不等式高級水平必備

1、不等式高級水平必備目錄Ch1.伯努利不等式Ch2,均值不等式Ch3.幕均不等式Ch4.柯西不等式Ch5.切比雪夫不等式Ch6.排序不等式Ch7.琴生不等式Ch8.波波維奇亞不等式Ch9.加權(quán)不等式Ch10.赫爾德不等式Ch11.閔可夫斯基不等式Ch12.牛頓不等式Ch13.麥克勞林不等式Ch14.定義多項式Ch15.舒爾不等式Ch16.定義序列Ch17.繆爾海德不等式Ch18.卡拉瑪塔不等式Ch19.單調(diào)函數(shù)不等式Ch20. 3個對稱變量pqr法Ch21. 3個對稱變量uvw法Ch22. ABC 法Ch23. SOS 法Ch24. SMV 法Ch25.拉格朗日乘數(shù)法Ch26.三角不等式Ch27

2、.習(xí)題與習(xí)題解析Ch1.伯努利不等式1.1 若實數(shù)Xi (i 1,2,., n)各項符號相同，且k 1,則：(1 X1)(1 X2).(1 Xn) 1 X1 X2 . Xn(1)(1)式為伯努利不等式.當(dāng) Xi X2 . Xn x 時，(1)式變?yōu)椋?1 x)n1 nx (2)Ch2.均值不等式2.1 若a1,a2,., an為正實數(shù),記： 222Qn Ja1a2 n . an ,為平方平均數(shù),簡稱平方均值；Ana1 a2.,為算術(shù)平均數(shù),簡稱算術(shù)均值；n Gn Ua1a2.an ,為幾何平均數(shù),簡稱幾何均值；H n -4,為調(diào)和平均數(shù),簡稱調(diào)和均值.111.a1a2an則：Qn 冬 Gn H

3、n (3)iff a1 a2 . an時，等號成立.(注：iff if and only if當(dāng)且僅當(dāng)(3)式稱為均值不等式Ch3.幕均不等式3.1 設(shè)a (a1,a2，an)為正實數(shù)序列,實數(shù)r 0 ,則記： 1 r rraa2. an rMr(a)12 n (4)n(4)式的M r(a)稱為幕平均函數(shù).3.2 若a (ai,a2,., an)為正實數(shù)序列，且實數(shù)r 0,則:Mr(a) Ms(a)當(dāng)r s時，(5)式對任何r都成立，即Mr(a)關(guān)于r是單調(diào)遞增函數(shù).(5)式稱為幕平均不等式,簡稱幕均不等式.3.3 設(shè) m (m1，m2,., mn)為非負(fù)實數(shù)序列，且 m m? . mn 1

4、,若 a (a1，a2,., an)為正實數(shù)序列，且實數(shù)r 0,則： 1mr _ r _ r rM r (a) (ma1m2a2. mnan )(6)(6)式稱為加權(quán)幕平均函數(shù).3.4 若 a (a1,a2,., an)為正實數(shù)序列，且實數(shù) r 0,對 M1(a)則:M(a) M(a)11r _ _ r_ _ r rs _ _ s_ _ s、s /r、(ma1m2a2.man)r(m1a1m2a2.man)s (7)當(dāng)r s時，(7)式對任何r都成立，即M:(a)關(guān)于r是單調(diào)遞增函數(shù).(7)式稱為加權(quán)幕平均不等式，簡稱加權(quán)幕均不等式.Ch4.柯西不等式4.1 若 a1，a2,., an 和“2

5、2,., bn 均為實數(shù),則： ,2222,2,22(a1a2.an)(“b2.bn) (aQa2b2.anbn)(8)a1a2iff 12b1b2a. 一時，等號成立.(注：iff if and only if當(dāng)且僅當(dāng).) bn(8)式為柯西不等式4.2 柯西不等式還可以表示為:222,2,2, 2(a1a2. an 乂4 b?. bnnna1bla2b2. anbn 2)(2n n)2(9)簡稱：“平方均值兩乘積，大于積均值平方我們將a1b1 a2b2anbn簡稱為積均值,記: nDnaibia2b2. anbn則：Qn(a)2Qn(b)2 Dn(ab)4,即： g(a)Qn(b)Dn(a

