高考數(shù)列專題總結(jié)(全是精華)

1、數(shù)列專題復(fù)習(xí)(0929)、證明等差等比數(shù)列1.等差數(shù)列的證明方法:(1)定義法：an 1 an d (常數(shù))(2)等差中項(xiàng)法:an 1an1 2an(n 2)2.等比數(shù)列的證明方法: a-(1)定義法：q (常數(shù))(2)an等比中項(xiàng)法:an 1gan2 , an (n 2)例1.設(shè)an為等差數(shù)列，&為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S=7, S15=75,Tn為數(shù)列 SL的前n項(xiàng)和，求Tn. n解：設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d,則S=na1 + n (n 1) d.3= 7, S15= 7527a1 21d15al 105d7,即75,a1 3d 1,a1 7d 5,解得a1=- 2,d=1.S

2、n n=ad 1 (n-1)2d= - 2+ (n 1).2Sn 1n 1SnnSn-是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為一 2,公差為1 ,n2Tn =例2.設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式:3tSn (2t+3) & 1=3t (t>0, n=2, 3, 4,)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；一 3 2t ao斛：(1)由 a1=S1=1, &=1+a2,得 a2=,一3t3 2t3t又 3tSn (2t+3) Sn 1=3t3tSn 1 (2t+3) Sn 2=3ta 2t 3一得 3tan- (2t+3) an 1=0 .1-, (n=2, 3,)an 1 3t2t 3

3、所以an是一個(gè)首項(xiàng)為1,公比為上一的等比數(shù)列.3t練習(xí)：已知a2,點(diǎn)(&,an+1)在函數(shù)f (x)=x2+2x的圖象上，其中=1, 2,(1) 證明數(shù)列 lg(1+ an)是等比數(shù)列；(2) 設(shè) Tn=(1+a1)(1+ a2) (1+an),求 Tn 及數(shù)列 an的通項(xiàng)；答案.(2)Tn32n 1, an32n 1 1 ;.通項(xiàng)的求法(1)利用等差等比的通項(xiàng)公式(2)累加法：an 1 anf (n)一 一11例3.已知數(shù)列an滿足a1- ,an1an ，求an。2n n解：由條件知：an 1 an1111-2-Lnn n(n 1)n n 1分別令n 1,2,3,(n 1),代入上式

4、得(n 1)個(gè)等式累加之，即(a2 a1)(a3 a2) (a4 a3)(anan 1)3,(1a1an,11、(-)所以 ann 1 nJna1(3)構(gòu)造等差或等比an 1 pan q 或 an1 pan f (n)例4.已知數(shù)列an滿足a1*、1,an 1 2an 1(n N ).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解：Q an 1 2an 1(n N ),an1 1 2(an 1),an 1是以a1 1 2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。an 12n. an+an-1 >0 , . an an-1=5 ( n > 2)即 an2n*1(n N ).當(dāng) a1=3 時(shí))a3=13, a15=73a

5、1,a3, ai5不成等比數(shù)列，aiW3；中，a11, an1 2an1 n 1(二)，求 an .2當(dāng) a1二2 時(shí))a3=12, ai5=72)2a3 =a1 ai5 , . an)=5n 3一,1斛：在 an 12an1 n 1()兩邊乘以22n1得:n 1n2 an 1(2 an) 12.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和令 bn2n an，則 bn 141 ,解之得：bnb n 1 n 1,所以anbnSn 3an 3 2n1 i1,2,3,gg練習(xí):已知數(shù)列an滿足an2an 1 2n 1(n 2),且 a4 81。(I)求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an解:(1)求 a1, a2, a3；(2)求數(shù)列an

6、的通項(xiàng)公式。(n)設(shè)Tn2n門1,2,3,ggg,證明:nTi(2)一 an(4)利用(1) a15, a213,a. 333a n 2anan 12n12nan 12 n 1(n 1)2n 1anS1(nSn Snan 1 2(an 1 1) 2nan 1.n 12n解：(I)an 1Sn所以數(shù)列a1S1 a13a1Sn43 2n4 an3an 12n1n4 an 2是公比為4的等比數(shù)列1)1 (n2)例6.若Sn和分別表示數(shù)列an和bn的前門項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)an2(n 1)Tn3Sn 4n.求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;所以:得:(IITn2na 214n 1n onan42)2nsnS4 aS

