實驗四材料的切變模量與剛體轉(zhuǎn)動慣量的測定(扭擺法)

1、實驗四材料的切變模量與剛體轉(zhuǎn)動慣量的測定（扭擺法）【實驗?zāi)康摹勘緦嶒炌ㄟ^用扭擺法測量鋼絲及銅絲材料的切變模量，了解測量材料切變模量的基本方法，進一步掌握基本長度量和時間測量儀器的正確使用方法，同時還可以用扭擺法測量各種形狀剛體繞同一軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量以及同一剛體繞不同軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量，加深對轉(zhuǎn)動慣量的概念及對垂直軸定理和平行軸定理的理解。圖1切變模量與轉(zhuǎn)動慣量實驗儀簡圖（其中2表示環(huán)狀剛體垂直和水平二種狀態(tài)放置）1223845671、爪手2、環(huán)狀剛體3、待測材料4、霍耳開關(guān)5、銣鐵硼小磁鋼6、底座7、數(shù)字式計數(shù)計時儀8、標志旋鈕9、扭動旋鈕9【儀器和用具】1、切變模量與轉(zhuǎn)動慣量實驗儀2、儀器使用

2、方法（1）取下儀器上端夾頭，并把它擰松，將鋼絲一端插入夾頭孔中，然后把夾頭擰緊，再把夾頭放回橫梁上。用同樣的方法，把鋼絲的下端固定在爪手的夾頭上。（2）轉(zhuǎn)動上端的“扭動旋鈕”（9）使爪手一端的銣鐵硼小磁鋼（5）對準固定在立柱上的霍耳開關(guān)（4）。同時調(diào)整霍耳開關(guān)的位置，使之高度與小磁鋼一致。（3）調(diào)節(jié)立柱的兩個底腳螺絲。使小磁鋼靠近霍耳開關(guān)，并使它們之間相距為8毫米左右。（4）轉(zhuǎn)動橫梁上的“標致旋鈕”（8），使它的刻線與“扭動旋鈕”（9）上的刻線相一致當旋轉(zhuǎn)“扭動旋鈕”（9）一個角度后，即刻又恢復(fù)到起始位置。此時爪手將繞鋼絲作擺動。（5）爪手有多種功能。圓環(huán)可水平放在爪手上面作振動。也可以垂直裝

3、在爪手下面作振動。爪手還可以安置條形棒或柱形棒作振動，以測得不同的周期值，并求出鋼絲材料的切變模量或剛體的轉(zhuǎn)動慣量。 3、數(shù)字式計數(shù)計時儀使用（1）開啟電源開關(guān)，使儀器預(yù)熱10分鐘。（2）按住上升鍵，使預(yù)置計數(shù)值達到實驗要求。（3）使爪手作扭轉(zhuǎn)振動。當銣鐵硼小磁鋼靠近霍耳開關(guān)約1.0cm距離時，霍耳開關(guān)將導(dǎo)通，即產(chǎn)生計時觸發(fā)脈沖信號。（4）數(shù)字式計數(shù)計時儀有延時功能。當扭擺作第一周期振動時，將不計時，計數(shù)為0。當計數(shù)顯示1時，才顯示計時半個周期。（5）計數(shù)計時結(jié)束,可以讀出由于爪手振動在霍耳開關(guān)上產(chǎn)生計時脈沖的計數(shù)值和總時間，其中計數(shù)2次為一個周期。要查閱每半個周期時間，只要按一次下降鍵即可。

4、4、另外，還需要螺旋測微儀，游標卡尺，米尺，電子天平（公用）。圖2 實驗裝置實物照片【實驗原理】材料在彈性限度內(nèi)應(yīng)力同應(yīng)變的比值是度量物體受力時變形大小重要參量。正應(yīng)力同線應(yīng)變的比值，稱為楊氏模量；剪應(yīng)力同剪應(yīng)變的比值，稱剪切彈性模量，又簡稱切變模量。與楊氏模量相似，切變模量在各行各業(yè)有著廣泛的應(yīng)用。直至和人民大眾日常生活密切相關(guān)的 建筑物抗震等性能都與切變模量參量有關(guān)。設(shè)有某一彈性固體的一個長方形體積元，頂面（底面）面積為，它的頂面固定，如圖3所示。在它底面上作用著一個與平面平行而且均勻分布的切力，在這個力作用下，兩個側(cè)面將轉(zhuǎn)過一定角度，見圖3，通常稱這樣一種彈性形變?yōu)榍凶儭Ｔ谇凶兘禽^小的情

