四點共圓例題及答案匯編

1、學(xué)習(xí)-好資料例1如圖,E、F、G H分別是菱形ABC*邊的中點.求證：E、F、G H 四點共圓.證實 菱形ABCD勺對角線AC和BD相交于點0,連接OE OF OG OH.AC和BD互相垂直,在 RtAOB RtABOC Rt ACOD RtADO/fr, E、F、G H,分別 是AB BG CD DA的中點,= OF = ：BC. OG =(CD, 0H = 1dA 占匚La/AB = BC = CD=DAf /. OE = OF = OG = OH.即E、F、G H四點共圓.(2)假設(shè)四邊形的兩個對角互補(或一個外角等于它的內(nèi)對角),那么四點 共圓.例 2 如圖,在 ABC 中,AD

2、77; BC DEL AB, DF± AC.求證：B E、F、C四點共圓.證實 VDE!AB, DF±AC, /AE濟 /AFD=180 ,即A、E、D F四點共圓,更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料/AEF4 ADF又ACL BG /AD斗 /CDF=90 ,/CD斗 / FCD=90 ,/ADF之 FCD ./AEFW FCD/BER / FCB=180 ,即B、E、F、C四點共圓.(3)假設(shè)兩個三角形有一條公共邊,這條邊所對的角相等,并且在公共 邊的同側(cè),那么這兩個三角形有公共的外接圓.例3如圖,在ABC中,BD, CE是AC, AB邊上的高,ZA = 60° ,求匹

3、 ED =7bg-證實在ABC, BD CE是AC AB邊上的高.二/BECW BDC=90 ,且 E、 D在 BC的同側(cè),E、B、C、D四點共圓./AEDW ACB /A=/ A, .AEM AACB更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料,在RtAAEC 中,/A = 600,ZACE = 30° ；AE _ 1AC = 2EDCE1 /.ED=-BC.2上述三種方法是證“四點共圓的根本方法,至于證第四點在前三點 不在同一直線上所確定的圓上就不表達了.【例1】 在圓內(nèi)接四邊形 ABCDK /A-/C=12° ,且/A： / B=2 ： 3.求 /A、/ B、/C、/D的度數(shù).解二.四邊

4、形ABCDft接于圓,/A+/ C=18J ./A-/C=12° ,/ A=96 , / C=84° . / A： / B=2： 3,2ZB =96* x - = 144O ./D=180 -1440 =36° .利用圓內(nèi)接四邊形對角互補可以解決圓中有關(guān)角的計算問題.【例2】：如圖1所示,四邊形ABC吶接于圓,CE/ BD交AB的延長線于E.求證：AD- BE=BC DC證實：連結(jié)AC. CE/ BD更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料/ 1=/ E./ 1和/ 2都是前所對的圓周角,/1 = /E.二.四邊形ABCM接于圓, ./ EBCWCDA. .AD8 ACBEAD：

5、 BC=DC BEAD- BE=BC DC.本例利用圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于內(nèi)對角及平行線的同位角、圓中同弧所對的圓周角得到兩個相似三角形的條件,進而得到結(jié)論.關(guān)于圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),還有一個重要定理.現(xiàn)在中學(xué)課本一般都 不列入,現(xiàn)介紹如下：定理：圓內(nèi)接四邊形兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和.：如圖2所示,四邊形ABCM接于圓.求證：AC- BD=AB CD + AD- BC.證實：作/ BAE=/ CAD AE交 BD 于 E ./ABDW ACD、 AB BEAC CD即 AB - CD=AC BE 更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料/ BAE它 CAEN CAD廿 CAE ./BACW EA

6、D 又Z ACB= ADEac nr1.-.AabcccAaed. =AD DEAD- BC=AC DE 由,得 AC BE+AC DE=AB C曰AD- BCAC BD=AB CA AD- BC這個定理叫托勒密(ptolemy)定理,是圓內(nèi)接四邊形的一個重要性 質(zhì).這個證實的關(guān)鍵是構(gòu)造 ABaAACD充分利用相似理論,這在幾何 中是具有代表性的.在數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)?？吹剿挠白?希望能引起我們注命題菱形都內(nèi)接于圓對嗎？命題菱形都內(nèi)接于圓是不正確的.所以是假命題.理由是：根據(jù) 圓的內(nèi)接四邊形的判定方法之一,如果一個四邊形的一組對角互補,那么 這個四邊形內(nèi)接于圓.這個判定的前提是一組對角互補,而菱形

7、的性質(zhì)是 一組對角相等.而一組相等的角,它們的內(nèi)角和不一定是180.如果內(nèi)角和是180° ,而且又相等,那么只可能是每個內(nèi)角等于90° ,既具有菱 形的性質(zhì),且每個內(nèi)角等于90° ,那末這個四邊形一定是正方形.而正 方形顯然是菱形中的特例,不能說明一般情形.判定四邊形內(nèi)接于圓的方法之二,是圓心到四邊形四個頂點的距離相 等.圓既是中央對稱圖形,又是軸對稱圖形,它的對稱中央是圓心.菱形 同樣既是中央對稱圖形,又是軸對稱圖形,它的對稱中央是兩條對角線的 交點.但菱形的對稱中央到菱形各個頂點的距離不一定相等.所以,也無法確定菱形一定內(nèi)接于圓；如果菱形的對稱中央到菱形各邊頂

