梅涅勞斯定理及其應(yīng)用【內(nèi)容充實(shí)】

1、參考資料-頁(yè)眉頁(yè)腳可刪除梅涅勞斯定理及其應(yīng)用（姓名）摘要：使用梅涅勞斯定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還是 可以用來(lái)解決三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問(wèn)題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué) 中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用。本文簡(jiǎn)單介紹了梅捏勞斯定理及其應(yīng)用。關(guān)鍵詞：共線、共點(diǎn)、應(yīng)用梅涅勞斯定理1 ,定理 設(shè)X,Y,Z分別是AABC的BC,CA,AB邊或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且有奇數(shù)個(gè)BX CY AZ點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，則X,Y,Z三點(diǎn)共線的充要條件是XC YA ZB2.定理的證明證明1:不妨設(shè)X,Y,Z中的一點(diǎn)Y在邊AC的延長(zhǎng)線上（如圖所示）。若X,Y,Z三點(diǎn)共線，過(guò)C引CD/YZ交AB于

2、D ,則BX BZXC 一 ZD , CY DZ YA ZA，生 BX CY AZ BZ DZ AZ 彳故 =1. XC YA ZB ZD ZA ZB一 .BX CY AZ反之，若 C=1成立，設(shè)直線ZX與AC的延長(zhǎng)線交于Y ,即X , Y , Z三點(diǎn)XC YA ZB共線，則由上面的證明有感,空幽=1與段CY,絲=1比較, XC YA ZB XC YA ZB可得竺="即Y與Y重合，故X,Y,Z三點(diǎn)共線Y A YA若X,Y,Z三點(diǎn)均在邊的延長(zhǎng)線上，上面的證明仍然適用注:X,Y,Z三點(diǎn)中有奇數(shù)個(gè)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上”這一條件十分必要，否則梅捏勞斯定資料本參考資料-頁(yè)眉頁(yè)腳可刪除理不成立證明2

3、:（正弦定理）如圖，令 ZAEF =a , /AFE = P , /BDE=¥,在AAEF中，由正弦定理知:AF AEsin 工 sin :'同理 _BL _ BD _ BD CD _ CEsin sin（180 一 ：） sin ： ' sin sinAFsin 二 BD sin ; CE sinAE - sin 一： ' BF - sin ' CD - sin 二AF BD CE 彳 Rn AF BD CE 彳 =1 ,即=1 .AE BF CDFB DC EA3、梅涅勞斯定理的逆定理梅涅勞斯定理的逆定理也成立， 即如果有三點(diǎn)F、D、E分別在AAB

4、C的三邊AB、AF BD CE BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足=1,那么F、D、E三點(diǎn)共線。FB DC EA注：利用梅涅勞斯定理的逆定理可判定三點(diǎn)共線資料本參考資料-頁(yè)眉頁(yè)腳可刪除二、 梅涅勞斯定理的應(yīng)用梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理 1若AABC的/A的外角平分線交邊 BC延長(zhǎng)線于P, /B的平分線交邊AC于Q, /C的平分線交邊AB于R,則P、Q、R三點(diǎn)共線。證明：由三角形內(nèi)、外角平分線定理知，BPBACQBCARCA= ， = ， = ，PCCAQAABRBCB則空空 CQ = CA BA BC =1RB PC QA CB CA AB '故P、Q、R三點(diǎn)共線。BCP切線，分別和BC、CA、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)證明：: CR是。的切線， ARACs ARCB,.RA RC AC一 = = ,RC RB CB則M=股型生2RB RC RB CB同理：BP.(AB)2出嗎2CP ACQA BA.AR BP CQ /CA、2 /BA、2 /BC、2 d,' ( ),( ) ( ) 1 ?RB PC QA CB CA AB故P、Q、R三點(diǎn)共線。P、Q、R,則P、Q、R三點(diǎn)共線 號(hào)梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理 2過(guò)任意AABC的三