離散傅里葉變換(DFT)試題

1、第一章 離散傅里葉變換（DFT）3.1 填空題（1） 某序列的表達(dá)式為，由此可以看出，該序列時(shí)域的長(zhǎng)度為 ，變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個(gè)頻率樣點(diǎn)之間的間隔是 。解：N；（2）某序列DFT的表達(dá)式是，由此可看出，該序列的時(shí)域長(zhǎng)度是 ，變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個(gè)頻率樣點(diǎn)之間隔是 。解： N （3）如果希望某信號(hào)序列的離散譜是實(shí)偶的，那么該時(shí)域序列應(yīng)滿足條件 。 解：純實(shí)數(shù)、偶對(duì)稱 （4）線性時(shí)不變系統(tǒng)離散時(shí)間因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，則系統(tǒng)的極點(diǎn)為 ；系統(tǒng)的穩(wěn)定性為 。系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的初值為 ；終值 。解： ；不穩(wěn)定 ；不存在 (5) 采樣頻率為的數(shù)字系統(tǒng)中，系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式中代表的物理意義是 ，其中時(shí)域數(shù)

2、字序列的序號(hào)代表的樣值實(shí)際位置是 ；的N點(diǎn)DFT中，序號(hào)代表的樣值實(shí)際位置又是 。解：延時(shí)一個(gè)采樣周期，（6）已知，則和的5點(diǎn)循環(huán)卷積為 。解： （7）已知?jiǎng)t的4點(diǎn)循環(huán)卷積為 。解：（8）從滿足采樣定理的樣值信號(hào)中可以不失真地恢復(fù)出原模擬信號(hào)。采用的方法，從時(shí)域角度看是（ ）；從頻域角度看是（ ）。解：采樣值對(duì)相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的加權(quán)求和加低通，頻域截?cái)?.2 選擇題1.若一模擬信號(hào)為帶限，且對(duì)其抽樣滿足奈奎斯特條件，理想條件下將抽樣信號(hào)通過(guò) 即可完全不失真恢復(fù)原信號(hào) （ ）A.理想低通濾波器 B.理想高通濾波器 C.理想帶通濾波器 D.理想帶阻濾波器解：A2.下列對(duì)離散傅里葉變換（DFT）的性質(zhì)

3、論述中錯(cuò)誤的是( )A.DFT是一種線性變換B.DFT具有隱含周期性C.DFT可以看作是序列z變換在單位圓上的抽樣D.利用DFT可以對(duì)連續(xù)信號(hào)頻譜進(jìn)行精確分析解：D3序列x(n)=R5(n)，其8點(diǎn)DFT記為X(k)，k=0,1,7，則X(0)為()。A.2B.3 C.4D.5解：D4已知x(n)=(n)，N點(diǎn)的DFTx(n)=X(k)，則X(5)=( )。ANB1C0D- N解：B5.已知x(n)=1,其N點(diǎn)的DFTx(n)=X(k),則X(0)=( )A.NB.1 C.0 D.-N解：A6一有限長(zhǎng)序列x(n)的DFT為X(k)，則x(n)可表達(dá)為： 。A B. C D. 解：C7離散序列x

4、(n)滿足x(n)=x(N-n)；則其頻域序列X(k)有： 。AX(k)=-X(k) B. X(k)=X*(k)CX(k)=X*(-k) D. X(k)=X(N-k)解：D8已知N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列X(k)=DFTx(n)，0n，kN,則N點(diǎn)DFTx(n)=( )A.B. C.D.解：B9.有限長(zhǎng)序列，則 。A.B.C.D.解：C10.已知x(n)是實(shí)序列，x(n)的4點(diǎn)DFT為X(k)=1,-j,-1,j，則X(4-k)為( )A.1，-j，-1，jB.1，j，-1，-jC.j，-1，-j，1D.-1，j，1，-j解：B11.，則IDFTXR(k)是的（ ）。A共軛對(duì)稱分量B. 共軛反對(duì)稱分量C.

