畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)概要

1、畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題目：關(guān)于某些線性幾何不等式的研究與推廣學(xué)生姓名徐毅學(xué)號(hào)2004125114專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí) 20041251指導(dǎo)教師王衛(wèi)東評(píng)閱教師張淵淵完成日期2008年 5月 8 日學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú) 立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用 的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰 寫的成果作品。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承 擔(dān)。作者簽名：年 月曰學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保障、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向有關(guān)學(xué)位論文管理部門或機(jī) 構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論

2、文被查閱和借閱。 本人授權(quán)省級(jí)優(yōu)秀學(xué)士學(xué)位論文評(píng)選機(jī)構(gòu)將本學(xué)位論文 的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。本學(xué)位論文屬于1、 保密 口， 年解密后適用本授權(quán)書。2、不保密 口。（請(qǐng)?jiān)谝陨舷鄳?yīng)方框內(nèi)打“”作者簽名：年 月曰導(dǎo)師簽名：年 月曰目錄摘要(4)關(guān)鍵詞(4)前言(4)一、平面上一動(dòng)點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離和的線性幾何不等式(5)二、有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓半徑等的線性幾何不等式(11)1、 歐拉不等式及其一種簡捷證明 (11)2、 關(guān)于R,r與半周長p的銳角三角形不等式 (12)三、 關(guān)于三角形面積的線性幾何不等式及其推廣 (13)1、

3、Oppenheim不等式的多邊形推廣 (13)2、 Oppenheim不等式的高維推廣 (14)四、三角形中線的線性不等式及其推廣 (15)五、關(guān)于三角形線性幾何不等式的猜想 (17)六、一個(gè)線性幾何不等式的修正 (18)七、總結(jié) (18)致謝 (18)參考文獻(xiàn) (19)關(guān)于某些線性幾何不等式的研究與推廣學(xué) 生：徐毅指導(dǎo)教師：王衛(wèi)東三峽大學(xué)理學(xué)院摘要：三角形中的幾何不等式研究已取得了非常豐富的成果，本文主要圍繞已知的線 性幾何不等式進(jìn)行研究，給出三角形中一些新的線性幾何不等式，并包含了作者的某些猜想。而三角形中的某些線性幾何不等式直接推廣到n維單形并不是一件容易的事，因而在推廣到四面體中乃至n

4、維單形時(shí)還有許多幾何不等式值得探討和研究。因此本文在這個(gè)方面做了些工作，從而進(jìn)一步發(fā)掘和證明了一些線性幾何不等式。Abstract: The research of the tria ngle geometric in equality has obta ined very rich of the outcomes. This paper studies mainly some new lin ear tria ngle geometric in equalities, focus ing on the lin ear geometric in equalities which are kno

5、wn, and it also in cludes some conjectures of the author. But it is not an easy task to directly exte nd the lin ear tria ngle geometric in equality to the n-simplex, thus there are many geometric in equalities worth ing explori ng and research ing whe n we exte nd the lin ear geometric in equality

6、to the tetrahedr on and the n-simplex. So this paper has done some work in this field and further explored and proved some lin ear geometric in equalities.關(guān)鍵詞：三角形；線性幾何不等式；四面體；n維單形Key words: tria ngle ； lin ear geometric in equality ； tetrahedr on ; n-simplex.、八、-刖言幾何不等式是一個(gè)魅力無窮的數(shù)學(xué)分支，20世紀(jì)70年代以來不等式的研究成

7、果超過了前300年的六、七倍，不等式的一些專題一一幾何不等式，它的研究得到了蓬勃發(fā)展。幾何不等式目前已有許多專著，國內(nèi)外出版的數(shù)學(xué)雜志，特別是美國數(shù)學(xué)月刊，大量刊登了各種幾何不等式的論文。20世紀(jì)90年代以來，由中國科學(xué)院成都計(jì)算機(jī)研究所楊路研究員研究 開發(fā)的不等式型機(jī)器證明軟件“BOTTEMA ”的問世和不斷升級(jí)，為證明和發(fā)現(xiàn)新的幾何不等式提供了強(qiáng)有力的工具，劉保乾先生等借助這種軟件已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和證明了幾千個(gè)三角形幾何不等式。不等式的方法在迅速擴(kuò)大，“國際一般不等式會(huì)議”每 23年就舉行一次，并出版會(huì)議文集。我國在初等幾何不等式研究方面取得了在國際上居于領(lǐng)先水平的一系列成果，國內(nèi)形成了以楊學(xué)枝、

