數(shù)列極限求法及其應用論文

1、數(shù)列極限的求法及其應用內(nèi)容提要數(shù)列極限可用 "N語言和A N語言進行準確定義,本文主要講 述數(shù)列極限的不同求法,例如：極限定義求法、極限運算法那么法、夾 逼準那么求法、單調(diào)有界定理求法、函數(shù)極限法、定積分定義法、Stoltz 公式法、幾何算術平均收斂公式法、級數(shù)法、收縮法等等.我們還會發(fā) 現(xiàn)同一數(shù)列極限可用不同方法來求.最后我們還簡要介紹了數(shù)列極限在現(xiàn)實生活中的應用,如幾何中 推算圓面積,求方程的數(shù)值解,研究市場經(jīng)營的穩(wěn)定性及購房按揭貸 款分期歸還問題.通過這些應用使我們對數(shù)列極限有一個更系統(tǒng)立體 的了解.關鍵詞-N定義；夾逼準那么；Stoltz公式；函數(shù)極限On the Solut

2、ions and the Applications as to the Sequence LimitAbstractThe limit of a sequence can be accurately defined by ； - n language and a - N language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of seq

3、uence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different metho

4、ds can be used to solve the same limit.Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of p

5、urchase mortgage loans.Key Words-n definition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits第一章數(shù)列極限的概念 11.1 數(shù)列極限的定義及分類 11.2 數(shù)列極限求法的常用定理 2第二章數(shù)列極限的求法 42.1 極限定義求法 42.2 極限運算法那么法 52.3 夾逼準那么求法 62.4 單調(diào)有界定理求法 82.5 函數(shù)極限法 92.6 定積分定義法 102.7 Stoltz 公式法 112.8 幾何算術平均收斂公式法 122.9 級數(shù)法 132.10 其它方法 15第三章數(shù)列極限在現(xiàn)實生活中的應用

6、 173.1 幾何應用-計算面積 173.2 求方程的數(shù)值解 183.3 市場經(jīng)營中的穩(wěn)定性問題 193.3.1 零增長模型 193.3.2 不變增長模型 203.4 購房按揭貸款分期歸還 21第四章結論 23致 24參考文獻 24數(shù)列極限的求法及其應用學號：071106132 楊少鮮 指導老師：董建偉 職稱：講師第一章數(shù)列極限的概念在研究數(shù)列極限解法之前,首先我們要清楚數(shù)列極限的定義 . 這是對數(shù)列極限做進一步深入研究的先決根底.1.1 數(shù)列極限的定義及分類數(shù)列極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的.如, 我國古代數(shù)學家劉徽公元3世紀利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面 積的方法一割圓術.因

7、一系列圓內(nèi)接正多邊形的面積 人在n無限增大 nr® 時,內(nèi)接正多邊形無限接近于圓,同時 A也無限接近于某 一確定的數(shù),此時這一數(shù)值可精確表達圓的面積 .在解決類似的實際 問題中逐步的引出了數(shù)列極限.針對不同的數(shù)列極限我們對其定義將會有細微的不同,下面主 要介紹兩種定義：君-N定義,A-N定義.定義1w-N語言：設Q是個數(shù)列,a是一個常數(shù),假設V»0, 三正 整數(shù)N,使得當n AN時,都有an-a <s,那么稱a是數(shù)列L 當n無限增大時的極限,或稱an收斂于a ,記作理%=a ,或anT a n.這時,也稱【an的極限存在.定義2 A-N語言：假設A>0,三正整數(shù)

8、N,使得當nN時,都有aa A, 那么稱也是數(shù)列不當n無限增大時的非正常極限,或稱a.發(fā)散于 收,記作螺/口 = F或an T +=CnT+=C,這時,稱an有非正常極限. 對于g嚴的定義類似,就不作介紹了 .為了后面數(shù)列極限的解法做鋪 墊,我們先介紹一些常用定理.1.2 數(shù)列極限求法的常用定理定理1.2.1 數(shù)列極限的四那么運算法那么假設an和S為收斂數(shù)列,那么& +bn «an bn,an bn也者8是收斂數(shù)歹!J,且有1nm an-bn ima-nmbn, lim an bn = lim an lim bn.n .二二 n n n,1n n /二 n假設再假設bn #0

