無窮小的發(fā)展及其認(rèn)識

1、摘 要微積分是高等數(shù)學(xué)的基本組成部分，它不僅在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位，而且也是現(xiàn)代化建設(shè)和高科技發(fā)展不可缺少的有效工具。而無窮小是微積分理論的最基本概念之一，在微積分理論體系中，無窮小是一個必須要弄清楚的概念。然而，人們對無窮小的認(rèn)識卻經(jīng)歷了一個漫長的過程。直到十八世紀(jì)，仍然沒有較完善的解釋無窮小概念。無窮小是什么？無窮小究竟能不能是零？我們怎樣確切地描述它？這些問題引起了數(shù)學(xué)界乃至哲學(xué)界的爭論長達(dá)一個半世紀(jì)。無窮小問題至關(guān)重要，若其不能解決，極限概念就無法建立，微積分理論就不會完善。到十九世紀(jì)二十年代，無窮小概念才有了比較合理的解釋。為了更好地學(xué)習(xí)微積分理論，掌握現(xiàn)代化科學(xué)文化知識，正確認(rèn)識

2、無窮小量的歷史發(fā)展根源及其內(nèi)涵也是非常重要的。本文主要通過無窮小的歷史認(rèn)識無窮小的地位和價值。關(guān)鍵詞：無窮小量，微積分，發(fā)展，認(rèn)識Development and understanding of infinitesimalAbstract： Calculus is the basic part of higher mathematics, it not only occupies an important position in higher mathematics, and it is also an effective tool to modernization and high-tech

3、 development essential. But the infinitely small is one of the most basic concepts of calculus, calculus theory, infinitely small is a must to clarify the concept of. However, peoples awareness of the infinitesimal has experienced a long process. Until eighteenth Century, there is no perfect interpr

4、etation of the concept of infinitesimal. Infinitesimal is what? Infinitesimal what can not be zero? How can we describe it exactly? These problems caused by the mathematics community and philosophical debate for 1.5 century. Essential infinitely small problem, if not solved, the concept of limit can

5、not be established, calculus theory is not perfect. In nineteenth Century twenty time, the idea of infinitesimal is relatively rational explanation. In order to better learning calculus theory, master the modern scientific and cultural knowledge, causes the historical development and connotation of

6、the correct understanding of infinitesimal is also very important. In this paper,the historical understanding through infinitesimal infinitesimal status and value.Keywords: infinitesimal calculus, development, understanding 目 錄一、引言1二、無窮小的發(fā)展及歷史過程1（一）無窮小概念的產(chǎn)生1（二）牛頓和萊布尼茨對無窮小量的認(rèn)識21.牛頓與無窮小量22.萊布尼茨與無窮小量3（

7、三）萊布尼茨和牛頓對無窮小的異同6（四）無窮小量在第二次數(shù)學(xué)危機(jī)中的原因6（五）無窮小的最后完善8三、無窮小在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用9（一） 定義中的無窮小9（二）無窮小量性質(zhì)9（三）在近似計(jì)算中的無窮小10（四）函數(shù)極限中的無窮小13（五）無窮小的比較在判別正項(xiàng)級數(shù)的斂散性中的應(yīng)用14（六）無窮小量在型極限中的應(yīng)用15（七）無窮小在證明問題中的應(yīng)用16四、結(jié)束語17參考文獻(xiàn)181、 引言“無窮小”的出現(xiàn)是初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變的一件具有劃時代意義的大事，從此出現(xiàn)了一個新的數(shù)學(xué)分支微積分。它是微積分學(xué)的基礎(chǔ)理論，并且在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中也起著重要的作用。可是，這一概念的出現(xiàn)并不是在微積分創(chuàng)立時就已成為微積

8、分學(xué)的基礎(chǔ)。它的建立經(jīng)歷了一個漫長而艱苦的過程。本文研究“無窮小量”的建立和發(fā)展的歷史，認(rèn)識其對數(shù)學(xué)發(fā)展的意義和作用即在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。根據(jù)有關(guān)史料，試就“無窮小”的建立及其對數(shù)學(xué)發(fā)展的意義和作用，提出一些粗淺的見解。二、無窮小的發(fā)展及歷史過程（一）無窮小概念的產(chǎn)生無窮小概念的產(chǎn)生無窮小是一個歷史概念，它的歷史可以追溯到文藝復(fù)興時期的不可分量，不可分量概念的產(chǎn)生可以從古希臘的原子論和阿基米德解決一些問題的方法中得到某種根源性的解釋。而在公元前450年，希臘人芝諾用“兩分法”分析物體的運(yùn)動時，得出運(yùn)動是不可能的悖論。他說：“若物體由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)，首先必須經(jīng)過AB的中點(diǎn)C；然而，要經(jīng)過C點(diǎn) ，又必

