高斯-克呂格直角坐標(biāo)系

1、高斯-克呂格投影大地坐標(biāo)系是大地測量的基本坐標(biāo)系。常用于大地問題的細(xì)算，研究地球形狀和大小，編制地圖，火箭和衛(wèi)星發(fā)射及軍事方面的定位及運(yùn)算，若將其直接用于工程建設(shè)規(guī)劃、設(shè)計(jì)、施工等很不方便。所以要將球面上的大地坐標(biāo)按一定數(shù)學(xué)法則歸算到平面上，即采用地圖投影的理論繪制地形圖，才能用于規(guī)劃建設(shè)。高斯克呂格平面直角坐標(biāo)系是投影坐標(biāo)系的一種，根據(jù)我國的地理情況，為建立地形圖的測量控制和城市、礦山等區(qū)域性的測量控制，早在1952年決定，采用高斯克呂格平面直角坐標(biāo)系。重點(diǎn)：1 高斯投影概念、投影帶的劃分、6º帶與3º帶的劃分及其關(guān)系2 高斯平面直角坐標(biāo)系的建立3 坐標(biāo)方位角的定義、性質(zhì)

2、與反算難點(diǎn)：l 投影帶的劃分、6º帶與3º帶的劃分及其關(guān)系2 坐標(biāo)方位角的定義、性質(zhì)與反算1 高斯克呂格投影的形成1.1 為什么要投影n 參考橢球面是不可展曲面n 不便于地圖的制作、使用和保管n 不便于地圖應(yīng)用中的計(jì)算1.2 什么是投影n 按一定的數(shù)學(xué)法則將參考橢球面上的點(diǎn)、線、圖形化算到平面上的過程。1.3 投影變形n 長度變形、角度變形、面積變形1.4 地圖投影的種類n 按投影面：方位投影, 圓錐投影, 圓柱投影n 按投影變形：等角投影 等積投影 任意投影（等距投影）n 按投影面與參考橢球的位置關(guān)系：n 切、割 橫、縱、斜1.5 地圖投影的選擇n 依國土的位置、形狀和地

3、圖的用途選擇投影方式。n 我國基本比例尺地形圖投影選擇標(biāo)準(zhǔn):n 投影后保持角度不變n 長度變形不能超過一定限度n 小范圍內(nèi)圖形保持相似2 高斯投影(等角橫切橢圓柱投影）2.1 高斯投影的基本概念地球是橢球面，是不可展曲面，無論如何選擇投影函數(shù)，橢球面上的元素，投影到平面上，都會(huì)產(chǎn)生變形（角度、長度、面積）。高斯是德國杰出的數(shù)學(xué)家、測量學(xué)家。他提出的橫橢圓柱投影是一種正形投影。它是將一個(gè)橫橢圓柱套在地球橢球體上，如下圖所示：橢球體中心O在橢圓柱中心軸上，橢球體南北極與橢圓柱相切，并使某一子午線與橢圓柱相切。此子午線稱中央子午線。然后將橢球體面上的點(diǎn)、線按正形投影條件投影到橢圓柱上，再沿橢圓柱N、

4、S點(diǎn)母線割開，并展成平面，即成為高斯投影平面。在此平面上：2.2 高斯投影變形規(guī)律中央子午線是直線，其長度不變形，離開中央子午線的其他子午線是弧形，凹向中央子午線。離開中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。投影后赤道是一條直線，赤道與中央子午線保持正交。離開赤道的緯線是弧線，凸向赤道。 投影前后的角度保持不變，且小范圍內(nèi)的圖形保持相似。具有對稱性。面積有變形。2.3 坐標(biāo)系的定義：在投影面上，中央經(jīng)線和赤道的投影都是直線，并且以中央經(jīng)線和赤道的交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央經(jīng)線的投影為縱坐標(biāo)，以赤道的投影為橫坐標(biāo)，這就形成了高斯平面直角坐標(biāo)系。2.4 分帶投影：高斯投影可以將橢球面變成平面，但是離開中央子午線越

