九年級(jí)數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)一元二次方程、分式方程

1、總復(fù)習(xí)一元二次方程、分式方程【考綱要求】L理解配方法，會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程：2.會(huì)解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題, 從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】元二次方程分式方程應(yīng)用定義分母含有未知數(shù)的方程列分式方程解應(yīng)用題及在其它學(xué)科中的應(yīng)用【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一 一元二次方程1. 一元二次方程的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式為OY? +x + c = O (aWO).2. 一元二次方程的解法(1)直接開平方法：把方程變成一=機(jī)的形式，當(dāng)1n>0時(shí)

2、，方程的解為* = ±而：當(dāng)m=0時(shí),方程的解%,2=0：當(dāng)mVO時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解.（2）配方法：通過配方把一元二次方程，r+法+ c = O變形為卜+上=生二膽的形式，再2a）4a2利用直接開平方法求得方程的解.（3 ）公式法：對(duì)于一元二次方程（£+云+。= 0 ,當(dāng)一WcNO時(shí)，它的解為-b±b： 一4ac x =2a（4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個(gè)一次因式積的形式，使每一個(gè)因式等 于零，就得到兩個(gè)一元一次方程，分別解這兩個(gè)方程，就得到原方程的解.要點(diǎn)進(jìn)階：直接開平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方

3、程的一 般方法.易錯(cuò)知識(shí)辨析：（1）判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一元 二次方程一般形式中4/0.（2）用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式.（3）用配方法時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)要化1.（4）用直接開平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù).3. 一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為4 =科-4ac .A>0=方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;公=00方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;%<0=方程沒有實(shí)數(shù)根.上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊.要點(diǎn)進(jìn)階：000方程有實(shí)數(shù)根.4. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程ax2 + bx+c=

4、O（aH0）的兩個(gè)根是x,，那么X1+x,=_B, x-x,=£. aa要點(diǎn)進(jìn)階：（I）對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0.（2）解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分 解法，再考慮用公式法.（3）一元二次方程M2+bx + c = °（aH0）的根的判別式正反都成立.利用其可以不解方程判定方 程根的情況；根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍：解與根有關(guān)的證明題.(4) 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)：已 知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未

5、知數(shù)系數(shù)；已知方程兩根，求作以方程兩根或其代 數(shù)式為根的一元二次方程.考點(diǎn)二、分式方程1 .分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的有理方程，叫做分式方程.要點(diǎn)進(jìn)階：(1)分式方程的三個(gè)重要特征：是方程；含有分母；分母里含有未知量.(2)分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù))，分母中含 有未知數(shù)的方程是分式方程，不含有未知數(shù)的方程是整式方程，如：關(guān)于1的方程1-2=尤和 x三 =二都是分式方程，而關(guān)于1的方程1天- 2 =/和d都是整式方程.2 .分式方程的解法去分母法，換元法.3 .解分式方程的一般步驟(1)去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡公分母，把原方程化為整式方

6、程：(2)解這個(gè)整式方程；(3)驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡 公分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗(yàn)”.要點(diǎn)進(jìn)階：解分式方程時(shí)，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程, 可使原方程的分母為零，因此必須驗(yàn)根.增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母 的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種 限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù) 的

7、允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根.考點(diǎn)三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用1 .應(yīng)用問題中常用的數(shù)量關(guān)系及題型(1)數(shù)字問題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律)關(guān)鍵會(huì)表示一個(gè)兩位數(shù)或三位數(shù)，對(duì)于日歷中的數(shù)字問題關(guān)鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律.(2)體積變化問題關(guān)鍵是尋找其中的不變量作為等量關(guān)系.(3)打折銷售問題其中的幾個(gè)關(guān)系式：利潤=售價(jià)-成本價(jià)(進(jìn)價(jià))，利潤率/ X100. 成本價(jià)明確這幾個(gè)關(guān)系式是解決這類問題的關(guān)鍵.(4)關(guān)于兩個(gè)或多個(gè)未知量的問題重點(diǎn)是尋找到多個(gè)等量關(guān)系，使能夠設(shè)出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)列出方程.(5)行程問題對(duì)于相遇問題和追及問題是列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn)問題，也是易出錯(cuò)的問題，一

8、定要分析其中的特 點(diǎn)，同向而行一般是追及問題，相向而行一般是相遇問題.注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分問題增長量=原有量X增長率；現(xiàn)有量=原有量+增長量；現(xiàn)有量=原有量-降低量.2 .解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程：(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答.要點(diǎn)進(jìn)階：方程的思想，轉(zhuǎn)化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結(jié)合的思 想用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示與數(shù)量有關(guān)

