點(diǎn)線面關(guān)系練習(xí)題

1、點(diǎn)線面位置關(guān)系總復(fù)習(xí)知識(shí)梳理 一、直線與平面平行1 .判定方法(1)定義法：直線與平面無公共點(diǎn)。E a(2)判定定理：，b Fa/ a/b J(3)其他方法：/a/a/2.性質(zhì)定理：aa a/bb二、平面與平面平行2 .判定方法(1)定義法：兩平面無公共點(diǎn)。a/、b/(2)判定定理：a、/ba b Paia/1(3)其他萬法： ；/3 .性質(zhì)定理：a * a/bb，三、直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直。(2)判定方法用定義.a c判定定理：b c ab abc Ja 1推論： bba/b)(3)性質(zhì)Da ba/b四、平面與平面垂直(1

2、)定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。E a "I(2)判定定理a)(3)性質(zhì)性質(zhì)定理 l I a a l JPPAl 卜A l垂足為A /PA“轉(zhuǎn)化思想”面面平行 線面平行 線線平行面面垂直 線面垂直 線線垂直求二面角1 .找出垂直于棱的平面與二面角白兩個(gè)面相交的兩條交線，它們所成的角就是二面角的平面角OA±l, OB± 1,則/AOB叫做二面角質(zhì).八2.在二面角d-J P的棱上任取一點(diǎn) O,在兩半平面內(nèi)分別作射線 的平面角 例1.如圖，在三棱錐 S-ABC中，SA底面ABC ABBG DE垂直平分 SC,且分另交 AC

3、于D,交SC于E,又SA=AB> SB=BC求以BD為棱，以BDE和BDC為面的二面角的度數(shù)。求線面夾角定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）方法：作直線上任意一點(diǎn)到面的垂線，與線面交點(diǎn)相連，利用直角三角形有關(guān)知識(shí)求得三角形其中一角就是該 線與平面的夾角。例1:在棱長(zhǎng)都為1的正三棱錐S- ABC中，側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是 .例2:在正方體 ABCD-A1B1C1D1中，BC1與平面AB1所成的角的大小是 ;BD1與平面AB1所成的角的大小是 ;CC1與平面BC1D所成的角的大小是 ; BC1與平面A1BCD1所成的角的大小是 BD1與平面B

4、C1D所成的角的大小是 ;例3:已知空間內(nèi)一點(diǎn) 。出發(fā)的三條射線 OA、OB、OC兩兩夾角為60° ,試求OA與平面BOC所成的角的大小.求線線距離說明：求異面直線距離的方法有：（1）（直接法）當(dāng)公垂線段能直接作出時(shí)，直接求.此時(shí)，作出并證明異面直線的公垂線段，是求異面直線 距離的關(guān)鍵.（2）（轉(zhuǎn)化法）把線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，如求異面直線a、b距離，先作出過a且平行于b的平面 ，則b與 距離就是a、b距離.（線面轉(zhuǎn)化法）.也可以轉(zhuǎn)化為過 a平彳Tb的平面和過b平行于a的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離.（面面轉(zhuǎn)化法）.（3）（體積橋法）利用線面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用何種公式

5、來求.（4）（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來解.兩條異面直線間距離問題，教科書要求不高（要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離），這方面的問題的其他解法，要適度接觸，以開闊思路，供學(xué)有余力的同學(xué)探求.例：在棱長(zhǎng)為a的正方體中，求異面直線 BD和BC之間的距離。線面平行（包括線面距離）例：已知點(diǎn)S是正三角形 ABC所在平面外的一點(diǎn)，且 SA SB SC, SG為 SAB上的高，D、E、F 分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)，試判斷 SG與平面DEF內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明B面面平行（包括面面距離）例1：已知正方體 ABCD AiBiCiDi ，求證平面B1AD1 /平面BC

