黃岡七級(jí)思維數(shù)學(xué)一級(jí)第一講行程問題教案

1、第一講 行程問題教學(xué)內(nèi)容：行程問題教學(xué)目標(biāo)：1. 掌握行程問題中路程、速度、時(shí)間三者之間的基本關(guān)系。2. 探索行程問題中反向運(yùn)動(dòng)問題、同向運(yùn)動(dòng)問題、環(huán)形行程問題、流水行船問題、列車過橋問題等類型的特點(diǎn)，比如反向運(yùn)動(dòng)問題抓住速度和，同向運(yùn)動(dòng)問題抓住速度差。3. 能夠利用公式、線段圖、算術(shù)、方程等方法解決行程問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想及方程思想。4. 通過將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力;感受數(shù)學(xué)問題的探索性，激發(fā)學(xué)生興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系教學(xué)重點(diǎn)：1、 行程問題中路程、速度、時(shí)間三者之間的基本關(guān)系。2、 探索相遇問題、追及問題、環(huán)形行程問題、流水行船問題、

2、列車過橋問題等類型的特點(diǎn)，利用這些特點(diǎn)解決相應(yīng)類型的問題。教學(xué)難點(diǎn)：1、 相遇問題、追及問題、環(huán)形行程問題、流水行船問題、列車過橋問題等類型的特點(diǎn)及其應(yīng)用。2、 靈活運(yùn)用路程、速度、時(shí)間三者之間的數(shù)量關(guān)系。教學(xué)方法：合作探究、講授法教學(xué)過程：第一課時(shí)一、創(chuàng)設(shè)情景1、請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)按老師的要求走路，讓同學(xué)們根據(jù)他們的表演說出其表示的意義。最后請(qǐng)同學(xué)用手勢(shì)和語言完整表示兩人的運(yùn)動(dòng)情況。2、老師在黑板上板書運(yùn)動(dòng)幾種情況。二、探索新知（一）反向運(yùn)動(dòng)（相遇問題）：聰聰和明明兄弟兩人決定每天早起跑步，明明每秒跑4米，聰聰每秒跑6米，如果他們站在百米跑道的兩端同時(shí)相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？分析：用線段圖表示

3、為：   用符號(hào)語言表示為：              總結(jié)：相遇問題的基本關(guān)系是：路程=速度和×時(shí)間。精例精析例1、甲、乙兩地相距800千米，一輛客車以每小時(shí)40千米的速度從甲地開出3小時(shí)后，一輛摩托車以每小時(shí)60千米的速度從乙地開出，開出后幾小時(shí)與客車相遇？思維入口：如果把客車先行的3小時(shí)路程從總路程中去掉，那么余下路程就是同時(shí)出發(fā)的相遇問題的應(yīng)用題了。解：（80040×3）÷（6040）=6.8（小時(shí)）答：開出

4、后6.8小時(shí)與客車相遇?！拘〗Y(jié)】：客車和摩托車出發(fā)時(shí)間不一樣，可以把它們轉(zhuǎn)化成同時(shí)出發(fā)的相遇類應(yīng)用題。練習(xí)：P2 初試身手1（注：書中1160千米，應(yīng)為1160米。）例2、六年級(jí)同學(xué)徒步去狼山看日出。去時(shí)每小時(shí)行8千米，按原路返回時(shí)每小時(shí)行6千米。他們往返的平均速度為多少？思維入口：根據(jù)平均速度=總路程÷總時(shí)間，把去狼山的路程看做單位“1”，往返的路程就是“2”，去時(shí)用的時(shí)間為，回來時(shí)用的時(shí)間為,往返的總時(shí)間為+=。解:2÷(+)=2÷=(千米/時(shí))答:他們往返的平均速度為千米/時(shí)?！拘〗Y(jié)】：由公式：平均速度=總路程÷總時(shí)間可知，求往返的平均速度關(guān)鍵是確

5、定往返的路程和時(shí)間。練習(xí)：P3 初試身手2（二）同向運(yùn)動(dòng)（追及問題）：小巧今天早上要在7:50之前趕到距家1000米的學(xué)校坐車去參加社會(huì)考察活動(dòng).小巧以80米/分的速度出發(fā),5分后,她的爸爸發(fā)現(xiàn)她忘了帶考察表.于是,爸爸立即以160米/分的速度去追小巧,并且在途中追上了他.     爸爸追上小明用了多長時(shí)間?     學(xué)生嘗試解答,并說出自己的思考過程。     *速度差×追及時(shí)間=相距路程     *爸爸的走的總路程=小巧走的總路程   