8、劉保乾、陳計(jì)等為代表的中國幾何不等式的研究小組，在高維幾何不等式研究方面，國內(nèi)主要以楊路、張景中、蘇花明、冷崗松、楊世國、張含芳、匡繼昌、單墫等為代 表。其中楊路教授和張景中院士在距離幾何不等式的研究方面做了許多開創(chuàng)性工作，研究成果居于世界領(lǐng)先地位。在楊一張的帶領(lǐng)下，中國出現(xiàn)了一批研究幾何不等式的精英，形成了“中國學(xué)派”，取得了居于國際領(lǐng)先地位的一些成果。目前，幾何不等式在三角形里面取得非常豐碩的成果，而在四面體中乃至n維單形體中也取得很大成果和突破。幾何不等式的研究不僅兼顧了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和各類數(shù)學(xué)競賽的需要，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的競賽和教學(xué)有較好的指導(dǎo)性，而且其在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究中仍占有十分重要的地

9、位。從證明方法上看，許多幾何不等式的證明要用到高等數(shù)學(xué)的工具，充分體現(xiàn)了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在思想方法上的繼承性和相互滲透性。線性幾何不等式在幾何不等式中具有十分重要的地位，它不僅形式簡單優(yōu)美， 而且在幾何不等式證明中有著較廣泛的應(yīng)用，如著名的Erdos-Mordell不等式、聯(lián)系三角形中主要度量元素（邊長，高，中線，內(nèi)角平分線，內(nèi)切圓、外接圓半徑等）的線性不等式。本文主要從平面三角形中已知的主要線性幾何不等式，聯(lián)系三角形高、中線、內(nèi)角平分線的線性幾何不等式出發(fā)， 發(fā)現(xiàn)新的線性幾何不等式， 如三角形的內(nèi)切圓、 外接圓半徑與半 周長，平面上一動(dòng)點(diǎn) p至 ABC三頂點(diǎn)距離之和與內(nèi)角平分線長之和的關(guān)系

10、探討等；對(duì)平面三角形中已知的某些線性幾何不等式進(jìn)行不同角度（邊數(shù)和維度）的推廣，例如：給出在n維單形中的相應(yīng)幾何不等式， 如著名的Euler不等式的高維推廣形式， 聯(lián)系三角形高、中 線、內(nèi)角平分線等的某些線性不等式的高維推廣。、平面上一動(dòng)點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離和的線性幾何不等式設(shè)P為 ABC平面上一動(dòng)點(diǎn)，用- ABC的常見幾何元素來表示的和式PA PB PC的下界是一個(gè)值得研究的幾何不等式問題。本文恒用記號(hào)a,b,c;la,lb,lc;ta,tb,tc;ha,hb,hc ;ka,kb,kc;ga, gb,gc分別表示：ABC 的三邊長、中線、內(nèi) 角平分線、高、類似中線和過 Gergonne的C

11、eva線長；p, R,r,S分別表示 ABC的半周長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑和面積；I表示. ABC的內(nèi)心，刀 表示循環(huán)求和，例 如-a b c。本節(jié)應(yīng)用Fermat問題的結(jié)論，證明了平面上一動(dòng)點(diǎn) p至二ABC三頂點(diǎn) 距離之和的一個(gè)較強(qiáng)的線性不等式，由之導(dǎo)出幾個(gè)推論，下面先給出幾個(gè)引理。引理1.1 設(shè)P是 ABC平面上一動(dòng)點(diǎn)（Fermat問題的結(jié)論）.2兀（I）當(dāng) max（A,B,C） 時(shí)，有3(1)PA PB PC ; (a2 b2 c2) 23S(II)當(dāng) A時(shí)，有 PA PB PC b e 3引理1.2 1在BC中，若最大頂角不大于仁M,則對(duì)于任意實(shí)數(shù)1-1,1 丨，總有p2 _2(1