5、 偶對(duì)稱分量D. 奇對(duì)稱分量解：A12DFT的物理意義是：一個(gè) 的離散序列x（n）的離散付氏變換X（k）為x（n）的付氏變換在區(qū)間0，2上的 。 A. 收斂；等間隔采樣 B. N點(diǎn)有限長(zhǎng)；N點(diǎn)等間隔采樣 C. N點(diǎn)有限長(zhǎng)；取值 C.無(wú)限長(zhǎng)；N點(diǎn)等間隔采樣解：B13用DFT對(duì)一個(gè)32點(diǎn)的離散信號(hào)進(jìn)行譜分析，其譜分辨率決定于譜采樣的點(diǎn)數(shù)N，即 ，分辨率越高。 A. N越大 B. N越小 C. N=32 D. N=64解：A14. 對(duì) （0n-1）和 (0n-1)進(jìn)行8點(diǎn)的圓周卷積，其中_的結(jié)果不等于線性卷積。 ( )A. =3，=4B. =5，=4C. =4，=4D. =5，=5解：D15對(duì)5點(diǎn)有

6、限長(zhǎng)序列1 3 0 5 2進(jìn)行向左2點(diǎn)圓周移位后得到序列（ ）A1 3 0 5 2B5 2 1 3 0C0 5 2 1 3D0 0 1 3 0解：C16對(duì)5點(diǎn)有限長(zhǎng)序列1 3 0 5 2進(jìn)行向右1點(diǎn)圓周移位后得到序列( )A.1 3 0 5 2B.2 1 3 0 5C.3 0 5 2 1D.3 0 5 2 0解：B17.序列長(zhǎng)度為M，當(dāng)頻率采樣點(diǎn)數(shù)N2/fhB.Ts1/fhC.Ts1/fhD.Ts1/(2fh)解：D25.設(shè)某連續(xù)信號(hào)的最高頻率為5kHz，采樣后為了不失真的恢復(fù)該連續(xù)信號(hào)，要求采樣頻率至少為_(kāi)Hz。( )A.5k B.10k C.2.5k D.1.25k解：B26.如果使用5k

7、Hz的采樣頻率對(duì)某連續(xù)信號(hào)進(jìn)行無(wú)失真的數(shù)字信號(hào)處理，則信號(hào)的最高頻率為_(kāi)Hz。( )A.2.5k B.10kC.5k D.1.25k解：A27.要從抽樣信號(hào)不失真恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)，應(yīng)滿足下列條件的哪幾條( )。()原信號(hào)為帶限()抽樣頻率大于兩倍信號(hào)譜的最高頻率()抽樣信號(hào)通過(guò)理想低通濾波器 A.、 B.、 C.、 D.、解：D3.3 問(wèn)答題 （1） 解釋DFT中頻譜混迭和頻譜泄漏產(chǎn)生的原因，如何克服或減弱？答：如果采樣頻率過(guò)低，再DFT計(jì)算中再頻域出現(xiàn)混迭線性，形成頻譜失真；需提高采樣頻率來(lái)克服或減弱這種失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是盡量用旁瓣小主瓣窄的窗函數(shù)。 （2）在A/D變換之

8、前和D/A變換之后都要讓信號(hào)通過(guò)一個(gè)低通濾波器，它們分別起什么作用？答：在A/D變化之前讓信號(hào)通過(guò)一個(gè)低通濾波器，是為了限制信號(hào)的最高頻率，使其滿足當(dāng)采樣頻率一定時(shí)，采樣頻率應(yīng)大于等于信號(hào)最高頻率2倍的條件。此濾波器亦稱位“抗折疊”濾波器。在D/A變換之后都要讓信號(hào)通過(guò)一個(gè)低通濾波器，是為了濾除高頻延拓譜，以便把抽樣保持的階梯形輸出波平滑化，故稱之為“平滑”濾波器。（3）用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析的誤差問(wèn)題有哪些？答：混疊失真；截?cái)嘈?yīng)（頻譜泄漏）；柵欄效應(yīng)（4）畫出模擬信號(hào)數(shù)字化處理框圖，并簡(jiǎn)要說(shuō)明框圖中每一部分的功能作用。答：框圖如下所示前置濾波器A/D變換器數(shù)字信號(hào)處理器D/A變換器模