9、須經(jīng)過 AC的中點(diǎn) D，即 AB的 1/4分點(diǎn)?！边@些分點(diǎn)如此無限次地找下去所得結(jié)論是:運(yùn)動是不可能的。1這說明當(dāng)時的希臘人雖然已經(jīng)具備了用無窮小思想認(rèn)識問題的能力，但由于他們還不能解決無窮小與很小很小之間的矛盾，所以當(dāng)時的希臘幾何證明中很少使用無窮小思想。不管是在古希臘還是在中國，無窮小思想最初都是在哲學(xué)范圍內(nèi)提出的。在2000多年前的中國，人們就已產(chǎn)生對數(shù)學(xué)無窮小的萌芽認(rèn)識。莊子天下篇中有言“至大無外，謂之大一，至小無內(nèi)，謂之小一”，大到?jīng)]有外面，自然是無窮大，小到?jīng)]有里面，當(dāng)是無窮小。又言“一尺之錘，日取其半，萬世不竭” ，描述了無窮小的變化過程。魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)“劉徽的割圓

10、術(shù)”中提出“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周全體而無所失矣”的思想，第一次創(chuàng)造性地將無窮小思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)中，他用增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來逼近圓。此時，正多邊形的周長與圓的周長之差是無窮小。17世紀(jì)上半葉一系列先驅(qū)性的工作，沿著不同的方向向微積分的大門逼近。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦利列在其不可分量幾何中，將面和立體看、成不可分量“流動”所生成。他認(rèn)為，不可分量就是無窮小。在開普勒以后，不可分量逐漸被叫做無窮小量。隨著社會不斷進(jìn)步，面臨解決諸如瞬時速度，曲線的切線及不規(guī)則圖形的面積計(jì)算等問題，都與無窮小相關(guān)，于是無窮小量方法就成為力學(xué)和幾何學(xué)的一個重要工具。在17世紀(jì)晚期，開始產(chǎn)生并

11、形成了無窮小的演算。英國物理學(xué)家牛頓在研究物理學(xué)時，用變量和的無窮小改變量作為求導(dǎo)數(shù)的手段。當(dāng)他在求瞬時速度時，用位移的改變量S與時間的改變量T的比ST，當(dāng)時間變化量T變成零時的值表示1。改變量T是否為零？能不能取為零值？在當(dāng)時引起了很大的爭論。同時，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲也在幾何學(xué)研究方面用變量X和Y的無窮小的微分增量dy和dx來研究面積和體積的計(jì)算。這時無窮小才開始被廣泛地討論和研究。 （二）牛頓和萊布尼茨對無窮小量的認(rèn)識 1.牛頓與無窮小量什么是無窮?。颗ｎD在他的早期和晚期著作里有不同的解釋。牛頓微積分的基本特點(diǎn)是基于直觀(面積、流量)的有效、普遍算法。牛頓在處理微積分問題時，一方面追求解題

12、方法的普遍性；另一方面這種普遍的解題方法又是建立在有關(guān)物理學(xué)意義的“量”的基礎(chǔ)上的。他和前人一樣，盡可能地利用變量的直觀意義，而與歐拉的思想把微積分演算看成是一種完全形式的推演不同的是他把各種具體的問題概括為一般的普遍算法。在早期第一階段，他基本上是實(shí)無窮小(常常以“瞬”的形式表現(xiàn)出來，瞬是無窮小的量 ，不可分的量，也叫做微元)觀點(diǎn)。他認(rèn)為無窮小就像構(gòu)成物質(zhì)的元素一樣，也是最小的、不可分的。求面積是利用無窮小面積的和得到的，求體積、位移也都利用的是它們各自的微元求和得到的。例如：1669年牛頓在第一篇流數(shù)法的論文運(yùn)用無限多項(xiàng)方程的分析中，為解決已知曲邊梯形的面積公式是3要求它的曲線公式的問題，

