傅里葉變換地基本性質(zhì)

1、實(shí)用文檔3-5傅里葉變換的根本性質(zhì)傅里葉變換建立了時間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系.在實(shí)際信號分析中,經(jīng)常需要對信號的時域和頻域之間的對應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律有一個清楚而深入的理解.因此有必要討論傅里葉變換的根本性質(zhì),并說明其應(yīng)用.一、 線性傅里葉變換是一種線性運(yùn)算.假設(shè)fl一Fi(j )f2(t卜 F2(j )那么af1(t) bf2(t),aF1( j ) bF2( j -)(3-55)其中a和b均為常數(shù),它的證實(shí)只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出.例3-6 利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號的頻譜函數(shù)F(jw)o解 因1 1f (t) =U(t)=二-sgn(t)2 2由式(3-55)得F(

2、j ) n"U(t) ；=1 ；1)- 1 Ysgn(t)；二2 二(), 1 二:二：、.(,), 2222 j j 二、對稱性假設(shè)f 、F (j )F(jt)、 2二f (一 ,)(3-56)證實(shí) 由于標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔一1 二一 itf (t)=F( j )eJ td . 2二二有2 f (t)=二 F(J )eJ td .2二f (-t)= i-F(j .)eJ td- .將上式中變量切換為x,積分結(jié)果不變,即2-：f(-t)=F(jx)e-Jxtdx再將t用缶代之,上述關(guān)系依然成立,即2二f (- )= i-F(jx)e-J xdx最后再將x用t代替,那么得2-f(-)=：下

3、3把年出=1F(Jt)所以F(Jt), 2 f (-)證畢假設(shè)f(t)是一個偶函數(shù),即f(-t) = f(t),相應(yīng)有f( 9 ) = f俾),那么式(3-56)成為F (Jt)1 2近 )(3-57)可見,傅里葉變換之間存在著對稱關(guān)系,即信號波形與信號頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系,其幅度之比為常數(shù)2冗.式中的一表示頻譜函數(shù)坐標(biāo)軸必須正負(fù)對調(diào). 例如f (t) =、(t), F( J ) -1F( Jt)=卜 2二f( ) 二2二、.()例3-7假設(shè)信號f (t)的傅里葉變換為標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔F(j6)=,co <2/2O A T /2解 將F(j8)中的切換成t,并考慮F(j為缶的

4、實(shí)函數(shù),有F(jt) = F(t) =該信號的傅里葉變換由式(3-54)可知為w f1GJ VT(t)/ = 2：A Sa( )根據(jù)對稱性F(t2二f (-,)f(- ) = ASa(?)再將中的一切換成t,那么得c tf(t) = ASa(-)f(t)為抽樣函數(shù),其波形和頻譜如圖3-20所示.-/20 /2圖 3 - 20三、折疊性假設(shè)f(t)、 F(j )標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔If (t)為實(shí)函數(shù)f (t)加虛函數(shù)(3-58)0一 F (j 一) 倍,而 a那么表示f (t)= <t ：二 /4t /4f(t)、F( j ,)= F(j )-F(j .)四、尺度變換性觀看動畫假設(shè)f(t),

5、F(j ,),1, , 一,一f(at)修-F(j-) (a為大于零的實(shí)常數(shù))(3-59)a a證實(shí)因a>0,由,f(at)= f f (at)e_j03dt-D0令x =at ,那么dx =adt,代入前式,可得,f(x)= f(x)e4/a dx=-F(j-) 證畢f(xié)a a a函數(shù)f(at)表示f(t)沿時間軸壓縮(或時間尺度擴(kuò)展)aF(j6)沿頻率軸擴(kuò)展(或頻率尺度壓縮)a倍.該性質(zhì)反映了信號的持續(xù)時間與其占有頻帶成反比,信號持續(xù)時間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的展寬倍數(shù),反之亦然.例3-8,求頻譜函數(shù)F(jcc)解前面已討論了標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔'Et ：二./ 2t . .

