Maxwell方程的對稱性

1、商丘師范學院學士學位畢業(yè)論文2011屆本科畢業(yè)論文Maxwell方程的對稱性姓 名： 趙倩 系 別： 物理與信息工程系 專 業(yè)： 應用物理 學 號： 070313016 指導教師： 陳文聰 2010年12月18日11目 錄摘 要2關鍵詞20 引言31麥克斯韋方程組.41.1.1麥克斯韋方程組的地位41.1.2麥克斯韋方程組的歷史背景41.2麥克斯韋方程組的表達形式41.2.1微分形式51.2.2積分形式52麥克斯韋理論的對稱性52.1對稱美62.2由對稱性到協(xié)變性63從麥克斯韋方程組的對稱性到磁單極104含磁單極的麥克斯韋方程組115 結(jié)語12參考文獻13致謝13關于麥克斯韋方程組的對稱性摘

2、要通過對麥克斯韋方程組的對稱性的研究，知道麥克斯韋方程組的表達形式比較對稱，人們經(jīng)常將它看成物理方程數(shù)學形式對稱的典范。由于磁單極的不存在，使得介質(zhì)中的麥克斯韋方程組不完全對稱。本文中假設磁單極存在，運用洛侖茲協(xié)變的變換，推導出一組對稱的麥克斯韋方程，此時麥克斯韋方程變的高度對稱。關鍵詞 麥克斯韋方程組；對稱性；協(xié)變性；磁單極； Symmetry of Maxwell equationsAbstractBy the symmetry of Maxwell equations the research, know that the expression of Maxwell equations

3、relatively symmetrical form，it is often relatively symmetric physical equations in mathematical form as a model of symmetry。Since magnetic monopoles do not exist, making the media, Maxwell equations in a symmetrical finish。Assuming the existence of magnetic monopoles in this article, the use of Lore

4、ntz covariant transform, derive a set of symmetry of Maxwell equations, Maxwell equations now become highly symmetric。 KeywordsMaxwell equations; Symmetry; Covariance; Magnetic monopole0 引言1873年，英國理論物理學家麥克斯韋(James Clerk Maxwel1)教授在總結(jié)高斯、安培、法拉第等人工作的基礎上，提出著名的位移電流假說和渦旋電場假說，進而導出經(jīng)典電磁場的麥克斯韋方程組。麥克斯韋方程組的建立過程

5、以及未來的發(fā)展趨勢都與追求物理理論思維的對稱性與物理方程形式的對稱性密不可分,這一過程既是唯象的,又是抽象的,它們是交替進行的12,13。對稱美源于人們對自然界對稱性的欣賞與追求，它是一個古老而又常新的概念，就其發(fā)展形態(tài)來說，它大致經(jīng)歷了直觀唯象階段、理性抽象階段和數(shù)學變換階段。追溯歷史，很久以前人們就把電理象和磁現(xiàn)象相提并論了?！半娚拧保按派姟钡慕忉尦Ｊ谷藗円詾殡姾痛攀且粚ν耆珪r稱的“佳偶”。然而，如果深人思考一下，就會發(fā)現(xiàn)一個明顯的差異：帶電體的正電荷和負電荷可以單獨存在，而磁體的兩極卻是成對出現(xiàn)的。從來沒有發(fā)現(xiàn)過單獨存在的磁極磁單極子。這種不對稱的原因，可以從經(jīng)典電磁學理論的Max