12、cos仃亠tsin2)R2 4-oo cp cp2-cos-t J (si n2 1 ：si n= si nyRr 3 - 8t (sin2 sin ) r22 2(3)其中in (sin，cos ),2 (2sin =)(4)當(dāng)且僅當(dāng) ABC為正三角形或者為最大頂角等于的等腰三角形時(shí)，（3）式取等號(hào)引理1.3 在匚ABC中，若max（A,B,C） 時(shí)，有32p _（2、3 -1）R 2（.3 1）r（ 5）2 JT當(dāng)且僅當(dāng) ABC為正三角形或者為最大頂角等于的等腰三角形時(shí)，（5）式取等號(hào)。3312JIt = m in (s rn-l32 二 co s3),2 f-21i3 1將甲卩_5廳3J

13、5t = .3 -1代入（3）式得證明：在（4）中，取3 一3，得312p2 一 13一4打 r2(5 . 3)Rr (4 2、3)r24即 4p2 - 2,3 -1）R 2（ .3 1）r2上式開方即得不等式（5），引理1.3獲證。在本文里，我們用到了類似中線的概念，所謂類似中線是指三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)（如A ）與其對(duì)邊（如BC ）上的一點(diǎn)D的連線AD滿足AD二2bcb2 c2la的線段；我們將該類似中線AD記作ka，其中l(wèi)a為ka相對(duì)應(yīng)的中線。引理1.4 在.VABC中，有(6)at； btb ct； _ ak2 bkb ck；證明：根據(jù)t；(a b c)(b ca)bc2(b c)，k：

14、(2b2 2c2 -a2)b2c2(b2 c2)2at2aabc(bc)2(b2c2)a2(b2c2)22bc(bc)2(b2c2)2a2bc(bc)2(b2 +c2)2(b + c)22 2 2 2 2 2abc(b c) (b c ) _a (b c be)(b2+c2)2(b+c)2(b-c)2bt； -bk2 2 2 2 2 2abq(a c )(a c) -b (c a ca)/2 丄 2、2/丄、2(a c ) (a c)(c-a)2ctc - ckcabd(a2 b2)(a b)2 -c2(a2 b2 ab)(a2 +b2)2(a+b)2(a-b)2所以不等式（6）等價(jià)于2 2

15、2 2 2 2(b c) (b c ) -a (b c bc)(b2 c2)2(b c)2(7)不妨設(shè)a b C ,則易證(c2a2)(ca)2-b2(c2a2ca) =c2(ca)2a3c(c2a2ca)(a2 _b2) 0 ；2222222232222(ab )(ab)-c (abab) = b(ab)a b(ab ab)(a -c ) 0 ；又易證2 2(b-c): (a-c)b2c2 _ c2 a2，所以欲證式，只需證(a2c2)(bc)2 -a2(b2c2be)(a2c2)(ac)2-b2(a2c2ac)(b2 +c2)(b+c)2(a2 +c2)(a + c)2上式化簡等價(jià)于2(b

16、 c)2(c a)2(b2c2)(a2c2)-a2(b2c2bc)(ca)2(a2c2)-b2(a2c2ac)(bc)2(b2c2)0:二(b2亠c2)(a2亠c2)2(b亠c)2(c 亠a)2-a2(c 亠a)2-b2(b 亠c)2-abca(c 亠a)2(c2亠a2)亠b(b亠c)2(b2 亠c2)0二(b2 c2)(a2 c2)a2 b2 2ab 2ca 2bc)c2(ab)22c3(a b c)(b2 c2)(a2 c2) abca3(b2 -c2) (b3(a2b2)abc26c42a2b2ac3bc32c2(a b)2 abc(ab)(a2ab b2) 2c(ab)2c2 (a b