6、60; 畫線段圖,驗(yàn)證你的思考是否正確?     如果我們把小巧和小巧爸爸相距的距離用s表示,小巧走的慢,我們把她的速度用V慢表示,小巧爸爸的速度用V快表示,追及時(shí)間為t,那么小巧走的路程用?表示;爸爸走的路程用?表示;(在線段圖上表示出來)這幾個(gè)量之間有什么關(guān)系呢?     V快t- V慢 t = s.     V快t = s+ V慢 t.     V快t- s = V慢 t     其實(shí)這是同一個(gè)等量關(guān)系的不同變式.如何用語言敘述呢?(追及的

7、路程就是兩人的路程差)     2、總結(jié):追及問題的基本關(guān)系式是：路程差=速度差×追及時(shí)間精例精析例3、一個(gè)通訊員騎摩托車追趕前面的隊(duì)伍，隊(duì)伍每小時(shí)行5千米，摩托車每小時(shí)行50千米，通訊員出發(fā)后40分鐘趕上隊(duì)伍。問：隊(duì)伍比通訊員早出發(fā)幾小時(shí)？思維入口：要求隊(duì)伍比通訊員早出發(fā)幾小時(shí)，一般要知道隊(duì)伍早出發(fā)走的路程和隊(duì)伍的速度。而隊(duì)伍早出發(fā)走的路程就是40分鐘內(nèi)通訊員比隊(duì)伍多走的路程（即路程差），根據(jù)“速度差×追及時(shí)間=路程差”這個(gè)數(shù)量關(guān)系，就可以求出隊(duì)伍早出發(fā)走的路程。（50-5）×=30(千米)。所以，隊(duì)伍比通訊員早出發(fā)30÷

8、5=6（小時(shí)）。解：（50-5）×÷5=45×÷5=6(小時(shí))答:隊(duì)伍比通訊員早出發(fā)6小時(shí)。【小結(jié)】：追及問題中的基本數(shù)量關(guān)系：路程差=速度差×時(shí)間。練習(xí)：P4 初試身手3（三）環(huán)形行程問題我們把行程問題中與環(huán)形有關(guān)的問題，稱為環(huán)形行程問題。環(huán)形問題的解決方法除與反向運(yùn)動(dòng)問題、同向運(yùn)動(dòng)問題等問題的方法類似外，還要注意以下兩點(diǎn)：（1）如果兩人同地同時(shí)反向運(yùn)動(dòng)，從上次相遇到下次相遇共行一個(gè)全程。（2）如果兩人同地同時(shí)同向運(yùn)動(dòng)，甲追上乙時(shí)，甲比乙多行一個(gè)全程。精例精析例4、一對(duì)老年夫婦沿著周長為200米的圓形花壇散步，他們從同一地點(diǎn)出發(fā)，相背而行，老

9、太太每分鐘走45米，老先生每分鐘走55米，多長時(shí)間后，他們第三次相遇？思維入口：在封閉的環(huán)形道上反向運(yùn)動(dòng)屬相遇問題。他們從同一地點(diǎn)出發(fā)（相當(dāng)于第一次相遇），背向而行，再次相遇時(shí)，他們合走一圈200米，第三次相遇時(shí)，他們合走了二圈，根據(jù)相遇時(shí)間=相遇路程÷速度和。解：200×2÷（4555）=400÷100=4（分鐘）答：4分鐘后，他們第三次相遇?！拘〗Y(jié)】：首先確定他們第三次相遇時(shí)，他們合走了幾圈，根據(jù)相遇時(shí)間=相遇路程÷速度和，求出相遇時(shí)間。練習(xí)：P5 初試身手4（四）流水行船問題船在江河里航行時(shí)，除了本身的前進(jìn)速度外，還受到流水的推送或頂逆，

10、在這種情況下計(jì)算船只的航行速度、時(shí)間和所行的路程，叫做流水行船問題。流水行船問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個(gè)量（速度、時(shí)間、路程）的關(guān)系在這里將要反復(fù)用到.此外，流水行船問題還有以下兩個(gè)基本公式：順?biāo)俣?船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時(shí)間里所走過的路程.水速，是指水在單位時(shí)間里流過的路程.順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時(shí)和逆流航行時(shí)船在單位時(shí)間里所行的路程。根據(jù)加減法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，由公式（l）可以得到：水速=順?biāo)俣?船速，船速=順?biāo)俣?水速。由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。這