6、well方程中得到回答。 1 麥克斯韋方程組1.1 麥克斯韋方程組的地位與歷史背景 1.1.1麥克斯韋方程組的地位麥克斯偉方程組是英國物理學家麥克斯韋在19世紀建立的描述電場與磁場的四個基本方程。方程組的微分形式，通常稱為麥克斯韋方程。在麥克斯韋方程組中，電場和磁場已經(jīng)成為一個不可分割的整體。該方程組系統(tǒng)而完整地概括了電磁場的基本規(guī)律，并預言了電磁波的存在。麥克斯韋提出的渦旋電場和位移電流假說的核心思想是：變化的磁場可以激發(fā)渦旋電場，變化的電場可以激發(fā)渦旋磁場；電場和磁場不是彼此孤立的，它們相互聯(lián)系、相互激發(fā)組成一個統(tǒng)一的電磁場。麥克斯韋進一步將電場和磁場的所有規(guī)律綜合起來，建立了完整的電磁場

7、理論體系。這個電磁場理論體系的核心就是麥克斯韋方程組。麥克斯韋方程組在電磁學中的地位，如同牛頓運動定律力學中的地位一樣。以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經(jīng)典物理學最引以自豪的成就之一。它所揭示出的電磁相互作用的完美統(tǒng)一，為物理學家樹立了這樣一種信念：物質(zhì)的各種相互作用在更高層次上應該是統(tǒng)一的。另外，這個理論被廣泛地應用到技術領域。1.1.2麥克斯韋方程組的歷史背景1845年，關于電磁現(xiàn)象的三個最基本的實驗定律：庫侖定律（1785年），安培畢奧薩伐爾定律（1820年），法拉第定律（18311845年）已被總結(jié)出來，法拉第的“電力線”和“磁力線”概念已發(fā)展成“電磁場概念”。場概念的產(chǎn)生，也有麥

8、克斯韋的一份功勞，這是當時物理學中一個偉大的創(chuàng)舉，因為正是場概念的出現(xiàn)，使當時許多物理學家得以從牛頓“超距觀念”的束縛中擺脫出來，普遍地接受了電磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。1855年至1865年，麥克斯韋在全面地審視了庫侖定律、安培畢奧薩伐爾定律和法拉第定律的基礎上，把數(shù)學分析方法帶進了電磁學的研究領域，由此導致麥克斯韋電磁理論的誕生。1.2麥克斯韋方程組的表達形式1.2.1微分形式人們知道，靜止的電荷產(chǎn)生電場，運動電荷或電流除產(chǎn)生電場外，還產(chǎn)生磁場。截止目前為止，人們尚未發(fā)現(xiàn)自然界中有磁荷及磁流存在，所以電荷和電流是產(chǎn)生電磁場唯一的源。麥克斯韋方程組全面地描述了時變電磁場的特性，

9、其微分形式如下1,2 （1） （2） （3） （4）式中， j 是傳導電流密度， 是自由電荷體密度。在介質(zhì)內(nèi)，上述方程組尚不完備，還需補充三個描述介質(zhì)性質(zhì)的方程式。對于各向同性介質(zhì)來說，有 （5） （6） （7）式中, 和分別是（相對）介電常數(shù)、（相對）磁導率和電導率。上述方程全面總結(jié)了電磁場的基本規(guī)律，利用它們原則上可以解決各種宏觀電磁場問題。1.2.2積分形式 1873年前后，麥克斯韋提出了表述電磁場普遍規(guī)律的四個方程，其積分形式如下2,3： 其中，1描述了磁場的性質(zhì)。在一般情況下，電場可以是庫侖電場也可以是變化磁場激發(fā)的感應電場，而感應電場是渦旋場，它的電位移線是閉合的，對封閉曲面的通量

10、無貢獻。2 描述了磁場的性質(zhì)。磁場可以由傳導電流激發(fā)，也可以由變化電場的位移電流所激發(fā)，它們的磁場都是渦旋場，磁感應線都是閉合線，對封閉曲面的通量無貢獻。3 描述了變化的磁場激發(fā)電場的規(guī)律。4 描述了變化的電場激發(fā)磁場的規(guī)律。2 麥克斯韋理論的對稱性2.1對稱美對稱美源于人們對自然界對稱性的欣賞與追求，它是一個古老而又常新的概念 ，就其發(fā)展形態(tài)來說，它大致經(jīng)歷了直觀唯象階段、理性抽象階段和數(shù)學變換階段4。 麥克斯韋方程組的建立過程 以及未來 的發(fā)展趨勢都與追求物理理論思維的對稱性與物理方程形式的對稱性密不可分，這一過程既是唯象的，又是抽象的，它們是交替進行的。1820年，奧斯特發(fā)現(xiàn)電流會產(chǎn)生磁

