第八章歐氏空間

1、第九章 歐氏空間 教學(xué)目標(biāo)1理解歐氏空間、內(nèi)積、向量的長(zhǎng)度、夾角、正交和度量矩陣的概念。2理解正交組、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交矩陣的概念，理解n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性和標(biāo)準(zhǔn)正交基之間過(guò)渡矩陣的性質(zhì)，重點(diǎn)掌握施密特正交化方法。3理解歐氏空間同構(gòu)的定義和同構(gòu)的充要條件。4理解正交變換的定義及正交變換與正交矩陣的關(guān)系，掌握正交變換的幾個(gè)等價(jià)條件。5理解子空間的正交和正交補(bǔ)的概念，掌握正交補(bǔ)的結(jié)構(gòu)和存在唯一性。6理解對(duì)稱(chēng)變換的定義和對(duì)稱(chēng)變換與對(duì)稱(chēng)矩陣之間的關(guān)系，掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值的性質(zhì)，重點(diǎn)掌握用正交變換把實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣及實(shí)二次型化為對(duì)角形和標(biāo)準(zhǔn)形的方法。教學(xué)重難點(diǎn)歐氏空間的定義，求向量的長(zhǎng)度和

2、夾角的方法，施密特正交化方法，正交變換與正交矩陣的關(guān)系，用正交變換把實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣及實(shí)二次型化為對(duì)角形和標(biāo)準(zhǔn)形的方法。教學(xué)方法講授，討論和習(xí)題相結(jié)合。教學(xué)時(shí)間18學(xué)時(shí)。教學(xué)內(nèi)容歐氏空間的定義和性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，同構(gòu)，正交變換，子空間，對(duì)稱(chēng)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，向量到子空間的矩離、最小二乘法*。教學(xué)過(guò)程1 定義、性質(zhì)定義1：設(shè)是上的一個(gè)線性空間，在上定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，稱(chēng)為內(nèi)積，記為，如果它具有以下性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)。這里，則稱(chēng)為歐幾里得空間（簡(jiǎn)稱(chēng)歐氏空間）例1、例2。練習(xí)： 1（1）。定義2：非負(fù)實(shí)數(shù)稱(chēng)為的長(zhǎng)度，記為性質(zhì)：?jiǎn)挝幌蛄浚洪L(zhǎng)度為1的向量。單位化：不等式：，有 等號(hào)成立當(dāng)且

3、僅當(dāng)線性相關(guān)。在不同內(nèi)積中，不等式的具體例子：例1中，例2中，1、（2）中，定義3：非零向量的夾角為， 。三角不等式：定義4：若，稱(chēng)正交或垂直，記為性質(zhì)：（1）兩個(gè)向量正交（2）只有零向量才與自身正交，除此之外，任意非零向量均不能與自身正交。（3）勾股定理：當(dāng)時(shí)，可推廣到有限個(gè)向量正交的情形： 定義5：度量矩陣設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是它的一組基，有，這里由于，故，令，則，其中，則稱(chēng)為基的度量矩陣。性質(zhì)：不同基的度量矩陣是合同的。證明：設(shè)是的另一組基，設(shè)，則，則。證畢。若對(duì)，即，有，則稱(chēng)度量矩陣是正定的。練習(xí)： 2；作業(yè)：1。 2 標(biāo)準(zhǔn)正交基一、標(biāo)準(zhǔn)正交基1、定義：在維歐氏空間中，由個(gè)向量組成

4、的兩兩正交的向量組稱(chēng)為正交基，若個(gè)向量均是單位向量，則稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基。由此可知：有正交基得到標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法就是把正交基中的向量全部單位化。2、性質(zhì)：（1）若是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則有即標(biāo)準(zhǔn)正交基的度量矩陣是單位矩陣，反之也成立。（2） 即：。若，則。二、標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法：設(shè)是數(shù)域上的維線性空間任一組線性無(wú)關(guān)的向量均能正交化，任一組正交向量組均能擴(kuò)充為一組正交基，然后進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（即單位化）即可。若是一組線性無(wú)關(guān)的向量，令可驗(yàn)證兩兩正交，再單位化，令，即為要求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。例；練習(xí)： 7；作業(yè)：6，9。三、由一組標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣是正交矩陣。 證明：與是線性空間的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基，

