汪偉權不等式因式分解與分式

1、不等式、因式分解與分式講義目錄第一章 不等式.3第二章 因式分解.8第一節(jié) 提取公因式. .8第二節(jié) 提取公因式和公式法.10第三節(jié) 分組分解法.12第四節(jié) 十字交叉法.13第五節(jié) 待定系數法.15第六節(jié) 因式分解與綜合除法及輪換對稱.17第七節(jié) 拆項添項法與綜合除法.19第八節(jié) 因式分解計算題與綜合應用.20第三章 分式.23分式基本性質.23分式乘除法.24分式加減法.26可化為一元一次方程的分式方程.30分式的簡便運算.31分式方程.35第一章 一元一次不等式和不等式組一、知識點撥1、不等式的三條基本性質不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以（

2、或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.其中性質是極易疏忽和出錯的地方，這除了受等式性質的影響外，還有不等式前兩個性質的影響.2在數軸上表示不等式的解集應注意的地方用數軸表示一元一次不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定邊界點，二是定方向，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集為空心點；相對于邊界而言，“小于向左，大于向右”.二、典例選講例1：用不等號填空：（1）若a<b，則 ；（2）若，則x 3；（3）若，則ac bc；（4）若，c<0，則 0.例2：解下列不等式，并把不等式的解集用數軸表示出來：（1）；（2）例3：解不等式組，

3、并把不等式組的解集用數軸表示出來：（1）（2）例4：求不等式組的整數解.例5：求適合下列混合組的所有正整數解例6：把若干個蘋果分給幾只猴子，若每只猴分3個，則余8個；每只猴分5個，則最后的一只猴分得的數不足5個，問共有多少只猴子？多少個蘋果？提示：若設有y個蘋果，x只猴子，則關鍵是理解“每只猴分5個，則最后一只猴分得的數不足5個”這句話的含義，此話即蘋果數多于、且少于5x個.例7：某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件，已知生產一件A種產品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利700元；生產一件B種產品需用甲種原料4千克，乙種原料10

4、千克，可獲利1200元.（1）按需求安排A、B兩種產品的生產件數有哪向種方案？請你設計出來.（2）第（1）小題中哪種方案獲利最大？最大利潤是多少？提示：這是一道具有實際應用意義的開放題，安排生產方案往往運用不等式的解確定考慮范圍.隨堂練習1、不等式組的解在數軸上可表示為（ ）2、 解不等式（組），并把不等式（組）的解集用數軸表示出來；3已知m是整數且，關于x的方程組有整數解，求的值。4、已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且yx+9，試比較 5如果關于x的不等式組無解，則常數a的取值范圍是_6、已知，滿足 化簡 第二章因式分解第一節(jié)提取公因式【知識要點】 如果多項式的各項有公因式，

5、根據乘法分配律的逆運算，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據就是乘法分配律。多項式的公因式的確定方法是： （1）當多項式有相同字母時，取相同字母的最低次冪。 （2）系數和各項系數的最大公約數，公因式可以是數、單項式，也可以是多項式。下面我們通過例題進一步學習用提公因式法因式分解1. 把下列各式因式分解 （1） （2）2. 利用提公因式法簡化計算過程 例：計算3，求代數式的值。4證明：對于任意自然數n，一定是10的倍數。5因式分解6 7已知：（b、c為整數）是及的公因式，求b、c的值。8設x為整數，試判斷是質數還是

6、合數，請說明理由第二節(jié)提取公因式和公式法一、直接用公式:當所給的多項式是平方差或完全平方式時，可以直接利用公式法分解因式。例1、 分解因式：（1）x2-9； （2）9x2-6x+1。二、提公因式后用公式:當所給的多項式中有公因式時，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。例2、 分解因式：（1）x5y3-x3y5； （2）4x3y+4x2y2+xy3。三、系數變換后用公式:當所給的多項式不能直接利用公式法分解因式,往往需要調整系數,轉換為符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x2-25y2; (2)4x2-12xy2+9y4.四、指數變換后用公式:通過指數的變換將

7、多項式轉換為平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,應注意分解到每個因式都不能再分解為止.例4、 分解因式:(1)x4-81y4; (2)16x4-72x2y2+81y4.五、重新排列后用公式:當所給的多項式不能直接看出是否可用公式法分解時，可以將所給多項式交換位置，重新排列，然后再利用公式。例5、 分解因式：（1）-x2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y).六、整理后用公式:當所給的多項式不能直接利用公式法分解時，可以先將其中的項去括號整理，然后再利用公式法分解。例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1).七、連續(xù)用公式:當一次利用公式分解后，還能利用公式