11、場，按照對稱性思維，磁場也會產(chǎn)生電流 ，這一思想的提出其實是唯象的，也就是說物理學家只是覺得它應該是這樣的 ，至于為什么是這樣還不清楚這一推論最終由法拉弟通過實驗得以證實。根據(jù)法拉弟 電磁感應定律 ，所謂磁場會產(chǎn)生電流，實際上是變化的磁場才會使導體產(chǎn)生電流，大量實驗表明，靜態(tài)磁場并不會使導體產(chǎn)生電流。麥克斯韋認為，變化的磁場之所以會使導體產(chǎn)生電流，是因為變化的磁場產(chǎn)生了渦旋電場，這已經(jīng)上升到理性抽象階段。同時，麥克斯韋進一步運用對稱性思維，他認為變化的電場也會產(chǎn)生磁場，這便是位移電流的提出。所以，對稱性思想對麥克斯韋方程組的建立起到了指引方向的作用。 麥克斯韋方程組的表達形式也比較對稱，人們經(jīng)

12、常將它看成物理方程數(shù)學形式對稱的典范，如 MV勞厄稱之為“美學上真正完美的對稱形式”5。 但需要指出的是，真空中的麥克斯韋方程組才具有完全對稱的數(shù)學形式，而介質(zhì)中的麥克斯韋方程組并不完全對稱，造成這種現(xiàn)象的原因是由于電場中存在自由電荷，而磁場中不存在自由磁荷( 即不存在磁單極子)，倘若存在自由磁荷，那么由自由磁荷的定向移動形成自由磁流，這樣一來，麥克斯韋方程就應改寫成如( (8) 一( 11) 式 ) 形式，此時麥克斯韋方程就變得高度對稱。正是在這種對稱性思想的指引下，許多物理學家堅信麥克斯韋方程的最終形式應該是這樣的，雖然現(xiàn)在沒有找到磁單極子，但并不表示它不存在，況且根據(jù)狄拉克的理論，磁單極

13、子應該是存在的，所以，物理學家對磁單極子的尋找一直沒有停止過。當然也有人提出不同看法，他們認為物理世界所謂的對稱性是相對的，而不對稱是絕對的，世界上任何對稱的東西都存在自發(fā)破缺現(xiàn)象，所以沒有找到磁單極子也是正常的。 （8） （9） （10） （11）現(xiàn)代物理學對對稱性的討論更為關注其最后一種形態(tài)，即數(shù)學變換的不變性數(shù)學變換的不變性是在群論理論上發(fā)展過來的，用通俗的話來講，是指一組方程經(jīng)過一個變換法則后，得到一組新的方程,如果這組新的方程與原來方程形式保持不變，那么這組方程相對這一變換來講就是對稱的,例如,牛頓定律經(jīng)過伽利略變換保持不變，所以牛頓定律相對伽利略變換來講是對稱的.當麥斯韋建立了麥克

14、斯韋方程組以后，人們發(fā)現(xiàn)，麥克斯韋方程組在伽利略變換中具有不對稱性，這說明人們應該找到新的變換法則，以使得麥克斯韋方程組經(jīng)過它變換后保持不變，而且新的變換法則應該包含伽利略變換，這個新的變換法則就是洛侖茲變換.當物體運動速度遠遠小于光速時，洛侖茲變換又回到了伽利略變換,伽利略變換僅是洛侖茲變換的一個速度遠小于光速的極限。因此，麥克斯韋方程具有更高層次的對稱性。在電磁理論與相對論的發(fā)展歷史中，愛因斯坦是采用與上面相反的邏輯，他首先根據(jù)狹義相對論的兩個基本假設,導出洛侖茲變換,然后由此導出麥克斯韋方程，即他摒棄了1819世紀占主導地位的動力學方法,向不變性理論轉(zhuǎn)化，將對稱性放到了首位。楊振寧先生在