5、遠(yuǎn)變形越大，這種變形將會(huì)影響測圖和施工精度。為了對長度變形加以控制，測量中采用了限制投影寬度的方法，即將投影區(qū)域限制在靠近中央子午線的兩側(cè)狹長地帶。這種方法稱為分帶投影。投影帶寬度是以相鄰兩個(gè)子午線的經(jīng)差來劃分。有6°帶、3°帶等不同投影方法。分帶投影示意圖通常按經(jīng)線每隔6°進(jìn)行分帶投影。由0°經(jīng)線起每隔經(jīng)差6°自西向東分帶，依次編號1、2、3。6°帶的帶號N和中央經(jīng)線L的關(guān)系為：L=6N-3。已知某點(diǎn)大地經(jīng)度L，可按下式計(jì)算該點(diǎn)所屬的帶號：n=L6,有余數(shù)時(shí)，為n的整數(shù)商+1。為了進(jìn)一步限制變形，可以采用3°投影分帶。3&

6、#176;帶和6°帶的中央經(jīng)線重合，6°帶的中央經(jīng)線和分帶經(jīng)線均是3°帶的中央經(jīng)線。3°帶的帶號n和中央經(jīng)線L的關(guān)系為：L=3n。中國用3°帶劃分的范圍是 2445，用6°帶劃分的范圍是 1323。2.5 坐標(biāo)系中的XY取值2.6 高斯克呂格平面直角坐標(biāo)系的形成X軸中央子午線的投影Y'軸赤道投影XY' ；A(X、Y')Y'稱為橫坐標(biāo)的自然值x值無論在哪一帶都是由赤道起算的自然值。為了使Y'不出現(xiàn)負(fù)值，Y軸西移500公里，形成XOY坐標(biāo)系。B (X,Y) Y=帶號+ Y' + 500000

7、米 Y 稱為橫坐標(biāo)的通用值例1：已知:yB=18 267135m(通用坐標(biāo))求：B點(diǎn)的自然坐標(biāo)值Y'(6帶劃分)解：Y'= Y-500000=267135-500000=-232865m例2：6°帶第20帶中，y=-200.25m，應(yīng)寫為20499799.75m。例3：AB點(diǎn)自然坐標(biāo)如下：A: X =50000.00 m Y =-10000.00mB: X =50000.00 m Y =10000.00m轉(zhuǎn)換成通用坐標(biāo)A: X=50000.00 m Y= 19 490000.00 mB: X=50000.00 m Y= 19 510000.00 m2.7 換帶計(jì)算1

8、目的使帶邊沿附近控制點(diǎn)化算到同一坐標(biāo)系統(tǒng)中，以便相互利用；使3°、 6°或任意帶坐標(biāo)之間實(shí)現(xiàn)共享。2 計(jì)算過程由已知X、Y、L0應(yīng)用高斯投影反算公式求得L、B；由L、B、L 0應(yīng)用高斯投影正算公式求得X、Y。2.8 投影帶的重疊1、為什么要重疊采用分帶投影，雖限制了長度變形，但相鄰帶坐標(biāo)系相互獨(dú)立，帶邊沿地形圖無法拼接使用，控制點(diǎn)不能相互利用。為此，需用投影帶重疊的方法解決。2、重疊規(guī)定西帶向東帶延伸30，東帶向西帶延伸7.5 或15 重疊范圍內(nèi)的地形圖有兩套坐標(biāo)網(wǎng)格，控制點(diǎn)有兩套坐標(biāo)。3 方位角及其相互關(guān)系3.1方位角的定義：在高斯平面內(nèi)，由基準(zhǔn)方向（北方向）順時(shí)針量至某

9、直線的夾角，稱為該直線的方位角。依據(jù)基準(zhǔn)方向（北方向）的不同選擇，方位角有真方位角、坐標(biāo)方位角和磁方位角三種。3.2 真方位角基準(zhǔn)方向：子午線北方向來源：天文觀測、陀螺經(jīng)緯儀測定和計(jì)算求得。特點(diǎn)：同一直線上各點(diǎn)的真方位角不等。3.3 坐標(biāo)方位角基準(zhǔn)方向：坐標(biāo)縱軸方向特點(diǎn)：1、正反方位角相差180º2、同一直線上各點(diǎn)坐標(biāo)方位角相等來源：由坐標(biāo)反算或角度傳遞得到。用途：控制網(wǎng)起算數(shù)據(jù)和坐標(biāo)推算。坐標(biāo)方位角反算步驟:已知XA、 YA、 XB、YB   求 AB（用計(jì)算機(jī)） <1> 計(jì)算坐標(biāo)增量  X =XB-XA，Y =YB-YA<2>