9、擬濾波器第1部分：濾除模擬信號(hào)高頻部分；第2部分：模擬信號(hào)經(jīng)抽樣變?yōu)殡x散信號(hào)；第3部分：按照預(yù)制要求對(duì)數(shù)字信號(hào)處理加工；第4部分：數(shù)字信號(hào)變?yōu)槟M信號(hào)；第5部分：濾除高頻部分，平滑模擬信號(hào)（5）“一個(gè)信號(hào)不可能既是時(shí)間有限信號(hào)，又是頻帶有限信號(hào)”是信號(hào)分析中的常識(shí)之一，試論述之。答：由傅里葉變換的尺度變換特性可知信號(hào)在時(shí)域和頻域中尺度的變化成反比關(guān)系，即在時(shí)域中帶寬越寬，在頻域中帶寬越窄；反之，在時(shí)域中帶寬越窄，在頻域中帶寬越寬。所以不可能出現(xiàn)在時(shí)域和頻域都為無(wú)限寬或者有限寬的信號(hào)。（6） 試述用DFT計(jì)算離散線性卷積的方法。答：計(jì)算長(zhǎng)度為M,N兩序列的線性卷積，可將兩序列補(bǔ)零至長(zhǎng)度為M+N-

10、1,而后求補(bǔ)零后兩序列的DFT，并求其乘積，最后求乘積后序列的IDFT，可得原兩序列的線性卷積。（7） 已知X(k)、Y(k)是兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列x(n)、y(n)的DFT值，今需要從X(k)、Y(k)求x(n)、y(n)的值，為了提高運(yùn)算效率，試用一個(gè)N點(diǎn)IFFT運(yùn)算一次完成。解：依據(jù)題意 取序列 對(duì)作N點(diǎn)IFFT可得序列。又根據(jù)DFT性質(zhì) 由原題可知，都是實(shí)序列。再根據(jù)，可得（8）設(shè)H(z)是線性相位FIR系統(tǒng)，已知H(z)中的3個(gè)零點(diǎn)分別為1，0.8，1+j，該系統(tǒng)階數(shù)至少為多少？解：由線性相位系統(tǒng)零點(diǎn)的特性可知，的零點(diǎn)可單獨(dú)出現(xiàn)，的零點(diǎn)需成對(duì)出現(xiàn)，即z=1.25也是其零點(diǎn)之一，的零點(diǎn)需4個(gè)

11、1組，其它三個(gè) ,所以系統(tǒng)至少為7階。3.4 計(jì)算題1.計(jì)算下列序列的N點(diǎn)DFT：（1）（2）(3) （4）（5）（6）解： （1）（2）（3）(4) （5）=,k=0,1,N-1 (6)= =+=+對(duì)照DFT逆變換公式得到2. 令和表示一個(gè)序列及其傅立葉變換，利用表示下面各序列的傅立葉變換。（1）（2） 解：（1） （2）3. 對(duì)有限長(zhǎng)序列的Z變換在單位圓上進(jìn)行5等份取樣，得到取樣值，即，求的逆傅里葉變換。解： 4 設(shè)（1）求的4點(diǎn)DFT。（2）若是與的4點(diǎn)循環(huán)卷積，求及其4點(diǎn)DFT。解： （1）（2） 由上式得到5. 已知求與的5點(diǎn)循環(huán)卷積解：取Z變換可得 由卷積定理可知由上式得到6. 已

12、知序列的5點(diǎn)DFT為，求的DFT逆變換。解 ：對(duì)x(n)進(jìn)行傅里葉變換得 由上式進(jìn)行逆變換得7. 已知一個(gè)有限長(zhǎng)序列（1） 求它的10點(diǎn)離散傅里葉變換。（2） 已知序列的10點(diǎn)離散傅里葉變換為，求序列。（3） 已知序列的10點(diǎn)離散傅里葉變換為，求序列。解：（1）對(duì)取傅里葉變換得 （2）由 可以知道，是向右循環(huán)移位2的結(jié)果，即 （3）由可以知道是與的10點(diǎn)循環(huán)卷積。 一種方法是先計(jì)算與的線性卷積然后由下式得到10點(diǎn)循環(huán)卷積 另一種方法是先計(jì)算的10點(diǎn)離散傅里葉變換 再計(jì)算乘積 由上式得到 8. 若長(zhǎng)為N的有限長(zhǎng)序列x（n)是矩形序列x(n)=。 （1）求x（n)的Z變換，并畫出其極零點(diǎn)的分布圖。