6、1D例2：在棱長(zhǎng)為a的正方體中，求異面直線 BD和BC之間的距離.面面垂直例1:已知直線PA垂直正方形 ABCD所在的平面，A為垂足。求證：平面 PAC平面PBD。例2:已知直線PA垂直于O所在的平面，A為垂足，AB為。的直徑，C是圓周上異于 A、B的一點(diǎn)。求證：平面PAC平面PBC課后作業(yè):一、選擇題1 .教室內(nèi)任意放一支筆直的鉛筆，則在教室的地面上必存在直線與鉛筆所在的直線（）A.平行B.相交C異面D.垂直2 .若m、n是兩條不同的直線，a、& 丫是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A.若 m3, a，&貝m± aB.若加產(chǎn)m, 歸產(chǎn)n, m / n,則a

7、/ 3C若 m± 3, m " & 則 a± 3D.若 a_L % a_L & 則 3-L 丫3 .（改編題）設(shè)P是 ABC所在平面外一點(diǎn)，P到ABC各頂點(diǎn)的距離相等，而且P到4ABC各邊的距離也相等, 那么 ABC（ ）A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C是等邊三角形D.不是A、B C所述的三角形4 .把等腰直角 ABC沿斜邊上的高 AD折成直二面角B-AD-C,則BD與平面ABC所成角的正切值為 ()5 .如圖，已知 ABC為直角三角形，其中/ ACB= 90 °, M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于 ACB所在平面，那么()=PB

8、>PC=PB<PC/= PB= PC/ / ，PB，PC77c二、填空題：6 .正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為2,高為2, E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PE± AC,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為.7 . a、3是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面a及3之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷： m,n；a± 3；n± 3；m，%以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：.三、解答題11 .如圖(1),等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AB=AD, Z ABC= 60°, E是BC的中點(diǎn)，如圖(2),將 ABE

9、沿AE折起, 使二面角B-AE-C成直二面角，連接 BC, BD, F是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn).C(1)求證：AE± BD;(2)求證：平面 PEFL平面 AECD判斷DE能否垂直于平面 ABC并說明理由12 .如圖，已知PA 矩形ABCD所在平面。M,N分別是AB, PC的中點(diǎn)。(1求證：MN 面PAD(2)求證：MN CD(3)若 PDA 45O,求證：MN 面PCD12 .如圖所示，已知 BCD中，Z BCD= 90°, BC= CD= 1, AB,平面 BCD / ADB= 60°, E、F分別是 AC AD 上的AE AF動(dòng)點(diǎn)，且 AE= ah=

10、Xovi).AC AD(1)求證：不論 入為何值，總有平面 BEF1平面ABC;(2)當(dāng)入為何值時(shí)，平面 BEH平面ACD13 .如圖，在矩形 ABCD中，AB= 2BC, P、Q分別為線段 AB、CD的中點(diǎn)，EPL平面 ABCD(1)求證：DP,平面EPC(2)問在EP上是否存在點(diǎn) F使平面AFDL平面BFC若存在，求出 日的彳1 .AP參考答案求二面角，它們所成的角就分析：找二面角的平面角，有一種方法是找出垂直于棱的平面與二面角的兩個(gè)面相交的兩條交線 是二面角的平面角.解：" “卜 n 3c，平面 BDE 二 5C_LDB.3c 1 聞 SA_L平面 ABC =SA1DB JB&

11、quot;平面SAC=班=UEDC是二面SD 1 DCi角mDE-C的平面角設(shè) S&=AB=1.貝UBC=5B=7 SA1平面ABC BC±ABL BC1SB在 RtASA伸,SA=1, SC=2/ ECA=3Q在 Rt A DE沖,/ DEC=90/ EDC=60,所求的二面角為60。求線線距離解法1:（直接法）如圖:I）C取BC的中點(diǎn)P,連結(jié)PD、PB1分別交AC、BCi于M、N兩點(diǎn),易證：DB"/MN DB AC, DB BC1MN為異面直線AC與BC1的公垂線段，易證:1.3MNDB1 a33小結(jié)：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解.但通常

