17幾何概型的應(yīng)用

1、 高考數(shù)學(xué)母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話數(shù)學(xué)叢書,給您一個智慧的人生！高考數(shù)學(xué)母題 母題(21-17):幾何概型的應(yīng)用(611) 1531 幾何概型的應(yīng)用 母題(21-17):(必修(人教A版)P144例2)假設(shè)你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6:307:30之間把報紙送到你家,你父親在離開家去工作的時間在早上7:008:00之間,問你父親在離家之前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少？解析:如圖,設(shè)送報人到達(dá)的時間為x,父親離開家的時間為y,(x,y)可以看成平面中的點(diǎn),試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?(x,y)|6.5x7.5,7y8,這是一個正方形區(qū)域

2、,面積為S=11=1;事件A表示父親在離開家之前能得到報紙,所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳=(x,y)|yx,(x,y),即圖中的陰影部分,面積為SA=1-=;這是一個幾何概型,所以,P(A)=.點(diǎn)評:應(yīng)用幾何概型解答相并問題的關(guān)鍵是建立何種幾何模型(一維模型、二維模型、三維模型)？對此,我們需要分析待求事件由幾個獨(dú)立的變量控制,由幾個獨(dú)立的變量,就建立幾維模型,然后,由相應(yīng)度量(長度、面積、體積)的比求解. 子題(1):(2012年遼寧高考試題)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積小于32cm3的概率為( ) (A) (B) (C) (D)解析:

3、如圖所示,令A(yù)C=x,則CB=12-x(0x12)矩形面積S=x(12-x);令x(12-x)32,則x(0,48,12)P=.故選(C). 注:本題中的待求事件A:“矩形面積小于32cm3”由線段AC的長x所控制,因此,建立一維模型;確定幾維模型后,一要確定哪些量為獨(dú)立的變量？二要確定各個變量的取值范圍;三要確定滿足條件的各個變量的取值范圍. 子題(2):(2013年四川高考試題)節(jié)日前夕,小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,若都在接通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時通電后.它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是

4、( ) (A) (B) (C) (D)解析:設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時刻分別為x,y,由題意可得0x4,0y4;它們第一次閃亮的時候相差不超過1秒,則|x-y|2;畫出|x-y|2的可行域如圖P=1-=.故選(C). 注:本題是“會面問題”的一個簡單變式,“會面問題”是幾何概型的典型問題,“會面問題”的一般形式:二人在時間m內(nèi)約定在某地會面,且先到者等后到者時間后即可離開,則兩人會面的概率P(A)=. 子題(3):(2011年復(fù)旦大學(xué)保送生考試試題)在半徑為1的圓周上隨機(jī)選取3點(diǎn),它們構(gòu)成一個銳角三角形的概率是( ) (A) (B) (C) (D)解析:如圖,ABC是銳角三角形A,B,C(0,)

5、,(0,).設(shè)=x,=y,=z,則x+y+z=2.令=(x,y,z)|x+y+z=2,0x,y,z2,A=(x,y,z)|x+y+z=2,0x,y,z.則是以D(2,0,0),E(0,2,0),F(0,0,2)為頂點(diǎn)的DEF區(qū)域,A是DEF的三條中位線構(gòu)成的MNT區(qū)域,由SDEF=4SMNT概率P=.故選(C). 1532 母題(21-17):幾何概型的應(yīng)用(611) 注:請同學(xué)們思考:它們構(gòu)成直角、鈍角三角形的概率分別為多少？(0,). 子題系列:1.(2012年遼寧高考試題)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積大于20cm2的概率

6、為( ) (A) (B) (C) (D)2.(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽黑龍江初賽試題)設(shè)m,n為實(shí)數(shù),且直線mx+ny=4和圓x2+y2=4沒有公共點(diǎn),則關(guān)于x的方程x2+2mx+n2=0有實(shí)根的概率為 .3.(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川初賽試題)從0,10上任取一個數(shù)x,從0,6上任取一個數(shù)y,則使得|x-5|+|y-3|4的概率是( ) (A) (B) (C) (D)4.(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東初賽試題)設(shè)E為正方形ABCD邊AB的中點(diǎn),分別在邊AD、BC上任取兩點(diǎn)P、Q,則PEQ為銳角的概率為 .5.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西、遼寧初賽試題)把長為a的線段分成三段,這

7、三條線段能構(gòu)成三角形的概率為 .6.(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南初賽試題)將長為3的線段任意截成三段,則這三段能夠組成三角形的概率為 .7.(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東初賽試題)在一條線段上隨機(jī)獨(dú)立地取兩點(diǎn),然后從這兩點(diǎn)處把線段分成三段.請問得到的三條新線段能構(gòu)成三角形的概率是多少？8.(2014年重慶高考試題)某校早上8:00上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:30-7:50之間到校,且每人在該時間段的任何時間到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為 (用數(shù)字作答).9.(2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽初賽試題)甲乙二人相約10天之內(nèi)在某地會面,約定先到的人等候另一個人

8、,經(jīng)過3天以后方可離開.若他們在限期內(nèi)到達(dá)目的地是等可能的,則此二人會面的概率為 .10.(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西初賽試題)在一個圓上隨機(jī)取三點(diǎn),則以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形的概率等于 . 子題詳解:1.解:設(shè)AC=x,則CB=12-x(0x20x(2,10)P=.故選(C). 2.解:=(m,n)|直線mx+ny=4和圓x2+y2=4沒有公共點(diǎn)=(m,n)|m2+n24,M=(m,n)|(m,n),且方程x2+2mx+n2=0有實(shí)根=(m,n)|(m,n),且|m|n|概率P=. 3.解:如圖,|x-5|+|y-3|4的區(qū)域?yàn)橐訥(5,3)為中心的正方形BNEM及其內(nèi)部,設(shè)BM與RQ的交點(diǎn)為A,易知A(4,6),類似的F(6,6)P=.故選(C). 4.解:設(shè)正方形邊長為1,AP=x,BQ=y,則0x.y0;由-=-P=- 5.解:設(shè)分成的三條線段的長度分別為x,y,a-(x+y),則=(x,y)|0xa,0ya,0a-(x+y)a=(x,y)|0xa,0ya,x+ya,M=三條線段x,y,a-(x+y)能構(gòu)成三角形=(x,y)|(x,y),且x,y,a-(x+y)中任意兩數(shù)之和大于第三個數(shù)=(x y)|(x,y),且x,y,其中,是以O(shè)(0,0),A(a,0),B(0,a)為頂點(diǎn)的三角形OAB,M是三角形OAB