8、點的距離相 等,再加上菱形的對角線互相垂直平分這些性質(zhì),那么這個四邊形又必是正方形.綜上所述,“菱形都內(nèi)接于圓這個命題是錯誤的.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料5圓的內(nèi)接四邊形例1 ：如圖7-90, ABC比對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形,通過對 角線的交點E與AB垂直于點H的直線交CD于點M.求證：CM=MD證實/MECf/HEB互余,/ABE與/ HEB5余,所以/ MEC=ABE 又/ABEWECM 所以/ MEC=ECM 從而 CM=EM同理 MD=EM所以 CM=MDD圖 7-90點評 本例的逆命題也成立(即圖中假設(shè) M平分CD那么MHLAB).這兩個命 題在某些問題中有時有用.本例叫做婆羅摩

9、笈多定理.例2 ：如圖7-91, ABCtM.的內(nèi)接四邊形,ACLBD,OEIABTjSE,求證；OE = |cd.3圖7T1分析一 如圖7-91 (a),由于E是AB的中點,從A引.的直徑AG, Q是AG的中點.由三角形中位線定理可知OE =?GB,因此只2需證實GB=CD但這在第七章己1.4圓周角中的例3已經(jīng)證實了.證實讀者自己完成.*分析二 如圖7-91 (b),設(shè)AC, BD垂直于點F.取CD的更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料中點M,那么MF=；CD,所以應(yīng)該有OE = MR并且由例1的點評知道還有0日/ MF從而四邊形OEF就該是平行四邊形.證實了四邊形 OEF平 行四邊形,問題也就解決了.

10、而證實四邊形 OEFM1平行四邊形已經(jīng)沒有什么困 難了.*分析三 如圖7-91 (b),通過AC BD的交點F作AB的垂線交CD于點M,連 結(jié)線段EF, M0由于OEL AB, FML AB,所以0日/ FM 又由于EF±CD (見例1 的點評),MQLCD所以EF/ MO所以四邊形OEF岫平行四邊形.從而OE=MF 而由例1知所以O(shè)E = ：CD.例3 求證：圓內(nèi)接四邊形對邊乘積的和等于對角線的乘積,即圖中 AB - CD+BC AD=AC BD分析 在ABCD+BC AD=AC BD中,等號左端是兩個乘積的和,要證實這 種等式成立,常需把左端拆成兩個單項式來證實,即先考慮AB-

11、CD和BC AD各等于什么,然后再考慮 AB- CD+BCAD是否等于AC- BD而要考慮AB- CD和 BC- AD各等于什么,要用到相似三角形.為此,如圖 7-92,作AE,令/ BAEW CAD并且與對角線BD相交于點E,這就彳#到 ABAACID由此求得 AB - CD=ACBE.在圓中又出現(xiàn)了 ABSAAEED由此又求得BC AD=AC ED 把 以上兩個等式左右各相加,問題就解決了.證實讀者自己完成.點評 本例叫做托勒玫定理.它在計算與證實中都很有用.例4.如圖7.93, F為等邊三角用ABC的外接圓的BC上任意一點.求證：PA=PB+PC更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料分析一本例是線段和

12、差問題,因此可用截取或延長的方法證實.如圖7-93 (a),在PA上取點M 使PM=PB剩下的問題是證實 MA=PC這只要證實 AB陣CBPM以了.證實讀者自己完成.分析二 如圖7-93 (a),在PA上取點M使MA=PC剩下的問題是證實 PM=PB這只要證實 BPM等邊三角形就可以了.證實讀者自己完成.分析三 如圖7-93 (b),延長CP到M使PM=PB剩下的問題是證實PA=MC 這只要證實 PAB CMBft可以了.證實讀者自己完成.讀者可仿以上的方法擬出本例的其他證實.*本例最簡單的證實是利用托勒玫定理(例 3).證實 由托勒玫定理得PABC=PB AC+PC AB,由于BC=AC=A

13、B所以有 PA=PB+PC例2如圖7116,.和.都經(jīng)過A、B兩點,經(jīng)過點A的直線CM. O交于點C,與.交于點D.經(jīng)過點B的直線EF與.O交于點E,與 交于點F.求證：CE/ DF.分析：要證實CE/ DF.考慮證實同位角(或內(nèi)錯角)相等或同旁內(nèi)角 互補.由于CE DF分別在兩個圓中,不易找到角的關(guān)系,假設(shè)連結(jié) AB,那么 可構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可溝通兩圓中有關(guān)角 的關(guān)系.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料證實：連結(jié)AB.ABE久圓內(nèi)接四邊形,丁. / BAD= E.ADFB!圓內(nèi)接四邊形,1 /BA濟 /F=180° ,. /E+ /F=180° .2 .