6、b) (10)4.3 推論 1 :若 a,b,c,x, y,z 為實數(shù),x, y,z 0 ,則:2a1 bi2a2b222an(a1a2. an )bn W b2 .bn(11)iff 互處.包時，等號成立.b1b2bn(11)式是柯西不等式的推論,稱權(quán)方和不等式4.4 推論 2:若 a1 ,a2,., an 和 b1，d ,., bn 均為實數(shù)，則:a12b12a22b22.an2bn2(a1a2 .an)2(b1b2.bn)2(12)iff曳織.包時，等號成立. b1b2bn4.5 推論3 :若a,b,c,x, y, z為正實數(shù),則：xyz(b c) (c a) (a b) 3(ab bc

7、 ca) (13) y zz xx yCh5.切比雪夫不等式5.1 若a a2. an； bb2.bn ,且均為實數(shù).則：(a1 a2. an)(b1b2.bn) n(ah a2b2 .anbn)(14)iffa1a2.anM£ b1b2 .bn 時，等號成立.(12)式為切比雪夫不等式.由于有a1a2an, b1b2.bn條件,即序列同調(diào),所以使用時,常采用 WLOG ai a2 . an(注：WLOG Without Loss Of GeneraHty 不失一般性)5.2 切比雪夫不等式常常表示為:a1 a2(12nanb1b2 .bnn)( 12 n)n產(chǎn)“a2b2. anbn

8、)(15)簡稱：“切比雪夫同調(diào)數(shù)，均值積小積均值”.即：對切比雪夫不等式采用同單調(diào)性的兩個序列表示時，兩個序列數(shù)的均值之積不大于兩個序列數(shù)各積之均值.則：An(a)An(b) Dn(ab)2即：An(a)An(b) Dn (ab) (16)Ch6.排序不等式6.1 若 a a2 . an ； b b bn 為實數(shù)，對于® ,., an )的任何輪換(Xi, X2 ,., Xn ),都有下列不等式:aBa2b2. anbnXi“X2b2. Xnbnan“ an 也abn(17)(17)式稱排序不等式(也稱重排不等式)其中，aQa2b2anbn稱正序和，anban也 . abn稱反序和,

9、Xi“ X2b2 . Xnbn稱亂序和.故(17)式可記為:正序和 亂序和 反序和 (18)6.2 推論:若 a1，a2,., an 為實數(shù),設(shè)(x1，x?,., Xn)為(a1，a?,., an)的一個排序,則:anXn(19)(0,1),若函數(shù)f :a,bR是向下凸函數(shù),則:222a a2. anaX1 a2X2Ch7.琴生不等式7.1定義凸函數(shù)：對一切x, y a,b,f( x (1)y) f(x) (1)f(y)(20)(20)式是向下凸函數(shù)的定義式注：f :a,b R表示區(qū)間a,b和函數(shù)f (x)在a,b區(qū)間都是實數(shù).7.2若f:(a,b) R對任意x (a,b),存在二次導(dǎo)數(shù)f11

10、( x) 0,則f(x)在(a,b)區(qū)間為向下凸函數(shù)；iff x (a,b)時，若f''(x) 0 ,則f (x)在(a,b)區(qū)間為嚴(yán)格向下凸函數(shù).7.3若f1, f2,., fn在(a,b)區(qū)間為向下凸函數(shù),則函數(shù)01fl 02 f2cnfn在在(a,b)區(qū)間對任彳rJ 01,02,., cn(0,)也是向下凸函數(shù).7.4若 f : (a,b)R是一個在(a,b)區(qū)間的向下凸函數(shù)，設(shè)n N ,1, 2,., n (0,1)為實數(shù)，且1n 1,則對任何 x1，x2,., xn (a,b),有:f ( 1X12X2nxn)1 f (x1)2f (x2) . n f (xn)(21

11、)(21)式就是加權(quán)的琴生不等式.簡稱：“對于向下凸函數(shù)，均值的函數(shù)值不大于函數(shù)的均值Ch8.波波維奇亞不等式x, y,z a,b,有:8.1若f :a,bR是一個在a, b區(qū)間的向下凸函數(shù)，則對一切-x yz)f(x) f(y) f(z)聲("人z z x)f( 2 )(22)(22)式就是波波維奇亞不等式.f(x) f(y) f(z)8.2 波波維奇亞不等式可以寫成:f(x ; z)3f(72) f(f) f-)222(23)3簡稱：“對于向下凸函數(shù)的三點情況，三點均值的函數(shù)與函數(shù)的均值之平均值，不小于兩點均值的函數(shù)值之平均值”8.3 若f ： a,bR是一個在a,b區(qū)間的向下凸