17、)20最后一步顯然成立，也即(7)、(6)式成立，從而引理 1.4獲證。引理 1.5 在厶ABC 中，有 (b c)(c a)(a b)=2p(p2 2Rr r2)a2( p2 一 Rr 一 r2)22-b c p 2Rr r22bcp - 2Rr + r22以上三角形恒等式證明簡單，由s _ , p( p- a)( p 與 pp(8)(9)(10)abcabcR W 4Jp（ p爲(wèi)）（pb）（ pc）可以計(jì)算得到，證明從略。F面證明的定理即為陳計(jì)先生在文獻(xiàn)2中提出的猜想。定理1.1 設(shè)P是 ABC平面上任意一點(diǎn)，則PA PB PC 2（ta tb tc）3當(dāng)且僅當(dāng) ABC為正三角形且P為其中

18、心時(shí)，（11）取等號(hào) 證明： 證明王振提出的更強(qiáng)的不等式（參閱文獻(xiàn) 3）2 412（PA PB PC）2at 29 a根據(jù)引理1.1,下面分兩步證明2 （I） 當(dāng)max（A , B, C）時(shí)，只需證3（a2 b2 c2）2.3s 一矢ati；2 9 a由引理1.3得2、3p 一（6 -、3）R 2（3、3）r -4R 10r(11)(12)(13)(14)而依據(jù)引理1.5及恒等式bc ca a p2 4Rr r2可得、J at；a上abc4abcp(p -a)b +c=3、be bc(bc(c a)(a b)p2 4Rr r2(p2 2Rr r2)23( p2 2Rr r2)2 2(p2 2R

19、r r2)( p2 _2Rr r2) -4(p2Rr22r )(a b)(c a) p 2Rr r2 2p 4Rr r (p 2Rr r2)2p4 20Rrp2 18r2p2 r3(4R r)9r22 24 p 4Rr r9 (p2 2Rr r2)2p4 20Rrp2 18r2p2 r3(4R r)再由恒等式 a2 b2 c2 =2(p2 -4Rr -r2),S = pr,欲證(12)，只需證上式展開整理等價(jià)于:5p6 -60Rrp4 23r2p4 -r2p2(284R2 24Rr-95r2) r4(260R2 292Rr 77r2) _0上式分解整理等價(jià)于：(5p4 20Rrp2 -2r2p

20、2 -12Rr3 -39r4)(p2 -16Rr 5r2) 4r2(9p2 17r2)(R-2r)2 _ 0據(jù)Gerretsen不等式p2 _16Rr-5r2和Euler不等式 R 2r，易知上式成立，故(12)成立.2兀(II)當(dāng) A二max(A,B,C)時(shí)，只需證3(15)2 1 29(b+c)- 4ataa9(b c)24(bc ca ab)3 -(b c)229(b c) -12(ab ac bc) 42(b c) bc 4b2(c a)2bc 0因?yàn)? 2bc2bc(c a)2 (a b)2(c a)(a b)所以上式只需證8(b c-a)(b c) (b-c)2-4ab-4ac-8

21、bc 仝竺 竺 0b c (b c) (c a)(a b)而(b -c)2 -0，上式只需證2 2 2a -(be) 4a bc8(b c-a)(b c) 4a20(b c)2 (c a)(a b)8a2bc8(b c-a)(b c)4a(a +b +c)(b +c_a) *4a2bca(a +b +c) _2(b + c)2 + 4a2b2c2),2 0 (b c)2(c a)(a b)2 2 2 2 2 24| 丨(b c)(b c -a)2(b c) -a(a b c) 4a bca(a b c) -2(b c) 4a b c 04i 丨(b c)(a 2b 2c)(b c -a)2 -

