知識(shí)點(diǎn)一極限與連續(xù)

1、實(shí)用文案求極限的常用方法利用極限的定義數(shù)列極限白定義：limxn=au寸80,三N0,當(dāng)naN時(shí),有xn-a0250,當(dāng)0|xxd6時(shí),有f(x)A0),lima1,x=1(a0).ni:x_j二這一結(jié)論可以推廣為：/kVx/k4,xlim|Za,=maxa,lim|Za,=mina,.x-wgJ1%和x-溝ITJ1利用兩個(gè)重要極限limsnx=1,lim11+1=3或lim手+1=F=eTxnTdln1x渺x丁.0.1、由重要極限及變量替換可以求以下極限:sin(x)/j(x)阿T,x畋(1+j(x)=e,lim(x)=0,limg(x)=Axx0其中,ff,極限過(guò)程改為其它情形也有類似的結(jié)

2、論2、limf(x)=1,limg(x)=8設(shè)Xff,那么利用重要極限有:g(x)77寸(x)(f(x)Alimf(x)g(x)=lim1f(x)1f(x)=eA.xTxTlimg(x)(f(x)-1)=A.其中xf.利用無(wú)窮小的性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小替換求極限10、無(wú)窮小量乘以有界函數(shù)仍是無(wú)窮小量;20、熟悉常見的無(wú)窮小量：當(dāng)XT0時(shí),有.x12xsinxtanxarcsinxarctanxln(x+1)e-1；1-cosxx；2標(biāo)準(zhǔn)文檔/、g(x)j(x)A(1+j(x)=e.實(shí)用文案ax1xlna(a0,a=1)；(1+x1otx(a=0的常數(shù)),等等.30、求極限過(guò)程中,可以把積和商中的無(wú)窮

3、小量用與之等價(jià)的無(wú)窮小量替換,加與減不能替換.014、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系：如果f(x)為無(wú)窮大,那么為無(wú)否?。环粗?fx如果f(x)為無(wú)窮小,且f(x)#0,那么為無(wú)窮大.fx利用極限與左右極限的關(guān)系limf(x)存在的充要條件是f(xo0)=f(xo+0)xT利用極限的和、差、積、商運(yùn)算法那么應(yīng)當(dāng)注意的是：參與運(yùn)算的每個(gè)函數(shù)的極限都要存在,而且函數(shù)的個(gè)數(shù)只能是有限個(gè),在作商的運(yùn)算時(shí),還要求分母的極限不為零.利用Stolz定理：設(shè)數(shù)列bn單調(diào)增加且limbn=抬,假設(shè)liman包=口或存在,n二n也那么有l(wèi)iman=liman-and,由此可以證實(shí)下面的平均值定理nbnn-bn-bn

4、daa?Illanlim二limann:：nn二lima1a2HIan=limannnn=：n利用函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)y=f(x)在x=x0處連續(xù),那么limf(x)=f(x0)x附利用導(dǎo)數(shù)的定義利用定積分的定義求和式的極限利用洛必達(dá)法那么求未定式的極限或利用帶有佩亞諾(Peano)型余項(xiàng)的泰勒公式求極限(3)無(wú)窮大量與無(wú)窮小量無(wú)窮大量是絕對(duì)值無(wú)限增大的一類變量,它不是什么絕對(duì)值很大的固定數(shù)；無(wú)窮小量以零為極限的一類變量,它也不是什么絕對(duì)值很小的固定數(shù)一.一1無(wú)窮大f(x)的倒數(shù)是無(wú)窮小量；無(wú)窮小f(x片(x)豐0)的倒數(shù)是無(wú)窮大fx無(wú)窮小是以零為極限的變量,因此,和、差、乘積的極限運(yùn)算法那么自然