12、函數(shù),a1，a2,.,ana,b,則:f(a1)f(a2).f (an)n(n 2)f(a) (n1)f(“)f(bz).f(bn)(24)其中：a f'bi六i* (對所有的i)(24)式是普遍的波波維奇亞不等式.當(dāng) a1x , a2y，a3bib3代入(23)式得:f(x) f(y)f(z)y z2f( 2)z xf( 2)x f(2y«即：f(x 3 z)f(x) f(y) f(z)3f(x2y)f(y2Z)f(z2x)(25)(25)式正是(22)式.Ch9.加權(quán)不等式9.1 若 d (0, ), i 0,1 (i 1,2,.,n),且 1a 1a2 2.an na

13、1a2 2 an n (26)(26)式就是加權(quán)的均值不等式，簡稱加權(quán)不等式(26)式形式直接理解為：幾何均值不大于算術(shù)均值Ch10.赫爾德不等式110.1右實數(shù)a,b 0 ,實數(shù)p,q 1且一 Pabappbqq(27)iff ap bq時，等號成立.(27)式稱為楊氏不等式.10.2 若 a1,a2,. an 和 b1，b2,.bn 為正實數(shù),p,q則:a1bla2b2. anbn(a1p a2P1.anp)p(b1qb2q1bnq)q(28)(28)式稱為赫爾德不等式.ppa1a2iff qqbib2a p%7時，等號成立. bnq10.3 赫爾德不等式還可以寫成:p pp 1 qa1“

14、a2b2. anbn 1a?. an (4b2q. bnq、qn )q (29)即：Dn(ab)2 Mp(a)Mq(b),即：,Mp(a)Mq(b) Dn(ab) (30)簡稱：“幕均值的幾何均值不小于積均值11(汪：赫爾德與切比雪夫的不同點：赫爾德要求是 p q,切比雪夫要求是同調(diào);赫爾德的積均值小，切比雪夫的積均值大.)10.4 若 a1,a2,.an、b1 ,b2,.bn 和 m1, m2 ,.mn 為三個正實數(shù)序歹U,p,qnaibgi 11np npqai mibi mii 1i 1(31)(31)式稱為加權(quán)赫爾德不等式.a1P仰b；a2 P b2qa p能時，等號成立 bnq10.

15、5 若 aj (i1,2,.,m;j 1,2,., n),1, 2,., n為正實數(shù)且n maij,)(aij )(32)j 1 i 1(32)式稱為普遍的赫爾德不等式.Ci,C2,C3N ，則:10.6 推論：若 a1，a2,a3 N , “，b2,b3/3333,3,33(a1a2a3 )(b1b2b3 )(Ci3C2C33)。a2b2c23a3b3c3)(33)簡稱：”立方和的乘積不小于乘積和的立方Ch11.閔可夫斯基不等式11.1 若 a1，a2,., an;，22,., bn 為正實數(shù)，且111n_ n1 n _(34)(ai bi)p)p ( aip)p (bip)pi 1i 1i

16、 1iff 亙包.迎時，等號成立. b1b2bn(34)式稱為第一閔可夫斯基不等式.11.2 若a1，a2,.,an； b1,b2,., bn 為正實數(shù),且(bi)p pi 1(35)p p P(3ibi )i 1iff包絲.包時，等號成立.b1b2bn(35)式稱為第二閔可夫斯基不等式.11.3 若 a1，a2,.,an；，也.，bn； m1，m2,., mn 為三個正實數(shù)序列,且 p1.1 11nnn(aibi)pmi)p(aipmi)p (36)i 1i 1i 1iff包絲.包時，等號成立.b1b2bn(36)式稱為第三閔可夫斯基不等式.Ch12.牛頓不等式1.2 若a1,a2,.,an

17、為任意實數(shù),考慮多項式：P(x) (x a1)(x a2).(x an)C0Xn cxn 1 . Cn 1X Cn(37)的系數(shù)C0,C1,., Cn作為a1，a2,., an的函數(shù)可表達為：C01 ;Cia a2.an;C2aa2 a1a3. an aiaj ; (i j nC3aiajak ； ( i j k n )Cnaa2.an.ckk !( n k)!對每個k 1,2,., n,我們定義pk " -Ck(38)Cn n!、則(37)式類似于二項式定理，系數(shù)為：CkCkpk.1.3 若a1,a2,.,an為正實數(shù),則對每個k 1,2,., n 1有:2 ppk1pk(39)i