14、CE/ CF.說明：(1)此題也可以利用同位角相等或內(nèi)錯角相等,兩直線平行證 明.如延長EF至G,由于/ DFGW BAD而/ BAD? E,所以/ DFGW E.(2)應(yīng)強調(diào)此題的輔助線是為了構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形, 以利用它的性質(zhì), 導(dǎo)出角之間的關(guān)系.(3)對于程度較好的學(xué)生,還可讓他們進一步思考,假設(shè)此題不變,但 不給出圖形,是否還有其他情況？問題提出后可讓學(xué)生自己畫圖思考, 通過討論明確此題還應(yīng)有如圖 7 117的情況并給予證實.例3如圖7118,在 ABC, AB=AC BD平分/ B, ABD勺外接圓和BC交于E.求證 ：AD=EC分析：要證AD=EC不能直接建立它們的聯(lián)系,考慮條件可知

15、/ ABD=/DBE容易看出AD=DE.假設(shè)連結(jié)DE,那么有AD=DE因此只要證DE=EC由于DE和EC為DEC勺兩邊,所以只要證/ EDC4 C.由條 件可知/ C=/ABC因此只要證/ EDC= ABC由于4EDC是圓內(nèi)接四邊形 ABED勺一個外角,所以可證/ EDC=ABC問題可解決.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料圖 T-118證實：連結(jié)DE =BD平分/ABG.怒=玩,AD=DE .ABE此圓內(nèi)接四邊形, ./ EDC=ABC ,.AB=AC ./ABC= C, . ./EDC= /C.于是有DE=EC因止匕AD=EC四、作業(yè)1 .如圖7120,在圓內(nèi)接四邊形 ABCm,AC平分BD并且AC

16、L BD /BAD=70 18',求四邊形其余各角.氏圖7-1202 .圓內(nèi)接四邊形 ABCLfr, /A、/B、/C的度數(shù)的比為2 ： 3 ： 6, 求四邊形各內(nèi)角的度數(shù).3 .如圖7121, AD是AB的卜角/ EAC的平分線,AD與三角形的外 接圓交于點D.求證：DB=DC作業(yè)答案或提示：1. /ABCN ADC=90 , / BCD=109 42'.2. /A=45° , / B=67.5° , / C=135 , /D=112.5° .更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料3.提示：由于/ DBC= DAG / EAD= DCB / EAD= DAG

17、所以/ DBC= / DCB因止匕DB=DC判定四點共圓的方法引導(dǎo)學(xué)生歸納判定四點共圓的方法：(1)如果四個點與一定點距離相等,那么這四個點共圓.(2)如果一個四邊形的一組對角互補,那么這個四邊形的四個頂點共 圓.(3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角,那么這個四邊形的 四個頂點共圓.(4)如果兩個直角三角形有公共的斜邊,那么這兩個三角形的四個頂 點共圓(由于四個頂點與斜邊中點距離相等).3.如圖7124,ABC時平行四邊形,過點 A和B的圓與AD、BC 分別交于E、F.求證：G D E、F四點共圓.提示連結(jié) EF,由/ B+/AEF=180° , / B + /C=180&#

18、176; ,可得/ AEF= ZC.四點共圓的應(yīng)用山東寧陽教委教研室 栗致根四點共圓在平面幾何證實中應(yīng)用廣泛,熟悉這種應(yīng)用對于開闊證題思 路,提升解題水平都是十分有益的.用于證實兩角相等更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料例1如圖1,P為.外一點,PA切.于A, PB切.于B,OP交 AB于 E.求證：/ APG= / BPD證實連結(jié)OA OG OD由射影定理,得 AE=PE- EO又AE= BE,那么 AE- BE= PE- EO(1);由相交弦定理,得 AE- BE= CE- DE(2); 由(1)、(2)得 CE ED= PE- EQ. P、C Q D四點共圓,那么/ 1 = /2, /3= /4,

19、又/2=/4./1 = /3,易證/ APC= /BPD(/4=/EDO)二用于證實兩條線段相籌例2如圖2,從.O外一點P引切線PA PB和割線PDC從A點作弦 AE平行于DC連結(jié)BE交DC于F,求證：FO FD.證實連結(jié) AD AR EG AB.PA 切.于 A,那么/1 = /2. v AE/CD 那么/2=/4././1 = /4, ；P、A、F、B 四點共圓./ 5=/6,而更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料/5= /2=/ 3, . ./3=/6. VAEE/ CD . . EC=AD 且/ ECF之 ADF . EF8 AAFED a FO FD.三 用于證實兩直線平行例3如圖3,在4ABC

20、中,AB=AC ADLBC, / B的兩條三等分線交 AD于 E、G 交 AC于 F、H.求證：EH/ GC證實 連結(jié) EC 在4ABE和4ACE中,= AE= AE, AB=AC / BAE= / CAE . .AEBAEC ./5=/1 = /2, . . B、C、H、E 四點共圓,. / 6 =/3.在 AGE的GEg, vGE= GE /BEG / CEG EB= EG .GEB 白GEC-./4=/ 2=/3, . ./4=/6.EH/ GC四 用于證實兩直線垂直例4如圖4, 口©為等邊三角形,D、E分別為BC AC邊上的點,且BD二2BC, CE = 1aC, AD與EE