10、 計(jì)算 TAN -1(Y / X )<3> 判斷X<0? 是 = + 180º <4> 判斷<0?是 = + 360º 特殊情況：1、 X 0， Y>0, = 90º2、 X 0， Y<0, =270º3、 X 0， Y0, 不存在3.4 磁方位角基準(zhǔn)方向：磁子午線北方向來 源：帶磁針裝置的經(jīng)緯儀測定。特 點(diǎn)：1、同一直線上各點(diǎn)的磁方位角不等。2、易受磁性物質(zhì)干擾，精度不高。用 途：用于概略指示方位。3.5 方位角的相互關(guān)系偏角三北方向之間的夾角稱為偏角。偏角有子午線收斂角、磁偏角、磁坐偏角三種。子午線收斂

11、角： 真北與坐標(biāo)北方向之間的夾角。東偏為正，西偏為負(fù)。磁偏角：真北與磁北方向之間的夾角。東偏為正，西偏為負(fù)。磁坐偏角：坐標(biāo)北方向與磁北方向之間的夾角。東偏為正，西偏為負(fù)。3.6 方位角、偏角的關(guān)系A(chǔ)AM M M3.7 三北方向圖地圖中央一點(diǎn)上的三個(gè)基準(zhǔn)方向的關(guān)系圖。其中： 為四個(gè)圖廓點(diǎn)平均值，為圖內(nèi)實(shí)測點(diǎn)平均值，為計(jì)算得到。4. 理解地理坐標(biāo)系（Geographic coordinate system）地理坐標(biāo)系統(tǒng)，是以經(jīng)緯度為地圖的存儲單位的。很明顯，Geographic coordinate system是球面坐標(biāo)系統(tǒng)。我們要將地球上的數(shù)字化信息存放到球面坐標(biāo)系統(tǒng)上，如何進(jìn)行操作呢？地球是

12、一個(gè)不規(guī)則的橢球，如何將數(shù)據(jù)信息以科學(xué)的方法存放到橢球上？這必然要求我們找到這樣的一個(gè)橢球體。這樣的橢球體具有特點(diǎn)：可以量化計(jì)算的。具有長半軸，短半軸，偏心率。以下幾行便是Krasovsky_1940橢球及其相應(yīng)參數(shù)。Spheroid: Krasovsky_1940Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000Inverse Flattening（扁率）: 298.300000000000010000然而有了這個(gè)橢球體以后還不夠，還需要一個(gè)大地基準(zhǔn)面將這個(gè)橢球定位。在坐標(biāo)系

13、統(tǒng)描述中，可以看到有這么一行：Datum: D_Beijing_1954表示，大地基準(zhǔn)面是D_Beijing_1954。有了Spheroid和Datum兩個(gè)基本條件，地理坐標(biāo)系統(tǒng)便可以使用。完整參數(shù)：Alias:Abbreviation:Remarks:Angular Unit: Degree (0.017453292519943299)Prime Meridian（起始經(jīng)度）: Greenwich (0.000000000000000000)Datum（大地基準(zhǔn)面）: D_Beijing_1954Spheroid（參考橢球體）: Krasovsky_1940Semimajor Axis: 6

14、378245.000000000000000000Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000Inverse Flattening: 298.3000000000000100002、接下來便是Projection coordinate system（投影坐標(biāo)系統(tǒng)），首先看看投影坐標(biāo)系統(tǒng)中的一些參數(shù)。Projection: Gauss_KrugerParameters:False_Easting: 500000.000000False_Northing: 0.000000Central_Meridian: 117.000000Scale_Factor: 1

15、.000000Latitude_Of_Origin: 0.000000Linear Unit: Meter (1.000000)Geographic Coordinate System:Name: GCS_Beijing_1954Alias:Abbreviation:Remarks:Angular Unit: Degree (0.017453292519943299)Prime Meridian: Greenwich (0.000000000000000000)Datum: D_Beijing_1954Spheroid: Krasovsky_1940Semimajor Axis: 637824