18、ff ai a2. ak時，等號成立.(39)式稱為牛頓不等式.Ch13.麥克勞林不等式13.1若a1,a2,., an為正實數(shù)，按(38)定義,則： 111P1 P22. Pkk . Pnn (40)iff a1 a2 . ak時，等號成立.(40)稱麥克勞林不等式.Ch14.定義多項式14.1 若X1,X2,., Xn為正實數(shù)序列,并設(shè)1, 2,., n為任意實數(shù).記：F (X1,X2,., Xn) X1 1X2 2.Xn n ；T 1, 2,., n為F(X1,X2,., Xn)所有可能的積之和，遍及1, 2,., n的所有輪換.14.2 舉例說明T1,0,0:表示共有3個參數(shù)的所有積之

19、和，共有3! 6項.第1個參數(shù)的指數(shù)是1, 第2和第3個參數(shù)的指數(shù)是0.故：T1,0,0 (3 1)! (x1y0z0 y1x0z0 z1 y0x0) 2(x y z).T1,1:表示共有2個參數(shù)的所有積之和，共有2! 2項.第1個和第2個參數(shù)的指數(shù) 是1.故：T1,1 (2 1)! (x1y1) 2xy .T1,2:表示共有2個參數(shù)的所有積之和，共有2!2項.第1個參數(shù)的指數(shù)是1,第2個參數(shù)的指數(shù)是2.故：T1,2 (2 1)! (x1y2 y1x2) xy2 x2y.T1,2,1:表示共有3個參數(shù)的所有積之和，共有3! 6項.第1個參數(shù)的指數(shù)是1,第2個參數(shù)的指數(shù)是2,第3個參數(shù)的指數(shù)是1

20、.故：T1,2, 1 2(xy2z x2 yz xyz2).即：T1,2, 1 T2,1,12,T2,1,0:表示共有3個參數(shù)的所有積之和，共有3! 6項.第1個參數(shù)的指數(shù)是第2個參數(shù)的指數(shù)是1,第3個參數(shù)的指數(shù)是0.故：T2,1,0 x2 y x2z y2x y2z z2x z2y.(6)T3,0,0:表示共有3個參數(shù)的所有積之和，共有3! 6項.第1個參數(shù)的指數(shù)是3,b a cxyz xcab c b ay z xyz.由于 Ta,b,cTb,c,a Tc,a,b Tc,b,aTb,a,c表達式比較多,所以我們規(guī)定:Ta,b,c ( a第2個和第3個參數(shù)的指數(shù)是0.故：T3,0,0 2(x

21、3 y3 z3).Ta,b,c:表示共有3個參數(shù)的所有積之和，共有3! 6項.第1個參數(shù)的指數(shù)是第2個參數(shù)的指數(shù)是b,第3個參數(shù)的指數(shù)是c.a b c a c b b c a故：Ta, b, c xyz xyz xyzCh15.舒爾不等式15.1 若 R,且T 2 ,0,0 T,2T,0(41)（41）式稱為舒爾不等式.15.2 解析（41）式T 2 ,0,0 2(x 2T , , 2(x y zT , ,0 x y將上式代入（41）式得:222xyzxyzxyzy z y z x z x zx y z x y z x y z即：x (x22y z x y x z ) y (yz 2、 Cz

22、(z x y y z x z ) 0即：x (xy )(x z ) y (y z )(y x ) z (z x )(zy ) 0 (42)(42)式與(41)式等價，稱為舒爾不等式15.3 若實數(shù)x, y,z 0 ,設(shè)t R ,則：xt(x y)(x z) yt(y z)(y x) zt (z x)(z y) 0(43)iff x y z或x y,z 0及輪換，等號成立.按照(41)式寫法，即： t ,1 ,則：Tt 2,0,0 Tt,1,1 2Tt 1,1,0(44)(43)式是我們最常見的舒爾不等式形式.15.4 推論：設(shè)實數(shù)x,y,z 0 ,實數(shù)a,b, c 0且a b c或a b c,