8、再繼續(xù)分解時，則需要用公式法再進行分解，到每個因式都不能再分解為止。例7、 分解因式：(x2+4)2-16x2.8已知求的值9多項式分解因式的結果是（）(A) (B) (C)(D)10下列多項式中，能用公式法進行因式分解的是（）(A)(B) (C)(D)11 的結果為（） 12代數式的公因式為（）13是一個完全平方式，那么之值為（）4014填空： 15利用因式分解計算16 分解因式：分解因式：17（1）運用公式法計算：（2）用簡便方法計算：18 分解因式：（1） （2）第三節(jié)分組分解法知識要點：相當于把乘法分配律用多次。ac+bc+ad+bd=(a+b)(c+d)例題1例2例3第四節(jié)十字交叉法

9、【知識要點】 同學們都知道，型的二次三項式是分解因式中的常見題型，那么此類多項式該如何分解呢？觀察=，可知=。這就是說，對于二次三項式，如果常數項b可以分解為p、q的積，并且有p+q=a，那么=。這就是分解因式的十字相乘法。1因式分解2因式分解3因式分解。4 因式分解。5因式分解。5 因式分解。6 7 8 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）第五節(jié)待定系數法知識要點將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問

10、題的方法叫做待定系數法。1分解因式2分解因式3在關于x的二次三項式中，當時，其值為0；當時，其值為0；當時，其值為10，求這個二次三項式。4已知多項式的系數都是整數。若是奇數，證明這個多項式不能分解為兩個整系數多項式的乘積。5若a是自然數，且的值是一個質數，求這個質數。6 分解 7 若能分解為兩個一次因式的積，則m的值為8 鞏固練習1、分解因式_.2、若多項式能被 整除，則n=_.3、二次三項式當 時其值為-3，當 時其值為2，當 時其值為5 ，這個二次三項式是_.4、m, n是什么數時，多項式能被整除？5、多項式 能分解為兩個一次因式的積，則k=_.6、若多項式 能被整除，則_.7、若多項式

11、當2 時的值均為0，則當x=_時，多項式的值也是0。8、求證：不能分解為兩個一次因式的積。 第六節(jié)因式定理與綜合除法以及輪換對稱一知識要點：多項式的除法定理： 設、是兩個多項式，且，則恰有兩多項式及使得 成立，其中或。 (1).稱為被除式，稱為除式，稱為商式，稱為餘式。 (2).被除式除式×商式餘式。 (3).簡式：ABQR綜合除法：當除式g(x)=x-a時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。二例題1 2 已知x2+3x+6是多項式x4-6x3+mx2+nx+36的一個因式，試確定m,n的值，并求出它的其它因式。3 3x53x413x311x210x64567 8 9 10求證：四個連

12、續(xù)整數的積加上1，一定是一個奇數的平方.第七節(jié)拆項添項法與綜合除法1 x4+x2+1 2 a3+b3+c33abc3 a5+a+1 4 x4+x2y2+y4 5 x311x+20 6 x35x2+9x67 2x313x2+3 8 2x2+3xy9y2+14x3y+209 x3+4x29 10 a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+211 （x23x3）（x2+3x+4）8 12 （x+y）4+x4+y4 13 （2x7）(2x+5)(x29)91 14 a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2第八節(jié)因式分解的計算題與綜合應用 1 計算2 計算3 計算4計算5 計算 6 7已知x+y

13、=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值8已知a+b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值9 求m+n10 a,b,c,d均為正整數。且求d-a11已知且，則12 求證a=b=c=d13 求a:b:c14 求15對于、兩個整數，若整除，我們就記作：。已知正整數滿足，且，求滿足條件的所有可能的正整數的和。16 a22a4求2a37a22a12第三章分式分式的基本性質由分式的基本性質可知,當m0時思考：類比分數的基本性質，分式是否也有這樣的性質呢？（分式的分子與分母同時乘以（或除以）一個不為零的整式，分式的值不變。分式的基本性