11、就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實(shí)際速度和水速這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)量。另外，已知船的逆水速度和順?biāo)俣龋鶕?jù)公式（1）和公式（2），相加和相減就可以得到：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2。精例精析例5、一艘船在靜水中的速度為每小時(shí)15千米,它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時(shí),已知水速為每小時(shí)3千米,那么從乙地返回甲地需要多少小時(shí)?思維入口:要求出從乙地返回甲地需要多少小時(shí),需先知道甲、乙兩地之間的路程和逆水的速度。路程可以用順?biāo)俣瘸隧標(biāo)叫械臅r(shí)間求得。解：順?biāo)俣龋?5+3=18（千米/時(shí)）兩地路程:18&#

12、215;8=144(千米)逆水速度:153=12（千米/時(shí)）逆水用時(shí):144÷12=12(小時(shí))答: 從乙地返回甲地需要12小時(shí)。【小結(jié)】：解決流水行船問題必須掌握下列關(guān)系式：順?biāo)俣?船速水速；逆水速度=船速水速；（順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2=船速；（順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2=水速。練習(xí)：P5 初試身手5（五）列車過橋問題橋是靜的，火車是動(dòng)的，火車通過大橋，是指從車頭上橋到車尾離橋?！傲熊囘^橋”是以動(dòng)對(duì)靜。如下圖，車長橋長AA假設(shè)某人站在火車頭的A點(diǎn)處，當(dāng)火車通過橋時(shí)，A點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)的路程就是火車運(yùn)動(dòng)的總路程，即車長與橋長的和。精例精析例6、一列火車長150米，每秒行1

13、9米，全車通過420米的大橋，需要多長時(shí)間？分析：為了便于理解，可以把車尾A看作“標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)”（如下圖所示）。當(dāng)車頭剛上橋的霎那間，A距橋150米；當(dāng)車尾離橋時(shí)，A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了150+420=570(米),即全車通過大橋,火車需要運(yùn)動(dòng)的總距離為火車長與橋長的和,所以全車通過大橋需:570÷19=30(秒)。A橋車A420米150米解：(420+150) ÷19=570÷19=30(秒)答:需要30秒?！拘〗Y(jié)】：火車過大橋，指的是從車頭上橋算起到車尾離橋?yàn)橹埂；疖囘\(yùn)動(dòng)的總路程=車長+橋長。練習(xí)：P6 初試身手6三、嘗試解決P9 第1題 ； P10 第2、3、4題 ；P11

14、第7、8題四、歸納小結(jié)1.反向運(yùn)動(dòng)問題（相遇問題）反向運(yùn)動(dòng)問題的基本關(guān)系式是：路程=速度和×時(shí)間。2.同向運(yùn)動(dòng)問題（追及問題）同向運(yùn)動(dòng)問題的基本關(guān)系式是：路程差=速度差×追及時(shí)間。3.環(huán)形有關(guān)的問題環(huán)形問題的解決方法除與反向運(yùn)動(dòng)問題、同向運(yùn)動(dòng)問題等問題的方法類似外，還要注意以下兩點(diǎn)：（1）如果兩人同地同時(shí)反向運(yùn)動(dòng)，從上次相遇到下次相遇共行一個(gè)全程。（2）如果兩人同地同時(shí)同向運(yùn)動(dòng)，甲追上乙時(shí)，甲比乙多行一個(gè)全程。4.流水行船問題即：順?biāo)俣?船速水速；逆水速度=船速水速；（順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2=船速；（順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2=水速。5.列車過橋問題橋是靜

15、的，火車是動(dòng)的，火車通過大橋，是指從車頭上橋到車尾離橋?！傲熊囘^橋”是以動(dòng)對(duì)靜。如下圖，車長橋長AA假設(shè)某人站在火車頭的A點(diǎn)處，當(dāng)火車通過橋時(shí)，A點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)的路程就是火車運(yùn)動(dòng)的總路程，即火車運(yùn)動(dòng)的總路程=車長+橋長。五、自我反饋請(qǐng)你試一試：第5、6、9、10、11題六、教學(xué)反思（各位老師授課后撰寫好教學(xué)反思。）第二課時(shí)一、 創(chuàng)設(shè)情景復(fù)習(xí)回顧行程問題中幾種類型的特點(diǎn)：1.反向運(yùn)動(dòng)問題（相遇問題）反向運(yùn)動(dòng)問題的基本關(guān)系式是：路程=速度和×時(shí)間。2.同向運(yùn)動(dòng)問題（追及問題）同向運(yùn)動(dòng)問題的基本關(guān)系式是：路程差=速度差×追及時(shí)間。3.環(huán)形有關(guān)的問題環(huán)形問題的解決方法除與反向運(yùn)動(dòng)問題、