21、相交于P點.求證；CP1AD.證實 在ABDffi BCE 中,v AB=BC / ABD= /BCE BD= CE,那么4 ABDABCEE./ADBWBEC P、D> G E 四點共圓.設(shè) DC的中點為 O 連結(jié) OE DE 易證/ OE秘 600 , / DEO= 30° . . / DEC= 90° ,于是/ DPC=90 ,CPXAD.五用于判定切線更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料例5如圖5, AB為半圓直徑,P為半圓上一點,PCIAB于C,以AC為直 徑的圓交PA于D,以BC為直徑白圓交PB于E,求證：DE是這兩圓的公 切線.證實連結(jié) DC CE 易知 / PDC

22、= /PEC= 90° ,P、D、C E 四點 共圓,于是/ 1=/ 3,而/ 3+/ 2=90° , / A+ / 2=90° ,那么/ 1 = / A, DE是圓ACD勺切線.同理,DE是圓BCE的切線.因而DE為兩圓的公切 線六用于證實比例式例6 AB CD為.中兩條平行的弦,過B點的切線交CD的延長線于 G,弓玄PA PB分別交CD于E、F.手如證實 如圖6.連結(jié)BE PG=BG切.于B,那么/ 1 = /A. = AB/ CD 那么/A= /2.于是/ 1 = /2,. P、G B E四點共圓.由相交弦定理, 得EFFG=PF FB.在.0中,由相交弦定

23、理,得 CF- FD=FP- FB./. EF * ?G=CF * JD,七用于證實平方式例7 ABC時圓內(nèi)接四邊形,一組對邊 AB和DC延長交于P點,另一 組對邊AD和BC延長交于Q點,從P、Q引這圓的兩條切線,切點分別是 E、F,如圖 7求證:PQ= QF+PE.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料證實 作DCQ勺外接圓,交PQ于M,連結(jié)MG /1=/ 2=/3,那么 P、B、C、M四點共圓.由圓幕定理得 PE2= PC- PD= PM PQ QF2=QC- QB =QMQP 兩式相加得 PE+QF= PM PQ QM QP=PQ(PMQM)=PQ PQ=PQ,.pQ=pe2+qf2.八用于解計算題例

24、8如圖8, ABC勺高AD的延長線交外接圓于H,以AD為直徑作 圓和AB AC分別交于E、F點,EF交AD于G,假設(shè)AG=16cm AH=25cm 求AD的長.解連結(jié) DE DR BH =/ 1=/ 2=/C=/ H,R E、G H 四點共圓.由 圓幕定理,得 AE- AB= AG AN 在ABDt, / ADB=90 , DEI AB,由 射影定理,得 AD=AE AB, .AD： AG AH= 16X 25=400, . AD=20cm九用于證實三點共線圖？圖1.例9如圖9, D為4ABC外接圓上任意一點,E、F、G為D點到三邊 垂線的垂足,求證：E、F、G三點在一條直線上.證實連結(jié) EF

25、、FG BD. CD / BEDW BFD=90 , WJ B、E、F、D 四點共圓,./ 1 = /2,同理/ 3= /4.在DBEffi DCGt, ./ DE氏 / DGC / DBE= / DCG 故 / 1=/4, 易得/2=/3,E、F、G三點在一條直線上.十用于證實多點共圓更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料例10如圖10, H為4ABC的垂心,Hi、或、件為H點關(guān)于各邊的對 稱點,求證：A B、C Hi、睡、降六點共圓.證實連結(jié)AH, 丁 H與H2關(guān)于AF對稱,那么/ 1=/ 2. v A F、D C 四點共圓,那么/ 2=/3,于是/ 1 = /3,.A、偉、B、c四點共圓,即 降 在A

26、BC勺外接圓上.同理可證,Hi、H3也在 ABC的外接圓上. A、B、 C、Hi、住、降六點共圓.相關(guān)資源加到收藏夾添加相關(guān)資1托勒密定理的數(shù)形轉(zhuǎn)換功能山東臨沂市四中姜開傳臨沂市第一技校劉久松圓內(nèi)接四邊形兩組對邊乘積的和等于其對角線的乘積,即在四邊形 ABCDK 有AB - CD" AD- BC=AC BR這就是著名的托勒密定理.本刊 1996年第2期給出了它的幾種證法,作為續(xù)篇,本文就其數(shù)形轉(zhuǎn)換功能 舉例說明如下：1 “形轉(zhuǎn)換為“數(shù)對于某些幾何問題,特別是圓內(nèi)接多邊形問題,如果能根據(jù)題設(shè)中隱 含的數(shù)量關(guān)系,利用托勒密定理可將“形轉(zhuǎn)換為“數(shù),從而到達用代 數(shù)運算來代替幾何推理的目的.