5、也適用于無(wú)窮小,但商的極限運(yùn)算法那么不適用于無(wú)窮小,由于這時(shí)分母的極限為零,另外,無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍是無(wú)窮小.兩個(gè)無(wú)窮小之商的極限,一般說(shuō)來(lái)隨著無(wú)窮小的不同而不同,從而產(chǎn)生了兩個(gè)無(wú)窮標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案小之間的“高階、“同階、“等價(jià)等概念,它們反映了兩個(gè)無(wú)窮小趨于零的快慢程度如果f(x)以A為極限,那么f(x)_A=o(x)是無(wú)窮小；反之亦然.3、連續(xù)函數(shù)(1)函數(shù)f(x)在Xo處連續(xù)定義的三種不同表達(dá)形式是limf(x)=f(x0);xxVa0,m60,使當(dāng)|xx0|6時(shí),|f(x)-f(x0)|&.這最后一種表達(dá)形式與limf(x)=人的表達(dá)形式十分相似,差異在于極限定義中的不等

6、式;xxo0|x-x0|8這里變成了|x-x0|6;|f(x)-A|名變成了|f(x)-f(x0)|名.由于在探討連續(xù)性時(shí),必須要求f(x)在x0處有定義,且極限值A(chǔ)必須為f(x0).(2)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商在它們共同有定義的區(qū)間仍為連續(xù)函數(shù)(3)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).(4)單調(diào)連續(xù)函數(shù)有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù).(5)一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù).(6)閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)有以下重要性質(zhì)：f(x)必在a,b上有界且取得最大值M與最小值m(有界、最大、最小值定理)f(x)必在a,b上取得介于f(a)與f(b)之間的任何值(介值定理)；f(x)必在a,b上取得最大值M與最

7、小值m之間的任何值;如果f(a)f(b)0,那么f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)之使得f)=0.、兩個(gè)性質(zhì)是介值定理的推論(7)間斷點(diǎn)的分類購(gòu)Ly=|imf(x0LX)f(xo)=0;所以因此實(shí)用文案典型例題:fanfan例1求極限 TOEX-ff可得22!22!4 4又由于oisx=l-oisx=l-+2!2!4141msx-ffmsx-ffMF例2.證實(shí)：數(shù)列萬(wàn),7-7,7-廣7,17一717-萬(wàn),.收斂,并求其極限.證實(shí)：設(shè)該數(shù)列通項(xiàng)為xn,那么4+2=J7-+xn,令f(x)=&-,7+x,Mf(2)=2,xn+2=f(xn),xn42-2=f(xn)-f(2),由拉格朗

8、日中值定理得：存在巴介于x,2之間,使得f(x)-f(2)=f(Xx-2),47x7-7xxn-2|-|f(xn)-f(2|f(nflxn-2標(biāo)準(zhǔn)文檔由題意得即豆=f,那么xn42一2=2xn2,0u=cn-y練習(xí):1、利用極限四那么運(yùn)算法那么.2sinxxsinx-.cosx2sinx12I!sin-costdt,x=0實(shí)用文案7,f、O4；7-工討論它的連續(xù)性不連續(xù)2、 利用兩個(gè)重要極限求極限1、2、3、xx:lim(limcos-cos.cos-x_0n.2222當(dāng)常數(shù)a00,lim(叱a)ni：n-a21vlim(sin-cos-)x；xx2a2e3、利用洛必達(dá)法那么求未定式極限2-x

9、21、x-exsin32x11611、2、lim(一)x0ln(x.1x2)ln(1x)3、arctanx、1x2四(丁)1xn24、lim(nsin-)nn4、利用等價(jià)無(wú)窮小1213e6e標(biāo)準(zhǔn)文檔標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案ln(sin2xex)-x22x、2ln(xe)-x2、lim,J1_x01-cos(x1-cosx)5、利用左右極限的關(guān)系求極限1、e1x+11limarctan-x0e-1x2、|x|3、U,x00,x=0中x0,求lim(a+1n)nif(a)3、lim,x0 xf(t-)-f(t-)(t)9、利用定積分求和式的極限1、,iml#+cos+71+cos27+.J1+cosJI實(shí)

10、用文案113、limfn1n210、利用單調(diào)有界準(zhǔn)那么求極限練習(xí)提升:10、04數(shù)三9csin百2、 limn-1sinsin將nn1nJIln21、xna.一aa,a0(n=1,2,.)求極限1、.14a211、利用泰勒公式求極限1、x221-1x2x22(cosx-e)sinx122、limcos2xsin2xx2(1x2)4,3x0 x22451、(08數(shù)學(xué)9)limX0sinx-sin(sinx)sinx提示：用等價(jià)無(wú)窮小代換或洛必達(dá)法那么2、(06數(shù))limxln(1+x)x-01-cosx提示：用等價(jià)無(wú)窮小代換3、06數(shù)一數(shù)二12數(shù)列xn滿足0cxin,xn書=sinxn,1證實(shí)x