9、及l(fā)im a =0 ,那么冬I也是收斂數(shù)列,且有 n 二b/ 、lim an = lim an/lim b.n？Cb nSC n nSC n定理1.2.2 單調(diào)有界定理在實數(shù)系中,有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.定理1.2.3 占Stoltz公式設有數(shù)列Q,夙,其中S嚴格增, 且rlim/n =收注意：不必.如果yn -Ynd c . .n吼x _x -a (頭數(shù),fq), xn - xn貝Ulim yn- = a = lim yn 7n.n '二 Xnn '.二 Xn -Xn定理 1.2.3' (0Stoltz 公式)設4嚴格減,且 lim A=0, lim %=0. 0n

10、,n ,二假設lim 二 aXn -Xn實數(shù),+=C, oCi ),lim g=a = limn廣：Xnnk,Yn 7nXn -Xn定理1.2.4 幾何算術平均收斂公式設lim an = a ,那么(1)aia2. anlim二 an 二 n(2)假設 an >0(n =1,2,.),那么 lim 出送一仇=a .n一j 二定理1.2.5 夾逼準那么設收斂數(shù)列QnHbn都以a為極限,數(shù)列0滿足：存在正數(shù)N0,當nN0時,有an cn bi >那么數(shù)列cn 收斂,且lim cn =a . n定理1.2.6 歸結原那么設f在Ui/.內(nèi)有定義.lim fX存在的充XX0要條件是：對任何含

11、于uXxoH且以X.為極限的數(shù)列 .,極限nmXn都存在且相等.第二章數(shù)列極限的求法2.1 極限定義求法在用數(shù)列極限定義法求時,關鍵是找到正數(shù)N.我們前面一節(jié)的定理1.2.4 幾何算術平均收斂公式的證實就可用數(shù)列極限來證實, 我們來看幾個例子.例2.1.1 求lim嗎,其中a >0.n一* :解:lim 解=1. n 了：1事實上,當a =1時,結論顯然成立.現(xiàn)設a >1 .記£=an -1 ,那么口 下0a = (1+u )n 之1+g = 1+ n an -1 ,(5)al2n任給£ >0,由5式可見,當nJ=N日寸,就有an -1 <8.即an

12、 -1所以 lim n.a =1 .n一m 二對于0<a<1的情況,因1 >1,由上述結論知lim an '3=1,故11lim、, a = lim = 一 = 1.n 二 n ；n1/a1綜合得a >0時 lim嗚=1 .nl、.；例2.1.2 定理1.2.4 1式證實.證實：由理va,那么30,存在MAO,使當n a N1日寸,有an -a <02 ,a1a2. an一 an1E 一 (a1 一 a + a n一a a aN1-a +十 an - a令c=|a1 -a| +.+ aN -a , 那么a1 +a2 +. +an a nc<-+nn

13、- N1n 2由lim c=0,知存在N2 >0 ,使當n n 二 n再令 N =maxN1, N2,故當 n a N 時,>N2 時,有 c<由上述不等式知aia2 . an所以limn -.sai a2 .an二 a .例 2.1.3,、7n求 lim .n 二 n!7n角牛：lim 一 =0 .n 二 n!7n _ 7 77 77777 7 _ 771J 1_4 ).n! 1 27 8n -1n7! n 6!n即 Z10«乙1. n! 6! n對五>0 ,存在n那么當n aN時,便有一 6!；7nn!0M< 86! n一一 7n,所以nim：0.注

14、：上述例題中的7可用c替換,即lim J = 0c0.n一六 n!2.2 極限運算法那么法我們知道如果每次求極限都用定義法的話,計算量會太大 .假設已知某些極限的大小,用定理1.2.1就可以簡化數(shù)列極限的求法mm J例 2.2.1 求 limamnk+amnk；+. + an+%,JmEk,m0, 30.n 二 bknbkn. bin bo解：分子分母同乘n,所求極限式化為m_km d_k1 _k_kamnamn. ana°nlim；1； fk ； k .n一：bk bkn . bnb0n由imn = 0?(a >0)知,當m=k時,所求極限等于 包；當m<k時,由于nm

