行程問題柳卡圖

1、行程問題-柳卡圖1、關(guān)于柳卡圖在十九世紀(jì)的一次國際數(shù)學(xué)會議期間，有一天，正當(dāng)來自世界各國的許多著名數(shù)學(xué)家晨宴快要結(jié)束的時(shí)候，法國數(shù)學(xué)家柳卡向在場的數(shù)學(xué)家提出困擾他很久、自認(rèn)“最困難”的題目：“某輪船公司每天中午都有一艘輪船從哈佛開往紐約，并且每天的同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛。輪船在途中所花的時(shí)間來去都是7晝夜，而且都是勻速航行在同一條航線上。問今天中午從哈佛開出的輪船，在開往紐約的航行過程中，將會遇到幾艘同一公司的輪船從對面開來?”此題的敘述如下：每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛輪船在途中均要航行七天七夜試問：某條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前（

2、途中）能遇上幾艘從紐約開來的輪船？他先畫了如下一幅圖：這是一張運(yùn)行圖畫兩條平行線，一條直線表示哈佛，另一條表示紐約那么，從哈佛或紐約開出的輪船，可用圖中的兩組平行線簇來表示圖中每條線段分別表示每條船的運(yùn)行情況粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點(diǎn)即為與對方開來輪船相遇的情況從圖中可以看出，某天中午從哈佛開出的一條輪船（圖中用實(shí)線表示）會與從紐約開出的15艘輪船相遇（圖中用虛線表示）而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出發(fā)時(shí)遇到（從紐約剛到達(dá)哈佛），1艘是到達(dá)紐約時(shí)遇到（剛好從紐約開出），剩下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時(shí)間是每天中午和子夜如果不仔細(xì)思考

3、，可能認(rèn)為僅遇到7艘輪船這個(gè)錯誤，主要是只考慮以后開出的輪船而忽略了已在海上的輪船2、在多次相遇里的行程問題應(yīng)用多次相遇行程問題的必備工具柳卡圖。柳卡圖，也稱為折線圖，可以很好的解決復(fù)雜的行程問題。快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動過程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由相遇的地點(diǎn)求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少。其中相遇”兩字廣義上講，只要兩人在同一地點(diǎn)就算相遇，因次分為兩種情況，一種叫做迎面相遇（即我們平時(shí)說的相遇問題），一種叫做追及相遇（即我們平時(shí)說的追

4、及問題），一般題目說的相遇，我們默認(rèn)指的是迎面相遇，若題目說只要兩人在同一地點(diǎn)算做一次相遇，那么這時(shí)兩種情況都要算，那么柳卡圖怎么畫呢？ 例7】甲、乙兩人在一條長90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米如果他們同時(shí)分別從直路的兩端A、B出發(fā)，當(dāng)他們跑了12分鐘后，共相遇幾次？【解析】多次相遇，先計(jì)算甲乙兩人分別走一個(gè)全程需要的時(shí)間:甲需要30秒，乙需要45秒。而后作如下所示的柳卡圖，甲用實(shí)線表示，乙用虛線表示。在180秒內(nèi)，甲、乙共相遇5次，最后又回到出發(fā)的狀態(tài)。所以甲、乙共相遇了12÷（180÷60)×5=20（次）【補(bǔ)充】甲、乙兩人在一條

5、長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米如果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？首先，甲跑一個(gè)全程需要30÷1=30（秒），乙跑一個(gè)全程需要30÷0.6=50（秒）與上題類似，畫運(yùn)行圖如下（實(shí)線表甲，虛線表示乙，那么實(shí)虛兩線交點(diǎn)就是甲乙相遇的地點(diǎn)）：從圖中可以看出，甲跑5個(gè)全程時(shí)，乙剛好跑3個(gè)全程，各自到了不同兩端又重新開始，這正好是一周期150秒在這一周期內(nèi)兩人相遇5次，所以兩人跑10分鐘，正好是四個(gè)周期，也就相遇5×4=20（次）備注：一個(gè)周期內(nèi)共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇。以上