16、5.000000000000000000Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000Inverse Flattening: 298.300000000000010000從參數(shù)中可以看出，每一個(gè)投影坐標(biāo)系統(tǒng)都必定會(huì)有Geographic Coordinate System。投影坐標(biāo)系統(tǒng)，實(shí)質(zhì)上便是平面坐標(biāo)系統(tǒng)，其地圖單位通常為米。那么為什么投影坐標(biāo)系統(tǒng)中要存在坐標(biāo)系統(tǒng)的參數(shù)呢？這時(shí)候，又要說明一下投影的意義：將球面坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為平面坐標(biāo)的過程便稱為投影。好了，投影的條件就出來了：a、球面坐標(biāo)b、轉(zhuǎn)化過程（也就是算法）也就是說，要得到投影坐標(biāo)就必須得有一個(gè)“拿來

17、”投影的球面坐標(biāo)，然后才能使用算法去投影！即每一個(gè)投影坐標(biāo)系統(tǒng)都必須要求有Geographic Coordinate System參數(shù)。3、關(guān)于北京54和西安80是我們使用最多的坐標(biāo)系先簡單介紹高斯-克呂格投影的基本知識，了解就直接跳過，我國大中比例尺地圖均采用高斯-克呂格投影，其通常是按6度和3度分帶投影，1:2.5萬1:50萬比例尺地形圖采用經(jīng)差6度分帶，1:1萬比例尺的地形圖采用經(jīng)差3度分帶。具體分帶法是：6度分帶從本初子午線開始，按經(jīng)差6度為一個(gè)投影帶自西向東劃分，全球共分60個(gè)投影帶，帶號分別為160；3度投影帶是從東經(jīng)1度30秒經(jīng)線開始，按經(jīng)差3度為一個(gè)投影帶自西向東劃分，全球共分

18、120個(gè)投影帶。為了便于地形圖的測量作業(yè)，在高斯-克呂格投影帶內(nèi)布置了平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)，具體方法是，規(guī)定中央經(jīng)線為X軸，赤道為Y軸，中央經(jīng)線與赤道交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x值在北半球?yàn)檎?，南半球?yàn)樨?fù)，y值在中央經(jīng)線以東為正，中央經(jīng)線以西為負(fù)。由于我國疆域均在北半球，x值均為正值，為了避免y值出現(xiàn)負(fù)值，規(guī)定各投影帶的坐標(biāo)縱軸均西移500km，中央經(jīng)線上原橫坐標(biāo)值由0變?yōu)?00km。為了方便帶間點(diǎn)位的區(qū)分，可以在每個(gè)點(diǎn)位橫坐標(biāo)y值的百千米位數(shù)前加上所在帶號，如20帶內(nèi)A點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為YA=20 745 921.8m。在Coordinate SystemsProjected Coordinate Sys

19、temsGauss KrugerBeijing 1954目錄中，我們可以看到四種不同的命名方式：Beijing 1954 3 Degree GK CM 75E.prjBeijing 1954 3 Degree GK Zone 25.prjBeijing 1954 GK Zone 13.prjBeijing 1954 GK Zone 13N.prj對它們的說明分別如下：三度分帶法的北京54坐標(biāo)系，中央經(jīng)線在東75度的分帶坐標(biāo)，橫坐標(biāo)前不加帶號三度分帶法的北京54坐標(biāo)系，中央經(jīng)線在東75度的分帶坐標(biāo)，橫坐標(biāo)前加帶號六度分帶法的北京54坐標(biāo)系，分帶號為13，橫坐標(biāo)前加帶號六度分帶法的北京54坐標(biāo)系，

20、分帶號為13，橫坐標(biāo)前不加帶號    在Coordinate SystemsProjected Coordinate SystemsGauss KrugerXian 1980目錄中，文件命名方式又有所變化：Xian 1980 3 Degree GK CM 75E.prjXian 1980 3 Degree GK Zone 25.prjXian 1980 GK CM 75E.prjXian 1980 GK Zone 13.prj西安80坐標(biāo)文件的命名方式、含義和北京54前兩個(gè)坐標(biāo)相同，但沒有出現(xiàn)“帶號+N”這種形式，為什么沒有采用統(tǒng)一的命名方式？讓人看了有些費(fèi)解。高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影與UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用橫軸墨卡托投影）都是橫軸墨卡托投影的變種，目前一些國外的軟件或國外進(jìn)口儀器的配套軟件往往不支持高斯-克呂格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影當(dāng)作高斯-克呂格投影的現(xiàn)象。從投影幾何方式看，高斯-克呂格投影是 “等角橫切圓柱投影”，投影后中央經(jīng)線保持長度不變，即比例系數(shù)為1；UTM投影是“等角橫軸割圓柱投影”，圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條