一元二次方程根與系數的關系習題解析

1、一元二次方程根與系數的關系習題準備知識回顧:1、一元二次方程+bx+c=0）的求根公式為_士一4ac.1x=（Z?-4ac>0）.2a2、一元二次方程ad+bx+c=0（¥0）根的判別式為：=-4ac（1）當>（）時，方程有兩個不相等的實數根。（2）當=（）時，方程有兩個相等的實數根。（3）當<0時，方程沒有實數根。反之：方程有兩個不相等的實數根，則；方程有兩個相等的實數根，則；方程沒有實數根，則O韋達定理相關知識1若一元二次方程ax?+bx+c=0（a工0）有兩個實數根再和修，那么再+匕=,再%=o我們把這兩個結論稱為一元二次方程根與系數的關系，簡稱韋達定理。2、

2、如果一元二次方程/+px+g=。的兩個根是王和，貝1卜+工2=，X.%2=o3、以玉和它為根的一元二次方程（二次項系數為1）是-（占+x2）x+xtx2=04、在一元二次方程ad+以+c=0（a¥0）中，有一根為0,則C=；有一根為L則a+c=；有一根為一1,則a-+c=；若兩根互為倒數，則c=；若兩根互為相反數，貝獨=05、二次三項式的因式分解（公式法）在分解二次三項式以2+W+C的因式時，如果可用公式求出方程“x，+x+c=O(aWO)的兩個根1和不，那么or2+bx+c=a(x-X)(x-X2).如果方程+C=0(6/豐0)無根則此二次三項式ad+bx+c不能分解，基礎運用例1

3、：已知方程3/一/_1次+2=0的一個根是1,則另一個根是.解：變式訓練：L已知戶-1是方程3/+2x+k=0的一個根，則另一根和攵的值分別是多少？2、方程Y-h-6=。的兩個根都是整數，則k的值是多少？例2：設再和超是方程2-+4x-3=0,的兩個根，利用根與系數關系求下列各式的值：(1)X+x2(2)(凡+1乂工2+1)一+一(芭一看)-演變式訓練：1、已知關于X的方程310X+攵=0有實數根，求滿足下列條件的k值：(1)有兩個實數根。(2)有兩個正實數根。(3)有一個正數根和一個負數根0(4)兩個根都小于2。2、已知關于x的方程/-20¥+“=0。(1)求證：方程必有兩個不相等

4、的實數根。(2)。取何值時，方程有兩個正根，(3)。取何值時，方程有兩異號根，旦負根絕對值較大。(4)。取何值時，方程到少有一根為零？選用例題：例3已知方程+以+。=0(工0)的兩根之比為1：2,判別式的值為L則。與匕是多少？例4、已知關于x的方程一+2(,+2)x+-5=0有兩個實數根.并且這兩個根的平方和比兩個根的積大16,求，的值。例5、若方程/一4%+"?=。與-7-26=0有一個根相同，求?的值?；A訓練：1.關于X的方程-2丹1=0中，如果。<0,那么根的情況是()(A)有兩個相等的實數根(B)有兩個不相等的實數根(C)沒有實數根(D)不能確定2.設外,2是方程2人

5、-6x+3=。的兩根，則xj+x?的值是()(A)1512(C)6(D)33.下列方程中，有兩個相等的實數根的是()(A)2y2+5=6y(B)x2+5=2mx(C)小x,-/x+2=0(D)3x2-2yx+l=04.以方程x?+2x-3=。的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是()(A)y2+5y-6=0(B)y2+5y+6=0(C)y2-5y+6=0(D)y2-5y-6=05 .如果x，長是兩個不相等實數，且滿足x：-2刈=L必-2xc二L那么XrXz等于()(A)2(B)-2(C)1(D)-16 .關于x的方程axJ2x+l=0中，如果a<0,那么根的情況是()(A)有兩個相等的實