6、/2的頻譜函數(shù),且F0(j .) =E.Sa()2根據(jù)尺度變換性,信號f (t)比f0(t)的時間尺度擴(kuò)展一倍,即波形壓縮了一半,因此其頻譜函數(shù)1F(j ) - F0(j-)E一 Sa()24兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示.小 f0(t)上一-/40 /4-/20/2五、時移性f(t)、 F(j )f(t_t°)f F(j De,(3-60)此性質(zhì)可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證實(shí).它說明假設(shè)在時域f平移時間t0,那么標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔f(t)=例3-9 求E0其頻譜函數(shù)的振幅并不改變,但其相位卻將改變H0.0 二 t :二.t <0,t的頻譜函數(shù)F(j®) o

7、解：根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號和傅里葉變換的時移性,有F(j .) =E Sa(y)e-j- ./2六、頻移性假設(shè)f(» F(j .)f (t)e j0二F 力士：H o 1(3-61)證實(shí)f (t)e j 0t ；= R f (t)e j 0te、dt 三 f (t)e-j( '0)tdt = Fj.,二,0)證畢頻移性說明假設(shè)信號f乘以e勺期,相當(dāng)于信號所分解的每一指數(shù)分量都乘以e勺山,這就使頻譜中的每條譜線都必須平移后.,亦即整個頻譜相應(yīng)地搬移了®.位置.頻譜搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用,諸如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過程都是在頻譜搬移的根底上完成的.頻譜搬

8、移實(shí)現(xiàn)原理是將信號f(t)乘以所謂載頻信號cos®0t或sin 80t,即1 f(t)cos -0t- - Fj(一 -,0) 1 Fj( 一,0)1.'2f (t)sin 0t,j：Fj( 0)1Fj(一 .止2七、時域微分性標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔假設(shè)f(t), F(j ,)那么d J'",(j On F( j )(3-62)dt證實(shí) 由于1 二i tf (t)=F( j )eJ d 2 二兩邊對t求導(dǎo)數(shù),得df(t) 1 二j t.j F(j )e d -dt 2-所以df(t)(j )F(j )dt同理,可推出j)nFj) 證畢dt例3-10求f (t)小的

9、頻譜函數(shù)Fj).解：由于、,1由時域微分性F(j ) =(j )n例3-11圖3-22所示信號f (t)為三角形函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔f (t) = 1(-) w2ijT0求其頻譜函數(shù)F(jW)o解:將f(t)微分兩次后,得到圖3-22(c)所示函數(shù),其表達(dá)式為,121f (t) = 、：(t - ) -一、(t) 、(t -)由微分性if (t) ； = (j .)2 ：f (t)； = - (ej - - 2 - e-j ) = 2 bos；二：1所以«t)=2(COS '(j )22 .sin ( ' /2)(,./2)2c 2 / '、二 Sa ()2八

10、 f(t)-1八(1/ )-0-1/f (t)(1/ )t(-2/ )(b)(c)圖 3 - 22八、頻域微分性f(t)、 F(j )dF( j )tf(t)j -標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔tnf(t)、- (j)ndnF(j .)(3-63)例3-12求f=tU的頻譜函數(shù)F(jo)解：由于1+ j 根據(jù)頻域微分性tU一九、時域積分性假設(shè)f(t), F(j )tF(j )f f (t)dt 1 (j )+nF(0)6(o)(3-64)二二j .例3-13根據(jù)6(t)w 1和積分性求f (t) =U (t)的頻譜函數(shù)解：由于、(tK 1又tU (t)=.二、(x)dx根據(jù)時域積分性1U(tA 二()j 例

11、3-14求圖3-23所示信號f(t)的頻譜函數(shù)F(jw)o標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔解：f(t)對t求兩次微分后,得 “11f (t) =-；.(t /2) -:.(t - . /2)1 j t./21/2. 2 .(t) -e -e = jsin()2由時域積分性2 (x)dx 一TO2sin()二0二(,)=sin(2. 一)=Sa()22t ,f (t) = J-f (x)dx2 三：一一1 八,、sin() 二Sa(0)、( )-二、() Sa() j 2j 2(a)Af(t)1/T(1/ )N(t)-/20/2一t-/2 0/2(b)圖 3 - 23(c)(-1/ )十、頻域積分性f(t),

12、F(j )(3-65)1 二f (0)、(t);f(t 卜-.F( jx)dxjtj -f(t)二皿例 3-15 t ,求 F(jKl).解：由于標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔sin(t) =(侄"-e)| ! ( ： 一1) 一 (,1) I - j?J (一1) 一 (.一1)1根據(jù)頻域積分性sin1 j 二 L (x 1) -、(x 1) dx -二 U (門1) - U ( -1)1十一、時域卷積定理假設(shè)"t" E(j ,)f2(t),F2(j .)f1(t) f2(t).F1(j )F2(j )(3-66)證實(shí)5*1.)"2a)=裒口1( )f2(t - )

