最新彈性力學(xué)答案清晰修改

1、精品文檔2-16設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計(jì)，在全部邊界上(包括孔口邊界上)受有均勻壓力q試證x y q及xy0能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。(1)將應(yīng)力分量證明:q0和fxfy 0分別代入平衡微分方精品文檔程、相容方程yxfx0(a)xyfy0(b)l cos(n,x),m cos(n, y),22()(x y)(1x y顯然(a)、(b)是滿足的(2)對(duì)于微小的三角板 A, dx,dy都為正值，斜邊上的方向余弦將x y q, xy 0代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式(l x m yx) sfx(s)-(c)(m y l x

2、y)sfy (s)則有 xcos(n, x) qcos(n,x) ycos(n, y) qcos(n,y)所以x q, y q。對(duì)于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。(3)對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力的情況，首先，將應(yīng)力分量 x y q及xy0代入物理方程，得形變分量 x （ E 1）q, y （ E。q , xy 0然后，將（d）的變形分量代入幾何方程，得u (1) v (1) v u 八(e)-q ，-q ，0x E y E x y前而式的積分得到u （ e " qx fi（y），v （ e ° qyf2（x）其中的fi和f2分別是y和x

3、的待定函數(shù)，可以通過(guò)幾何方程的第三式求出，將式（f）代入（e）的第三式彳導(dǎo)也次dy dx等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個(gè)常數(shù)3,于是有dMyl,dydf2(x)dx,積分以后得 fi(y) y uo , f2 (x)x Vo代入（。得位移分量1) Eqx1) Eqyy uox V其中uo，Vo，為表示剛體位移量的常數(shù)，須由約束條件求得。從式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件，因而，應(yīng)力分量是正確 的解答。2-17設(shè)有矩形截面的懸臂粱，在自由端受有集中荷載F ,體力可以不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力x和切應(yīng)力 xy的表達(dá)式，并取

4、擠壓應(yīng)力y 。，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說(shuō)明，這些表達(dá)式是否就表示正確的解答。解1矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程為M （x） Fx ,橫截面對(duì) z軸（中性軸）的慣性矩為I zh312根據(jù)材料力學(xué)公式，彎應(yīng)力M (x)yx Iz12F3-xy h3；該截面上的剪力為 Fs(x) F剪應(yīng)力xy3Fs(x)2 h26F ( y2)；并取擠壓應(yīng)力 4h3(2)經(jīng)驗(yàn)證，上述表達(dá)式能滿足平衡微分方程yxfxxyfy也能滿足相容方程(2,九)(x y)(1)(一yx0)0y再考察邊界條件：在h / 2的主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件:y ) y h/2(yx )

5、 y h/ 20；y) y h/2(yx )y h/ 20。在次要邊界能滿足x=0上)列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:h/2h/2h/2x)x °dyh/2h/2x)x 0 ydyh/2xy )x 0 dy滿足應(yīng)力邊界條件。在次要邊界x l上,列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:h/2h/2x)x 1 dyh/2 12Fh/2h3lydyh/2h/2h/2x)x i ydyh/2h/2h/2h/2xy)x 0dyh/212F 23- ly h36F h h3 ( 4Fly2)f滿足應(yīng)力邊界條件因此，他們是該問題的解答。3-6如題3-6圖所示的墻，高度為h,寬度為b,h?b,在兩側(cè)面上受到均布剪力

6、q的作用。試用應(yīng)力函數(shù)Axy Bx2y求解應(yīng)力分量。解(1)相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代人相容方程 40中，其中44440，40，xy(2)應(yīng)力分量表達(dá)式2x2-0 , yy26Bxy, x(3)考察邊界條件：在主要邊界x( x) x b/20,( xy ) x b/2很明顯滿足相容方程。xy A 3Bx2 x yb/2 上,各有兩個(gè)應(yīng)精確滿足的邊界條件，即在次要邊界 y0 上，( y ) y 0 0,而(丫*)丫00的條件不可能精確滿足(否則只有b/2A=B = 0),可用積分的應(yīng)力邊界條件代替b/2 ( yx)y 0dx 0(4)把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得A q , B 2qo2 b2應(yīng)力分量

7、為x 0, y122q xy,bxyq2(1 12J3-8設(shè)題3-8圖中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為 函數(shù)求解。,試用純?nèi)问降膽?yīng)力解（1）相容條件:、一.3_ 2_2_3設(shè)AxBx yCxyDy(a)不論上述中的系數(shù)取何值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程。(2)體力分量fx0, fyg由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式xyfxx y-2f y yy2Cx6Ax6Dy2By 2Bx 2Cy x y(b)gy (c)(d)（3）考察邊界條件：利用邊界條件確定待定系數(shù) 先考察主要邊界上 y 0的邊界條件：（y）y0 0, （ yx）y 0 0將應(yīng)力分量式（b）和式（c）代入，這些邊界條件

