第三章一元函數(shù)積分學(xué)(上)

1、第三章：一元函數(shù)積分學(xué)本篇重點(diǎn)是不定積分與定積分的概念與性質(zhì)，變限定積分及其導(dǎo)數(shù)，不定積分和定積分的分部積分法和換元積分法，廣義積分的概念和計(jì)算，定積分的應(yīng)用§3.1 不定積分本節(jié)重點(diǎn)是不定積分的概念、不定積分的基本公式、不定積分的分部積分法和換元積分法，特別是求已知函數(shù)的不定積分 ?？贾R(shí)點(diǎn)精講一、基本概念1原函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若存在函數(shù)，使得在區(qū)間上處處有 ，或則稱是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù) 如果有原函數(shù)，則有無窮多個(gè)原函數(shù)，且其全部原函數(shù)可表示為（其中是任意常數(shù)）2不定積分定義：函數(shù)在區(qū)間上的原函數(shù)的全體，稱為在區(qū)間上的不定積分記為 設(shè)是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，那么就是

2、的不定積分，即 二、基本性質(zhì)1，或；2，或；3 （為常數(shù)）；4三、基本積分公式1；2；3， ；4；56；7；8；9；10；11；12，；13，；14；15例1.1 求下列不定積分 解：；四、不定積分法1第一換元法（湊微分）定理：設(shè)有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有 常見的幾種湊微分的形式：（）(6)例1.2 求下列不定積分 （6）解：；(6) 2第二換元法定理：設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，又設(shè)具有原函數(shù)，則有 常見的幾種典型類型的代換以下式子中表示的有理函數(shù)，令；，令；，令；評(píng)注：上述三種變換稱為三角代換在變換后的積分運(yùn)算中，往往會(huì)出現(xiàn)三角函數(shù)表達(dá)式，由于為新變量，因此計(jì)算結(jié)果必須換回原變量為了計(jì)算方便，往往引

3、入直角三角形，利用銳角三角函數(shù)定義來確定所需的三角函數(shù)值，應(yīng)先配方，再作三角代換；，令，其中是的最小公倍數(shù)；(6) ， 令；（其中為自然數(shù)），令；，令，稱“萬能”代換，非到不得已時(shí)不用例1.3 求下列不定積分 解： 令，則 ； 令，則； 令，則； 令，則 ； 由于，所以令，則，從而于是3分部積分法定理：設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有 常見的用分部積分的幾種題型以下式子中表示的次多項(xiàng)式，評(píng)注：上述三種類型中應(yīng)選作公式中的(6)評(píng)注：上述三種類型中應(yīng)選作公式中的評(píng)注：上兩種類型可以選作公式中的，也可以作公式中的經(jīng)過一次分部積分之后，并沒有把積分難易程度轉(zhuǎn)化，這時(shí)須再次施以分部積分，移項(xiàng)解方程可得但是必須

4、注意兩次分部積分時(shí)，須使選取的為同一函數(shù)類型例1.4 求下列不定積分 解： ； ； ； 又 所以 故； 又 所以 常考題型及其解法與技巧一、概念、性質(zhì)的理解例3.1.1 設(shè)在上有原函數(shù)，則下列命題中不正確的是（A）的任意原函數(shù)在上連續(xù)（B）的任意兩個(gè)原函數(shù)之差必為常數(shù)（C）的任意兩個(gè)原函數(shù)之和必為2的原函數(shù)（D）若為的一個(gè)原函數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，則必為的原函數(shù)解：因?yàn)?，故選（D）例3.1.2 在時(shí)，欲使等式成立，則，解：等式兩端對(duì)同時(shí)求導(dǎo)可得：所以從而，故，例3.1.3 設(shè)可導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)是，可導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)是，是在區(qū)間上的反函數(shù)，則（A） （B）（C） （D）解：由反函數(shù)的定義可知：， 由復(fù)合函

5、數(shù)的求導(dǎo)法則可得： ， 而（A）的左端為，（C）的左端為，（D）的左端為，（A）、（C）、（D）都不正確所以應(yīng)選（B）二、分段函數(shù)的不定積分求此類函數(shù)的不定積分時(shí)，先分別求出各區(qū)間段的不定積分表達(dá)式，然后由原函數(shù)的連續(xù)性確定出各積分常數(shù)的關(guān)系例3.1.4 求下列不定積分（1）求 （2）設(shè)，求分析：由于連續(xù)函數(shù)必定存在原函數(shù)，其原函數(shù)顯然是連續(xù)的，故需利用原函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性，定出各段積分常數(shù)的關(guān)系式解：（1）將被積函數(shù)寫成，則于是，而原函數(shù)在處應(yīng)連續(xù)，所以，從而因此（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)原函數(shù)的連續(xù)性，分別考慮在點(diǎn)處的左、右極限可知有 解之得，從而 評(píng)注：若是的第一類間斷點(diǎn)，則在包含的