15、, t 0(nr 0 ),故此 bmam , ,k 三m=bm0,k m時所求極限等于0.綜上所述,得到mm 1amnamn.a1n a." kk11：bknbkJn.b1nb0例 2.2.2求 limN二,其中 a#1.n,二 an 1解：假設an=1,那么顯然有域M=.；那么由lim an =0得 n ：na lim n n '二 an , 1=lim an / lim n -n > ：an + 1 )=0 ；2.3夾逼準那么求法n. alim nn 二 an111/1 一 一 11 . 110na定理1.2.5又稱迫斂性,它不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法,而且也

16、提供了一個求極限的工具.例 2.3.1 求極限 lim1'3'"2n-1). J ： 2 4 2n解：由于2n =,4n2 > J4n2 1 = J(2n +1 * 2n -1),2n -1 = 2n 1 ) ,J(2n 1),所以0 1 3 2n -11、3、3 2n-1 ,2n-1 _12 4 2n ,1、3 .3 %52n= 1 1 一2n1 .因lim1=0 ,再由迫斂性知f ： ；2n - 11 3 2n -1lim二 0 .n 二 2 4 2n例2.3.2求數(shù)列詬的極限.解：記 an=1+hn ,這里 hn0(n>1),貝Un n n -12n

17、=；1 '2hn ,由上式得0 <hn < J2(n >1 ),從而有,n 一11Ean =1+,<1+J ,(2), n 7數(shù)列117戶L是收斂于1的,因對任給的名>0,取N=1+馬,那么當 ,n -1；n >N時有1+、匚2二-1 <名.于是,不等式(2)的左右兩邊的極限皆為 Y n T1,故由迫斂性得lim n n =1. n 二k例 2.3.3 設a：1 及 kwN*,求 lim 二.an事實上,先令k=1,把a寫作1+列,其中刈下0 .我們有n n -121 n 2由于 lim 2n一(n -1= 0n之2 ,可見1n0I是無窮小.據(jù)

18、等式,ak nn a、 nd八 n1 1/k .(a ) Jr 1注意到a1/k>1 ,由方才所述的結果是無窮小.最后的等式說明,a1/knkW>可表為有限個k個無窮小的乘積,所以也是無窮小,即anklim =0 . n .n ； a2.4 單調(diào)有界定理求法有的時候我們需要先判斷一個數(shù)列是否收斂,再求其極限,此時該方法將會對我們有很大幫助,我們來看幾個例子n例 2.4.1 求例 2.1.3 注解中的 lim J = 0(ca0). n : n!n解：lim =0(c0).n!n事實上,令Xn=J, nN n!xn 1 = xnxn n 1因此4從某一項開始是遞減的數(shù)列,并且顯然有下

19、界0.因此,由單 調(diào)有界原理知極限X嗯X存在,在等式2%后的等號兩邊令nT8 ,得到X =X 0 =0,所以u 為無窮小.從而nC lim = 0 c 0 . f ： n!例2.4.2求極限lim如3 飛 n個根號. n .解：設an:色匠力3>1 ,又由 3=73<3,設 an<3,貝U an 書=730? <73 =3.因an書=q5aTAan,故QJ單調(diào)遞增.綜上知母單增有上界,所以斗收斂.令 1nman =a,1 <a E3,由斗書=相,對兩邊求極限得a=J3a,故a =3.2.5 函數(shù)極限法有些數(shù)列極限可先轉化為函數(shù)極限求可能很方便,再利用歸結原那么即可

20、求出數(shù)列極限.例2.5.1用函數(shù)極限法求例2.1.1,即求四方.1n aUm 1na解：先求 巴指,因 Jimx/a =|m0a1/x = Ume x = ex =e°=1,再由歸結原那么知1imna=1. n 二例2.5.2用函數(shù)極限求例2.3.2,即求肛晚.In x |m In x解：先求 lim .因 lim x/X = lim e x = ex = e° = 1v_v SbTi7再由歸結原那么知lim"=1.n二*k例2.5.3用函數(shù)極限求例2,3.3,即設a>1及kwN ,求加I.n 二 ank解：先求知因kJkx.X.lim = lim xf ：