12、尋找公垂線段時(shí)，難度較大. 解法2:（轉(zhuǎn)化法）如圖：AjB】AC / 平面 A1C1BAC與BCi的距離等于AC與平面aicib的距離,在Rt OBOi中，作斜邊上的高OE ,則OE長(zhǎng)為所求距離,OB.2 a2OOi aOiB3 a,2OEO5 OBO1B小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離.解法3:（轉(zhuǎn)化法）如圖:Bi平面ACD1 /平面AC與BCi的距離等于平面ACDi與平面AGB 的距離.DBi平面ACD,且被平面AS和平面Ad三等分;i .3 BiD a所求距離為33小結(jié)：這種解法是線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離.解法4:（構(gòu)造函數(shù)法）如圖：任取點(diǎn)Q BC1, # QR BC于R點(diǎn)，作PK

13、 AC于K點(diǎn)，設(shè)RC X,則 BR QR a x ck KR ,且 KR2 CK2 CR221212KR2-CR2-x222_2122QK x (a x)則 23(x 2a)2 1a2 1a22333故QK的最小值，即AC與BC1的距離等于3小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)， 通過求這個(gè)函數(shù)的最小值來得到二異面直線之間的距離.解法5:（體積橋法）如圖：當(dāng)求AC與BCi的距離轉(zhuǎn)化為求AC與平面A1C1B的距離后，設(shè)C點(diǎn)到平面ACib的距離為h, 則 VC A1C1B VA1 bcc11 2a -a2,ha “3 .即AC與BC1的距離等號(hào),3a3小結(jié)：本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線

14、面距離，再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之.這種方法在后面將要學(xué)到.線面平行例：分析1：如圖，觀察圖形，即可判定 SG平面DEF ,要證明結(jié)論成立，只需證明 SG與平面DEF內(nèi)的一條直 線平行.觀察圖形可以看出：連結(jié) CG與DE相交于H ,連結(jié)FH , FH就是適合題意的直線.怎樣證明SGFH只需證明H是CG的中點(diǎn).證法1:連結(jié)CG交DE于點(diǎn)H , DE是ABC的中位線，. DE/AB.在ACG中，D是AC的中點(diǎn)，且DHAG,H為CG的中點(diǎn). FH 是 SCG的中位線，F(xiàn)H/SG.又SG 平面DEF , FH 平面DEF ,，SG/ 平面 DEF .分析2：要證明SG平面D

15、EF ,只需證明平面 SAB/平面DEF ,要證明平面 DEF 平面SAB,只需證明SADF, SBEF而SADF, SB EF可由題設(shè)直接推出.證法2： EF為 SBC的中位線，EF/SB.EF 平面 SAB, SB 平面 SAB,EF 平面 SAB.同理：DF 平面 SAB, EF DF F ,，平面SAB平面DEF ,又 SG 平面SAB,SG/ 平面 DEF面面平行例一：證明：. ABCD-ABlGD1為正方體,.D1A/C1B又C1B平面CiBD故D1A平面CiBD同理DiB1平面CiBD又 DA Di BiDi平面ABiDi 平面 CiBD例二：根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證:BD/BiD

16、iAB DiC平面ABD 平面CBd連結(jié)ACi ,分別交平面ABD和平面CBiDi于M和N因?yàn)镃Ci和ACi分別是平面ABCD的垂線和斜線，AC在平面ABCD內(nèi)，AC由三垂線定理：AG BD,同理：AG AD,AG平面ABD,同理可證：ACi平面CBiDi平面AiBD和平面CBiDi間的距離為線段 MN長(zhǎng)度.如圖所示：BD在對(duì)角面AC1中，O1為AG的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)AM MN NCi - ACi a 33.,3，BD和BiC的距離等于兩平行平面ABD和CBiDi 的距離為3 面面垂直'八 證財(cái)lE方膨ABCD+，AC±BD |PA ± ¥ 面ArM：n' KDc 平面 ABCD>ACu 平廝PAC PA j ¥ 面PAC ACHPA=A= BD1平面4PAC n平面，ac L平面mb.cRD u 平面PHD J例2:A斑圓