6、區(qū)間內(nèi)不存在原函數(shù)三、不同類型函數(shù)乘積的不定積分不同類型函數(shù)相乘積的不定積分一般用分部積分法來解決（有時(shí)需聯(lián)合使用分部積分法與換元積分法）例3.1.5 求下列不定積分（1） （2） （3）解：（1）原式而故，原式(2) （3） 四、有理函數(shù)的不定積分分式有理函數(shù)的積分一般方法是將被積函數(shù)（如果是假分式的話）化為多項(xiàng)式與有理真分式的和，再把真分式分解成部分分式的和，然后分項(xiàng)積分但當(dāng)有理真分式的分母次數(shù)大于等于4時(shí)，用特殊的方法求解往往比較簡(jiǎn)單，常用的方法有湊微分和變量代換，特別當(dāng)被積函數(shù)中的分母含有因子的自然數(shù)）一般可選倒代換消去被積函數(shù)分母中的變量因子例3.1.6 求下列不定積分（1）； （2

7、） ； （3） 解：（1）設(shè)所以可得因此（2）令，則所以（3） 五、三角有理式的不定積分三角有理式求不定積分的一般方法是：利用“萬能代換”把三角有理式化為有理函數(shù)的積分，但有時(shí)積分很繁瑣，因此應(yīng)盡量尋求簡(jiǎn)便的方法 形如、和的積分此類型的不定積分一般可用萬能代換把三角有理式化為有理函數(shù)的積分例3.1.7 求下列不定積分（1） （2）解：（1）令，則（2）令，則 形如的積分此類型三角有理式的不定積分解題的一般思路：令，求出常數(shù)；例3.1.8 求不定積分解：令，則所以=2 形如 （為整數(shù)）的積分對(duì)于此類型的不定積分，解題思路有下列幾種：（）若至少有一個(gè)是奇數(shù)（不論是正奇數(shù)還是負(fù)奇數(shù)），不妨設(shè)是奇數(shù)，

8、則 ；（）若都是正偶數(shù)，則利用公式，先將被積函數(shù)降冪，再積分；（）若都是負(fù)偶數(shù)，則將不定積分設(shè)法化成或的形式；（）若分別為正偶數(shù)和負(fù)偶數(shù)，可將被積函數(shù)中的（或）化成（或）形式例3.1.9 求下列不定積分（1） （2）（3） （4）解：（1） （2） （3） （4） 形如、和的積分此類型的不定積分，應(yīng)先利用三角函數(shù)的積化和差公式，將被積函數(shù)化為和、差形式，再求積分例3.1.10 求不定積分解： 六、簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分此類型的不定積分，一般應(yīng)通過變量代換去掉根式將原積分化為有理函數(shù)的積分或基本公式中的形式再解之例3.1.11 求下列不定積分（1） （2）（3） （4）解：（1）令，原不定積分變?yōu)?

9、（2）令，所以原不定積分變?yōu)椋?）令則，于是原積分（4）令，即，則原積分 七、積分遞推公式的建立 積分遞推公式的推導(dǎo)一般利用分部積分法完成例3.1.12 建立下列不定積分的遞推公式（1） （2)解：（1） 所以（2） 所以，即八、其它例3.1.13 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，如時(shí)，有求解：由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以，故，因此由，可得，從而，故例3.1.14 設(shè)，且，求解：因?yàn)?，所以?于是例3.1.15 設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，則解：因?yàn)榈囊粋€(gè)原函數(shù)為，所以故 §3.2 定積分本節(jié)重點(diǎn)是定積分的概念和性質(zhì)，變上限的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，用換元積分法和分部積分法計(jì)算定積分 ?？贾R(shí)點(diǎn)精講一、定積分的概念1定義定

10、義：設(shè)在上有定義且有界，作下述四步“分割”：在內(nèi)任意插入個(gè)點(diǎn)： 把區(qū)間分成各小區(qū)間：；“作積”：，其中，； “求和”：；“取極限”：，其中；如果上述極限存在（與區(qū)間的分法及的取法無關(guān)），則稱在上可積，并稱上述極限值為在上的積分，記作評(píng)注：當(dāng)給定時(shí)，定積分是一個(gè)僅依賴于上限、下限的數(shù)，與積分變量無關(guān) 即 例2.1 設(shè)為已知連續(xù)函數(shù)，則的值（A）依賴于和 （B）依賴于，（C）依賴于和，不依賴于 （D）依賴于，不依賴于解：由于，而當(dāng)給定時(shí)，定積分是一個(gè)僅依賴于上限、下限的數(shù)，與積分變量無關(guān)，所以應(yīng)選（D）2定積分的幾何意義設(shè)存在若在上，則的值等于由曲線、直線、及軸所圍成曲邊梯形的面積；若在上，則的值