6、數根(B)有兩個不相等的實數根(C)沒有實數根(D)不能確定7 .設Xi,x=是方程2x?-6x+3=。的兩根，則xJ+xz?的值是()(A)1512(C)6(D)38 .如果一元二次方程x'+dx+k，=。有兩個相等的實數根，那么k二一9 .如果關于x的方程2x?-(4k+l)x+2k?-l=0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是10 .已知Xi,七是方程2xJ7x+4=0的兩根，貝IJxi+七=,XiXz=,(Xi-Xz),=11若關于x的方程(n?-2)x2-(m-2)x+l=0的兩個根互為倒數,則m=:二、能力訓練：1、不解方程，判別下列方程根的情況：(1)x2-x=59x

7、°-6/+2=0(3)xz-x+2=02、當m=時，方程x2+mx+4=0有兩個相等的實數根；當m二時，方程mx2+4x+l=0有兩個不相等的實數根；3、已知關于x的方程10x2-(m+3)x+m-7=0,若有一個根為0,則m=,3這時方程的另一個根是；若兩根之和為-三，則m二,這時方程的兩個根為.4、已知3-/是方程xmx+7=0的一個根，求另一個根及m的值。5、求證：方程(m-l*-2mx+(m,+4)=0沒有實數根。6、求作一個一元二次方程使它的兩根分別是和1+南o7、設是方程2x，4x-3=0的兩根，利用根與系數關系求下列各式的值：XzXizx(1)(Xi+l)(Xz+l)(

8、2)-+-(3)xr+XiXz+2XiXiXz8、如果xJ2(m+l)x+m2+5是一個完全平方式，則m=;9、方程2x(mx-4)=x,-6沒有實數根，則最小的整數m=;10、已知方程2"-1)”-3)二乂011-4)兩根的和與兩根的積相等，則m=:11、設關于x的方程必-6x+k=0的兩根是m和n,且3m+2n=20,則k值為12、設方程4x2-7x+3=0的兩根為小在不解方程，求下列各式的值(1)xi2+xz2(2)xi-xz(3)+XiX22+1Xi13、實數s、t分別滿足方程19s?+99s+1=0和且19+99t+1=0求代st+4s+1數式f的值。14、已知a是實數，旦

9、方程x2+2ax+l=0有兩個不相等的實根，試判別方程1x+2ax+l-(6-一工一1尸0有無實根？15、求證：不論k為何實數，關于x的式子僅-1)僅-2)-1<2都可以分解成兩個一次因式的積。16、實數K在什么范圍取值時，方程宏2+2(女-1口-(攵-1)=。有實數正根？訓練(-)1、不解方程，請判別下列方程根的情況；(l)2r+3t-4=0,;(2)16x2+9=24x,;(3)5(u2+1)-7u=0,;2、若方程x2-(2m-l)x+m，l=0有實數根，則m的取值范圍是;3、一元二次方程x-px+q=0兩個根分別是2+4和2-/，則P二干；4、已知方程3x=-19x+m=0的一個

10、根是1,那么它的另一個根是,m二;5、若方程x'mx-1=0的兩個實數根互為相反數，那么m的值是;6、m,n是關于x的方程x2-(2m-l)x+m2+l=0的兩個實數根，則代數式mn=o7、已知關于x的方程xJ(k+l)x+k+2=0的兩根的平方和等于6,求k的值；8、如果a和p是方程2x，3x-l=0的兩個根，利用根與系數關系，求作一個一11兀二次方程，使它的兩個根分別等于a+元和B+兀；Pa9、已知a,b,c是三角形的三邊長，且方程(amS+cjx'+Zg+b+Ox+BuO有兩個相等的實數根，求證：這個三角形是正三角形10取什么實數時，二次三項式2xJ(4k+Dx+2kl可