23、則a(x y)(x z) b(y z)(y x) c(z x)(z y) 0(45(43)式中，xt a, yt b, zt c,就得到(45)式.15.5 推論：設(shè)實數(shù)x, y, z 0,則：3333xyz x3 y3 z3 2(xy)2 (yz)2 (zx)2(46)15.6 推論：若k (0,3,則對于一切a,b,c R ,有：2(3 k) k(abc)k a2 b2 c2 2(ab bc ca) (47)當(dāng)滿足下列條件:Ch16.定義序列16.1 設(shè)存在兩個序列(i)；1 ( 1, 2,., n)和(i)；1( 1, 2,-.，n)，12. n 12 . n 12n且12 n 12-s

24、 12 - s 對一切s 1,n,式都成立.則：(i)n 1就是(i)n 1的優(yōu)化值，記作：(i)()注：這里的序列只有定性的比較，沒有定量的比較.Ch17.繆爾海德不等式17.1 若X1 ,X2，Xn為非負(fù)實數(shù)序列，設(shè)(i)和(i)為正實數(shù)序列,且(i) ( i),則:T i T i(48)iff ( i) ( j)或 x1x2 . xn 時，等號成立.(48)式就繆爾海德不等式.17.2 解析(48)式若實數(shù) a1a2a3 0 ,實數(shù)b1b2a 0 ,且滿足 a1 b1 ,a1a2b1b2,a1 a2a3b1b2 b3;設(shè) x,y,z0,則:滿足序列(b1,b2,b3)(a1,a2 ,a3

25、)條件,則：Tb1,b2,b3xb1yb2zb3 xb1 yb3zb2xb2ybizb3 xb2yb3zb1 xb3ybizb2 xb3yb2zb1ci a2 a a a 2， a 33 a 33 a1 以 a1 a a a a1Ta1,a2,a3xy 2z 3x 1 y 3z 2x 2y 1z 3x 2 y 3z 1x 3y 1z 2x 3 y 2z 1即(48)式為：Tb.b2，b3 THa®用通俗的方法表達即：xa1 ya2za3xb1yb2zb3(49)symsym(49)式就繆爾海德不等式的常用形式.17.3 例題：設(shè)(x,y,z)為非負(fù)變量序列，考慮(2,2,1)和(3,

26、1,1).由16.1中的序列優(yōu)化得：(2,2,1) (3,1,1)由繆爾海德不等式(48)式得:T2,2,1 T3,1,1 T2,2,1 2(x2y2z x2yz2 xy2z2) T3,1,1 2(x3yz xy3z xyz3)將代入得： x2y2z x2yz2 xy2z2x3yz xy3z xyz3即：xy yz zx x2 y2 z2 由柯西不等式：(x2 y2 z2)(y2 z2 x2) (xy yz zx)2即：(x2 y2 z2)2 (xy yz zx)2 即：x2 y2 z2 xy yz zx 式式等價，這就證明了式是成立的，而繆爾海德不等式直接得到式是成立的.式可以用T2,0,0

27、 T1,1,0來表示，這正是繆爾海德不等式的(48)式.Ch18,卡拉瑪塔不等式18.1 設(shè)在實數(shù)區(qū)間I R的函數(shù)f為向下凸函數(shù)，且當(dāng)ai,bi I (i 1,2,.,n)兩個序列 0)： 1和(bj)： 1滿足)出)，則：")f(a2) . f(an) f(b1)恨). f(bn)(50)(50)式稱為卡拉瑪塔不等式.18.2 若函數(shù)f為嚴(yán)格向下凸函數(shù)，即不等取等號，(ai) g),且(aj) (bi),則："a- f(a2) . f(an) f(b1 "b?) . f(bn)(51)若函數(shù)f為嚴(yán)格向上凸函數(shù)，則卡拉瑪塔不等式反向.Ch19.單調(diào)函數(shù)不等式19.

28、1 若實數(shù)函數(shù)f:(a,b) R在區(qū)間(a,b)對一切x, y (a,b)為單調(diào)增函數(shù)，則當(dāng)x y時, 有f(x) f ( y);若f在區(qū)間(a, b)對一切x, y (a,b)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)x y時, 有 f (x) f (y).19.2 若實數(shù)函數(shù)f :(a,b) R在區(qū)間(a,b)對一切x, y (a,b)為單調(diào)減函數(shù)，則當(dāng)x y時, 有f(x) f ( y);若f在區(qū)間(a, b)對一切x, y (a,b)為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)x y時, 有 f (x) f (y).19.3 若實數(shù)函數(shù)f:(a,b) R在區(qū)間(a,b)為可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)對一切x (a,b) , f,( x) 0,則f