11、n極限存在,并求之;(2)求lim(立)1弋Xn提示：1、利用單調(diào)有界公理,2、利用重要極限1、0,2、e464、03數(shù)一4)1limcosxln1*2提示：先寫成指數(shù)形式5、00數(shù)一12)2+e1xsinx一.一lim(-+)(提小：討論左右極限)I1ex|x|6、07數(shù)三4)2xx3*(sinxcosx)7、06數(shù)三4)8、05數(shù)三12)n1尸n1x1、一一.提示：用洛必達(dá)法那么9、05數(shù)三4)sinx/lim-(cosx-b)=5,貝Ua=b=1e-a1,-4xx-1limx1xlnx10)求極限lim工lnsnxJ0 xx題型一無(wú)窮小及其階標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(提示：用單調(diào)有界公理,3a=

12、3aa=)212、sint求極限lim()tpsinxsinyinx,求極限f(x),并指出其間斷點(diǎn)的類型.(f(x)=esinx,x=0可去間斷點(diǎn),x=kn(kwZ)為第二間斷點(diǎn))13、14、1/如P(2cosx)x-115(08數(shù)三4)x21,設(shè)函數(shù)f(x)=2x06x18、(05數(shù)三9)極限limxsinx一j二二2xx21求lim(xw1-e-x-1).x1、(09數(shù)1,2,3)(1)0時(shí),f(x)=xsinax與g(x)=x2ln(1-bx)等價(jià)無(wú)窮小,1(A)a=1,b=(B)6/.1,1(C)a=1,b=(D)a=-1,b=一662、sinx234當(dāng)XT0時(shí),函數(shù)f(x)=J.s

13、intdt與g(x)=x+x比擬是)的無(wú)窮小(A)等價(jià)(B)同階非等價(jià)(C)高階(D)低階(B)3、設(shè)口0,P0為任意正數(shù),當(dāng)XT十8時(shí),將Vxa,1lnPx,e按從低階到高階的順序排列.答案：1ln：x,1./x：,e*4、當(dāng)XT0時(shí),(1+ax2)13與cosx-1是等價(jià)無(wú)窮小,-325、(07數(shù)一4)當(dāng)xT0+時(shí),與G等價(jià)的無(wú)窮小量是應(yīng)選(B).(A)1-ex.(B)ln1fxT.(D)1-cosx實(shí)用文案x0.x2_xo6、(04數(shù)一4)把XT0時(shí)的無(wú)窮小量a=costdt,P=tanjidt,V=fsintdt00-0使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小,那么正確的排列次序是(A)a,P

14、j.(B)aJ,P.(C)P,aJ.(D)PJ,a.B題型三討論函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)的類型x1、求函數(shù)f(x)=(1+x)tan(xT4)在(0,2元)內(nèi)的間斷點(diǎn),并判斷類型2、3x-x2、(09數(shù)一,數(shù)二)函數(shù)f(x)=的可去間斷的個(gè)數(shù),那么()sin二x(A)1(B)2(C)3(D)無(wú)窮多個(gè)【答案】(C答案：x=1是第一間斷點(diǎn)xf(t)dt4、(08數(shù)三4)設(shè)函數(shù)f(x)在一1,1上連續(xù),那么x=0是g(x)=0的x(A)跳躍間斷點(diǎn)(B)可去間斷點(diǎn)(C)無(wú)窮間斷點(diǎn)(D)震蕩間斷點(diǎn)【答案】B5、(07數(shù)一4)設(shè)函數(shù) f(x)在 x=0處連續(xù),以下命題錯(cuò)誤的選項(xiàng)是：【答案】應(yīng)選(D).(A)假設(shè)limUxl存在,那么 f(0)=0.(B)假設(shè)|imf(x)+f(x)存在,那么 f(0