11、因式分解1L已知關于X的一元二次方程+2(3-m)x+1=0的兩實數根為a，B,11若S=+-p,求s的取值范圍。訓練(-)1、已知方程x?-3x+l=0的兩個根為aB,則Ct+B=,鄧二；2、如果關于x的方程x2-4x+m=0與x2-x-2m=0有一個根相同，則m的值為；13、已知方程2xJ3x+k=0的兩根之差為2?,則k=;4、若方程xm(a。2)x3二0的兩根是1和一3,貝lja二;5、方程4x2-2(a-b)x-ab=0的根的判別式的值是;6、若關于x的方程x，2(m-l)x+4mJ。有兩個實數根.且這兩個根互為倒數，那么m的值為；7、已知p<0,q<0,則一元二次方程x

12、°+px+q=O的根的情況是；8、以方程x2-3x-1=0的兩個根的平方為根的一元二次方程是;9、設刈片是方程2x'6x+3=0的兩個根，求下列各式的值：cc11(l)xrx2+x1x2-(2)-10.m取什么值時,方程2x2-(4m+l)x+2m2-1=0(1)有兩個不相等的實數根，(2)有兩個相等的實數根，(3)沒有實數根；11.設方程x2+px+q=O兩根之比為1:2,根的判別式=L求p,q的值。12.是否存在實數人使關于x的方程9，-(4攵-7口-6公=0的兩個實根玉v3滿足上=5,如果存在，試求出所有滿足條件的攵的值，如果不存在，請說明x2/理由。一元二次方程根與系

13、數關系專題訓練主編：閆老師1、如果方程ax2+bx+c=0(a#0)的兩根是xi、X2,那么x+x2=,xi-x2=o2、已知XLX2是方程2x2+3x-4=0的兩個根那么：xi+x2=；xix?=；+x2i+x22=；(xi+l)(x2+l)=；Ixi-X2I3、以2和3為根的一元二次方程(二次項系數為1)是o4、如果關于x的一元二次方程x2+&x+"0的一個根是1-五,那么另一個根是.a的值為o5、如果關于x的方程x2+6x+k=0的兩根差為2,那么k=o6、已知方程2x2+mx-4=0兩根的絕對值相等，則m=。7、一元二次方程px2+qx+r=O(pXO)的兩根為0和-

14、1,則q：p二。8、已知方程x2-mx+2=0的兩根互為相反數，則m=。9、已知關于x的一元二次方程(a2-l)x2-(a+l)x+l=0兩根互為倒數，貝IJa二o10、已知關于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的兩根為X1和X2，且x+x2=-2,貝IJm二,(xi+X2)*=。11、已知方程3x2+x-1=0,要使方程兩根的平方和為葛，那么常數項應改為。12、已知一元二次方程的兩根之和為5,兩根之積為6,則這個方程為：13、若a、B為實數且Ia+p-3|+(2-郊)2=0,則以a、0為根的一元二次方程為o(其中二次項系數為1)14、已知關于x的一元二次方程x2-2(m-l)x+m2=0。

15、若方程的兩根互為倒數，則m=；若方程兩根之和與兩根積互為相反數，則m=o15、已知方程x2+4x-2m=。的一個根a比另一個根0小4,則a=；p二；m=o16、已知關于x的方程x2-3x+k=。的兩根立方和為0,則217、已知關于x的方程x2-3mx+2(m-l)=0的兩根為xl、X2，且Xx24則m二o18、關于x的方程2x2-3x+m=0,當時，方程有兩個正數根；當m_時，方程有一個正根，一個負根；當m時，方程有一個根為0。19、若方程X2-4x+m=0與X2X-2m=0有個根相同，貝Ijm二。20、求作一個方程，使它的兩根分別是方程x2+3x-2=0兩根的二倍，則所求的方程為O21、一兀