13、他用字母表示橫坐標(biāo)的無窮小增量，稱之為的瞬，于是新的橫坐標(biāo)就是，全部面積是按二項(xiàng)式定理展開之后，減去并且在等式兩邊除以，最后舍掉含有的各項(xiàng)，結(jié)果就得到曲線公式在整個運(yùn)算過程中，牛頓用的，先把它表示成0的無窮小增量，然后又使它=0舍掉。他把瞬或無窮小看成是實(shí)無窮小量，就是說他只是從變量變化的間斷性，變量變化的結(jié)果這個角度，而不是從連續(xù)和間斷、過程和結(jié)果辯證的統(tǒng)一的角度來考察無窮小的。這個觀點(diǎn)是從費(fèi)爾馬與巴羅等那里得來的，并且進(jìn)行了初步理論上的概括。牛頓使用符號與格雷戈里等使用符號是一致的。同時牛頓還承認(rèn)在他的方法中關(guān)于丟棄含各項(xiàng)的說明和費(fèi)爾馬、巴羅關(guān)于丟棄E和e的說明同樣是不清楚的。正如牛頓所講

14、的那樣,他的方法只是“簡略的說明,而不是正確的論證?！?而在他寫于1671年直到1736年才發(fā)表的流數(shù)法和無窮級數(shù)中，他認(rèn)為變量是由“點(diǎn)、線和面的連續(xù)運(yùn)動產(chǎn)生的”。所以他把變量叫做“流量”，并把變化率叫做“流數(shù)”。把流量的變化總是和時間的流逝聯(lián)系起來，就是說流量總是隨著時間的變化而變化的。當(dāng)他將這種基本概念(瞬或無窮小)運(yùn)用到流數(shù)法的基本方法中時，必然會產(chǎn)生邏輯矛盾。實(shí)無窮小量一方面是常量，另一方面既可以是非0，又可以是0，這怎么可能呢?為了擺脫這種邏輯上的矛盾，合理地解釋流數(shù)法，牛頓從1671年流數(shù)法開始，從實(shí)無窮小量的觀點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)闈摕o窮小的觀點(diǎn)。這一著作的發(fā)表標(biāo)志著牛頓的基本觀點(diǎn)已經(jīng)開始進(jìn)入

15、第二個階段。在這本著作中，牛頓已經(jīng)開始從第一階段的早期觀點(diǎn)開始向晚期的觀點(diǎn)過渡，這表現(xiàn)在他對瞬這個重要概念的解釋上，主要的變化在于早期他是從靜力學(xué)的觀點(diǎn)、不可分量的形式來解釋的，而現(xiàn)在是從動力學(xué)的觀點(diǎn)、連續(xù)量的形式來解釋的了。但是在計(jì)算方法上則仍然按照實(shí)無窮小方法來計(jì)算。而后一種觀點(diǎn)最后發(fā)展成為所謂最初比和最終比方法，這個方法實(shí)質(zhì)上可以認(rèn)為是后來哥西提出的極限理論的雛形。事實(shí)上牛頓在他的1669年的分析學(xué)中的思想更接近于卡瓦列里的不可分量或者靜力學(xué)式的不可分法，而在較晚的1671年(1736年出版)流數(shù)法和無窮級數(shù)中則更傾向于伽力略的動力學(xué)思想，因而更多地使他的流數(shù)法依附于他的時空連續(xù)統(tǒng)的直觀

16、解釋。牛頓在1676年寫的論文曲線與求積，標(biāo)志著他的觀點(diǎn)進(jìn)人了第三個階段，即后期階段。在這篇文章里，牛頓正式宣布他放棄早期對無窮小的觀點(diǎn)，不再把數(shù)量看成是由不可分割的最小單元構(gòu)成的，而是把它們看成是由幾何元素經(jīng)過連續(xù)運(yùn)動生成的。他說:“在這里我認(rèn)為數(shù)學(xué)量不是由最小單元構(gòu)成的，而是由連續(xù)運(yùn)動生成的。直線并不是由最小單元構(gòu)成的，而是由點(diǎn)運(yùn)動而成的，面由直線運(yùn)動而成，立體由面運(yùn)動而成，角由邊旋轉(zhuǎn)而成，時間由連續(xù)運(yùn)動而成等等?！迸c早期不同的是，這時牛頓不再把流數(shù)看成是兩個實(shí)無窮小量的比，而是把它理解為初生量的最初比或消失量的最終比。在曲線求積術(shù)中，他寫道:“流數(shù)很接近在等長而又非常小的時間元里所生的增