13、d - e,tdt=口1Cf2d)e-咐dt d =qQqQ匚力F2(j0)e*%7 =F2(j8)匚f1(f)e 口7 =F2( j8 )F( j® ) 證畢例3-16圖3-24(a)所示的三角形函數(shù)tf(t) = 1 一一一.0t可看做為兩個如圖324(b)所示門函數(shù)GT(t)卷積.試?yán)脮r域卷積定理求其頻譜函數(shù)Fj).標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔木 f(t)0(a)：1 1> t-/2 0/2 t(b)解:圖 3 - 24Sin(亍)G (t) ,. 2-TCOTV所以例3-17 一個信號f(t)的希伯特變換f (t)是f和可的卷積,即(t-)解：由于小 2 sgn(t) ,j &#

14、39;那么對稱性2c,、八,、12二 sgn(一 ') - 2：sgn( )jt標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔j sgn(一)t由時域卷積定理,1f(t) = f (t)jsgn( )F(j )二 tF(j ) - jsgn( )F(j -)十二、頻域卷積定理假設(shè)fi一Fi(j )f2(t)F2(j )那么 1 L、 L、fi(t)f2(t)Fi(j .) F2(j .)(3-67)2 二或fi(t)f2一Fi(j2：f)F2(j2：f)例3-18利用頻域卷積定理求f(t) =tU(t)的傅里葉變換F(jw)解：由于、(?j,由對稱性 ''jt - 2 、 (- ) - - 2 、(

15、,)有. _0' 一t- j2二, ()iU(t),二() j 所以根據(jù)頻域卷積定理標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔f(t) = tU(t)有F (j .) = j2二、.(,)：, J： ( ) = 2二I j .',、,、1.', 、,、,1、j 叱(,)、() 二 j 二(,)c ()(_)_'1F(j )二 j 二、() -) GO十三、帕塞瓦爾定理 假設(shè)fl-Fi(j )f2(t),F2(j )那么二 ：1 二fi(t) f 2(t)dt =F1(j )F2(j )d .(3-68)一：2 二可推廣產(chǎn) 21 戶2(Jf1(t) dt =LF1(j6) d8(3-69)

16、假設(shè)f1(t)為實(shí)函數(shù),那么二二121" - _ 2_f；(t)dt =h .F12(j )d (3-70)-2 二一假設(shè)f1(t) , f2(t)為實(shí)函數(shù),那么二1 二一 f1(t) f 2(t)dt =h .F1(j )F2(j .)d (3-71) 一2二-:_ 2 一 0 Sa ( )d 例3-19求q.解：因標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔二一2 , 、,2 二 1Sa (.)d ; 2Sa(- )2 Sa( )d f42二二又2Sa( > G2(t)由帕塞瓦爾定理可得二 . 2Sa ( )d =一 G2(t)G2(t)dt,二'一二2 二二十四、奇偶性假設(shè) f(t) F(j

17、0) = F e"G =R + jX ,那么(1)當(dāng)f(t)為實(shí)函數(shù)時,那么F(6) = F(j.)=F(-6)：R®) = R(.)：(3-72)：() -(-)X( ) =-X(-,)假設(shè)f (t)為實(shí)偶函數(shù),即f (t) = f (D ,那么Fj) = Fg)=R;(實(shí)偶函數(shù))egX( ) = 0假設(shè)f (t)為實(shí)奇函數(shù),即f (t)=一七 ,那么F(j -) = jX()R( ) =0(虛奇函數(shù))(3-74)當(dāng)f(t)為虛函數(shù),即f=jx時,那么F()二F(-)：()=一(-)R(0) = -R(-«)X( ) =X(-)(3-75)傅里葉變換的根本性質(zhì)歸納如表3-3所示.表3-3傅里葉變換的根本性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔性質(zhì)名稱時域頻域1.線性af1(t) +bf2(t)aF1(js)+bF2(js)2.對稱性F(jt)2nf (-a)3.折疊性f(-t)F(-j®)4.尺度交換性f(at)18-F(j-) aa5.時移性f (t ±t°)F(j«)e-0506.頻移性eS(t)F Ij(o +©0)17.時