15、談到這一轉(zhuǎn)變時指出：“愛因斯坦不是從實驗上已證實了的麥克斯韋方程組出發(fā)，去追問這些方程組的對稱性是什么，而是把局面顛倒過來，從對稱性出發(fā)去發(fā)問方程組應當怎樣。把原先的地位顛倒過來的這一嶄新的程序，我曾稱之為對稱性支配相互作用”6。2.2由對稱性到協(xié)變性 麥克斯韋方程組可以概括整個電磁學規(guī)律，它具有優(yōu)美的對稱性。麥克斯韋方程組反映普遍情況下電荷電流激發(fā)電磁場以及電磁場內(nèi)部矛盾運動的規(guī)律。它的主要特點是揭示了變化電磁場可 以互相激發(fā)的運動規(guī)律，從而在理論上預言了電磁場的存在，并指出光就是一種電磁波。麥克斯韋方程組還揭示了電磁場可以獨立于電荷之外單獨存在，這就更加深了我們對電磁場物質(zhì)性的認識。麥克斯

16、韋方程組是宏觀電磁現(xiàn)象的理論基礎，它的應用范圍及其廣泛，利用它原則上可以解決各種宏觀電磁現(xiàn)象。電磁場的計算都可以歸結(jié)為對這組方程的求解過程。穩(wěn)恒電磁場只不過是 ， 的特殊情況下的麥氏方程；在討論電磁波及在真空中的傳播問題時，也只需令，就可以得到關于E 和B的完全對稱的波動方程； ; （12）對電磁波的輻射問題,我們可以引入電磁場的矢勢A及標勢，使及從而由麥克斯韋方程組得到A, 滿足的基本方程。在洛侖茲規(guī)范下其形式為： （13） （14）它和麥氏方程完全等價，是非齊次的波動方程。我們同樣注意到，這兩個方程具有優(yōu)美的對稱性。式中為質(zhì)點在有心力場所具有的勢能，為質(zhì)點質(zhì)量，為系統(tǒng)總能量。麥克斯韋沒有發(fā)

17、現(xiàn)相對論。相對論是1905年愛因斯坦創(chuàng)立的，但是麥克斯韋在1865年提出的電磁場基本方程卻具有洛侖茲協(xié)變性，這又一次說明了麥克斯韋方程對電磁場描述的完美性。用四維勢矢量或四維電磁場張量來描述電磁場，可以明顯看出麥克斯韋方程組具有洛侖茲協(xié)變性，這是一般電動力學的討論方法下7。為了直觀起見，我們在這里用洛侖茲變換及電磁場量的變換直接驗證麥克斯韋方程組在洛侖茲變換下為不變式8。用洛侖茲坐標變換，可得微分運算的變換 （15） （16） （17） （18） 其中把麥克斯韋方程( 1 ),( 4 )在直角坐標系寫成分量式 （19） （20） （21） （22）將( 15) ( 17 )代入( 20 )，整

18、理后得 （23） 如果麥克斯韋方程組是洛侖茲協(xié)變的,即在一切慣性參考系中數(shù)學形式不變,則在中必須有 （24） 則方程（23）和（24) 具有相同的數(shù)學形式，這就表明方程（1）的y分量是洛侖茲協(xié)變的。如果令 （25） （26） （27）則方程（23）和（24）完全相同。類似地，方程（21）變?yōu)?這與方程 具相同的數(shù)學形式，如果令 （28） （29）則此二方程相同。由(22)式，得 （30）代入方 程 ( 2 7) 和 ( 2 9) 的逆變換，整理并消去， 得 （31） 由( 1 9) 式，得 代入方程 ( 26) 和 ( 2 8) 的逆變換，整理并消去，得 （32）比較方程（31）和（32）知，