7、n- an3(其中1 Qn 1一 232nn為正整數(shù))4 4n32n2n-2n 1 1 2n32n 1 1 2n12n 112n 1 1解：Q an 2(n1)a1 4d 2 Sn n2 3nTn3Sn4n 3n2 5n 2分 當(dāng)所以:121 112n 1 1n 1 日t,T1 b13 5(5)累積法anf (n)ana轉(zhuǎn)化為之 f(n),逐商相乘.an當(dāng) n 2時(shí),bn Tn Tn1 6n 2bn 6n 2.4 分例7.已知數(shù)列an練習(xí)：1.已知正項(xiàng)數(shù)列an,其前n項(xiàng)和與滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a 3,a 15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通2滿足a1- , an3nann 1fa

8、n。項(xiàng)an解:由條件知an 1an1,2,3,(n 1),代入上式得(n1)個(gè)等式累乘之，即解：-10Sn=an2+5an+6, ，10&=212+5&+6,解之得 a1=2 或 a1=3又 10Sn 產(chǎn)an 12+5an 1+6(nR2),a2a1a3 a4a2 a3anan 1an 1由一得10 an=(an? an-)+6( an an1),即(an+an-1)(an an1 - 5)=0a1 n1 22 334an3n練習(xí)：1.已知a13 , an 13n 1an (n D，求 an。3n 2解：an3(n 1) 1 3(n 2) 13(n 1) 2 3(n 2) 23

9、 2 13 1a13 2 2 3 23n 4 3n 7 L 5 2 363n 1 3n 48 5 3n 1 o1、等差數(shù)列求和公式：Sn2、等比數(shù)列求和公式：Snn(aan)一n(n 1).na1 d22nai(q 1)"(1 qn) a1 anq(q 1)1 q 1 q3、錯(cuò)位相減法求和2.已知數(shù)列an,滿足a1, an a1 2a2 3a3(n 1)an 1 ( n>2),a n 、 b n分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.Sna1bia2b2Lanbn則an的通項(xiàng)an例 9.求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知，設(shè) Sn 1 3x 5x2 7x3(

10、2n 1)xn 1解：由已知，得an 1 a1 2a2 3a3(n 1)an 1 nan,用此式減去已知式，得xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn(設(shè)制錯(cuò)位)當(dāng) n 2 時(shí)，an 1 an nan，即 an 1(n 1)an,又 a2a11,得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn(錯(cuò)位相減)再a11,至 1, a33, a44,aa2 a3,. 一 - n!n ,將以上n個(gè)式子相乘，得an (n 2)2一生"1 xn 1n利用等比數(shù)列的求和公式得：(1 x)Sn 1 2x(2n 1)xn。1 x(6)倒數(shù)變形：an 1 a一，兩

11、邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為 an 1 pan q。 pan qSn(2n 1)xn 1 (2n1)xn (1 x)(1x)2例8：已知數(shù)列 an滿足：anan 13 an 111 ,求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。一 ,246練習(xí)：求數(shù)列£,二，-6, 2 22 23，空，前n項(xiàng)的和. ,2n解：取倒數(shù):1an3 an 1 113an 1an 1解：由題可知,空的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列1，-1 的通項(xiàng)之積2n設(shè)Sn1-是等差數(shù)列, an11(n 1) 3 1 (n 1) 3ana1an13n 2練習(xí)：已知數(shù)列 an滿足:3 口3nan 1/a1= 一，且 an=n1(n22an

12、1+ n 12, n N )Sn1 c(1 l)Sn22222 22求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;解：將條件變?yōu)椋?n =1(1-),因此1 匚為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為 an 3 an 1an111.n1,n?3n1- -= 1,公比1,從而1口=,，據(jù)此得an=n-(n 1)a133an3n3 T三.數(shù)列求和Sn23222 n62362422322n 14、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前2242n2n2n 122n2n2 n 11 2n2n 12n1n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序),再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n個(gè)(a1 an).5、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差

13、數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可一 一11例10. 求數(shù)列的刖n項(xiàng)和：1 1, - 4,a a解：設(shè)Sn1(1 1) ( 4)(aI 7)7', , n 1aJ(n 1 a3n 2)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得1Sn(1 a當(dāng)a=1時(shí),Sn工n 1) a(3n 1)n(1 43n 2)(分組)(3n21)n（分組求和）bnc1Sn 8(1 -)2練習(xí):當(dāng)a 1時(shí),Sn(3n21 n1)n a a a 1(3n 1)n26、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）（1）an為等差數(shù)列,an.n n 1anan 1an.nan 11 gd一 1例11 . 求數(shù)列,22,3解：設(shè)an的前n項(xiàng)和.、nS 1Dn12(21) (.32)例12.在數(shù)列a n中,a n an 1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解:2n n 12 F(-)2 3)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和:(-n1 、= 8(1 )n 18n1 .已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an解：（1）數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為則an 1相減得:又當(dāng)n=1Sn,且滿足an1