9、的語句的數(shù)學(xué)思想.注意：設(shè)列必須統(tǒng)一，即設(shè)的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；未知數(shù)設(shè)出后不要漏棹 單位：列方程時(shí)，兩邊單位要統(tǒng)一；求出解后要雙檢，既檢驗(yàn)是否適合方程，還要檢驗(yàn)是否符合題 意.【典型例題】例1.閱讀材料：為解方程*2-1尸-512-1) + 4 = 0,我們可以將F1看作一個(gè)整體，然后設(shè)/一1 =>，那么原方程可化為)，2 -5y+ 4 = 0，解得y=l,必=4，當(dāng) y = 1 時(shí)，x2 1 = 1, X2 =2 , :.x = ±y/2 ；當(dāng)),=4時(shí)，x2-1 = 4, /.x2=5, .x = ±>/5,故原方程的解為玉=點(diǎn)，X-i =

10、-, Xj = yfS ,= -y/5 .解答問題：(1)上述解題過程，在由原方程得到方程的過程中，利用 法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程/一/一6 = 0.舉一反三：【變式】設(shè)也是實(shí)數(shù)，求關(guān)于x的方程上一1V-3文+機(jī)+ 2 = 0的根.例2.設(shè)X、X2是方程2x2+4x-3=0的兩個(gè)根,利用根與系數(shù)關(guān)系,求下列各式的值:（1 ）（XI - X2）2：<2)J J)(叮二)1 x2 2 叼舉一反三：【變式】已知關(guān)于X的一元二次方程f-4x+樂0.（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍：（2）若方程兩實(shí)數(shù)根為小, 立,且滿足5工+2*=2,求實(shí)數(shù)m

11、的值.類型二、分式例3.解方程:1_ .V2 -5x + 5a 2 +7x + 6 x2 -5x + 6舉一反三:【變式1】解方程:x + 2 x + 4 _ x+ 6 x + 8x+1 x+ 3 x + 5 x + 74x2 -6x + 9【變式2】解方程：一廠，【x- -6x-4 x- -6x+5例4. m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程 +二=會(huì)產(chǎn)生增根? x-2 X2 -4 x + 2舉一反三：【變式】當(dāng)m為何值時(shí)，方程二-2x =/J會(huì)產(chǎn)生增根（）x-3 穴一 3A. 2 B. - 1 C. 3 D. - 3例5.要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機(jī)器零件，如果甲單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單獨(dú)做則

12、要超 過3天.現(xiàn)在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨(dú)做，正好按期完成.問規(guī)定日期是多少天？舉一反三：【變式】據(jù)林業(yè)專家分析，樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯 塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的 2倍少4亳克，若一年滯塵1000亳克所需的銀杏樹葉的片數(shù)與一年滯塵550毫克所需的國槐樹 葉的片數(shù)相同，求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量.例6.某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)工程費(fèi)共8700元，乙、丙兩隊(duì)合做102天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共9500元，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的三，廠家需付甲、

13、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共5500元.求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請(qǐng)說明理由.【鞏固練習(xí)】一、選擇題1 .己知方程Y+法+ 4=0有一個(gè)根是一。（4工0）,則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（）C. a+bD- a-b2 .方程x:+ax+l=0和X- x - a=0有一個(gè)公共根，則a的值是（）A. 0 B. 1 C. 2D. 33 .若方程Y3x 1 = 0的兩根為可、心，則+ 的值為（）.A. 3 B. 13 C. D.334 .如果關(guān)于工的方程/_=/_有增根，則?的值等于（）x 3 x - 3A. -3 B. -2C

14、. -1 D. 35 .如圖，在寬為20米、長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余F部分作為耕地.若耕地面積需要551米、則修建的路寬應(yīng)為（）A.1米 B.L5米 C. 2米 D. 2.5米6 .關(guān)于x的方程（。-6）犬一8工+ 6 = 0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)”的最大值是（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9二、填空題7.方程3x-l1=.的解為6x - 28.關(guān)于x的一元二次方程（- 1）Ymx + l = O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則？的取值范圍9.已知xk一 1是方程猶一5 = 0的一個(gè)根，則m的值為；方程的另一根又二二10.某市政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格，某

15、種藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，由每盒72 元調(diào)至56元.若每次平均降價(jià)的百分率為4,由題意可列方程為.1L若關(guān)于x的方程 絲L1- 1 =0有增根，則a的值為x-112.當(dāng)k的值是時(shí)，方程二？土只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.A-1 X -X三、解答題13.解下列分式方程:(I)21 tF-r=bx2-l '-I14.若關(guān)于x的方程2k x kx+1 = x-1 x2 -x X只有一個(gè)解，試求k值與方程的解.15 .某省為解決農(nóng)村飲用水問題，省財(cái)政部門共投資20億元對(duì)各市的農(nóng)村飲用水的“改水工程”予以一定 比例的補(bǔ)助.2010年，A市在省財(cái)政補(bǔ)助的基礎(chǔ)上投入600萬元用于“改水工程”，計(jì)劃以后每年以相同的增長率投資，2012年該市計(jì)劃投資“改水工程” 1176萬元.（1）求A市投資“改水工程”的年平均