5、況下，作用在單位面積上的切力與切變角成正比。 （1）AF圖3OOPP圖4式中是一個物質(zhì)常數(shù)，稱為切變模量。的單位為，大多數(shù)材料的切變模量約為楊氏模量的1/3到1/2，在實驗中，待測樣品是一根上下均勻而細長的鋼絲或銅絲，從幾何上說，就是一個細長圓柱體，如圖4所示。設(shè)圓柱體的半徑為，高為，其上端固定，下端面受到一個外加扭轉(zhuǎn)力矩的作用，于是圓柱體中各體積元（取半徑為、厚為,高為的圓環(huán)狀柱體為體積元），每個體積元上端固定，下端受一扭轉(zhuǎn)力矩作用，根據(jù)公式（1），每個體積元受到的外力矩為 (2)設(shè)圓柱體底部繞軸轉(zhuǎn)動了角，如果，則弧長,而,所以 （3）（2）式代入（3）式，得到 （4）對（4）式積分，可等到

6、總力矩 （5）圓柱體內(nèi)的彈性力矩為，平衡時有令，則有對于一定的物體是常數(shù)，稱為扭轉(zhuǎn)系數(shù)。扭擺的結(jié)構(gòu)如圖5所示，爪手及圓環(huán)安放位置如圖5所示，圖3若使爪手繞中心軸轉(zhuǎn)過某一角度，然后放開，則爪手將在彈性扭轉(zhuǎn)力矩作用下作周期性的自由振動，這就構(gòu)成一個扭擺。若鋼絲（或銅絲）在扭轉(zhuǎn)振動中的角位移以表示，爪手整個裝置對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律則有 即 dc圓環(huán)爪手螺絲扎具OOdcbO爪手(a)(b)圓環(huán)O爪手圓環(huán)圖5圖6b上述方程是一個常見的簡諧振動微分方程，它的振動周期應(yīng)是 （6）由圖6所示，將一個已知內(nèi)外半徑、厚度和質(zhì)量的環(huán)狀剛體、分別水平放在爪手上及垂直放在爪手上，繞同一軸（鋼絲）轉(zhuǎn)動測得

7、的振動周期分別為T1和T2。而環(huán)狀剛體在繞軸（環(huán)心）作水平轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣量為，環(huán)狀剛體處于垂直狀態(tài)繞同一直徑作轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣量為，爪手繞中心軸轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣量為，那么由(6)式可以知道， ; 從兩式中消去，并將代入，可以得到切變模量G的 表達式為 （7）由理論計算可知，環(huán)狀剛體繞中心軸作水平轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量,環(huán)狀剛體繞任一直徑轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量分別為 （8） ) （9）上式中，為環(huán)的內(nèi)半徑，為環(huán)的外半徑，為環(huán)的質(zhì)量。為環(huán)狀剛體的厚度。因此，根據(jù)公式（8）、（9）計算得到、。測量出，通過公式（7）就能得到材料的切變模量。另外，公式（6）又可以寫成 （10）； 由上式可以看到，如果已知就可以得到切變模量，反之

8、，知道了切變模量，就可以得到轉(zhuǎn)動慣量為。由于是不規(guī)則的剛體，很難得到其過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，因此可以利用； 兩式相減，得到 （11）轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理 理論分析證明，若質(zhì)量為的剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，若轉(zhuǎn)軸平行移動距離為時，則物體對新軸轉(zhuǎn)動慣量為 (12)垂直軸定理 若已知一塊薄板（或薄環(huán)）繞位于板（或環(huán)）上相互垂直軸（X和Y軸）的轉(zhuǎn)動慣量為和，則薄板（或環(huán)）繞Z軸的轉(zhuǎn)動慣量為 （13）此即垂直軸定理，由此定理可知：圓盤（或環(huán)）通過中心且垂直盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為圓盤繞其直徑的轉(zhuǎn)動慣量的兩倍?！緦嶒瀮?nèi)容和要求】必做部分1、 安裝實驗裝置，調(diào)整數(shù)字式計數(shù)計時儀儀器使用使用注意事項（1）請勿用手

9、將爪手托起又突然放下，鐵制爪手自由下落沖力易將鋼絲或銅絲拉斷（往往在鋼絲與扎頭連接處斷）。（2）實驗結(jié)束請將環(huán)放在桌上，以減輕鋼絲負重。（3）材料的切變模量與楊氏模量相似，與材料的成份、熱處理工藝等均有關(guān)。如用樹脂漆包線測得切變模量與純銅絲的切變模量不相同。各種鋼絲加工、熱處理工藝不相同，切變模量也差異很大。（4）如果當磁鋼靠近霍耳開關(guān)時，此時觸發(fā)指示燈無反應(yīng)時則是磁鋼的磁極放反了，取下來換個方向，就可以了。（此時觸發(fā)指示燈為暗）2、用電子天平稱圓環(huán)的質(zhì)量。用游標卡尺測圓環(huán)內(nèi)直徑、外直徑和高度，用螺旋測微儀測量鋼絲直徑，用米尺測量鋼絲長度（上下固定點O、O距離）。 注：鋼絲直徑、圓環(huán)內(nèi)直徑、外