29、在區(qū)間(a,b)為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)對一切x (a,b), f'(x) 0,則f在區(qū)間(a,b) 為單調(diào)遞減函數(shù).19.4 設(shè)兩個函數(shù)f:a,b R和g:a,b R滿足下列條件： 函數(shù)f和g在a, b區(qū)間是連續(xù)的，且f (a) g(a); 函數(shù)f和g在a,b區(qū)間可導(dǎo); 導(dǎo)數(shù)f'( x) g'(x)對一切x (a,b)成立,則對一切 x (a,b)有：f (x) g(x) (52)(52)式就是單調(diào)函數(shù)不等式.Ch20. 3個對稱變量pqr法20.1 設(shè)x,y,z R ,對于具有變量對稱形式的不等式，采用下列變量代換：p x y z; q xy yz zx; r xyz,貝

30、U p,q,r R .代換后的不等式f(p,q,r),很容易看出其滿足的不等式關(guān)系，這樣證明不等式的方法 稱為pqr法.20.2 常用的代換如下： x2p2 2qcyc x3p( p2 3q) 3rcyc x2y2 q2 2prcyc(x y)(y z)(z x) pq r2(x y)(y z) pqcycxy (x y) pq 3rcyc(1 x)(1 y)(1 z) 1 p q r(1 x)(1 y) 3 2p qcyc x2( y z) xy(x y) pq 3rcyccyc20.3常用的pqr法的不等式若 x, y, z 0 ,則:3(1) p qr 4pq pq 9r p2 3q p

31、3 27r q3 27r2 q2 3pr 2p3 9r 7 pq 2p3 9r2 7 pqr p2q 3 pr 4q2Ch21. 3個對稱變量uvw法21.1在a,b,c R的不等式中，采用下列變量代換：23.3u a b c; 3V ab bc ca ; w abc.上述變換強烈含有“平均”的意味：u對應(yīng)”算術(shù)平均值”；V對應(yīng)“積均值”；w對應(yīng)“幾何平均值”21.2 當(dāng) a,b,c 0 時，則：u v w (53)(53)式稱為傻瓜不等式.即：“算術(shù)平均值” > “積均值” > “幾何平均值”.0(54)21.3 若a, b,c 0 ,則 u,v2,w3(54)式稱為正值定理.2

32、1.4 若 u,v2,w3 R,任給 a,b,c R,則當(dāng)且僅當(dāng) u2 v2 ,且w3 3uv2 2u3 27(u2 v2)3,3uv2 2u3 2而2 v2)3時, 則：3u a b c, 3v2 ab bc ca, w3 abc 等式成立.這稱為uvw定理.Ch22. ABC 法22.1 ABC 法即 Abstract Concreteness Method設(shè) p x y z; q xy yz zx; r xyz.則函數(shù)f(x,y,z)變換為f (r,q, p).這與Ch20. 3個對稱變量pqr法類似.22.2 若函數(shù)f (r, q, p)是單調(diào)的，則當(dāng)(x y)( yz)(zx)0時，

33、f (r,q, p)達到極值.22.3 若函數(shù)f (r, q, p)是凸函數(shù)，則當(dāng)(x y)( yz)(zx)0時，f (r,q, p)達到極值.22.4 若函數(shù)f (r, q, p)是r的線性函數(shù),則當(dāng)(xy)( yz)(zx)0時,f (r, q, p)達到極值.22.5 若函數(shù)f (r,q, p)是r的二次三項式，則當(dāng)(x y)(y z)(z x) 0時，f(r,q,p)達到極 值.Ch23. SOS法23.1 SOS法即 Sum Of Squares23.2 本法的全部思想是將給出的不等式改寫成以下形式： 222S Sa(b c)2 Sb(a c)2 Sc(a b)2 (55)其中，S

34、a,Sb,Sc分別都是a,b,c的函數(shù).若 Sa,Sb,Sc 0,則 S 0；若 a b c或 a b c ,且 Sb, Sb Sa ,Sb Sc 0 ,貝U S 0 ;若a b c或a b c,且 Sa, Sc, Sa 2Sb,Sc 2Sb 0 ,貝U S 0;若a b c,且 SbScaZSb b2Sa若 Sa Sb 0 或 SbSc 0 或 Sc Sa0,且 SaSbSbSc ScSa 0,23.3常用的形式2 acycabcyc2 (acycb)2a3cyc3abc1 a2 cyc(a b)2cyca2bcycab2cyc13 cyc(ab)33 acyca2bcyc3(2a3 cyc

