S,的大小,看可以得到怎樣的不等關(guān)系？通過對“趙爽弦圖的觀察,使學生由形識數(shù),從兒何圖形中得到重要不等式的代數(shù)形

6、式: a2+br>2ab 其中,.,腿R,當且僅當,定b時,取得等號. 問題2、在重要不等式中,用石代替抑代替b,可以得到什么數(shù)學結(jié)論？2問題3、那么在使用根本不等式時,對實數(shù)a、b有什么要求呢？D其中,u,beR在數(shù)學中,我們將屈稱之為是a、b的“兒何平均數(shù),/ / 4而壬那么稱為是它們的“算術(shù)平均數(shù).A f B下面請大家翻開課本第98頁,看探究中的圖./, 、 /問題4、請問大家能否從圖中找出根本不等式中的:廊、M的幾何2E解釋？思考：它們之間的大小關(guān)系是否能夠在圖中表達出來？兒何畫板一趙爽弦圖問題5、讓D點動起來,請大家指出等號成立的條件.鏈接1：生：a.b e以數(shù)構(gòu)形,讓學生在實

7、際圖形中感受根本不等式的兒何解釋.二探究“探究,利用根本不等式證實.鏈接2： |兒何畫板一單位圓中解讀根本不等式及其變形形式的兒何意義 問題6、過C做CE垂直與0D與E,過0做OF垂直于AB交圓.于F,連接FC,請大家計算DE和FC的長 度.剛剛我們計算出的牡和正,在數(shù)學中稱之為調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù).a + b V 2問題7、請大家比擬它們的大小關(guān)系,用不等號將里,應連接起來.由 DE<CD<OF<FC,-.+ a b問題8、在這個鏈狀不等式中,有三處等號,這三個等號能否同時成立呢？設計意圖：對圖形進行進一步分析,引導學生發(fā)現(xiàn)調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù).讓學生體會到 我們不僅能

8、以數(shù)構(gòu)形,尋找到數(shù)量關(guān)系的兒何解釋,更重要的是,對圖形的觀察分析可以以 形識數(shù),發(fā)現(xiàn)和完備我們的代數(shù)結(jié)論.問題9、當然,僅僅通過觀察得到圖形中的感性熟悉是不夠的,下面讓我們一起完成上面這個 不等式鏈的代數(shù)證實.問題10、首先請一個同學說說你的具體證實要分幾個步驟？設計意圖：在剛剛的探究過程中,我們對根本不等式的熟悉得到了拓展,并且對它的理解 在從由形到數(shù),由數(shù)到形的過程中,從感性熟悉上升到理性熟悉.三課本變式,利用均值不等式求最值.將課本翻開到第99頁的題目做一些修改,大家重新思考.對于例2,我們改為：變式1、某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池,池的深 度一定平

9、面圖如下圖,如果池四周圍墻建造單價為400元/米,中間兩道隔墻建造單價為248元/米,池底建造單價為80元/米J水池所有墻的厚度忽略不計.1試設計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價；2假設由于地形限制,該池的長和寬都不能超過16米,試設計污水池的長和寬,使得總造價最低,并求出最低總造價.設計意圖：通過不等式在例題和變式中的應用,進一步加深了學生對根本不等式的內(nèi)涵及 外延的理解,培養(yǎng)了學生發(fā)散與收斂思維的水平；四歸納總結(jié),形成知識網(wǎng)絡圖.五方法提煉,數(shù)學思想升華.六、教學反思形數(shù)結(jié)合是我們熟悉數(shù)學的重要思想.本課的設計思路是："從'趙爽弦圖'引出根本 不

10、等式一一利用代數(shù)知識證實根本不等式一一從兒何和代數(shù)兩個角度開掘根本不等式的變形 形式一一數(shù)學建模,利用根本不等式求最值一一實際應用,利用根本不等式指導生活實踐. 從兒何圖形中提煉和挖掘數(shù)學知識,完成從感性熟悉逐步上升為以抽象概括為主的理性熟悉, 然后指導生活實踐.在整個設計過程中,始終表達以學生為中央的教學理念,在學生已有的 認知根底上進行設問和引導,關(guān)注學生的認知過程,為增強學生學習興趣,在設計之初精心 安排“趙爽弦圖的背景,同時在后續(xù)探究中,不斷的讓學生從單位圓中發(fā)現(xiàn)根本不等式的變 形形式,到后面讓學生用代數(shù)知識證實不等式鏈,讓學學生探究問題的過程中既復習了數(shù)學 知識,乂培養(yǎng)了他們形數(shù)結(jié)合的數(shù)學思想；在思維拓展中,利用課本變式,引導學生用根本 不等式求最值,練習了學生的建模思想,體會了不等式的應用；最后圍繞電腦屏幕問題,讓 學生學以致用,真正感受到數(shù)學無究的魅力所在；以上種種正好表達出新課程的新理念.成功之處：在本節(jié)課教學中,一