17、量(之比)非常接近，說得確切些，它們是初生增量的最初比”。就是說流數(shù)是初生量的最初比。又說:“如果流數(shù)被看成是消失量的最終比，那么等于是同一事”。這里牛頓又把流數(shù)理解為消失量的最終比。2.萊布尼茨與無窮小量在建立微積分中和牛頓并列在一起的還有德國的博學(xué)巨人萊布尼茨(Leibniz，1646-1716)，萊布尼茨是哲學(xué)家、法學(xué)家、歷史學(xué)家、語言學(xué)家和先驅(qū)的地質(zhì)學(xué)家，他在邏輯學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)和計(jì)算機(jī)方面都做出了重要的貢獻(xiàn)，他還是數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。萊布尼茨的微積分主要于1672-1676年在巴黎期間完成。在惠更斯的鼓勵下，萊布尼茨于1672年開始深入研究數(shù)學(xué)，1674

18、年開創(chuàng)了微積分的方法，1687年第一次公開發(fā)表了微積分的文章。萊布尼茨集中研讀了開普勒、卡瓦列利、笛卡爾、帕斯卡和沃利斯等人有關(guān)面積、體積和曲線弧長的大量文獻(xiàn)，吸取了他們的成果，而且可以看到他在創(chuàng)立微積分時的思想發(fā)展過程。萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年，萊布尼茨整理、概括自己1673年以來微積分研究的成果，發(fā)表了第一篇微分學(xué)論文一種求極大值與極小值以及求切線的新方法(簡稱新方法)，它包含了微分記號以及函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分法則，還包含了微分法在求極值、拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用。1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文潛在

19、的幾何與分析不可分和無限，這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系，包含積分符號，并給出了擺線方程。萊布尼茨當(dāng)時把微積分稱為“無窮小算法”。他建立的微積分也是以無窮小為基礎(chǔ)的。在他的工作中，對產(chǎn)生微積分的主要問題之一切線的求法，是以兩個微分比，即為基礎(chǔ)的，而、分別是曲線上兩個距離為“無窮小”的點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差和縱坐標(biāo)之差，可見、是無窮小量。萊布尼茨第一次用“瞬”(moment)來表示無窮小量(infinite small)是在1675年10月25日的手稿依據(jù)重心求面積的分析法中，在這里他用moment一詞表示一小塊面積(可以看作是面積微元)。5在他的微積分手稿和有關(guān)論述中，萊布

20、尼茨也用到“基元”(element)或“不可分量”(indivisible)，他但絕大多數(shù)都用“瞬”表示無窮小量。編輯萊布尼茨早期數(shù)學(xué)手稿的作者認(rèn)為，他的moment很可能是從惠更斯那里繼承來的。而moment源于拉丁語momentum，其基本意義是運(yùn)動和變化，而且，更傾向于表示微小的變化，特別是微小的時間段，這是它在力學(xué)或當(dāng)時的自然哲學(xué)中的基本意義。當(dāng)然，萊布尼茨對“無窮小量”概念本身并沒有給出明確的界定，他的理解和表述也存在著混亂和矛盾。例如，他頻繁運(yùn)用“瞬”、微分，有時直接稱為“無窮小量”。不過，有一點(diǎn)是確定的，他的手稿中絕大部分地方都用moment表示無窮小量，并且他的無窮小量基本上是

21、一個變量他這樣說過:“對于數(shù)學(xué)家，為了他們的證明的嚴(yán)格起見，只要不取無窮小而取要多么小有多么小就夠了?！笨偟恼f來，他引入無窮小量完全是一種權(quán)宜之計(jì)，是確立導(dǎo)數(shù)的一種手段而已。盡管他沒有對無窮小量的存在性和確定性過多地考慮，但他認(rèn)為由無窮小量表示的導(dǎo)數(shù)是確定的。萊布尼茨微積分工作的另一個特點(diǎn)是靈活應(yīng)用“微分三角形”這個工具，這使得他從形式上有效地繞過了無窮小量的存在性這一時代的難題。有了“微分三角形”切線就不再是和曲線只有一個公共點(diǎn)的靜態(tài)的線，而是由割線變來的，運(yùn)動的產(chǎn)物。特別重要的是，當(dāng)微分三角形的邊作為無窮小量而趨于零時，所謂“微分三角形作為一種形式被保留下來”從直觀上為“曲線”與直線的統(tǒng)一