35、b)(a b)2o3.a bcycab3cyc1 a3 cyc(b a)3cyc(6)4 acyc2.2 a bcyc2 (acyc22b) (a b)Ch24. SMV 法24.1SMV 法即 Strong Mixing Variables Method本法對多于2個變量的對稱不等式非常有用.24.2設(shè)（x1,x2，xn）為任意實數(shù)序列,選擇 i,j 1,2,.,n使 xj min x1, x2，xn, xj maxx1, x2,., xn;xix j用其平均數(shù)，2代替xi和xj,經(jīng)過多次代換后各項xi （i 1,2,.,n）都趨于相同的極限x x1 x2xnn24.3設(shè)實數(shù)空間的函數(shù)F是一

36、個對稱的連續(xù)函數(shù)，滿足F(a1,a2,.,an) F (5，b2 ,., bn )(56)其中，（b1,b2，,bn）序列是由（a1,a2，,an）序列經(jīng)過預(yù)定義變換而得到的預(yù)定義變換可根據(jù)當(dāng)前的題目靈活采用，如c22a b224.4例題說明例題：設(shè)實數(shù)a, b,c解析：米用SMV 法.設(shè):f(a,b,c)則:f(t,t,c)2tt cc2t其中，t a2b由得：f(t,t,c)2tt cc 1()2t 22t(t cc t1)2t2由（56）式得：f（a,b,c）f (t,t,c)Ch25.拉格朗日乘數(shù)法25.1設(shè)函數(shù)f （x1,x2，xn）在實數(shù)空間的IR連續(xù)可導(dǎo)，且gi（x1,x2，xn

37、） 0 ,其中i 1,2,.k）,即有k個約束條件，則f （x1, x2，xn）的極值出現(xiàn)在I區(qū)間的邊界或k偏導(dǎo)數(shù)（函數(shù)為L f igi ）全部為零的點上 i 1這就是拉格朗日乘數(shù)法.Ch26.三角不等式26.1 設(shè)，（0,）,且，則，就是同一個三角形的內(nèi)角26.2,為同一個三角形的內(nèi)角，則有下列不等式:sin3 3 sin sin :2coscoscossinsin sincoscos cos.2 sin. 2 sin.2 sin(6)cos2cos2cos2tantantan3。3 （銳角三角形）；cotcotcot(10)(11)(14)sin2sin2sin2cos 2cos 2cos

38、 2sin sin sin22cos cos cos.2sin22 cos2tan2cot2Ch27.習(xí)題27.127.227.3.2sin22 cos2tan2cot2設(shè) x1, x2，xn設(shè) X1, x2，xn設(shè) a1,a2,.,an.2sin22 costan2cot2(0,1,求證：（1x1 x2R ,且 a1a2.anXi)X2(1X2)X3.(1xn 1 ,求證：(11 ,求證:a21Xn)X12n1Xi)(1X2).(1Xn)2aa2an .27.4設(shè) a,b,c 0 ,且 abc 1 ,求證：a333b c ab bc ca.27.5設(shè) a, b,c,d 0 ,求證:ab 2c

39、3dc 2d 3a d 2a 3bda 2b3c27.6設(shè)a,b,c 0 ,求證:a2 bcb cb2 cac ac2 ab a ba b27.7求證：（1a b)(1 b)na2n 127.8設(shè) x1,x2,., xnx22xn22,求27.927.1027.1127.1227.1327.1427.1527.1627.1727.1827.19f (x1,x2,., xn)(i的最小值.設(shè) a, b, c設(shè) a,b, c設(shè) a,b,c設(shè) a,b,c設(shè) a,b,c設(shè) a,b,c設(shè) a,b,c設(shè) a,b,c,)設(shè)aa?,., an設(shè)a,b,c,d設(shè)a,b,c,dabc bcd5 x1n求證:xi)

40、1x15 x2n(xi)i 15 xnabc ,求證:且ab求證:求證:bc8(a3a3求證:x2xi ) xn 11 a211b211 c2(1 b)2 b2 (1 c)2ca 3,求證：(1 a2)(1c3)c2 (1 a)2b2)(1 c2) 8.b3(1且 abcd 1 ,一 36(a3 b(a b)3c3 abc 1 (a 7求證:a-。求證:5(a2 bc4(babcc)3c)3.(c a)3 .2 u2 a ba2).(11(1 a)2且a b c d 4 ,求證:3abcan)(11(1 b)2cda dab (abc)2 (bcd)2 (cda)2 (dab)2a121 )(