8、要求(y)y 0 6Ax 0, ( xy)y 0 2Bx 0 得 A=0, B=0o式（b）、（c）、（d）成為2Cx 6Dy(e)gy(f)xy2Cy(g)根據(jù)斜邊界的邊界條件，它的邊界線方程是y xtan ，在斜面上沒有任何面力，即fx fy0,按照一般的應(yīng)力邊界條件，有1(xtanm(xy)yxtanm(y ) y xtan1 ( xy ) y xtan將（e）、（f）、（g）代入得1(2Cx 6Dx tan ) m( 2Cx tan ) 0(h)m( gx tan ) 1( 2Cx tan ) 0(i)由圖可見,1 cos(n,x)cos() sin代入式（h）、（i）求解C和D,即得

9、C, m cos(n, y) cos2g 8t，D /將這些系數(shù)代入式（b）、（c）、（d）得應(yīng)力分量的表達(dá)式2x gxcot 2 gycotgyxygycot4-12楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q,如題4-12圖所示.試求其應(yīng)力分量。解（1）應(yīng)力函數(shù)2 ，(Acos2 Bsin2 C D),進(jìn)行求解由應(yīng)力函數(shù) 得應(yīng)力分量12(Acos2 Bsin2 C D)22(Acos2 Bsin2 C D)1-()2Asin2 2Bcos2 C（2）考察邊界條件：根據(jù)對(duì)稱性，得()/20(a)()/2q(b)()/20(c)()/2q(d)由式（a)彳2 2Acos2BsinC 2D 0(e)由式（b)

10、得 2Asin2BcosC q(f)由式（c)彳2 2Acos2BsinC 2D 0(g)由式（d)得2Asin2BcosC q(h)式（e）、（f）、（g）、（h）聯(lián)立求解，得 A ,B C QD qcot 2sin2將以上系數(shù)代入應(yīng)力分量，得cos2q（- cot ） sincos2q（ cot ） sinsin 2q -sin4 一 13設(shè)有內(nèi)半徑為r,外半徑為R的圓筒受內(nèi)壓力 q,試求內(nèi)半徑和外半徑的改變，并求 圓筒厚度的改變。解本題為軸對(duì)稱問題，只有徑向位移而無(wú)環(huán)向位移。當(dāng)圓筒只受內(nèi)壓力 q的情況下，取應(yīng)力分量表達(dá)式（B=0）,內(nèi)外的應(yīng)力邊界條件要求（）r 0, （） R 0()r

11、q, () r 0由表達(dá)式可見，前兩個(gè)關(guān)于的條件是滿足的，而后兩個(gè)條件要求A rAR22C2C由上式解得AqR2r2 C qr2(R2 r2) '2(R2 r2)(a)把A,B,C值代入軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的位移分量,2_r(i )E(R2 r2)()(1R2) I cos K sin(b)u H I sin K cos 0式（c）中白,取任何值等式都成立，所以個(gè)自由項(xiàng)的系數(shù)為零H=I=K=0 。所以，軸對(duì)稱問題的徑向位移式（ b）為2qr22E(R2 r2)(1(1)R而圓簡(jiǎn)是屬于平面應(yīng)變問題，故上式中E代替，則有1 u(1u q 一_ 22-)R (1 LJ (耳 1)r此時(shí)內(nèi)徑改

12、變?yōu)閡r_2)R (1L2qr(1外徑改變?yōu)閡R(1 q-圓環(huán)厚度的改變?yōu)椴?耳1)1 r2_2)(工E(R2),_ 2_ 2)R (1 -)R 2ER7(RT 1)rqr(1E22) 2RrR2ur urqr(1 2)(R rE R r4-15在薄板內(nèi)距邊界較遠(yuǎn)的某一點(diǎn)處，應(yīng).力分最為 x如該處有一小圓孔.試求孔邊的最大正應(yīng)力。II解4-1甘圖解求出兩個(gè)主應(yīng)力，即x y / X y 22-2.；(2) xy q原來(lái)的間題變?yōu)榫匦伪“逶谧笥覂蛇吺芫祭而在上下兩邊受均布?jí)毫?q,如圖所示。應(yīng)力分量xxy0代入坐標(biāo)變換式，得到外邊界上的邊界條件在孔邊，邊界條件是由邊界條件式a)、qcos2q

13、sin 2(b)、(c)、(c)(d)(a)(b)（d）可見，用辦逆解法是,可假設(shè)為的某一函數(shù)乘以cos2 ,而的另一函數(shù)乘以sin 212（工一）因此可假設(shè)f ( )cos 2 。(e)將式（e）帶入相容方程1)222 /0,得cosdf d 42d3f()d 3一 2 一9 d2f()刪去因子cos2以后，求解這個(gè)常微分方程，得 fD22，其中A,B,C,D為待定常數(shù)，代入式（e）,得應(yīng)力函數(shù)cos2 (A 4 B 2 C -D2)由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式cos2 (2B 4CCcos2 (12A 2 2B6D-4)sin2 (6A3 2B2C-26D將上式代入應(yīng)力邊界條件由式（a）得

