張曉慧初稿修改版2

1、LULIANG UNIVERSITY分類號(hào)： 密 級(jí)： 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目: 有限域的發(fā)展及其應(yīng)用 系 別: 數(shù)學(xué)系 專業(yè)年級(jí): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名: 張曉慧 學(xué) 號(hào): 20120402343 指導(dǎo)教師: 雒曉良 講師 2016年05月11日 原 創(chuàng) 性 聲 明 本人鄭重聲明：本人所呈交的畢業(yè)論文，是在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果。畢業(yè)論文中凡引用他人已經(jīng)發(fā)表或未發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等，均已明確注明出處。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果。對(duì)本文的研究成果做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 本聲明的法律責(zé)任由

2、本人承擔(dān)。 關(guān)于畢業(yè)論文使用授權(quán)的聲明本人在指導(dǎo)老師指導(dǎo)下所完成的論文及相關(guān)的資料（包括圖紙、試驗(yàn)記錄、原始數(shù)據(jù)、實(shí)物照片、圖片、錄音帶、設(shè)計(jì)手稿等），知識(shí)產(chǎn)權(quán)歸屬呂梁學(xué)院。本人完全了解呂梁學(xué)院有關(guān)保存、使用畢業(yè)論文的規(guī)定，同意學(xué)校保存或向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的紙質(zhì)版和電子版，允許論文被查閱和借閱；本人授權(quán)呂梁學(xué)院可以將本畢業(yè)論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用任何復(fù)制手段保存和匯編本畢業(yè)論文。如果發(fā)表相關(guān)成果，一定征得指導(dǎo)教師同意，且第一署名單位為呂梁學(xué)院。本人離校后使用畢業(yè)論文或與該論文直接相關(guān)的學(xué)術(shù)論文或成果時(shí)，第一署名單位仍然為呂梁學(xué)院。論文作者簽名： 日 期：

3、指導(dǎo)老師簽名： 日 期： 摘 要 有限域是具有四則運(yùn)算的抽象代數(shù)系統(tǒng)，滿足結(jié)合律、交換律、消去律、分配律等運(yùn)算法則，它的代數(shù)結(jié)構(gòu)及其特性，而它的廣泛應(yīng)用被數(shù)學(xué)界眾多的學(xué)者進(jìn)行研究。有限域概念的形成和發(fā)展具有漫長(zhǎng)的歷史過程，本文以有限域的發(fā)展為中心，并結(jié)合同時(shí)期的數(shù)論在抽象域的研究，在這個(gè)過程中具有突出奉獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家之間的工作的聯(lián)系與發(fā)展，推動(dòng)了有限域的發(fā)展，一步步演變?yōu)榻裉斓囊话愣x。最后對(duì)有限域的應(yīng)用方面進(jìn)行闡述，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論和有限域在計(jì)算方面、編碼學(xué)、密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)代數(shù)，組合論等許多領(lǐng)域的到了極大應(yīng)用，而本文集中敘述了有限域在編碼理論、糾錯(cuò)編碼、線性碼和漢明碼方面的應(yīng)

4、用。 本篇文章通過介紹有限域的發(fā)展變化過程，使之與抽象域的關(guān)系有了一個(gè)更加清楚的認(rèn)識(shí)，并加以在有限域上的應(yīng)用方面的研究，讓人們能夠更加廣泛的對(duì)其進(jìn)行應(yīng)用。糾錯(cuò)碼數(shù)學(xué)理論的基本研究課題有兩個(gè):(1)構(gòu)造性能良好的糾錯(cuò)碼，即要求效率和反映糾錯(cuò)能力的俞大俞好。(2)尋求好的譯碼算法。本論文給出了給出了糾錯(cuò)碼的各種界，達(dá)到某個(gè)界的碼就是性能最好的糾錯(cuò)碼。 關(guān)鍵詞：有限域；Galois；糾錯(cuò)碼；線性碼；漢明碼 Abstrac Finite field is with arithmetic algebraic system, meet associative law, commutative law, d

5、istributive law, distributive law algorithm and its algebraic structure and characteristics, and its wide application is the mathematical community many scholars were studied. The formation and development of finite fields theory has a long history, this paper focuses on the development of finite fi