19、如果,必有 （33）和 （34）如果麥克斯韋方程組是洛侖茲協(xié)變的，則在中必有 （35） （36）方程（33）和（35）具相同的數(shù)學形式，且如果 （37）則它們完全相同。于是方程（34）和（36）也完全相同。這就完成了場的變換。同理可證，方程(2)和（3）也是洛侖茲變換的。把公式集中如下： ， ， ， 即我們證明了麥克斯韋方程組是洛侖茲協(xié)變的，從而反映了電磁場運動規(guī)律不應因原坐標系的選 擇而變化的客觀性。 3 從麥克斯韋方程組的對稱性到磁單極 1864年，麥克斯韋對隨時間變化的電磁場，引入位移電流后，總結(jié)出了如下方程組下9： (38） (39) (40) （41） 這就是通常的麥克斯韋方程組，該

20、方程組深刻揭示了電磁現(xiàn)象的本質(zhì)，描述了一般情況下電荷、電流激發(fā)電磁場以及電磁場內(nèi)部矛盾運動的規(guī)律。直至目前，在宏觀范圍內(nèi)，從描述電磁作用的角度看，還沒有一例實驗結(jié)果與之矛盾。麥克斯韋方程組一方面表明電與磁具有對稱性，即變化電場產(chǎn)生磁場，變化磁場產(chǎn)生電場。另方面又表明電與磁的對稱性是不完全的。從場源來說，電場有兩個源：一是電荷產(chǎn)生的無旋場； 二是變化磁場產(chǎn)生的無源場。磁場也有兩個源下10： 一是電荷運動形成的電流3n(以電流密度矢量表示)；二是變化的電場，即位移電流。二者激發(fā)的磁場都是橫向場，磁場的縱向分量為零。人們總有從理論和實驗中尋找自由磁單極的念頭，以使麥克斯韋方程組具有形式上更高的對稱性

21、。 1931年，英國物理學家狄拉克首先從理論上探討了磁單極存在的可能性。他指出，磁單極的存在與電動力學和量子力學沒有矛盾。并通過理論證明后指出，如果磁單極存在，則其磁荷與電子電荷應滿足如下關系： （42）式中 n =l ，2 ，3，為真空磁導率，h為普朗克常數(shù)。這就是著名的電荷量子化條 （42）式表明了即使宇宙間存在一個磁單極，它將制約著每一個電子電荷e的取值。 繼狄拉克之后 ，一些新 的理論思想使磁單極概念大大超越了狄拉克時代。1974年，荷蘭物理學家特霍夫(Thooft)和前蘇聯(lián)物理學家波利亞可夫獨立提出的非阿貝爾規(guī)范理論認為磁單極必然存住，并指出它比已發(fā)現(xiàn)的或預言到的任何粒子質(zhì)量都要大得

22、多?，F(xiàn)在關于弱、電磁和強相互作用統(tǒng)一的“大統(tǒng)一理論”也認為，如果磁單極存在，則其中每一個磁單極的質(zhì)量都將超過大統(tǒng)一質(zhì)量，即約為質(zhì)子質(zhì)量倍。，這樣磁單極就不可能是點粒子 ，應具有復雜的內(nèi)部結(jié)構，比如由象洋蔥皮層那樣的力區(qū)組成。然而，按照標準大爆炸理論。宇宙間磁單極數(shù)量應與原子一樣多，但至今未能從實驗上得到肯定，這使得理論工作者多少有些尷尬。顯然，肯定是什么地方出了錯，慶幸的是，后來由麻省理工學院的谷斯( Guth )提出了宇宙暴漲理論，該理論自動解決了磁單極問題，因為巨大的膨脹有效地使磁單極密度稀釋到零。盡管如此，從實驗上證實磁單極是否存在仍具有非常重要的現(xiàn)實意義。在這方面，最有希望的要算美國斯