22、做了解釋，本質(zhì)上是“曲”與“直”(在同一鄰域內(nèi))的拓?fù)涞葍r性這正是后來的極限概念基礎(chǔ)。萊布尼茨努力給無窮小下一個清楚的定義。他用了“有界量”(terminata)和“無界量”(interminata)來解釋無窮大和無窮小的概念:一個無窮的量是一個比任何指定的量或任何可由數(shù)表示的量還大的，有界的或無界的量。這里有界和無界的區(qū)別在于:一個無界的無窮量是找不出邊界上的最后一點(diǎn)的，而一個有界無窮量是一種虛構(gòu)的量，是用來度量無限長度的。萊布尼茨認(rèn)為有界的無窮，而不是無界的無窮，才是數(shù)學(xué)的對象，這似乎說明了他在數(shù)學(xué)上傾向于承認(rèn)所謂“實(shí)無窮”的概念。但他對微積分學(xué)基礎(chǔ)的解釋和牛頓一樣也是含混不清的，有時他把

23、無窮小微分作為有限的確定的量，有時又作為無窮小舍去。由于缺少嚴(yán)密的定義，萊布尼茨經(jīng)常求助于類比來說明其無窮小微分的性質(zhì)，他說可以把一個量的微分與這個量本身的關(guān)系，想象為類似于一個質(zhì)點(diǎn)與地球的關(guān)系，地球的半徑與宇宙的半徑的關(guān)系。在另一個地方他又說，就象對于握在手中的球一樣，地球是無窮大一樣，恒星之間的距離相對于這個小球來說就是雙重?zé)o窮大。由于其微分運(yùn)算法獲得極大成功，盡管他似乎對其邏輯合理性也抱有很大的懷疑，但他對無窮小概念的運(yùn)用堅(jiān)信不移。（三）萊布尼茨和牛頓對無窮小的異同有關(guān)萊布尼茨的數(shù)學(xué)工作和哲學(xué)思想的關(guān)系的論述就存在著某種簡單的附會和歧義。例如，M克萊因在論及萊布尼茨和牛頓創(chuàng)立微積分的不同

24、特點(diǎn)時認(rèn)為:“兩個人的工作的主要差異是，牛頓把x和y的無窮小增量作為求流數(shù)或?qū)?shù)的手段而萊布尼茨卻直接用x和y的無窮小增量(即微分)求出它們之間的關(guān)系。這個差別反映了牛頓的物理學(xué)方向和萊布尼茨的哲學(xué)方向。在物理方向中，速度之類是中心的概念，而哲學(xué)則著眼于物質(zhì)的最終微粒；這些微粒，萊布尼茨稱作“單子”。1.在另一部重要的微積分史著作中有相似的說法，它認(rèn)為:“科學(xué)家牛頓，在速度概念中找到了在他看來很滿意的基礎(chǔ)；而哲學(xué)家萊布尼茨，則寧可從微分在他的哲學(xué)體系中起極大作用的單子在思維中的對應(yīng)物中去尋找這個基礎(chǔ)?！?.這兩位作者強(qiáng)調(diào)萊布尼茨的微積分工作受其哲學(xué)思想，特別是單子論的影響，并且把這種影響具體到

25、“單子”和“無窮小量”的類比。而編輯萊布尼茨數(shù)學(xué)手稿的作者則提出了相反的看法，他認(rèn)為:“萊布尼茨的哲學(xué)思想是以其數(shù)學(xué)工作為基礎(chǔ)的，而不是相反”。3.也就是只承認(rèn)萊布尼茨的數(shù)學(xué)工作對其哲學(xué)思想的影響，而否認(rèn)其哲學(xué)思想對數(shù)學(xué)工作的影響。綜上我們看到，萊布尼茨與牛頓建立微積分的著重點(diǎn)不同，使用的術(shù)語也不一致，牛頓是物理方向，中心概念是速度之類的，完全是從考慮變化率出發(fā)來解決面積和體積問題的，對于他來說，微分是基礎(chǔ)。在其早期著作里使用無窮小概念，后來卻否認(rèn)它，試圖將流數(shù)概念在極限基礎(chǔ)上；萊布尼茨是哲學(xué)方向的，著眼于物質(zhì)的最終的微粒，這些微粒萊布尼茨稱為單子，他重點(diǎn)考慮的是用反微分計(jì)算的和，他對于無窮小