16、同向運(yùn)動(dòng)問題等問題的方法類似外，還要注意以下兩點(diǎn)：（1）如果兩人同地同時(shí)反向運(yùn)動(dòng)，從上次相遇到下次相遇共行一個(gè)全程。（2）如果兩人同地同時(shí)同向運(yùn)動(dòng)，甲追上乙時(shí)，甲比乙多行一個(gè)全程。4.流水行船問題即：順?biāo)俣?船速水速；逆水速度=船速水速；（順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2=船速；（順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2=水速。5.列車過橋問題火車運(yùn)動(dòng)的總路程=車長+橋長二、 探索新知1、精例精析例7、甲、乙兩車同時(shí)從A地去B地，甲車行了全程的一半時(shí)，乙車離B地還有54千米，當(dāng)甲車到達(dá)B地時(shí)，乙車行了全程的80。A、B兩地的路程是多少千米？分析：根據(jù)“甲車到達(dá)B地時(shí)，乙車行了全程的80”，可以算出甲

17、、乙兩車所行的路程比是1：80=5:4，因?yàn)闀r(shí)間相等，所以速度比也是5:4.那么在相同的時(shí)間里，甲車行了全程的一半，乙車應(yīng)該行全程的÷=，還剩全程的1=。根據(jù)這時(shí)乙車離B地還有54千米，求出全程。解：54÷1-(÷)=54÷=90(千米)答: A、B兩地的路程是90千米?！拘〗Y(jié)】：本題關(guān)鍵是找甲、乙兩車的速度比。練習(xí)：P7 初試身手7例8、甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇。又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地間的距離。分析：先畫圖：BCD相遇點(diǎn)甲A乙設(shè)甲、乙兩人相向而行時(shí)相遇地點(diǎn)為D,

18、甲追到乙的地點(diǎn)為C,由題意可知：甲從A到D用6分鐘，而從A到C則用26分鐘，因此，甲從D走到C之間所用時(shí)間應(yīng)為26-6=20（分）。同時(shí)，由圖可知，D、C間的距離等于BC+BD。即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與乙在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，即為50×（26+6）=1600（米）。所以，甲的速度為1600÷20=80（米/分）,由此可得A、B兩地間的距離。解：50×（26+6）÷(26-6)=50×32÷20=80（米/分）(80+50)×6=130×6=780(米)答: A、B兩地間的距離為780米?！拘〗Y(jié)】：這是一

19、類比較復(fù)雜的行程問題,它既包含有相遇問題,又包含有追及問題,所以要認(rèn)真審題,先求出甲的速度,再求出A、B兩地的距離。練習(xí)：P8 初試身手82、例題變招例9、在一條筆直的公路上，王輝和李明騎車從相距900米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，王輝每分鐘行200米，李明每分鐘行250米，經(jīng)過多少時(shí)間，兩人相距2700米？（分析各種情況）分析：畫圖以后各種情況就清楚了。第一種情況：王輝在前，李明在后，兩人同向前進(jìn)，李明追上王輝以后還要比王輝多行2700米；第二種情況：李明在前，王輝在后，李明再比王輝多行1800米；第三種情況：李明和王輝相背而行，經(jīng)過一段時(shí)間以后兩人相距2700米；第四種情況：李明和王輝相向而行，

20、相遇以后，兩人相距2700米。解：共有4種情況。（1）（900+2700）÷（250200）=72（分鐘）（2）（2700900）÷（250200）=36（分鐘）（3）（2700900）÷（250+200）=4（分鐘）（4）（900+2700）÷（250+200）=8（分鐘）【小結(jié)】：此類題屬于發(fā)散思維的訓(xùn)練，也就是同一道題要求同學(xué)們從多角度來思考，從不同的角度分析各種情況才能全面解決問題。3、競賽我能行例10、小明早上從家步行去學(xué)校，走完一半路程時(shí)，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本丟在家里，隨即騎車去給小明送書，追上時(shí)，小明還有的路程未走完，小明隨即上了爸爸的車，由爸爸送往學(xué)校。這樣，小明比獨(dú)自步行提早5分鐘到校。小明從家到學(xué)校全部步行需多少時(shí)間？分析：如圖所示，設(shè)爸爸在C點(diǎn)追上小明，求出爸爸與