13、 （2）求頻譜X，并畫出幅度的函數(shù)曲線。 （3）求x(n）的DFT的閉式表示，并與對(duì)照。 解： （1）X（z)= = 極點(diǎn)：=0（N-1階）；零點(diǎn)：=，k=1,2,N-1 圖（a)是極零點(diǎn)分布圖 X= 圖（b）所示的是頻譜幅度的函數(shù)曲線。 （3）X（k)= = 可見(jiàn)，X（k)等于X9.已知序列和它的6點(diǎn)離散傅里葉變換（1） 若有限長(zhǎng)序列的6點(diǎn)離散傅里葉變換為求。（2） 若有限長(zhǎng)序列的6點(diǎn)離散傅里葉變換為實(shí)部，即=，求。（3） 若有限長(zhǎng)序列的3點(diǎn)離散傅里葉變換 ，求。解：（1）由知，是向右循環(huán)移位4的結(jié)果，即（2） 由上式得到（3） 由于 所以 即 或 10. 設(shè)是長(zhǎng)為N的序列，是它的Z轉(zhuǎn)換。用

14、構(gòu)成下列3個(gè)長(zhǎng)為2N的序列(1) (2) (3) 用的取樣表示每個(gè)序列的2N點(diǎn)DFT.解：（1）因?yàn)?所以 即等于在單位圓上等間隔的2N點(diǎn)上對(duì)的取樣值。 （2）因?yàn)榈腪變換是，的Z變換是 ，所以最后得到（3）因 所以這意味著是由兩個(gè)銜接起來(lái)得到的。11、設(shè)是一個(gè)并關(guān)于對(duì)稱的序列。是的4點(diǎn)循環(huán)移位序列，即 （1） 求的DFT與的DFT之間的關(guān)系。（2） 由和各構(gòu)成一個(gè)FRI數(shù)字濾波器，試問(wèn)它們是線性相關(guān)數(shù)字濾波器嗎？為什么？如果是，時(shí)延是多少？（3） 如果對(duì)應(yīng)于一個(gè)截止頻率為/2的 低通濾波器，那么也對(duì)應(yīng)于一個(gè)截止頻率為/2的低通濾波器嗎？為什么？解 （1）因?yàn)楹?所以當(dāng)時(shí)，有 由于 ， 所以

15、由上式得 和（1） 因?yàn)楹投季哂袑?duì)稱性，所以它們都是線性相位數(shù)字濾波器。時(shí)延為 （2） 由（1）的結(jié)果知道，和的幅度響應(yīng)相等，所以可以認(rèn)為也是一個(gè)截止頻率為/2的低通濾波器。12、某系統(tǒng)由兩個(gè)LTI子系統(tǒng)并聯(lián)而成，其中一個(gè)子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為，并聯(lián)后系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為（1）求另一個(gè)子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。（2）假設(shè)系統(tǒng)的輸入為，用頻域分析法分別求兩個(gè)子系統(tǒng)的輸出。（3）在相同輸入的情況下，求并聯(lián)系統(tǒng)的輸出y(n)。（4）寫出并聯(lián)系統(tǒng)聯(lián)系輸入和輸出的差分方程，并畫出模擬框圖。解：（1）因?yàn)?，且和是并?lián)的，所以有所以。（2）傅里葉變換為 ，所以所以。同理 所以（3） （4）差分方程為 圖略。13、用某臺(tái)FFT儀做譜分析。使用該儀器時(shí)，選用的抽樣點(diǎn)數(shù)N必須是2的整數(shù)次冪。已知待分析的信號(hào)中，上限頻率kHz。要求譜分辨率Hz。試確定下列參數(shù)：1.一個(gè)記錄中的最少抽樣點(diǎn)數(shù)；2.相鄰樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔；3.信號(hào)的最小記錄時(shí)間。解：因?yàn)榇治龅男盘?hào)中上限頻率所以抽樣頻率應(yīng)滿足：因?yàn)橐笞V分辨率，所以因?yàn)檫x用的抽樣點(diǎn)數(shù)N必須是2的整