5、且，因?yàn)椋?，即而是的第元素，故，即。正交矩陣：我們把滿足（或）的矩陣稱(chēng)為正交矩陣。四、結(jié)論：由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣是正交矩陣，反之，若兩組基之間的過(guò)渡矩陣是正交矩陣，而其中一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么另外一組基也是標(biāo)準(zhǔn)正交基。 3、同構(gòu)一、兩個(gè)歐氏空間同構(gòu)1、定義：上的兩個(gè)歐氏空間稱(chēng)為同構(gòu)的，如果存在（雙射）滿足：（1）（2）（3）其中，稱(chēng)為到的同構(gòu)映射2、性質(zhì)：（1）具有反身性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性。（2）同構(gòu)的歐氏空間有相同的維數(shù)，反之，有相同維數(shù)的兩個(gè)歐氏空間也同構(gòu)。并且同構(gòu)的歐氏空間有相同的性質(zhì)。因此，以后對(duì)一個(gè)維歐氏空間，我們只需要研究與它同構(gòu)的最簡(jiǎn)單的歐氏空間即可。例：數(shù)域上的維

6、歐氏空間，是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，作到的雙射：令，設(shè)（1）（2）（3）故數(shù)域上的維歐氏空間與同構(gòu)。特別地：由同構(gòu)關(guān)系的傳遞性知，所有維歐氏空間都同構(gòu)。 4 正交變換一、正交變換1、定義：設(shè)是維歐氏空間，若，有 則稱(chēng)是正交變換。2、等價(jià)命題：是正交變換，若是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則也是標(biāo)準(zhǔn)正交基在任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。3、正交變換的分類(lèi)： 第一類(lèi)的正交變換：第二類(lèi)的正交變換：作業(yè)： 11。 5 子空間定義1：是歐氏空間的兩個(gè)子空間，若對(duì)恒有則稱(chēng)為正交的，記為1、若對(duì)，恒有，則稱(chēng)與正交，記為。2、若，則對(duì)有，故，從而，即有，故可推廣為定理5：若子空間兩兩正交，則和是直和。證明：只須證明零元素分解

7、唯一即可。設(shè)，其中用與上式兩邊作內(nèi)積，有 ，所以。定義2：若，則稱(chēng)為的一個(gè)正交補(bǔ)，記為。 顯然： 維（）+維（）=維（）定理6：歐氏空間的每一個(gè)子空間都有唯一的正交補(bǔ)。證明思路：取的一組基，擴(kuò)充為的基，證明：作業(yè)： 13，15。 6 對(duì)稱(chēng)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形回憶：任一對(duì)稱(chēng)矩陣都合同于一個(gè)對(duì)角矩陣。本節(jié)結(jié)論：對(duì)任一級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，都存在一個(gè)級(jí)正交矩陣，使得為對(duì)角形。一、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)：（1）是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則的特征值皆為實(shí)數(shù)。（2）是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，如下定義線性變換：對(duì)， 則對(duì)，有，即。（3）設(shè)是對(duì)稱(chēng)變換（即滿足，），是子空間，則也是子空間。（4）是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則中屬于的不同特征值的特征向量正交。二、結(jié)論：定理7：任一階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，都存在一個(gè)階正交矩陣，使得為對(duì)角形。（利用數(shù)學(xué)歸納法證明）三、如何求正交矩陣，使得為對(duì)角形？步驟：1、求的特征值；2、對(duì)每個(gè)，解線性方程組求出該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，就是的特征子空間的一組基，并由此求出的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；3、把，