14、質分式的分子與分母同時乘以（或除以）一個不為零的整式，分式的值不變。用式子表示為其中A、B、C是整式。（應用分式的基本性質時，不能忽略C0這一條件）根據分式的基本性質有與分數相類似，利用分式的基本性質可約去分子與分母的公因式，分式的值不變。這樣把一個分式的分子與分母的公因式約去的過程叫分式的約分。一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式。（分子與分母這兩面?zhèn)€整式都含有的公因式叫分子與分母的公因式。把異分母分式化成一原來分式相等的同分母分式，叫通分。例1 在分式中，字母a，b的值分別擴大為原來的2倍，則分式的值（ ）。A擴大為原來的2倍 B不變 C 縮小為原來的 D 縮小為原來的例2 根據分

15、式的基本性質填空1） 2） 3） 4）變式2 填空1） 2） 3） 4）例3 將下列分式化為最簡分式1） 2） 3）變式3 將下列分式化為最簡分式1） 2） 3）例4 將下列各組分式進行通分1）與 2） 3）變式4 通分1） 2）1 下列各式中，正確的是（ ）A B =0 C D 2 的最簡公分母為( )A B C x-1 D 3 不改變分式的值,使分子,分母最高次項系數正確的是( )A B C D 4 若,求 的值分式乘除法例1 計算1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 例2 先化簡后求值1) ,其中 2) 其中1 x克鹽溶解在a克水中,取這種鹽水m克,其中含鹽( )克A B C D 2

16、 大拖拉機m天耕地a公傾,小拖拉機n天耕地b公傾,大拖拉機工作效率是小拖拉機的( )倍A B C D 3 計算1) 2) 4 已知x,y,a,b是有理數,且=0,求代數式 的值分式加減法例1 某人用電腦錄入漢字的效率相當手抄的3倍,設手抄的效率相當a字/時.那么他錄入3000字比手抄少用多少時間?例2 某人從甲到乙有兩條路,每條路都是3km,其中第一條是平路,第二條是1km的上坡路,2km的下坡路,某人在上坡路的騎車速度為v km/h,在平路為2v km/h,在上坡路為3 v km/h.1) 走第二條路時,從甲到乙要多長時間?2) 他走哪條路花的時間少,少多少時間?例3 計算1) 2) 3)

17、例4 已知x0,則等于( )A B C D 例5計算1) 2) +13) 例6 化簡例7 已知 3a-2b=0,求代數式的值: 例8 已知a+b+c=0,求+3的值例9化簡例10已知（1）若的值是負數，那么應取什么實數/(2)是否存在整數，使的值是整數？若存在，求出整數；若不存在，說明理由。鞏固練習1、下列各式中，計算結果正確的是 。 2、化簡的結果為 。3、計算的結果為 。4、計算的結果為 。5、若等于它的倒數，則分式 ?？键c 21、 計算 綜合訓練2、 計算若，則A= .B= 。 考點 31、計算 2、若求：的值3、計算： 4、求：的值，其中5、先化簡，再求值：（1），其中 （2）其中6、

18、 7、已知求 8、稱為二階行列式，其運算法則為：根據以上信息求的值。 可化為一元一次方程的分式方程例1 下列各式中不是分式方程的是( )1) =3 2) =2 3) 4) =3例2 解方程:1) 2) 例3 如果方程有增根,求k的值例4若方程的解為負數,求a的取值范圍例5解方程:1) 2) 1 解方程: 1) 2) 2 若方程有根,求m的取值范圍3 當k為何值時,解關于x的方程 時,不會產生增根4 解方程 1) 2) 分式的簡便運算一 裂項法例1 計算例2計算二 寫成整式與真分式的和的形式例3三 換元法例4計算四 逐步通分法例5 1 計算1)2)(a,b.c兩兩不相等)3) 4) 5) 6)

19、7) 鞏固練習一夯實基礎1當分式有意義時，x的取值范圍是（ ）2設m=,則可化簡為_3若4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0(xyz0)，則的值等于（ ）4已知=其中A、B為常數.則4AB的值為( )5方程=的解是_.二綜合應用6已知:滿足方程,則代數式的值是_.7 已知:,則的值為_.8方程的正整數解是_.9 若關于的方程的解為正數,則的取值范圍是_.10若,則_.11已知與的和等于，求之值.12解方程:.13 為何值時，分式方程無解？分式方程1 方程的解是- 2 方程的解是-3 解方程 4 5 6 解方程7 方程的解是-8 解方程9 當a為何值時，的根為正數？10 關于x的方程的解為正數，則m額取值范圍是-11 =1的解為負數，則a的取值范圍是-11 當m我何值時，會產生增根？12 若干人買一箱煙，但有15人退出，余下每人要多分擔15元。付款時，又有5人不