23、坦福大學的一個研究小組所報導的結(jié)果。該小組用了一個四繞組線圈，還用超導量子干涉 器件作為磁強計。當一個磁單極穿過繞組時，將引起一個8(為磁通量子)的磁通量。 圖1卡布里拉的觀測如圖1(a)(b)所示，卡布里拉等人記錄到一個事件，表明磁單極通過地球表面的上限為： ( S r 為球面度)。由于還沒有其他探測到磁單級的報導。所以卡布里拉的實驗結(jié)果還不能作為最后的定論。 4 含磁單極的麥克斯韋方程組 盡管實驗還未肯定有磁單極存在,但在理論上，若假設存在磁單極。將得到形式上完全對稱的麥克斯韋方程組，其中電場量、與磁場量、具有完全同等的地位。設磁荷密度為，因磁荷運動而形成的磁流密度矢量為。若將、與、分別對

24、應，則為了討論方便將（39）式改寫為下11： （43）考慮到 (40)應與 (38)對稱，可將(40)修改為(9) (9) 對（43）兩邊取散度則，左邊,右邊，最后一個符號用到了(9) 式。可見（43）與(9)是不協(xié)調(diào)的，故需對（43）加以修正。為此，假定磁荷守恒，即存在連續(xù)性方程 (44)根據(jù)（41）式，若將（43）中的修改為,（43）可寫成 或 (45)顯然，（45）式兩邊再取散度后，左邊=右邊=0。對（39）和(41)兩式不用修正。至此，含磁單極的麥克斯韋方程組如下： （38） (45) (9) (41)由以上方程組可見,產(chǎn)生電場的方式有三種：電荷、運動磁荷和變化的磁場；產(chǎn)生磁場的方式也

25、有三種：磁荷、運動電荷和變化電場。而且電荷產(chǎn)生縱向電場，磁流與變化磁場共同激發(fā)橫向電場： 磁荷產(chǎn)生縱向磁場，電流與變化電場共同激發(fā)橫向磁場。由此可見，（38）、（45）、(9)、(41) 已具有形式上嚴格的對稱性。 4 結(jié)語 通過對麥克斯韋方程組的深入分析，了解到真空中的麥克斯韋方程組才具有完全對稱的數(shù)學形式，而介質(zhì)中的麥克斯韋方程組并不完全對稱，造成這種現(xiàn)象的原因是由于電場中存在自由電荷，而磁場中不存在自由磁荷( 即不存在磁單極子)。本文試從假定磁荷(磁單極)存在出發(fā)，運用洛侖茲協(xié)變的變換，推導出一組對稱的麥克斯韋方程。如果從實驗上證實了磁單極存在，它將對物理學許多領域?qū)a(chǎn)生重大影響。首先，

26、以麥克斯韋方程組為基礎的電磁理論需要修改，進而電動力學和量子力學也要作適當修正。電荷量子化問題將從理論上得到更令人滿意的解釋。因此，任何證實磁單極存在與否的實驗結(jié)果必將對物理學的發(fā)展與完善產(chǎn)生積極的推動作用。其次，它將給天體物理、宇宙學和高能物理提出許多新課題。最終使得麥克斯韋方程組有著更完美的對稱性。 參考文獻1 謝處方，饒克謹.電磁場與電磁波M.第3版，北京：高等教育出版社，1997，143-144.2 楊仲耆.大學物理學M.北京：人民教育出版社，1980，3603693 趙凱華，陳熙謀電磁學M.北京:高等教育出版社，1985，296 4 許良對稱、守恒與最小作用：歷史分析及哲學思考 J 自然辯證法研究，1994，1O( 3