21、af ：a In ak! 八,.黑/7瓦斤=.由洛比達法 a n a k那么,再由歸結原那么知也K.2.6 定積分定義法通項中含有n!的數(shù)列極限,由于n!的特殊性,直接求非常困難,假設轉化成定積分來求就相對容易多了例 2.6.1求lim上解：令丫=如, n那么ln1 Ji iy = 一 £ ln ,而n y nn1 i 11limlny = lim %ln = ln xdx = limln xdx = lim-1 - ； ln n :n u n 0；.+'j0+-也即 ln lim y = -1n_所以lim yn ,二二 lim 治吟二nf . n . 2n)sin sin

22、.例 2.6.2 求極限 lim n+J+.J 't n+1. 1. 1n+ n+一<2n J解：由于sin 二.二 .2二 . .二 .2二sin sin sin 二 sin - sin nn :：.n. .n_ .n 1n 1. 1n 2.二 .2二sin sin sin 二 n nsin - sinlimnn、：；sin 二.n 1二 lim 一 一：n . 1 二| n (nsin sinILn .nsin 二JJlimji類似地sin sin 一 sin 二 I n n1sinxdxin2, JTlimn s 二.2 二sin sin . sin 二n n=limI n

23、 ( nsin sinILn .由夾逼準那么知limn工二冗 sin 一nn 1.2 二 sin - n n 1 2sin 二+sin 二 n注：在此式的求解中用到了放縮法和迫斂性2.7 Stoltz公式法Stoltz公式,lim =a= lim以二顯.在求某些極限時非常方便,尤其 n '.二 4n,.二 -24n是當yn =£ ak時特別有效. k =1例2.7.1同例2.1.2 ,定理1.2.4 (1)式證實.證實：前面用名-N定義法證實,現(xiàn)用Stoltz公式證實.令 yn =&+a2+.+an,Xn =n ,那么由 Stoltz 公式得到limn 3：a1a2

24、.an=limn_Fnaia2. an - &a?.ann - n -1= lim 包=lim an = a .n j ： 1 n 二1k 2k . nk例 2.7.2 求 mk+n - n解:limn r：二k k12. nnk1k一 二limn r：二kkTStoltz 公式k In - n -1 kFck.nk_cU.T_1k*二項式定理2.8 幾何算術平均收斂公式法上面我們用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我們通過例子會一 - * 一 .一 一 一一 、 一 - -一 一- 一、 、 一發(fā)現(xiàn)很多n*,-類型的數(shù)列極限可以用此方法來簡化其求法.n例2.8.1同例2.1.

25、1 一樣求lim嗎,其中a>0. n_解：令 a1 = a,a2 = a3 =. = an =1,由定理 1.2.4 (2)知lim 1 a =lim an =1. n ; ：n /二例2.8.2 同例2.3.2 一樣求lim盯. n_ j 二解：令 a1 =1, an = n(n = 2,3,.),由定理 1.2.4(2)知n -1lim n n = lim a = lim n = 1.n :n-/.: n n 二 n _ 1例2.8.3 同例2.6.1相似求lim 上. i n n!解：令% /+1=式,那么n n所以也即L n n!12432 3 4nnn n 1n!nn! n=%

26、1鳧,'0 ',而由定理1.2.4 (2)知lim n a1n二二'a2an = lim an = lim 11 一一 nlimn_ = lim n 現(xiàn) a2 an :：n.n! n 二. n=e lim = e .n 1例 2.8.3 求 lim*逅7E解：令an= F,(n=1,23.),那么由定理1.2.4 (1)知limn二二1. 2 3 3 . nn=lim an = lim n n = 1. n -n w 二2.9級數(shù)法假設一個級數(shù)收斂,其通項趨于 0 (nT 0),我們可以應用級數(shù)的一些性質來求數(shù)列極限,我們來看兩個實例來領會其數(shù)學思想n例2.9.1用級數(shù)