41、1 a21(1c)28.c2).c32始).(1a31(1 d)22an ).a127.20 設(shè) a,b,c 0,且 a2 b2 c2 3 ,求證：a2b2 b2c2 c2d227.21 設(shè)a,b,c R,求證:o/ 222.2- 22、3. 3 ,3 33 33(a ab b )(b bc c )(c ca a ) a b b c c a .111127.22 設(shè) a,b,c,d 0,且 a b c d abcd 5,求證：一一一 一4. a b c d27.23設(shè)不等式:ab(a2 b2) bc(b2c2) ca(c2 a2)M(a2 b2 c2)2對一切實數(shù)a,b,c都成立，求M的最小值

42、.22 、b c c a)(ab bc ca) 9.27.24 設(shè) a,b,c 0,且 a b c 3,求證：(a2bCh27.習(xí)題解析27.1 設(shè) x1,x2，xn (0,1,求證:(1 xKx2 ) 3 .( 11x1 xn)2n .解析：設(shè):xn 1x1 ,則：因為xi(0,1,-1所以11,xi1,2,., n)由伯努利不等式（2）:當(dāng)xi1,）時，（1xj iiff xi 0或i 1時，式等號成立由均值不等式：1 ixi2nxiff ixi 1時，式等號成立.由式得：(1 xi)i27"x"(1%)iff設(shè):1 ，一,則由式得:xi 1則:(11；(1 xn)引1

43、xz)12xnx1上面各式相乘得:(1 X1)X2(1X2)X3.(1 Xn)X12nX1 X2X2 X3Xn on 2X1證畢.27.2 設(shè) X1, X2,., Xn 0 ,且 X1 X2Xn求證：(1 xi)(1 X2).(1Xn)n解析：因為Xi0 , Xii 1Xi1 0,2設(shè) Yi Xi ,則 Yi12。1由伯努利不等式（1）：(1 Y1)(1Y2).(1Yn)1 (Yl. Yn)將yXj代入式,并代入X1X2Xn1 /日一行:2(1 X1)(1X2).(1Xn)1 (X1X2Xn)證畢.27.3 設(shè)a1 ,a2,., an0且 a1a2.anana1a2an .解析：因為 a1,a

44、2,., an0 ,.目.aa2.an1 ,所以由均值不等式(3) : J% q,a2annn a1 a2 . an n即：a1a2niff a1 a2an由柯西不等式（8）:(a)12)iff a1a?a?a2an)an)anan)(a1a2將式代入式得：a1 a2 . ana1a2iffan 1時，式等號成立.證畢.27.4設(shè) a,b,c 0 ,且 abc 1 ,求證:,33b cab bcca.解析:因為 a,b, c 0 ,且 abc 1 ,所以由均值不等式（3）: a2 b22,2a b2,22b c222c a ab bc2ca CL27.5解析:iff abc由均值不等式iff

45、abcWLOG ,設(shè) a(3): a b c 33abe則因為a,b,c0,所以b2由切比雪夫不等式（14）: （a b c）（a2 b23,33 a b c 2, 22、abc (a b c )3iff a b c 1 時,將代入式得:iff a b c 1 時,設(shè) a, b,c,d 0 ,求證:a3 b3 c3 ab bc式等號成立.證畢.ab 2c 3d cb2d記 A b 2c 3d , Bc 2d 3a,則：aA bB cC dD4(ab ac adbcc2)3(ab22、 c c )ca3a2abd待證式為：a b ca由柯西不等式（8）:（d D)(aA即:a b c d (abcd)2ABC D aA bB cC dD由式，只需證明aAabBcAcd 2a 3bcd) a 2b 3c2b 3c_2bB cC dD) (a b c d)2設(shè)多項式：P(x) (x a)(x b)(x c)(x d)4 c°x3c1x2qxc§xC4則:ciac? abac adbc bd cd代入式得:aA bBcC dD 4c 2根據(jù)定義(38)Pk kCn4日彳寸：Picic4:即:ciPi ；P2c2C4c26c26 p2WJ： (ac d)2aA bB cCdD2 ci4c2i6Pi24 6P22Pi由