26、概念的運(yùn)用堅(jiān)信不疑。他主張不應(yīng)該被過于小心翼翼的心里牽著鼻子走而拒絕發(fā)明的結(jié)果。由于二人的傳統(tǒng)和趣味不同，表現(xiàn)在觀點(diǎn)和方法上也不同?？茖W(xué)家牛頓，在速度的觀點(diǎn)中找到了在他看來很滿意的基礎(chǔ)；哲學(xué)家萊布尼茨也許既是一位科學(xué)家，也是一位神學(xué)家，他更傾向于在與單子思想對應(yīng)的微分里尋找基礎(chǔ)。就微積分的創(chuàng)立而言，盡管二者在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，牛頓是經(jīng)驗(yàn)的、具體的和謹(jǐn)慎的，而萊布尼茨是富于想象的、喜歡推廣的而且是大膽的。但二者的功績是相當(dāng)?shù)?。牛頓和萊布尼茨被公認(rèn)為微積分的奠基者。他們的功績主要在于:(1)總結(jié)出了統(tǒng)一的方法即微分法和積分法；(2)確立了微分法和積分法互為逆運(yùn)算的關(guān)系。但也存在

27、著許多的不足，主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想上的不嚴(yán)密:過于直觀，強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算；沒有清楚的無窮小、無窮大、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念；級數(shù)求和的任意性；符號使用的不嚴(yán)格；沒有考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分；沒有考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及可否展成冪級數(shù)等等。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家成功地用微積分解決了許多實(shí)際問題，而忽視了基礎(chǔ)的建立，甚至有些人就對基礎(chǔ)問題的討論不感興趣。盡管這一學(xué)說從一開始就受到多方面的懷疑和批評，但如達(dá)朗貝爾所說，現(xiàn)在是”把房子蓋得更高些，而不是把基礎(chǔ)打得更加牢固”。更有許多人認(rèn)為所謂的嚴(yán)密化就是煩瑣。牛頓的支持者們繼續(xù)談?wù)撟畛醣群妥詈蟊?，萊布尼茨的追隨者仍然使用無窮小的非零量，許多數(shù)學(xué)家基本上為古希臘的幾

28、何所束縛，因而微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)密化工作在18世紀(jì)未能完成，進(jìn)而完整的極限理論也未能問世。數(shù)學(xué)發(fā)展中一直貫穿著應(yīng)用上清楚與邏輯上嚴(yán)格的矛盾。比較注意實(shí)用的數(shù)學(xué)家創(chuàng)立和應(yīng)用著一些數(shù)學(xué)理論，而比較注意嚴(yán)密的數(shù)學(xué)家則提出批評，修正和完善著數(shù)學(xué)的理論。數(shù)學(xué)正是在這兩方面取得協(xié)調(diào)一致，矛盾不斷解決的過程得以不斷的豐富和發(fā)展的。數(shù)學(xué)中不乏這樣的例證，微積分的發(fā)展、極限理論的建立也是這樣。（四）無窮小量在第二次數(shù)學(xué)危機(jī)中的原因由于18世紀(jì)，哲學(xué)家貝克萊對無窮小這一模糊不清的概念進(jìn)行強(qiáng)烈的抨擊：“這些消逝的量說什么呢?它們既不是有限，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄帕康墓砘陠?” 這就是歷史上在運(yùn)

29、算過程存在的邏輯矛盾的 “第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。 我們認(rèn)為，對“無窮小量”的概念來說，數(shù)學(xué)形式定義沒有作出前，必須先求助于辯證思維，因?yàn)樗跀?shù)學(xué)分析中是一個變量，這個變量“既有零的特性，但又不等于零”。所謂既有零的特性，就是指微分一個函數(shù)后，其高階無窮小部分可以當(dāng)作零一樣舍棄而不影響其結(jié)果的可靠性，但又由于它終究是個無窮小量，盡管是高階的，所以它又永遠(yuǎn)不等于零，而是以零為極限。事實(shí)上，這種解釋的正確性當(dāng)時已由微積分的實(shí)際應(yīng)用驗(yàn)證了。所以，在實(shí)踐的基礎(chǔ)上承認(rèn)這種解釋的正確性以后，即使嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式定義還不能立刻給出來，也不一定導(dǎo)致危機(jī)，何況形式定義的正確性歸根到底必須取決于對數(shù)學(xué)客體解釋的正確與否。

30、然而，對當(dāng)時不懂唯物辯證思維的數(shù)學(xué)家(包括牛頓)來說，不僅無法作出上述解釋，而且也無法接受上述解釋，所以爭論和危機(jī)也就成為不可避免的了。這也就是導(dǎo)致第二次“基礎(chǔ)危機(jī)”的根源。2對第二次數(shù)學(xué)危機(jī)從哲學(xué)角度看，數(shù)學(xué)家們總想尋找一個一勞永逸“絕對嚴(yán)格的”邏輯基礎(chǔ)。我們認(rèn)為“嚴(yán)格”只能是相對的，邏輯本身也是如此?！敖^對嚴(yán)格”只是一種形而上學(xué)的設(shè)想。所以只有借助辯證的思維方法，才能更有效地克服悖論所帶來的危機(jī)感，并為數(shù)學(xué)在相應(yīng)的認(rèn)識水平上作出奠基。（五）無窮小的最后完善當(dāng)時利用無窮小量可以有效地解決實(shí)際問題，確實(shí)反映出客觀上存在的一類變量，并且建立了自己獨(dú)立的運(yùn)算法則。它運(yùn)用的廣泛性和運(yùn)算的完整性雖然證