27、法求例213注nm,o0).n解：考慮級數(shù)z由正項級數(shù)的比式判別法,因n!n 1 nc c clim/ = lim =0<1 ,n一：n 1 ! n!n-：n 1nclim 一n-/：n!n故級數(shù)£ J收斂,從而n!k例2.9.2用級數(shù)法求例2.3.3,即設a>1及kwN*,求lim二. ak解：考慮正項級數(shù)Z二,由正項級數(shù)的比式判別法,因 ak .k n 1 nk 1 n 11lim -n-/ =lim : = 一 <1 ,n " a a n '二 a n a故正項級數(shù)、%收斂,所以呵% 3例2.9.3求極限limn ：: +22n (n +1

28、)解：因級數(shù)£4收斂,由級數(shù)收斂的柯西準那么知,對V8A0,存在N>0,使得當n a N時,2n 彳n « 彳工-y -工 < "-k km k1+2 < 名,2n所以lim11十!+2*,2n (n+1)- =0.2n例 2.9.4求極限nm ； 土(a >1).解：令乂 =一所以x<1.考慮級數(shù)工由于 lim an-1 = limJ ann :n <1n 1 xn nx= x<1,所以此級數(shù)收斂.那么 s(x ) = xnxn,.再令 f (x ) = £ nxn,n 4nJx二 x 二0ft dt =&qu

29、ot; 0 ntn dt =' xnn 1n 1所以x21r2 * * * * ' 1-aJ所以12lim 一二 n- ,a an十 na=s x ：l =1-a2.10其它方法除去上述求數(shù)列極限的方法外,針對不同的題型可能還有不同的方法,我們可以再看幾個例子.例 2.10.1 求 limsin 二 (式& + n ). n-解：對于這個數(shù)列極限可用三角函數(shù)的周期性那么a 2 二-八 n = nimsin 2 222 n2n 一 "2 n. 2=lim sin = lim sin n2 n n 11r證實：禺收斂,并求其極限.解：對于這個極限可以先用中值定理來

30、說明其收斂首先用數(shù)學歸納法可以證實0 ： an ： c, n =1,2.事實上, 0 <a1 = C < c .假設 0 < an < c <1 ,222cancccc0 :二 an 1=一:一:= c.2222222an 1 -an令 f(x)=c+x",貝 U fx)=x.an -an J.an -an J<Can an,(1)其中1介于an和an之間.由于0<C<1,再由1式知七為壓縮數(shù)列, 故收斂.設nman那么孑a.由于2canan書=一十一,22所以l =- -,l2 -2l c =0.22解得l=1+/兀舍去,1=1-6.

31、綜上知 nim：an=1-,'E.注：對于這個題可也以采用單調(diào)有界原理證實其極限的存在性第三章數(shù)列極限在現(xiàn)實生活中的應用3.1幾何應用-計算面積在論文開始時,我們已經(jīng)簡要介紹了利用極限求圓的面積, 現(xiàn)在 我們再來介紹如何求拋物線x= y2與兩直線y =0和x =1所圍的面積.先將區(qū)間10,1等分為n個小區(qū)間,0,111,2 ,., ；U,i,以這些小IL n. ILn n. IL n2 22區(qū)間為底邊,分別以0/1 i2 i,比1 i為高,作n個小矩形.,nnn,這n個小矩形的面積之和是n i -1人有211n 2*J1_ 1 n .21 n -1 n 2n -1= i =-n i n

32、6=11.3 2n , 3n這樣我們就定義一個數(shù)列入,對每個兒而言,它都小于欲求的“面積,但是這兩者之間的差異不會大于長為 1,寬為1的矩形面積,n即1,所以,當n越來越大時,A將越來越接近于欲求的“面積,因 n此,我們可以定義此面積為.111mAi =一.n ?二 3這種定義面積并求面積的方法簡單又樸素, 它同時孕育出了數(shù)學 分析的一個重要組成局部：積分學3.2求方程的數(shù)值解我們都知道,走是無理數(shù).目前的問題是如何用有理數(shù)來逼近 員 以到達事先指定的精確度？夜是二次方程x2.2 = 0的正根,所以我們的問題可以說成是求方程的“數(shù)值解.把問題提得更一般一些.設a > 0是任意給定的,我們