16、二次方程2x2-3x+l=0的兩根與x2-3x+2=O的兩根之間的關系是o22、已知方程5x2+mx-10=0的一根是-5,求方程的另一根及m的值。23、已知2+、是X2-4x+k=0的一根，求另一根和k的值。24、證明：如果有理系數方程x2+px+q=0有一個根是形如A+、值的無理數(A、B均為有理數)，那么另一個根必是A-Vbo25、不解方程，判斷下列方程根的符號，如果兩根異號.試確定是正根還是負根的絕對值大？(l)x2-5=0,(2)x2-2+73=026、已知xi和X2是方程2x2-3x-l=0的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值：33x°ix2+xix0227、已知

17、xi和X2是方程2x2-3x-l=0的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值：1 1r+rx；x；28、已知xi和X2是方程2x2-3x-l=0的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值：(x2i-x22)229、已知xi和X2是方程2x2-3x-l=0的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值：xi-X230、已知X1和X2是方程2x2-3x-的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值：X；X31、已知xi和X2是方程2x2-3x-l=0的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值：5225x乙2+x1仇丁232、求一個一元二次方程，使它的兩個根是2+、用和2-、用。33、已知兩數

18、的和等于6,這兩數的積是4,求這兩數。34、造一個方程，使它的根是方程3x2-7x+2=0的根；大3；2倍；相反數；倒數。35、方程x2+3x+m=0中的m是什么數值時，方程的兩個實數根滿足：一個根比另一個根大2；(2)一個根是另一個根的3倍；兩根差的平方是17。36、已知關于x的方程2x2-(m-i)x+m+l=0的兩根滿足關系式x.-X2=L求m的值及兩個根。37、a、0是關于x的方程4x2-4mx+m2+4m=0的兩個實根，并且滿足9=,求m的值。38、已知一元二次方程8x2-(2m+l)x+m-7=0,根據下列條件，分別求出m的值：兩根互為倒數；(2)兩根互為相反數；(3)有一根為零；

19、(4)有一根為1；兩根的平方和為39、已知方程x2+mx+4=0和X2-(01-2儀-16二0有一個相同的根，求m的值及這個相同的根。40、已知關于x的二次方程x2-2(a-2伙+小-5=0有實數根，且兩根之積等于兩根之和的2倍，求a的值。41、已知方程x2+bx+c=0有兩個不相等的正實根，兩根之差等于3,兩根的平方和等于29,求b、c的值。42、-3a2-6a-11=0,3b2-6b-11=0且aHb,求-b4的值。43、試確定使x2+(a-b)x+"0的根同時為整數的整數a的值。44、已知一元二次方程(2k-3)x2+4kx+2k-5=0,且4k+l是腰長為7的等腰三角形的底邊

20、長，求：當k取何整數時，方程有兩個整數根。45、已知：a、0是關于x的方程x2+(m2)x+l=0的兩根，求Q+ma+c(2)Q+mp+的的值。46、已知x1,x2是關于x的方程x2+px+q=0的兩根，x1+l、X2+1是關于x的方程x2+qx+p=0的兩根，求常數p、q的值047、已知x1、X2是關于x的方程x2+m2x+n=0的兩個實數根；y、y2是關于y的方程y2+5my+7=0的兩個實數根且勺-y1=2,x2-丫2=2,求m、n的值。48、關于x的方程m2x2+(2m+3)x+l=0有兩個乘積為1的實根，x2+2(a+m)x+2a-m2+6m-4=0有大于0且小于2的根。求a的整數值

21、。49、關于x的一元二次方程3x2-(4m2一l)x+m(m+2)=0的兩實根之和等于兩個實根的倒數和，求m的值。50、已知：a、0是關于x的二次方程：附-2伙2+2(01-4”+11-4二0的兩個不等實根。Q)若m為正整數時，求此方程兩個實根的平方和的值；若0(2+02=6時,求m的值。51、已知關于x的方程mx2-nx+2=0兩根相等，方程x2-4mx+3n=。的一個根是另一個根的3倍。求證：方程X2-(k+n)x+(k-m)=0一定有實數根。52、關于x的方程x2-2mx+：n2=0,其中m、n分別是一個等腰三角形的腰長和4底邊長。Q）求證：這個方程有兩個不相等的實根；若方程兩實根之差的