11、等于由曲線、直線、及軸所圍成曲邊梯形的面積的負(fù)值；若在上的值有正也有負(fù)，則的值等于由曲線、直線、及軸所圍成曲邊梯形面積的代數(shù)和例2.2 如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間，上的圖形分別是直徑為1上、下半圓周，在區(qū)間上的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周。設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（A） （B）（C） （D）解：由定積分的幾何意義， ，故應(yīng)選（B）3可積的充分條件命題1：設(shè)在上連續(xù)，則在上可積命題2：設(shè)在上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積命題3：設(shè)在上單調(diào)有界，則在上可積二、定積分的性質(zhì)設(shè)在區(qū)間上可積（1）（2）（3）（4）若在最大的區(qū)間上可積，則 （5）在區(qū)間上若，則 （6）如果在區(qū)間上的最大值與最小值分別為

12、，則 此性質(zhì)常稱為定積分的估值定理（7）（積分中值定理） 如果在區(qū)間上連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 常稱為函數(shù)在區(qū)間上的平均值例2.3 求解：先考慮積分，因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以根據(jù)積分中值定理可知，在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使，因此三、重要定理、公式、關(guān)系1變上限函數(shù)的求導(dǎo)定理 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則變上限函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且 推廣：設(shè)連續(xù)，可導(dǎo)，則 例2.4 設(shè)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，且 ，則 解：由于 ，所以2牛頓萊布尼茲公式 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是它的任一個(gè)原函數(shù)，則 3定積分和不定積分之間的關(guān)系 四、定積分的求法1用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算定積分如果在上連續(xù)，并且容易求出它的一個(gè)原函數(shù)，則 例2.5 計(jì)算定積分解： 例

13、2.6 設(shè)，求在上的表達(dá)式解：當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 故 2分部積分法定積分的分部積分法的公式與方法，與不定積分類似，只是多了個(gè)上下限而已： 例2.7 計(jì)算解： 3換元積分法定積分的換元積分法的定理與方法，與不定積分不一樣定理：設(shè)在上連續(xù)，函數(shù)滿足條件（1），（2）在（或）上為單值、有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則有 例2.8 計(jì)算解：令當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是由于 所以，故從而五、幾個(gè)常用的定積分公式1設(shè)是在區(qū)間上連續(xù)的偶函數(shù)，則2設(shè)是在區(qū)間上連續(xù)的奇函數(shù)，則3設(shè)在內(nèi)是以為周期的周期函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù)、任意自然數(shù)都有 ， ；4設(shè)在上連續(xù)，則 ；5華里士公式 例2.9 計(jì)算 解：由于是奇函數(shù)，所以；，由于是偶函數(shù)，所

14、以 例2.10 計(jì)算解：被積函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，所以 例2.11 計(jì)算解：由于，令，則 常考題型及其解法與技巧一、積分值符號(hào)的確定或大小的比較確定積分值符號(hào)這類題解題的一般方法有：法一：利用分部積分法將定積分轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)在積分區(qū)間上定號(hào)的定積分的情形；法二：換元積分法將所給定積分表示成被積函數(shù)大于零與被積函數(shù)小于零的兩個(gè)積分的和，然后通過做變量代換比較正、負(fù)部分積分的絕對(duì)值的大小 比較定積分大小的解題思路：利用變量代換，將所給定積分的積分限變成一致；比較被積函數(shù)的大??；利用積分的保號(hào)性定理，得出結(jié)論例3.2.1 積分的值（A）與無關(guān)且恒為正 （B）與無關(guān)且恒為負(fù)（C）恒為零 （D）與有

15、關(guān)解：故應(yīng)選（A）例3.2.2 積分的值（A）大于零 （B）小于零 （C）等于零 （D）不確定解： 由于 故應(yīng)選（A）例3.2.3 比較與的大小解： 由于當(dāng)時(shí)，從而 故二、定積分的計(jì)算計(jì)算定積分常用牛頓萊布尼茲公式、分部積分法和換元積分法來完成分段函數(shù)的定積分此類定積分的解題思路：利用積分區(qū)間內(nèi)的分段點(diǎn)將積分區(qū)間劃分，把所求定積分表示成幾個(gè)分段區(qū)間上的定積分的和；求各個(gè)分段區(qū)間的定積分例3.2.4 設(shè) 求分析：當(dāng)被積函數(shù)是給定的函數(shù)與某一簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)時(shí)，要通過變量代換將其化為給定函數(shù)的形式，與此同時(shí)積分限也要相應(yīng)改變解： 例3.2.5 設(shè) ，求解： 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí) 所以 =例3.2