31、實(shí)了它的價值，但其運(yùn)算過程中所存在的邏輯矛盾也是無法回避的?？蔁o窮小量還是在沒有邏輯基礎(chǔ)的條件下被靈活運(yùn)用著。至此，18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們雖然回?fù)糌惪巳R的質(zhì)問一直堅(jiān)持微積分的正確性，但同時也意識到建立微積分邏輯基礎(chǔ)的必要性，開始對微積分嚴(yán)密化的研究。到19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西他比較完整地闡述了極限概念及其理論，但他描述性的詞語中仍保留了幾何和物理的直觀痕跡，沒有達(dá)到徹底嚴(yán)密化的程度。但他的功績在于在一定程度上澄清了微積分基礎(chǔ)問題上長期存在的混亂，向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵性的一步。從柯西揭開了微積分嚴(yán)密化運(yùn)動的序幕，到歐拉、拉格朗日都做了大量工作。都使極限概念取得了分析的基礎(chǔ)地位，使無窮小量的精

32、確定義奠定在精確的極限概念基礎(chǔ)之上。19世紀(jì)70年代，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(Weierstrass)認(rèn)識到要嚴(yán)格地定義極限概念，必須要建立實(shí)數(shù)理論，之后他實(shí)現(xiàn)了微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)格化，為后來的微積分(乃至整個數(shù)學(xué))建立了規(guī)范和標(biāo)準(zhǔn)。至此，無窮小量有了準(zhǔn)確的定義。由于維爾斯特拉斯創(chuàng)立了極限理論，再加上實(shí)數(shù)理論和集合論的建立，才徹底把無窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本結(jié)束，貝克萊悖論得到解決。三、無窮小在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用（一） 定義中的無窮小61函數(shù)連續(xù)的定義若在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義且當(dāng)時，（即當(dāng)為無窮小時，也為無窮?。﹦t稱在點(diǎn)處連續(xù)。2.導(dǎo)數(shù)的定義若在點(diǎn)及其領(lǐng)域內(nèi)有定義，且存在，（

33、即與為同階無窮?。瑒t稱在點(diǎn)處可導(dǎo)。（二）無窮小量性質(zhì)7 根據(jù)無窮小量的定義，立刻得到如下一些性質(zhì)： （1）有限個無窮小量之和仍為無窮小量； （2）有限個無窮小量之積仍為無窮小量； （3）無窮小量乘有界量仍為無窮小量。 對其中的第（2）個性質(zhì)，要注意，不能將有限個改成可列個。即：可列個無窮小量之積仍為無窮小量的結(jié)論就不一定成立。這一點(diǎn)常常使人犯錯，不妨討論如下：1.數(shù)列情形 定義 1 對于可列個數(shù)列 （1）如對應(yīng)諸項(xiàng)的乘積均有極限，即:存在（記為），則稱數(shù)列： （2）為可列個數(shù)列集（1）的乘積數(shù)列，簡稱乘積。 假設(shè)（1）中諸數(shù)列數(shù)為無窮小量，即均以 0 為其極限，現(xiàn)討論數(shù)列（2）的極限。首先指

34、出的是，雖然（1）中數(shù)列數(shù)為無窮小量，但（2）不一定為無窮小量。 例1 考慮可列數(shù)列 顯然，當(dāng)時，（k=1，2.）都是無窮小量，但其乘積數(shù)列為1，1，.，1,.極限不為0。2.函數(shù)情形 類似于上述對數(shù)列形式的可列個無窮小量乘積的討論，也可以研究函數(shù)形式的可列個無窮小量的乘積，以下簡要地給出其定義用有關(guān)結(jié)論。首先指出，可列個無窮小量之乘積未必是無窮小量，即函數(shù)：當(dāng)時，函數(shù)為無窮小量，但未必成立。例2 當(dāng)時，函數(shù)均為無窮小量?，F(xiàn)考慮函數(shù) 易證：當(dāng)時，事實(shí)上，對當(dāng)時，注意到對任一常數(shù)，極限成立。則對充分大的n，有：所以當(dāng)時不是無窮小量。（三）在近似計(jì)算中的無窮小1.在微分的定義中可知：若在點(diǎn)處可導(dǎo)，

