隨機(jī)變量及其分布考點(diǎn)總結(jié)

1、第二章隨機(jī)變量及其分布復(fù)習(xí)一、隨機(jī)變量.1 .隨機(jī)試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果它就被稱為一個隨機(jī)試驗.2 .離散型隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.若E是一個隨機(jī)變量，a, b是常數(shù).則 a b也是一個隨機(jī)變量.一般地，若E是隨機(jī)變 量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則 f()也是隨機(jī)變量.也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量3、分布列：設(shè)離散型

2、隨機(jī)變量E可能取的值為:Xi ,X2 ,Xi ,E取每一個值xi (i 1,2,)的概率P( Xi) pi,則表稱為隨機(jī)變量E的概率分布，簡稱E的分布列X1X2XiPP1P2Pi有性質(zhì) pi 0,i 1,2,； pi P2 Pi 1 .注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如：0,5即 可以取05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù) .典型例題：c1、隨機(jī)變量的分布列為P( k) , k 1,2,3，則P(13)k(k 1)12、袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取兩個球都是白球的概率為1 ,現(xiàn)在甲乙兩人從袋中輪流摸去一7球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不

3、放回，直到兩人中有一人取到白球時終止，用表示取球的次數(shù)。(1)求 的分布列(2)求甲取到白球的的概率X表小三哥信箱中放有信件3、5封不同的信，放入三個不同的信箱，且每封信投入每個信箱的機(jī)會均等, 樹木的最大值，求 X的分布列。4、為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生5女生10合計5 0已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為3.5(1)請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2)是否有99.5 %的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；1名進(jìn)行(3)已知喜愛打籃球的10位女生中，A, A, A3, An

4、A還喜歡打羽毛球，B, B2, B3還喜歡打乒乓球，C1，C2還喜歡踢足球，現(xiàn)再從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的女生中各選出 其他方面的調(diào)查，求 BDC不全被選中的概率.下面的臨界值表供參考：2P(K k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(經(jīng)有公式：K2n(adbc)2一，其中n ab cd)(a b)(c d)(a c)(b d)、幾種常見概率1、條件概率與事件的獨(dú)立性(1) B|A與AB的區(qū)別：(2) P(B|A)的計算公式 ，注意分子分母事件的性質(zhì)相同(3) P(AB)的計

5、算公式 注意三點(diǎn)：前提，目標(biāo)，一般情況 (4) P (A+B)的計算公式 注意三點(diǎn)：前提，目標(biāo)，一般情況 典型例題：1、市場上供應(yīng)的燈泡，甲廠產(chǎn)品占70%乙廠產(chǎn)品占30%甲廠產(chǎn)品的合格率是 95%乙廠產(chǎn)品的合格率80%則從市場上買到一個是甲廠產(chǎn)的合格品的概率是多少？2、把一副撲克 52張隨即均分給趙錢孫李四家，A=趙家得到六章草花) , B=孫家得到3張草花，計算P(B|A) , P(AB)3、從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任取兩張，將其中 1張在驗鈔機(jī)上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，求兩張都是假 鈔的概率。4、有外形相同的球分裝在三個盒子，每個盒子10個，其中第一個盒子 7球標(biāo)有字母A, 3個球標(biāo)有字母

6、B;第二個盒子中五個紅球五個白球；第三個盒子八個紅球，兩個白球；在如下規(guī)則下：先在第一個盒子取一個球，若是A球，則在第二個盒子取球；如果第一次取出的是B球，則在第三個盒子中取球，如果第二次取出的球是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率。5、在圖所示的電路中，5只箱子表示保險匣，箱中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率，當(dāng)開關(guān)合上時，電路暢通的概率是 I ,6、甲、乙二射擊運(yùn)動員分別對一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為 0.8,乙射中的概率為 0.9,求:(1) 2人都射中目標(biāo)的概率；(3) 2人至少有1人射中目標(biāo)的概率;(2) 2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率;(4) 2人至多有1人射中目標(biāo)的概率?二

7、、幾種分布1 .獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是巳那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：P(H k) C：pkqnk 其中k 0,1, ,n, q 1 p于是得到隨機(jī)變量E的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量E服從二項分布，記作B (n p),其中n, p 為參數(shù)，并記 Ckpkqn k b(k; n p).二項分布的判斷與應(yīng)用.二項分布，實際是對n次獨(dú)立重復(fù)試驗.關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項分布當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種