27、例1正七邊形A1A2- Az,求證第21屆全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題對于這道競賽題,原證較繁,但通過深挖隱含條件,利用托勒密定理 可改變整個解題局面,使證題步驟簡縮到最少.如圖 1,連 A1A5、A3A5,那么 A1As=AiA4、AbA=AA3.在四邊形 ZA>ZA 中,由托勒密定理,得 A3A4 , AAs+AAs , AA3= A1A4 , A3A5,即 A1A2 - A1A4 + AA2 A1Ab=AAb AN,兩邊同除以 A1A2 AA3 AA即得結(jié)論式.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料例2如圖2, A、R G D四點在同一圓周上,且 BO C54, AE=6 線段BE和DE的長都是整數(shù),

28、那么BD的長等于多少？1988年全國初中數(shù) 學(xué)聯(lián)賽題此題假設(shè)用其它方法解,往往使人一籌莫展.假設(shè)運用托勒密定理,可使 問題化難為易.由 4CD團BAEffiACBEE DAE 得4BE4DEAB =, AD =CECE由托勒密定理,得BD(A曰 CE)=4(AB+ AD),BP BD(AE + CE)= 16 +亦即CE(AE+ CE)= 16.設(shè)CE=k整理上式,得x2+6x16=0.解得x = 2負(fù)值已舍,故BE- DE= CE- AE= 12. v BD< BG C58,BE =3DE = 4BE= 4DE =3,故 BD = 7.例3 一個內(nèi)接于圓的六邊形,其五個邊的邊長都為 8

29、1, AB是它的第 六邊,其長為31,求從B出發(fā)的三條對角線長的和.第九屆美國數(shù)學(xué)邀 請賽試題原解答過程冗長.假設(shè)通過托勒密定理的橋梁作用,把“形轉(zhuǎn)換為“數(shù), 可使問題化繁為簡.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料E A圖3如圖 3,設(shè) BD=a BE=b, BF= c,連 AG CE AE,貝U CE= AE= BD= a, AC=BF c.在四邊形BCDW,由托勒密定理,得81b+812 = a2同理 81b+ 31 - 81=ac 31a+81a=bc 解、組成的方程組,得a=135, b=144, c=105故 a +b+ c=384.2 “數(shù)轉(zhuǎn)換為“形對于某些代數(shù)問題,假設(shè)結(jié)構(gòu)與托勒密定理相似,

30、通過構(gòu)造圓內(nèi)接四邊 形,可把“數(shù)轉(zhuǎn)換為“形,然后利用“形的性質(zhì),使問題得到解決.這 種解法構(gòu)思巧妙,方法獨特,富于創(chuàng)新,出奇制勝.例4解方程2面-121 + 1店 7 = 7 島.C副4假設(shè)按常規(guī)方法解這個無理方程,過程繁冗.假設(shè)由方程的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想 到托勒密定理,那么構(gòu)造直徑 AC=x(x> 11)的圓及圓內(nèi)接四邊形 ABCD使 BC=2 CD=11如圖4 ,于是AB 二4,心二4-12L由托勒密定理,得更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料W -121 -11- 4 = X.將此式與原方程進行比擬,得BD=7Vi在BCD,由余弦定理,得cos /BCD -12?,NBCD±12U* .

31、fefcx=AC = =14. sin 120經(jīng)檢驗x=14是原方程的根.例5aJj>+bj>/ =一求證：a2+b2=1.這道名題已有多種證法,而且被視為用三角換無法解代數(shù)問題的典 范.下面再給出一各幾何證法.易知0&a、b&1且a、b不全為零.當(dāng)a、b之一為零時,結(jié)論顯然 成立.當(dāng)a、b全不為零時,由等式聯(lián)想到托勒密定理,作直徑 AO 1的圓及圓內(nèi)接四娜恥8,便AB =b, AD = a,文唱5,那么CD =、EC= J13由托勒密定理,WaVl-ba +bVl-a2 =1 *BD,與等式比擬,得BA 1,即BD也為圓的直徑,故a2+b2=1例 6 設(shè) a>

32、;c, b>c, c>0,更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料求國、卜© 瓊4 m© -jab.此題假設(shè)用常規(guī)方法證實也不輕松.下面利用托勒密定理給出它的一個 巧證.詬I曲= I右L. Jie2 + ba-c2 =西彳,而丁十加彳二不尸二屈故構(gòu)造直徑AC=每的圓及圓內(nèi)接四邊形ABCD,使AB =A,AD = 后.如 圖6,那么BC =、匹二吁,CD = *碩可.由托勒密定理,得* Jw y) +5c * 0g f) = yjab * BD.因 BD<AC = JS.故 J威?或& - u) + yabca - c)Cabp-c) + J® qSF.更

33、多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料巧用托勒密定理證題河北晉州市數(shù)學(xué)論文研究協(xié)會張東海王素改在解證某些數(shù)學(xué)題時,如能巧用托勒密定理,可使解證過程簡潔清新, 茲舉例說明.托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中,兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積 之和.圖1一、構(gòu)造“圓,運用定理【例 1】設(shè) a, b, x, y 是實數(shù),且 a2+b2=1, x2+y2=1.求證：ax+ by< 1.證 作直徑AB=1的圓,在AB的兩側(cè)任作RtAACBF口 RtAADEj® AC=a BC=b BD=x AD=y.圖 1由勾股定理知a, b, x, y滿足條件.根據(jù)托勒密定理,有AC- BN BC- AD=AB CDv CD