33、來求«的近似值.給定聲的一個近似值Xo A0 ,在兩個正數(shù)Xo,包中,一定有一個X0大于區(qū)另一個小于 后X除非X0正好就是42.有理由指望這兩個數(shù)的算術平均值XL1%十亙i可能更加靠近 后,這便得到了更好的近似.2 < X0 )事實上l1 .a) L 1.2_ _ L. 1.L.2 一一X1 -Va =- X0+ -Va =(+a 2%va )=(%72)之 0.2 i X)J2x02x0這說明：不管初值X0如何,得出的第一次近似值X,是過剩近似值.不 妨設初值X0本身就是過剩近似值,因此X°X0-展>0.由此得出0 _ K - a = - X0 -,a x0

34、- - X0 - l a .2X02這個不等式告訴我們：第一次近似值 X1到石的距離至多是初值X0到 夠的距離的一半.重復施行上述的步驟,便產(chǎn)生數(shù)列X0, X1,Xn,其中1 ''. a )= 一*XnXn+,n = N ,2 kXn 1 /由0 % - a 三；Xn4f a 一 / Xni - , a m一1X0 f a ,可見Pm% =指.對于充分大的n ,數(shù)Xn與va的距離要多小有多 小.讓我們看看實際應用起來有多方便,設想我們需求的近似值. 取初值Xo= 2 這是相當粗糙的近似值,反復迭代的結果是x =2.o,x1 =1.5,X2 =1.4166 ,x3 =1.4142

35、566 ,X =1.41421356 ,X =1.41421356 , 這已是相當精確的近似值.3.3 市場經(jīng)營中的穩(wěn)定性問題投資者的交易行為是影響市場穩(wěn)定性的重要因素,以股票為例, 為盡量防止出現(xiàn)羊群行為,減少非理性投資,我們需要對股票的內(nèi)在 價值即未來收入現(xiàn)金流的現(xiàn)值有較清楚的熟悉,從而決定是該購 買還是該售出,作出理性選擇.現(xiàn)在我們來針對不同的模型確定股票 相應的內(nèi)在價值.3.3.1 零增長模型假定股利增長率為0,因其內(nèi)在價值如下V=d+. + + . = J.11 i1 1 i21 iti 1 itV-內(nèi)在價值,D-股息紅利,i-貼現(xiàn)率, 現(xiàn)由假定知 D = D1 = D2 =Dt,

36、i = i1 = i2 = . = in,所以此時股票內(nèi)在價值為Dt1+iD-t t4 1+ix/ D DV = ；-T '2 '1+i1+id i < 1 nI1* 11* D=lim=-二 1 i1 i知道股票的內(nèi)在價值后,可求出其凈現(xiàn)值NPV,即內(nèi)在價值減去市場價格,也即:當NVP >0,該股票被低估,可買入；當NVP<0,被高估,不益購置.例：某公司在未來無限期支付每股股利為8元,現(xiàn)價65元,必要收益率10%評價t股票.解：利用2式結論可求得該股票的內(nèi)在價值為：D 8V=80, NVP =V - P =80 -65 = 15 0 . i 10%故該股票

37、被低估,可以購置.3.3.2 不變增長模型假定股利永遠按不變增長率g 增長,即Dt =D_1+g 尸. = D01+gt ,代入1式得此時內(nèi)在價值為t)/%V 4K D01tg=lim,=DA3t,1+ity 1+i t,-1i -g i -g1 i例：去年某公司支付每股股利1.80元.預計未來公司股票的股利按每年5%曾長,假設必要收益率為11%當每股股票價格為40元,評價 該股票.解：利用3式的結論,由于Di =1.80父1+5% = 1.89,可知股票內(nèi)在價值VJ8."5%"9,故 11% -5%NVP =V _ P =31.5040 <0 ,該股票被高估,建議出售.3.4 購房按揭貸款分期歸還消費貸款的還款即按揭大多為年金方式,故存在一些年金計 算問題.下面主要對購房分期付款的根本計算問題做一些簡單分析設P表示總的房款金額,k表示首次付款比例,i表示年利率,n表示分期付款貸款的總年數(shù),R表示每月底的還款金額,那么有如下的價值方程1-k P=12R%12 ,進一步有1 -k P 1 - k i12 P12ad (4)其中2nam =an = v v . v上述是針對有限期限付清的情況,如果考慮永久期末年金：在每個付款期末付款工上貨幣