14、 2B 4cR2由式（b）得 6AR2 2B由式（c）4C得2B 百 r由式（d）得 6Ar2 2B6D菽2CR26D4r2c-2 r6DRC6D-4 r(g)(h)關(guān) qr2,D4qr2q sin 2 (12。(13、)r聯(lián)立求解式（g） （j）,并令 工 0,得A 0,BR將各系數(shù)值代入應(yīng)力分量的去達(dá)式，得 22r rqcos2 （1 F（1 3F2r 、qcos2 (1 32)沿著孔邊 r ,環(huán)向正應(yīng)力是4q cos 2最大環(huán)向正應(yīng)力為（）max 4q4-17在距表面為h的彈性地基中，挖一直徑為d的水平圓形孔道，設(shè) h» d,彈性地基的密度為 ，彈性模量為E,泊松比為，試求小圓

15、孔附近的最大、最小應(yīng)力。1山川1山川UI出L =I 1解417圖解距地表為h處，無(wú)孔時(shí)的鉛直應(yīng)力gh ,由水平條件 x y 0 ,可得x向?yàn)樗交匦慰椎赖妮S向，在橫向y, z平面的主應(yīng)力為1gh , 2- gh（2）原來(lái)的問題變?yōu)楣艿涝谧笥覂蛇吺芫級(jí)毫υ谏舷聝蛇吺芫級(jí)毫h，在上下兩邊受均布?jí)毫h ,如圖（a）所示。可以將荷載分解為兩部分：第一部分是四邊的均布?jí)毫?一皿如圖（b）所示，第二部分是左右兩邊的均布拉力22（1）12（1一2 ） gh和上下兩邊的均布?jí)毫?2（1）二十如圖（0所示。對(duì)于第一部分荷載，可應(yīng)用解答2q(1 J),對(duì)于第二部分解答，可應(yīng)用解答，教材中式（4-18）。將

16、兩部分解答疊加，即得原荷載作用下的應(yīng)力分量（基爾斯的解答 ）。-(1 2(1)_gh 2(12r . (1 2 ) ghf ) Lg- cos 2 (122(1)2)(1 二)(1 2) ghcos22(1(1 2 ) gh . c<-sin 22(1)(12rr)(12J )(1231)2 r (1 3T23)沿著孔邊r ,環(huán)向正應(yīng)力是衛(wèi) 2(1 2 ) ghcos2 (1)(1)1 4.取大環(huán)向正應(yīng)力為（）max gh , （）min13 4 gh18-1設(shè)有任意形狀的等截面桿，密度為,上端懸掛，下端自由。如題8-1圖所示，試考察應(yīng)力分量x 0, y 0, zgz, yz 0, zx

17、 0, xy0是否能滿足所有一切條件。題日1南解 按應(yīng)力求解空間問題時(shí)，須要使得六個(gè)應(yīng)力分量在彈性體區(qū)域內(nèi)滿足平衡徽分方程，滿 足相容方程；并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件.（l） fx fy 0, fzg很顯然應(yīng)力分量滿足如下平衡徽分方程x yxx yyzyzxzxyfx 0fy 0yzzxzzxyzyfz 0(2)x yx zgz,應(yīng)力分量也滿足貝爾特拉米相容方程2(1) 2 x 0x2(1) 2 y 0y 2 2_(1) 2 z 0z(3)考察應(yīng)力邊界條件：柱體的側(cè)面和下端面,2 2(1) xy 0x y2(1) 2 yz 0y z22(1) xz 0x zfxf y fz 0。.在(x, y

18、)平面上應(yīng)考慮為任意形狀的邊界(側(cè)面方向余弦分別為n 0,l ,m為任意的；在下端面方向余弦分別為n 1,l m 0)。應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件，將應(yīng)力和面力分量、方向余弦分別代入下fyfz(l x m yx n zx) s (m y n zy l xy ) s (n x l xz m yz) s直桿的側(cè)面和下端的應(yīng)力邊界條件都能滿足，因此，所給應(yīng)力分是是本問題的解8-2設(shè)有任意形狀的空間彈性體，在全部邊界上(包括在孔洞邊界上)受有均布?jí)毫,試證應(yīng) 力分量x y z q，yz zx xy 。能滿足一切條件，因而就是正確的解答。解：應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程，相容方程及應(yīng)力邊界條件(在S上)，多連體還應(yīng)滿足位移單值條件。(1)(2) 平衡條件 fx fy fz 0,很顯然，應(yīng)力分量滿足平衡微分方程(3)(4) 相容條件：x y z 3q ,應(yīng)力分量也滿足貝爾特拉米相容方程。(3)應(yīng)力邊界條件?？紤]一般的應(yīng)力邊界條件：法線的方向余弦為l,m,n邊界面為任意斜面，受到法向壓力 q的作用。同樣，滿足應(yīng)力的邊界條件。(4)位移單值條件，為了考慮多連體中的位移單值條件，由應(yīng)力求出對(duì)應(yīng)的位移，然后再檢查是否滿足單值條件。將應(yīng)力分量代人教材中式(7 12),得形變分量表達(dá)式y(tǒng)zzyxy將形變分量代入幾何方程，得2E2E2E1-q1-q1-q積分得