8、試驗結(jié)果，此時可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗，利用二項分布求其分布列2 .幾何分布：“ k”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗時， 事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗時事件 A發(fā)生記為Ak,事A不發(fā)生記為Ak,P(Ak) q ,那么P(E k)PcA/AI A7 k).根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式:P(W k) P(A1)P(A2) P(Ak1)P(Ak) qk 1p (k 1,2,3,)于是得到隨機(jī)變量E的概率分布列123kPqqp2 q2pk 1q p我們稱E服從幾何分布，并記g(k, p) qk1p,其中q 1 p. k 1,2,33 .超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M (M N)件次品，今抽取n(

9、1 n N)件，則其中的次品數(shù)k n kE是一離散型隨機(jī)變量，分布列為P(H k) CM CN M (0 k M,0 n k N M).分子是從M件次品中取C；k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定 mvr時C:0,則k的范圍可以寫為k=0 , 1,， n.超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取 n件(1wnwa+b),則次品數(shù)k n kE 的分布列為 P( k) k 0,1, , n.Ca b超幾何分布與二項分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)E服從超幾何分布 .若放回式抽取， 則其中次品數(shù) 的分布列可如下求得：把

10、 a b個產(chǎn)品編號，則抽取 n次共有(a b)n個可能結(jié)果，等可能：k k n kk)含 Cnakbnkj結(jié)果，故 P* k) Cna b nCn(-a-)k(1 )n k,k 0,1,2, ,n，即 B(n-a-).我(a b) a b a ba b們先為k個次品選定位置，共 Ck,種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，P(E k) P(r k),因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.典型例題：1、某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%,計算(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)：(1) 5次預(yù)報中恰有4次準(zhǔn)確的概率；(2

11、) 5次預(yù)報中至少有 4次準(zhǔn)確的概率.2、在一個圓錐體的培養(yǎng)房內(nèi)培養(yǎng)了40只蜜蜂，準(zhǔn)備進(jìn)行某種實驗，過圓錐高的中點(diǎn)有一個不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個實驗區(qū)，其中小錐體叫第一實驗區(qū)，圓臺體叫第二實驗區(qū)，且兩個 實驗區(qū)是互通的。假設(shè)蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響(1)求蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；(2)若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；(3)記X為落入第一實驗區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX 。3、A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進(jìn)行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中兩只服用A

12、,兩只服用B,然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠只數(shù)比服用 B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用 A有效的概率為2/3,服用B有效的概率為1/2.(1)求一個試驗組為甲類組的概率。(2)觀察3個試驗組，用 表示3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求 分布列4 .某射擊運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p (0p 時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以 x軸為漸 近線，向x軸無限的靠近.當(dāng) 一定時，曲線的形狀由 確定， 越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中. 2 x3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量E的概率函數(shù)為 (x)

13、 -e 2 ( x )，則稱E服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分.2布.即 N(0,1)有(x) P( x) ,(x) 1( x)求出，而P ( a v E w b )的計算則是P(a b) (b)(a).注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的(x)的X取0時，有(x)0.50.5()0.0793 0.5 則一必然小于0,如圖.0.5當(dāng)(x)的X取大于0的數(shù)時，有 (x) 0.5 .比如 yS正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若N( , 2)則E的分布函數(shù)通常用F(x)表示，且有P(E x) F(x)x(-).(T4.“ 3 ”原則.假設(shè)檢驗是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗可歸結(jié)為如下三步：提出統(tǒng)計假設(shè), 從正態(tài)分布N( , 2)

14、.確定一次試驗中的取值a是否落入范圍(3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線S 陰=0.5Sa=0.5+S統(tǒng)計假設(shè)里的變量服a ( 3 , 3 ),接受統(tǒng)計假設(shè).如果a ( 3 , 3 ),由于這是小概率事件, “3 ”原則的應(yīng)用：若隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布 N( , 2)則E落在(3 , 3 即落在(3 , 3 )之外的概率為0.3%,此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，).做出判斷：如果 就拒絕統(tǒng)計假設(shè).)內(nèi)的概率為99.7%亦 就說明此種產(chǎn)品不合格，其平均分是80分，標(biāo)準(zhǔn)差是10,則該班同學(xué)中成績(即E不服從正態(tài)分布)典型例題：1、某班同學(xué)共有48人，數(shù)學(xué)測驗的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布在7090分之間的約有2、設(shè)兩個正態(tài)分布 N(212)( 10)和 N(2)( 20)的密度函數(shù)圖像如圖所示。則有(A.2