34、< 1, ax+by<1.二、利用無形圓,運用定理【例2】等腰梯形一條對角線的平方,等于一腰的平方加上兩底之 積.：梯形 ABCD中,AD=BC AB/ CD求證：BD=BC + AB- CD證二.等腰梯形內(nèi)接于圓,由托勒密定理,有AC-BD=AD B8 AB CD更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料. AD=BC AC=BD .BD=BC+ AB - CD (圖略)【例3】：邊長為1的正七邊形ABCDEFG,對角線AD=a, BG=b(a wb).求證：(a + b) 2(a b) = ab2.證連結(jié) BD GE BE, DG 貝U BD=EG= GB=b DG=BEDA= a, DE=AB

35、=AG=1(如圖 2)E圖£在四邊形ABDM,由托勒密定理,有 AD- BG=AB D(3 BD- AG即 ab=a+ b (1)同理在四邊形BDE助,得BE- DG=DEBG BD- EG即 a2=b+ b2 (2)將(2)變形為 b=a2 - b2 (3)(1) x(3),得 ab2 = (a + b)(a2b2).故 ab2=(a + b) 2(a b).三、構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形,運用定理【例4】在4ABC中,/ A的內(nèi)角平分線AD交外接圓于D.連結(jié)BD.A的3求證：AD- BC=BD (AB+AC).更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料證(如圖3)連結(jié)DC由托勒密定理.有 AD- BC=AB

36、 CNAC- BD又. / 1=/2,BD=DC.AD- BC=AB CNAC- BD=BD(ABAC).即 AD- BC=BD (AB+AC).圓內(nèi)接四邊形的面積公式黑龍江綏化五中 任天民在中學(xué)教學(xué)里使用海倫公式5一 b)(p 一 Q (其中p二再三,露壯口為三角形的三邊)計算三角形的面積是個重要的方法,三角形一定有外接圓,所 以我們可以聯(lián)想,圓內(nèi)按四邊形回積的計算公式是否與三角形面積公式有相似之設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCM各邊為a, b, c, d.連結(jié)BD.由/ A+ / C=180 ,可以推出sinA=sinC ,cosA= cosC.并且S 四邊形 ABC=S AB葉 Sa BCD=-bc

37、sinA+ adsmC22=；(尻+ a.d)sinA.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料再由余強定理成溫=bJ +c2 - BD2bc2 + j2 _及c"C=一菊,.兩百肖去BD阿得2gd ;桃)sin A = Jt -cc»J A =a + b + c-d)(b + c + d-a)(a + <i + b -* d+ c-b)2(就 d + tc)所以1J(a + b 亡-d) (b + c 上 -E b + & -、)(自,4' 4 d - 匕)%糜維E =5(尻rd).永不國=J(曰 + b + . d)(b4c + d- + b + d- c)(a

38、+ c + d - b).今p=M上產(chǎn)上式化為 、地慮崩s=je-3s-bxp-op-d,這樣我們得出了圓內(nèi)接四邊形面積的計算公式.在上面的公式中,如果設(shè)某一邊為零,不仿設(shè)d=0此時四邊形變成 三角形,該公式恰是計算三角形面積的海倫公式.圓內(nèi)接四邊形面積公式的得出是受三角形面積公式的啟發(fā), 通過聯(lián)想 探索出來的,而且兩者在形式上又是那么的相近. 這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)中不勝 枚舉,如果同學(xué)們都能從特殊規(guī)律去探索一般規(guī)律, 再從一般規(guī)律去熟悉 特殊規(guī)律.那么對數(shù)學(xué)水平的培養(yǎng)將大有裨益.四條邊定長四邊形面積的最大值上海市育群中學(xué)李甲鼎更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料四條邊為定長的四邊形不具穩(wěn)定性, 但在某種特定的位

39、置下,它能內(nèi) 接于圓,成為圓內(nèi)接四邊形.并且此時到達變化過程中面積最大值. 下文 證實這個事實.：四邊形 ABCM: AB= a, BC= b, CD=c DA=d求證：四邊形ABCM有唯一四邊形能內(nèi)接于圓,且此時面積到達最 大化證實：(1)先證四邊形四邊定長,有唯一的四邊形內(nèi)接于圓,設(shè)/ABC二 a , / ADC率,AC=x2由余弓淀理得a =(1)令 a + B = c ,即 COS a + COS 0 =0aJ bu - x2C3 + eV - H2=042ab2fcd+) + 肪口 + d一 足.=0, 工 ab(c +& )+cd(k +b )二 K =:.ab + cdX

40、的解唯一確定,代入 (2)后COS a、COS B也隨之唯一確,在a , BC(0,冗)的條件下a、B也同時唯一確定.一四邊形四邊定長,對角互補,四邊形是唯一的.即所得到的四邊形 為圓內(nèi)接四邊形.(2)當(dāng)四邊定長的四邊形內(nèi)接于圓時,此四邊形面積最大.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料四邊形ABCD勺面積S= + s皿=5absitl Q +白癡乩B Lia匚由余弦定理得 a2+b22abcosa =x2=c2 + d2 2cdcos B_ ca _ d2) = -(abcosCL cdcos P ) (4)J0)* + (4)1 ： * + ；-c2- d3)3 =-a3ba + c2d2 - 2abc