22、絕對值是8,等腰三角形的面積是12,求這個三角形的周長。53、已知關于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有兩個實根xi和X2（xi，x2）,在數軸上，表示X2的點在表示xi的點的右邊，且相距p+1,求p的值。54、已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為a、p,且兩個關于x的方程x2+(a+l)x+鏟=0與x2+(B+l)x+o(2=O有唯一的公共根，求a、b、c的關系式。55、如果關于x的實系數一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有兩個實數根a、p,那么(a-l)2+(p-的最小值是多少？56、已知方程2x2-5mx+3n=0的兩根之比為2：方程x2-2nx+8m=0

23、的兩根相等(mnXO)。求證：對任意實數k,方程mx2+(n+k-l)x+k+l=O恒有實數根。57、方程x2-3x+m=0的一個根是、歷，則另一個根是。若關于y的方程y2-my+n=O的兩個根中只有一個根為0,那么m,n應滿足。58、不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積x2+3x+1=0；59、不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積3x2-2x-1=0；60、不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積-2x2+3=0；61、不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積2x2+5x=0o62、已知關于x的方程2x2+5x=m的一個根是-2,求它的另一個根及m的值。63、已知關于x的方程

24、3x2-1=tx的一個根是-2,求它的另一個根及t的值。64、設xi，X2是方程3x2-2x-2=0的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值：(1)(x1-4)(x2-4)；(2)xix24+xix2；J+_LYx_L1-3A3xJ(4)xi3+x23o65、設xi，X2是方程2x2-4x+l=0的兩個根求x1-x2|的值。66、已知方程x2+mx+12=0的兩實根是xi和X2，方程x2-mx+n=。的兩實根是xi+7和X2+7,求m和n的值。67、以2,-3為根的一元二次方程是()A.x2+x+6=0C.x2-x+6=0B.x2+x-6=0D.x2 -x-6=0() A.3x2-2x+3

25、=0C3x2 - 6x- 9=0B.3x2+2x-3=0D.3x2+6x-9=068、以3,-1為根，且二次項系數為3的一元二次方程是69、兩個實數根的和為2的一元二次方程可能是()A.x2+2x-3=0C.x2+2x+3=0B.x2-2x+3=0D.x2-2x-3=070、以-3,-2為根的一元二次方程為,以軍，F為根的一元二次方程為以5,-5為根的一元二次方程為,以4,g為根的一元二次方程為。471、已知兩數之和為-7,兩數之積為12,求這兩個數072、已知方程2x2-3x-3=0的兩個根分別為a,b)利用根與系數的關系，求一個一元二次方程,使它的兩個根分別是：(l)a+l.b+l(2)-

26、,yab773、一個直角三角形的兩條直角邊長的和為6cm,面積為5cm2,求這個直角三角形斜邊的長。74、在解方程x2+px+q=0時，小張看錯了p,解得方程的根為1與-3；小王看錯了q,解得方程的根為4與-2。這個方程的根應該是什么？75、關于x的方程x2-ax-3=0有一個根是L則a=,另一個根是。v2-?r-376、若分式'一：一的值為唯貝IJx的值為X+1()A.-1B.3C.-1或3D.-3或177、若關于y的一元二次方程y2+my+n=0的兩個實數根互為相反數，則()A.m=O且nNOB,n=0且mN0C.m=0且nW0D.n=。且mWO78、已知xi，X2是方程2x2+3x-1=0的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值：(l)(2xi-3)(2x2-3)；(2)xix2+xix2o79、已知a2=l-a,b2=l-b,且aWb,求(a-l)(b-1)的值。80、如果x=l是方程2x2-3mx+l=0的一個根，則m=,另一個根為On11181、已知m'+m-4=0,-+-4=0,m,n為實數，且?工一，則nnn82、兩根為3