22、4a2bc(b c-a)(a 2b 2c) 4a2b2c2 0因?yàn)?(b c) a 2b 2c,a b . a,c a .a，所以只需證a2(a 2b 2c)2(b c - a)2 -4a2bc(b c -a)(a 2b 2c) 4a2b2c2 _ 0二 a2(a 2b 2c)(b ca) 2bc2 _0最后一步顯然成立，以上每步均可逆故不等式(15)成立。綜上不等式(12)成立，由Cauchy不等式可知：1 2 111 2 2 2ata = ()(ata btb etc)aa b c= 卜I )2 + St b + 。:2= (ta +鮎 +tc)2顯然不等式(12)較不等式(11)更強(qiáng)，也

23、即不等式(11)成立，定理證畢。根據(jù)引理1.4,不等式(12)及Cauchy不等式可得 推論1.1 設(shè)P為 ABC平面上一動(dòng)點(diǎn)，則PA + PB+PC 送(ka+Kb+kc)(根據(jù)ta - Al r - ga及不等式(11)可得推論1.2 設(shè)P為 ABC平面上一動(dòng)點(diǎn)，則PA PB PC 3(ga gb gc)( 17)不等式PA PB PC -2r(b - a)4,5 (*)的另外一種輪換式為a b cPA PB PC _2r(c a b)( 18)a b c由不等式(*)及不等式(18)相加化簡，即得推論1.3 設(shè)P為 ABC平面上一動(dòng)點(diǎn)，則PA PB PC _ha hb hc -3r( 1

24、9)注：不等式(11)與不等式(16)，不等式(17)與不等式(18)不分強(qiáng)弱.不等式(19)與不等式(17)， (18)不分強(qiáng)弱。眾所周知，費(fèi)馬(Fermat)點(diǎn)是三角形內(nèi)的點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離之和取最小值的點(diǎn)，該點(diǎn)與三頂點(diǎn)相連，每兩條連線所夾的角120。那么,三角形內(nèi)的點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離和有沒有最大值點(diǎn)呢？定理1.2 ABC中，AB BC CA , P是.ABC內(nèi)的任意一點(diǎn) 貝U PA + PB + PC cAB +BC證明：如圖，P是 ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，過P分別作M1N2/AC,N1L2/AB,M2L1/BC別交 AB,BC,AC 邊于點(diǎn) M1,M2,N1,N2,L1,L2.AM1

25、ABBN1BC= 2,0J ：1,由于n2cBCAB故N2C -BC，于是PN2 _ NZ AC 一 BCAL2 BN 1:AC 一 BC -于是 AL2 二 ACNN =BC _BNr _N2C =（1- ）BC由于UN? 0，可以得到一： 1；又因?yàn)?：PN1N ABC，所以=1 一 -，即旦二竺=1 一 - CJ =（1 一 -）AC，AC AC由上可得 PB ： BC （1 y -2） A, BPC ： ： BC （1-；.；-2）AC,PA PB PC：（1 一 ）AB（-： H）BC（1 ： ）AC=（1 - 1 ）AB（二 H）BC1AC （1 -：- 1 ）AC空（1 ：）AB

26、（二 Z）BCAB （1-二- ： ）BC=AB BC由定理1.2可以推知：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離和無最大值，但卻存在一個(gè)上界。、有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓半徑等的線性幾何不等式1、歐拉不等式及其一種簡捷證明定理2.1 ABC的外接圓半徑 R與內(nèi)切圓半徑r之間的不等式，即著名的Euler不等式：R_2r（ 20）當(dāng)且僅當(dāng)；ABC為正三角形時(shí)，不等式（20）等號(hào)成立。歐拉不等式的證明方法有很多，但都不容易。本節(jié)給出應(yīng)用三角形的邊變換及均值不等式的一種簡捷證法。xyzx, y, z . 0,設(shè) a = y 乙 b 二 z x,c = x y，則r = S 二.p(p -a)(p-b)(p -c) _