41、dcos(Cl + E )=>S2+ dd* - 2abcdg£(H 4- P )- -jfa2 4- S2 - c3 - d2)2顯然當(dāng)a + B =冗時即為圓內(nèi)接四邊形時S2到達最大值,即S最大.= 3rhz +/d? + 2abcd- +b2 -c3-d2)24.'.S1Mli = ：/(8i + b + c - d)(貿(mào) + 辦 + d - c)S + c 4 d - b)(b + c + d -渣)一個幾何定理的應(yīng)用江蘇省徐州礦務(wù)局龐莊職校張懷林定理：如圖1 ,在圓接四邊形ABCD中弦AD平分/ BAC ,那么2ADcos a =AB + AC.證實 連接BD

42、、DC、BC,設(shè)圓半徑為R,那么由正弦定理有：BD = DC = 2Rsin 民,BC=2Rsin2 a .更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料由托勒密定理有AB - CD+AC - BD=AD - DC.AB+AC - 2Rsin a =AD - 2Rsin2那么 2AD - cos a =AB + AC.卜面舉例說明它的應(yīng)用.例1如圖2,銳角 ABC的/A平分線交BC于L,交外接圓于 N,過L分別作LKAB, LMXAC,垂足分別為K、M.求證：四邊形 AKNM的面積等于 ABC的面積.第 28 屆 IMO證實由得由定理有 2ANcos a =AB + AC,而姐匚=!AB + AC. AL* sna

43、=AN - AL cos s sin a =AN AK - sin a =AN - AM sin a =2S/n= 2Saamn. SaaB=S 四邊形AKNM例2己知一個正七邊形A1%A71求證,更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料第21屆全蘇奧數(shù)證實作正七邊形外接圓,如圖3所示.明3圖4由定理有2c - cos a =b+c ,又在等腰 AiA2A3中有2a - cos民=b .以上兩式相除,可得手=匚 b a例 3 在 ABC 中,/ C=3/A, a = 27, c = 48,那么 b 的值是.第36屆AHSME試題解如圖4.作 ABC的外接圓,在虛取三等分點D、E,連CD、CE.由得：/ ACD

44、= / DCE= / ECB= / A, CD=AB=48 ,由定理有 2CE cosA=CB+CD 2CD cosA = CE+AC 又 2CB - cosA=CE 更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料由、得二 CE = JCB(CB + CD) =45,由、得：b=AC=CE - (CD-CB)/CB=35 .托勒密定理及其應(yīng)用河北省晉州市數(shù)學(xué)論文研究協(xié)會劉同林托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中,兩條對角線的乘積 兩對角線所包矩 形的面積等于兩組對邊乘積之和一組對邊所包矩形的面積與另一組對 邊所包矩形的面積之和.：圓內(nèi)接四邊形ABCD ,求證：AC - BD=AB - CD+AD - BC .證實：如圖1,過

45、C作CP交BD于P,使/ 1 = /2,又/ 3=/4, .ACDsBCP .AC ABBC = BF那么 AC, BP = AD * BC,又/ACB=/DCP, /5=/6, . ACBsDCP .ar AC= r/. AC* DP = AB* CD.DP CD十 得 AC(BP + DP)=AB - CD+AD BC .即 AC - BD=AB - CD+AD BC.這就是著名的托勒密定理,在通用教材中習(xí)題的面目出現(xiàn),不被重視.筆者認(rèn)為,既然是定理就可作為推理論證的依據(jù). 有些問題假設(shè)根據(jù)它 來論證,顯然格外簡潔清新.茲分類說明如下,以供探究.、直接應(yīng)用托勒密定理更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料

46、A圖 £例1如圖2, P是正4ABC外接圓的劣弧吃上任一點不與B、C 重合,求證：PA=PB+PC.分析：此題證法甚多,一般是截長、補短,構(gòu)造全等三角形,均為繁 冗.假設(shè)借助托勒密定理論證,M有 PA - BC=PB AC + PC AB,.AB=BC=AC .PA=PB+PC .二、完善圖形借助托勒密定理例2證實“勾股定理： 在 RtABC 中,/B=90° ,求證：AC2=AB2+BC2證實：如圖3,作以RtAABC的斜邊AC為一對角線的矩形 ABCD , 顯然ABCD是圓內(nèi)接四邊形.A國圖耳由托勒密定理,有AC BD=AB - CD+AD BC . 又; ABCD是矩

47、形,更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料 .AB=CD , AD=BC , AC=BD. 把代人,得ac2=ab2+bc2.例3如圖4,在4ABC中,/ A的平分 線交外接/圓于D,連結(jié) BD,求證：AD - BC=BD(AB +AC).證實：連結(jié)CD,依托勒密定理,有 AD BC=AB CD + AC BD./ 1 = /2,BD=CD .故 AD BC=AB - BD + AC - BD=BD(AB +AC).三、利用“無形圓借助托勒密定理例4等腰梯形一條對角線的平方等于一腰的平方加上兩底之積.如圖 5, ABCD 中,AB / CD, AD=BC ,求證：BD2=BC2 + AB - CD .證實：二