16、.6 設(shè)平面上有正方形及直線若表示正方形位于直線左下方部分的面積，試求分析：應(yīng)首先根據(jù)題設(shè)將被積函數(shù)的表達(dá)式寫出，再求定積分解：根據(jù)題設(shè)有 可見，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 因此 帶絕對(duì)值函數(shù)的定積分該類型的定積分計(jì)算的一般思路：令絕對(duì)值內(nèi)式子等于零，求出在積分區(qū)間內(nèi)的根；用這些根將積分區(qū)間劃分成若干個(gè)子區(qū)間，把所求積分表示成若干個(gè)分段區(qū)間上的積分的和；對(duì)各個(gè)分段區(qū)間上的積分，被積函數(shù)的絕對(duì)值就可以去掉了例3.2.7 求解：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以 例3.2.8 計(jì)算解： 被積函數(shù)含有變限積分或?qū)?shù)的定積分此類型的定積分一般用分部積分法解決例3.2.9 求定積分分析：這里被積函數(shù)這是含變限的積分，又積

17、不出來，所以求應(yīng)使用分部積分法，變限定積分作分部積分法中的解： 例3.2.10 已知，求分析：由于被積函數(shù)中含抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，故應(yīng)采用分部積分，抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與湊出分部積分法中的解： 對(duì)稱區(qū)間上的定積分 對(duì)稱區(qū)間上定積分的計(jì)算解題思路有下列兩種若被積函數(shù)是奇、偶函數(shù)利用對(duì)稱區(qū)間上的奇、偶函數(shù)的公式先化簡(jiǎn)再計(jì)算若被積函數(shù)是非奇、非偶函數(shù)利用積分區(qū)間的對(duì)稱點(diǎn)將積分區(qū)間劃分，把所求積分表示成兩個(gè)積分的和；利用變量代換把兩個(gè)積分限化為一致；把積分的和、差，寫成被積函數(shù)的和差，然后計(jì)算例3.2.11 計(jì)算定積分解：根據(jù)定積分的對(duì)稱性可得 例3.2.12 設(shè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)滿足，計(jì)算解： 例3.2.13 計(jì)

18、算定積分解： 評(píng)注：本題雖然不是對(duì)稱區(qū)間，但經(jīng)過換元后化成對(duì)稱區(qū)間，再利用對(duì)稱區(qū)間上奇、偶函數(shù)的積分性質(zhì)，化簡(jiǎn)積分 周期函數(shù)的定積分此類題一般應(yīng)先利用周期函數(shù)定積分的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算例3.2.14 計(jì)算定積分解： 評(píng)注： 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)，積分區(qū)間是的整數(shù)倍時(shí)，應(yīng)注意使用周期函數(shù)定積分的性質(zhì)例3.2.15 計(jì)算定積分解：不難驗(yàn)證是以為周期的函數(shù)，所以由周期函數(shù)的性質(zhì)可得，再利用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)可得 被積函數(shù)的分母為兩項(xiàng)的和，而分子為其中一項(xiàng)的定積分此類型的題一般利用變量代換完成，所作代換滿足以下兩點(diǎn)要求：變換前后積分的上下限或者不變，或者交換位置；交換后，分母中的另一項(xiàng)成為分子中的

19、項(xiàng)例3.2.16 計(jì)算下列不定積分（1） （2）解：（1） 所以，因此（2）=所以，因此 用遞推公式計(jì)算的定積分例3.2.17 計(jì)算是正整數(shù)）解： 所以 （1）又 所以 （2）（1）式加（2）式得 從而 ，由于 ，故例3.2.18 求為自然數(shù)）解： 所以 從而 又 ， 故當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，； 當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，例3.2.19 求都是自然數(shù)）解：記則 從而 而，所以 其它例3.2.20 設(shè)為正整數(shù)，則解：記 所以例3.2.21 設(shè)求解：因?yàn)橛谑牵?例3.2.22 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，已知，求解：由于，令可得： 從而 上式兩端對(duì)求導(dǎo)可得： 所以 上式中令得： 因此三、變限定積分的討論變限積分經(jīng)常出現(xiàn)在極限、導(dǎo)數(shù)、積分、函數(shù)性態(tài)的研究以及積分方程中，解決該類問題的關(guān)鍵是變限積分的