計(jì)算N階行列式若干方法

1、網(wǎng)上搜集的計(jì)算行列式方法總結(jié)，還算可以.計(jì)算H階行列式的若干方法舉例岡二扌商要：線性代數(shù)是理工科大學(xué)學(xué)生的一門必修基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程。行列式的計(jì)算是線 性代數(shù)中的難點(diǎn)、重點(diǎn)，特別是n階行列式的計(jì)算，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，普遍存在很多困 難，難于掌握。計(jì)算"階行列式的方法很多，但具體到一個(gè)題，要針對(duì)其特征，選取適當(dāng) 的方法求解。關(guān)鍵詞："階行列式計(jì)算方法n階行列式的計(jì)算方法很多，除非零元素較少時(shí)可利用定義計(jì)算(按照 某一列或某一行展開完全展開式)夕卜，更多的是利用行列式的性質(zhì)計(jì)算，特 別要注意觀察所求題目的特點(diǎn)，靈活選用方法，值得注意的是，同一個(gè)行列 式，有時(shí)會(huì)有不同的求解方法。下面介

2、紹兒種常用的方法，并舉例說明。1. 利用行列式定義直接計(jì)算例1計(jì)算行列式00 021000D產(chǎn)77-1.0000 00n解D“中不為零的項(xiàng)用一般形式表示為an-a2n-2 ttn- ilnn = W-該項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)t (n-n-2.An)等于匸心),故2(n-IWn-2)2. 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算例2 個(gè)階行列式9=|勺|的元素滿足勺=一門=12”則稱。為反對(duì)稱行列式，證明：奇數(shù)階反對(duì)稱行列式為零.證明由5 = 一a/知atl = 一冷，即Cia =0j = 1,2，/故行列式。可表示為2 =0ai2一"13 420_。23 a230 仏“2”知 一細(xì)_6”_知.0由行列式的性

3、質(zhì)同=1団° a2ai3一(1120一 “23一吆6 = 0 一知 %勺” 00如 %ai20。23 知=(-1)"一如 _“23 0 a3n 一5一如0=（-1）5當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，得Dn =D,因而得Dn = 0.3. 化為三角形行列式若能把一個(gè)行列式經(jīng)過適當(dāng)變換化為三角形，其結(jié)果為行列式主對(duì)角線上 元素的乘積。因此化三角形是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要方法。例3計(jì)算階行列式abb bhab bD =bba b b b b a解這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2, 3, h列都加到第1列上，行列式不變，得1hb0u_b0= «

4、 + (?-!)/?00a_b0001 b b= G + S_l)b(d_b)zb00 a_ba + (n-)bbb ba + (n_l)ab bD =a + (n-)hba b« + (?-!)/?bb a1 b b4.降階法降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地 是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，往往是先利用 列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。例4計(jì)算階行列式“00010000a00a解將0按第1行展開a00 （）0a0 00a0 000a 000a （）000 a000 a100 0Dy=八（_1嚴(yán)（_1”25

5、. 遞推公式法遞推公式法：對(duì)n階行列式0找出D.與Di或0與Dn-u £>“2之間的一 種關(guān)系稱為逆推公式（其中D“，DS2等結(jié)構(gòu)相同），再曲遞推公式求 出D“的方法稱為遞推公式法。例5證明X0-1X0-10000Dn = 000 X-15%5-2 a2a +x=A*" + 6/|.V；，+ Cl-fXn + + ClnX + Clff, （/2 2 2）證明將0按第1列展開得-1X0-15-30-10000 X -1a2 ax + x0 00 0> X 一1山此得遞推公式：2=5+2" 利用此遞推公式可得Dn = an += 5 + 心“ + 2心）

6、= an+an_x + x2D2=cin + ClnX + + i + xn6. 利用范德蒙行列式例6計(jì)算行列式11 1x +1x2 +1 ©+1D =彳+召x；+x2尤+x”x'；-l+x'；-2疔 +x；"2/-I丄嚴(yán)2 心+©解把第1行的一1倍加到第2行，把新的笫2行的一1倍加到第3行，以此 類推直到把新的第n-行的一1倍加到第行，便得范徳蒙行列式=n （兀-®）n>i> j>7. 加邊法（升階法）加邊法（乂稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不 變的方法。例7計(jì)算階行列式x + ax + a24第

7、布減第1行a20（箭形行列式）8. 數(shù)學(xué)歸納法例8計(jì)算"階行列式7-1 %0002La.=疋1 +工丄丿“ 丿-10-1a +x解用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n = 2時(shí)ci2x + a=x(x + d) + a2=對(duì) + axx + a2D* = + q" 1 + ci2 " + + cix + a&則當(dāng)n = k+時(shí)，把6+i按第一列展開，得=X(Xk+ +代-丿+匕）+。知1i>=x +ax + + aW + 綽x + 匕.山此，對(duì)任意的正整數(shù)小有Dn =対+ W心+勺-2疋+勺丿+勺9.拆開法把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡(jiǎn)化以利計(jì)算。a +人例9計(jì)算行列式D =40+人9_1 A°2an解咕