35、則稱為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記為，且當(dāng)很小時，即可用微分近似地計(jì)算函數(shù)的增量，這是因?yàn)椋喝粼邳c(diǎn)處可導(dǎo)，即則（為時的無窮?。┊?dāng)時是比的高階無窮小與為等價無窮小之故。 2.在泰勒公式中泰勒定理：若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù)，則，有其中 ，即是比的高階無窮小。這就是說函數(shù)的值可以近似地用它定義域中某一點(diǎn)的函數(shù)值及在該點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值為系數(shù)的含有的多項(xiàng)式計(jì)算出來也是因?yàn)樯崛サ挠囗?xiàng)是比的高階無窮小。（當(dāng)時）無窮小量的概念是近似計(jì)算的重要理論依據(jù)，即略去高階無窮小原則。在工程問題中，經(jīng)常會遇到一些復(fù)雜的計(jì)算問題，直接計(jì)算很費(fèi)力，甚至非常困難，常采用近似的方法計(jì)算。如微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，因?yàn)?，?dāng)時，的高階無窮小量可以忽

36、略不計(jì)，即，可得。在近似計(jì)算中若要求精度較高且需要估計(jì)誤差時，可以用無窮級數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算。泰勒公式是一個很好的應(yīng)用，理論依據(jù)是他們的余項(xiàng)為高階無窮小量。例3 求的近似值。解 使用微分法計(jì)算的近似值。 令， 弧度， 而，可見用微分的近似計(jì)算精度較高。例4 求的近似值，要求誤差不超過。解 令， 因?yàn)榛《?，取?有 其中， 又，當(dāng)時，即為微分的近似計(jì)算公式，它的誤差精度是： ， 不能滿足題目的精度要求。 當(dāng)時， 誤差精度是： 滿足題目的精度要求，即 ，取 ，即 可以看出,微分的近似計(jì)算公式是泰勒公式。當(dāng)時的情景精度較低。總之,無窮小量無論是在微積分的發(fā)展還是應(yīng)用中均有重要的地位和作用,正確理解無窮小

37、量的。概念有助于理解微積分的本質(zhì)。（四）函數(shù)極限中的無窮小利用等價無窮小量代換求極限：等價無窮小雖然簡單但是是個很有用的性質(zhì)，若能運(yùn)用得當(dāng)，在許多場合都能帶來明顯的好處。為了使用這種方法，必須熟記一些常見的等價無窮??；當(dāng)時，不難證明：，例5 解 原式=， 當(dāng)時 有， ， 又有 故有.在此必須強(qiáng)調(diào)的是:用等價無窮小量替換時需滿足一定的條件，對極限式中相乘積或相除的因式可以用等價無窮小量替換，如若極限式中是相加或相減部分就不能隨意替換。 (五)無窮小的比較在判別正項(xiàng)級數(shù)的斂散性中的應(yīng)用判別級數(shù)的斂散性是級數(shù)求和的前提，也是級數(shù)研究的基本問題之一，但是，從定義出發(fā)能確定斂散性的級數(shù)很少。因此，有必要探討其它的斂散性判別法。以正項(xiàng)級數(shù)為例，統(tǒng)觀其各種斂散性判別法，基本思想都是比較原理。即一個正項(xiàng)級數(shù)和某個收斂級數(shù)比較，“更可能”收斂，則該級數(shù)必收斂；一個正項(xiàng)級數(shù)和某個發(fā)散級數(shù)比較，“更可能”發(fā)散，則該級數(shù)必發(fā)散。其中關(guān)于“更可能”的判斷主要是通項(xiàng)的狀況。當(dāng)時，若通項(xiàng)不是無窮小量，則級數(shù)必發(fā)散；若通項(xiàng)是無窮小量，則判斷的關(guān)鍵是通項(xiàng)的無窮小比較。于是，有下面的定理。定理 比較判別法（極限形式） 有兩個正項(xiàng)級數(shù)與（）且(1)若級數(shù)收斂，且，則級數(shù)也收斂。(2)若級數(shù)發(fā)散，且，則級數(shù)也發(fā)散。定理(2)表明，級數(shù)通項(xiàng)的斂散快慢程度與級數(shù)的斂散性有密切關(guān)系。因此，要判斷級數(shù)的斂散性，恰當(dāng)?shù)?/p>