27、xyz(x y z) _ppxyzxyz(x y z)R _ abc _ （x_y）（y_z）（z_x）2 xy 2、yz 2、zx =才4S4jxyz（x + y + z）4jxyz（x y 匚 z）14則有(21)由此，數(shù)學(xué)中的變換和轉(zhuǎn)化的巨大作用可略見一斑。Euler不等式有很多加強(qiáng)形式，它的一個(gè)加強(qiáng)的線性幾何不等式為R -2r _ta _ ha當(dāng)且僅當(dāng) ABC為正三角形時(shí)，該不等式取等號(hào)。Euler不等式在n維單形的推廣表達(dá)形式為【 在n維單形A中，R（A）與r（A）分別為A的外接球和內(nèi)切球的半徑,R(A) _ nr (A)僅當(dāng)單形A為正則單形時(shí)，（21）取等號(hào)。2、關(guān)于R, r與半周

28、長p的銳角三角形不等式引理 2.2 10二次不等式p2 _ R2Rr（27 -4 -2 予（22）對(duì)銳角三角形成立的必要條件是：4，2（7.2） - （3,2）（ 23）充要條件是（23）式以及 2（1-一 一4（24）特別地，當(dāng)（23）取等號(hào)，即=2（7 * .2） - （3 j 2）時(shí)，（22）化為p2 _ H .（R,r）三.R2 2（7 一2） - （3、&）Rr -（1 4,2） -2 （1 -2）r2（25）則（25）成立的充要條件是（24）式成立。定理2.2 使銳角三角形不等式p KR 3 -2K）r（26）成立的最大常數(shù)K =（V ._2）（ 23）證明：不妨設(shè)K _0 ,則（

29、26）等價(jià)于p2 _K2R2 2K（3.,3 2K）Rr （3j32K）2r2于是根據(jù)引理2.2知上式成立，當(dāng)且僅當(dāng)K2蘭4且 2K （曠3 K $ 2函打3,2 ）即 0 乞 K 乞（1 、2）（3 2、2-3、, 3）證畢三、關(guān)于三角形面積的線性幾何不等式及其推廣A.Oppenheim曾建立了如下的結(jié)果7:設(shè)lABC i的邊長，面積，外接圓半徑分別為ai,bi,G,S,R,i =1,2，則以a：a；二 a,b；b；= b,c2-c|= c為邊長的 ABC的面積S滿足 S S2（ 27） 1、Oppenheim不等式的多邊形推廣弓I理3.1 8 設(shè)平面凸n邊形A1A2An的面積為F，各邊長分

30、別為A A2= a1,A2A3= a2, ，A A = an；再設(shè)實(shí)數(shù), 2S 匸（,皐），且呂1中2+ =江,則2 2 2耳 ctg：la2ctg：2nctg：n - 4F（28）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)此n邊形內(nèi)接于圓，且a a?sin 冷 sin ；:2=2R其中R為圓半徑。定理3.1設(shè)q,a2an,F和db bnE分別是凸n邊形A AAn和B1B2B的邊長和面積，則以為邊長的圓內(nèi)接 n邊形GCcn的面積F滿足不等式(29)F - F1F2等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) AA2 Ai和B1B2 Bn是相似的圓內(nèi)接凸n邊形。證明：將不等式(28)分別用于凸n邊形AA2An和BlB2Bn，得222d ctg；+

31、azCtgLnCtg：n _4Fi 和222Dctg：i bctg：bnCtgfn 4F?現(xiàn)將上面兩式的兩邊分別相加，得2 2 2CiCtg： c2ctg：2Gctg：n -4(FF2)(30)再令sin jj 丄，i =12 “ n,2R其中R為凸n邊形GC2Cn的外接圓半徑，則(30)的左邊=4F ,所以F _ FF2，等 號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)AA2Ai與B1B2Bn為相似的圓內(nèi)接凸n邊形。2、Oppenheim不等式的高維推廣引理3.2 9若A,B,C是n維單形，V(B),V(C)分別表示B,C的體積，設(shè)A的頂點(diǎn)是A, A2,An十；B 的頂點(diǎn)是 Bi, B2,Bn*，且 bj = Bj Bj