48、.等腰梯形內(nèi)接于圓,依托密定理,那么有 AC BD=AD BC + AB CD.又= AD=BC , AC=BD ,.BD2=BC2 + AB CD.四、構(gòu)造圖形借助托勒密定理例 5 假設(shè) a、b、x、y 是實數(shù),且 a2+b2=l, x2 + y2=1 .求證：ax+ by < 1 .證實：如圖6,作直徑AB=1的圓,在AB兩邊任作RtAACB和Rt ADB,使 AC = a, BC=b , BD=x, AD=y.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料由勾股定理知a、b、x、y是滿足題設(shè)條件的.據(jù)托勒密定理,有 AC BD + BC AD=AB - CD. CDWAB = 1,ax+by<1

49、.五、巧變原式妙構(gòu)圖形,借助托勒密定理例6a、b、c是4ABC的三邊,且a2=b(b+c),求證：/ A=2 / B .分析：將a2=b(b+c)變形為a - a=b - b + bc,從而聯(lián)想到托勒密定理, 進而構(gòu)造一個等腰而形,出兩腰為 b,兩對角線為a, 一底邊為c.證實：如圖7,作4ABC的外接圓,以A為圓心,BC為半徑作弧 交圓于D,連結(jié)BD、DC、DA. AD=BC ,丁. / ABD= / BAC .又:/ BDA=/ACB(對同弧),；/1=/2.于是 ED=|C ,那么 BD=AC=b .依托勒密定理,有 BC - AD=AB CD + BD AC. 而 a2=b(b + c

50、),即 a - a=b c+b2. 比擬GX 得 CgMBD , CD=BE , z 3=z l = z 2 . ./ BAC=2/ABC.更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料六、巧變形妙引線借肋托勒密定理例 7 在 ABC 中,/ A ： / B ： / C=1 ： 2 ： 4,求證1L += _LI AB AC BC析證：將結(jié)論變形為AC - BC + AB - BC=AB AC,把三角形和圓聯(lián) 系起來,可聯(lián)想到托勒密定理,進而構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形.如圖8,作4ABC的外接圓,作弦 BD=BC ,邊結(jié)AD、CD.在圓內(nèi)接四邊形ADBC中,由托勒密定理,有 AC BD + BC AD=AB - CD易證 AB

51、=AD , CD=AC ,. AC BC+BC - AB=AB - AC,兩端同除以AB,EC AC,存+ 777 =釬；-H-D Aw -D w關(guān)于圓內(nèi)接四邊形的假設(shè)干共點性質(zhì)浙江紹興縣魯迅中學(xué)范培養(yǎng)設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,其邊AB與DC的延長線交于P, AD 與BC的延長線交于Q,由P作圓的兩切線PM、PN,切點分別為M、N; 由Q作圓的兩切線QE、QF,切點分別為E、F如圖1.那么有以下一些 共點性質(zhì)：性質(zhì)1 AC、BD、EF三直線共點.證實：如圖1 ,設(shè)AC交EF于Ki,那么Ki分EF所成的比為EK1 ,曄 AEsin/EAK = APsinZFAK,CE刈口 JEAKiCF-2R

52、i - 2K.其甲R為.半徑乳口 N上Abi1CECF ,更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料設(shè)BD交EF于大,同理可得大分EF所成的比為由QEAls£QDE彳導(dǎo)提抵=, LE QD&F GF SAQAQCFW-,由0及QE = QF可得會器同理可得些二至 I收I忖CE CF由(5)、(6)可得(1)=(2),故Ki、K2分EF所成的比相等.Ki、K2重合,從而 AC、BD、EF三直線共點.類似地AC、BD、MN三直線共點,因此有以下推論AC、BD、EF、MN四直線共點.性質(zhì)2 AB、DC、EF三直線共點于P.(此性質(zhì)等同于1997年中國 數(shù)學(xué)奧林匹克第二試第四題)這里用上述證實性質(zhì)1的方

53、法證之.證實：如圖2.設(shè)DC與EF的延長線交于Pi,那么Pi分EF所成的比 為更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料設(shè)AB與EF的延長線交于P2,那么P2分EF所成的比為由(5)、(6)可得=(8),故Pi、P2分EF所成的比相等.Pi、P2重合,從而AB、DC、EF三直線共點于P.推論 AD、BC、NM三直線共點于 Q.性質(zhì)3 EM、NF、PQ三直線共點.證實：如圖3,設(shè)EM的延長線交PQ于Gi,妨上證法,Gi分PQ所 成的比為設(shè)NF的延長線交PQ于G2,那么G2分PQ所成的比為(10)PG1_ PN . NF5 =函證,(這里E、F、P三點共線及N、M、Q三點共線在性質(zhì)2及推論中已 證).由PMEsPFM 得(11)PE- _ ME 血二而,由qfns/qmf 得.(12)由(11)、(12)及 QE=QF、PN=PM可得(9)=(10),故Gi、G2分PQ所成的比相等.更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料Gi、G2重合,從而EM、NF、PQ三直線共點.性質(zhì)4如果直線EN和MF相交,那么交點在直線PQ上,即EN、 MF、PQ三直線共點.證實從略,妨性質(zhì)3的證法可得.性質(zhì)5 EM、NF、AC三直線共點.證實：如圖4,類似于性質(zhì)1的證實,設(shè)EM與AC的延長線交于G3,那么G3分AC所