10、直徑和高度的測量采用多次測量取平均的方法，的測量采用單次測量的方法。3、計算鋼絲的切變模量,(用兩種方法計算并比較)（1）測量爪手空載時擺動周期；金屬圓環(huán)水平放置在爪手上時的擺動周期；金屬圓環(huán)豎直吊置在爪手上時的擺動周期。（測量周期應(yīng)該采用多周期多次測量的方法，要測量56次，每次測量10個周期）。（2）利用（7）、（8）、（9）式計算鋼絲的切變模量。4、驗證平行軸定理（1）用電子天平稱重鋼珠質(zhì)量，用螺旋測微儀測量小鋼珠的直徑，將兩顆鋼珠放置在爪手上跟爪手中心軸對稱的位置上，并用游標卡尺兩個位置的距離，測量系統(tǒng)（爪手加兩顆鋼珠）繞中心軸的擺動周期，待人公式可以得到系統(tǒng)通過爪手中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。（

11、2）利用內(nèi)容3測得的鋼絲的切變模量及空載時測得的爪手通過中心軸的擺動周期，代入公式（10），可得到爪手空載時通過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，代入上面得到的，可以得到一個鋼珠通過爪手中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，驗證是否滿足平行軸定理：式中為一顆鋼珠繞任一直徑的轉(zhuǎn)動慣量。選做部分1、測量銅絲的切變模量，并與鋼絲切變模量進行比較。2、用扭擺測量柱狀剛體的繞鋼絲軸轉(zhuǎn)動慣量，并與理論計算值進行比較。3、驗證剛體轉(zhuǎn)動的垂直軸定理。實驗數(shù)據(jù)記錄表格和有關(guān)計算公式1、試樣參數(shù)測量 表一圓環(huán)、方柱、圓柱和小球的幾何尺寸測量測量次數(shù)圓環(huán)外直徑c(cm)圓環(huán)內(nèi)直徑b(cm)方柱長度L(cm)圓柱長度L(cm)小球的直徑2r(cm)12

12、345平均值表二測量試樣的質(zhì)量，轉(zhuǎn)動慣量的理論值試樣圓環(huán)I10方柱I50圓柱I60小球I30質(zhì)量(g)轉(zhuǎn)動慣量理論值(kgm2)2、試樣過對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量的計算公式圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量 方柱、圓柱的轉(zhuǎn)動慣量 鋼珠的轉(zhuǎn)動慣量 圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量I10= kgm2； 方柱的轉(zhuǎn)動慣量I50= kgm2圓柱的轉(zhuǎn)動慣量I60= kgm2； 鋼珠的轉(zhuǎn)動慣量I30= kgm23、琴鋼絲和黃銅絲材料切變模量的測量表三琴鋼絲材料的切變模量(計數(shù)為N=20,計時t=10T)第i次123456空載時間（10T0） (s)平均空載周期T0 (s)圓環(huán)水平放置（10T1） (s)平均周期T1 (s)圓環(huán)垂直放置（10T2 )(s

13、)平均周期T2 (s)鋼絲直徑2R (mm)平均直徑 (mm)鋼絲長度L(cm)鋼的切變模量(Nm-2)該琴鋼絲切變模量的公認值是7.80×1010Nm-2,要求計算百分差。表四黃銅絲材料的切變模量(計數(shù)為N=20,計時t=10T)第i次123456空載時間（10T0）(s)平均空載周期T0(s)圓環(huán)水平放置（10T1）(s)平均周期T1(s)圓環(huán)垂直放置（10T2）(s)平均周期T2(s)銅絲直徑2R(mm)平均直徑(mm)銅絲長度L(cm)銅的切變模量( Nm-2)黃銅絲的切變模量的公認值是3.12×1010Nm-2,要求計算百分差。4、方柱、圓柱的轉(zhuǎn)動慣量測量表五圓柱

14、和方柱用琴鋼絲測得的轉(zhuǎn)動慣量(計數(shù)為N=20,計時t=10T)第i次123456空載時間（10T0）(s)平均空載周期T0(s)爪手轉(zhuǎn)動慣量I0( kgm2)加載方拄時間（10T5）(s)平均周期T5(s)爪手加方柱I5( kgm2)方拄(對稱軸)轉(zhuǎn)動慣量I50/( kgm2)加載圓拄時間（10T6）(s)平均周期T6(s)圓拄(對稱軸)轉(zhuǎn)動慣量I60/( kgm2)分別和計算值比較，算出百分差。5、驗證平行軸定理和垂直軸定理表六鋼絲驗證垂直軸定理 (計數(shù)為N=20,計時t=10T)第i次123456空載時間（10T0）(s)平均空載周期T0(s)爪手轉(zhuǎn)動慣量I0( kgm2)圓環(huán)水平放置（10T1）(s)平均周期T1(s)I1( kgm2)I10（測量）=I1-I0 (kgm2)I10（計算）(kgm2)圓環(huán)垂直放置（10T2）(s)平均周期T2(s)I2(kgm2)I20（測量）=I2-I0 (kgm2)I20（計算）(kgm2)百分差P= %表七鋼絲驗證平行軸定理 (計數(shù)為N=20,計時t=10T)第i次123456空載時間（10T0）(s)平均空載周期