32、 , q = CjCj，用 S 來表示(Ci, C2, ,Cn i)/Ci所成的n-1維單形的面積，卉表示S與Sj的夾角，則有不等式2 2(31)Z bjSSjCOS 色 n3V(B)7V(C)2j :j等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)單形對(duì)應(yīng)相似。定理3.2 設(shè)n維單形A與B的棱長及體積分別為aij,V(A)與bj ,V(B)，1蘭i G1 ,G2并分別延長交A3A4于e, e為A3A4中點(diǎn)。取AGi的中點(diǎn)f,連接AE、a(f。因G是A2A3A的重心，A2Gj = 2G1E，故A|G1、AF分別為 A EF與AA| A2G1的中線。由引理知2AGr C A|E + A F ,（34）2A F c AA2

33、 + AG仆（35）（34） x 2,得 4AGj v2AE+2A,F.（36）由（35）與（36）,知 4AGj 2AE+AA2 +AG3AGr c2AE + A 每（37）又AE是 A1A3a4的中線，由引理，得2AE AAj + A人.（38）再由（37）與（38）,得 3AG vA,A2 +AA + AiAr 即1 AG1（A1A2 AA3 AAJ.342定理4.2 四面體四中線之和大于六棱和的，小于六棱和的 蘭。93證明： 設(shè)四面體A|A2A3A4的六棱長分別為AA2 =q，AA3 =a2,AlA4 =爲(wèi)，宀4 =a4, A2A5 = a5，A3A4 = a6，由定理 4可得:1AG

34、i ： （ai - a2 - a3），同理有3A2G2(ai a4 a5),A3G3(a2a4a6),A4G4(a3 a5 a6)3 33四式相加，得3設(shè)四面體的重心為G0,由文11知 AGb：G0 Gi3: ,1故AGo= AiGi,同理有43A2G0A2G2 在-A1A?G0 中，A A : A|G0 A2G0，即43 3AiA2(AG A2G2)就是ai(A-G1 A2G2)4 4333 仿此有a?(AG iA G 3 ， 3 a3 (AG 1 A4G4) ， a4(A2G2 A3G3)，4 443 3a5 ： (A2G2 A4G4)， a6 ： (A3G3 A4G4)4 4以上六式相加

35、得：a ajAGji呂4 y4 6 4所以、ai八AGi9 i 呂i 4綜上有ai42 6A(G iaji =13 i A，定理證畢。n維單形可以看成有 n，1個(gè)頂點(diǎn)的廣義四面體，四面體就是3維單形，采用類似的方法不難把該定理推廣到 n維單形。12.五、關(guān)于三角形線性幾何不等式的某些猜想及其它1982年，席竹華在證明0 Ta * ta匚3時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很細(xì)致的不等式由此易知、Ta 2、ta乞3、,3p，針對(duì)這一不等式，我們?cè)敿?xì)考察了7 la，a ta與P之間的不等式關(guān)系15，提出:猜想 5.1 :（ a）2、J (3-1尸 ta 乞(3.3)p ；(b)(18-8.3)、Ta 3p (18-9

36、、.3廠 ta ；注意：不等式（a）要強(qiáng)于Ta 2、t3 3p六、一個(gè)線性幾何不等式的修正文13給出了如下的幾何不等式：在UABC中，AB.AC , BE,CF為高，則有：AB CF AC BE .由條件易知：當(dāng) A =90：時(shí)，CF二AC，BE二AB，上述不等式顯然取到等號(hào)，正確 的結(jié)論應(yīng)為 AB C AC BE。另一方面，從證明過程來看，原文僅對(duì) .A為銳角的情 形予以證明，對(duì) A為鈍角的情形未加說明，雖然二者證法相同，但圖形位置卻是不同的。在文13的證法中，沒有分類討論是導(dǎo)致錯(cuò)誤的根本原因，為了避免分類討論和添加輔助線下面給出該不等式（修正后的）的另一證法。證明： 記.ABC的面積為S，1 12S2S因?yàn)?S AB CF AC BE，所以 BE,CF,從而2