6、elds, and period of the contract theory in the abstract domain of study, in the process with the development of contact between the outstanding contributions of mathematicians working, promote the development of the finite field, a step by step evolution for todays general definition. Finally, the a

7、pplication of finite fields are described, along with the development of computer science and applied mathematics, number theory and finite field calculation, coding theory, cryptography, computer algebra and combinatorial theory and many other fields to the great application. In this paper, we focu

8、s on describing the application of finite field in coding theory, error correcting codes, linear codes and Hamming code This article through the finite domain development process is introduced, with the abstract domain have a clearer understanding of, and be used in the finite field research, so tha

9、t people can more widely on the application. There are two basic research topics in the mathematical theory of error correcting codes: (1) the construction of a good performance of the error correcting code, that is, the requirements of efficiency and reflect the error correcting ability of Yu Dayu

10、good. (2) to find a good decoding algorithm. In this paper, we give a variety of error correcting codes, which can achieve the best performance of the codes.Key words: finite field ；Galois ；Error correcting code；linear codes Hamming code 目 錄第1章 緒論- 1 - 1.1研究背景- 1 -1.2研究意義- 1 -1.3研究?jī)?nèi)容- 1 -第2章 有限域的發(fā)展歷

11、程- 3 -2.1 有限域發(fā)展的意識(shí)的階段- 3 -2.1.1有限域發(fā)展的無意識(shí)階段- 3 -2.1.2有限域發(fā)展的有意識(shí)階段- 5 -2.2 域的初始概念對(duì)有限域發(fā)展的影響- 5 -2.2.1 從集合的角度定義域- 5 -2.2.2 域的第一個(gè)抽象定義和H.Weber的工作- 7 -2.2.3 L.E.Dickson對(duì)有限域的貢獻(xiàn)- 8 -2.3有限域發(fā)展的現(xiàn)狀- 11 -第3章 有限域的應(yīng)用- 12 - 3.1糾錯(cuò)碼- 12 - 3.2線性碼- 15 - 3.3漢明碼- 19 -第4章 結(jié)論- 22 -參考文獻(xiàn)- 23 -致 謝- 24 - 第1章 緒論1.1研究背景 人們知道有理數(shù)經(jīng)過加

12、減乘除之后仍為有理數(shù)，并滿足通常的交換律、結(jié)合律、分配律等，但是在我們的印象中，長(zhǎng)期以來并沒有從集合的角度對(duì)有理數(shù)進(jìn)行整體考慮，也不涉及抽象的公理定義，等沒有形成域的概念。而這些是在19世紀(jì)末、20世紀(jì)初被美國(guó)數(shù)學(xué)家E.Galois最先給出的具體概念，他在研究方程論的時(shí)候提到的復(fù)數(shù)域的子域中已經(jīng)包含了有理數(shù)域，但在當(dāng)時(shí)并沒有這樣的術(shù)語。在數(shù)學(xué)的歷史上，經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過程逐漸出現(xiàn)了零、分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)，無理數(shù).擴(kuò)張了對(duì)數(shù)的系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。在研究數(shù)論的問題時(shí)討論了模素?cái)?shù)的剩余類的性質(zhì)，事實(shí)上已經(jīng)研究了有限域的性質(zhì)，但是沒有提及域、抽象域的概念，第一個(gè)提出具體域的概念的是E.Galois，后來R.Dedekin

13、d、H.Weber、L.E.Dickson、E.V.Huntington從集合，公理化的角度定義了域。但是對(duì)有限域的研究并沒有繼續(xù)深入，直到1901年L.E.Dickson在線性群及對(duì)Galois域的解釋，把有限域表達(dá)成了現(xiàn)代的形式，是有限域發(fā)展的一個(gè)重要里程碑。有限域的發(fā)展對(duì)域的建立做出了貢獻(xiàn)，并且相互影響，相互促進(jìn)，不斷向前發(fā)展。1.2研究意義 有限域概念的形成和發(fā)展有著一個(gè)漫長(zhǎng)的歷史過程，本文力圖通過介紹有限域的發(fā)展過程，使得對(duì)它及其與抽象域的關(guān)系有一個(gè)整體上的了解和更加清楚的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程有一個(gè)宏觀把握。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論域有限域在許多領(lǐng)域得到了日益廣泛

14、的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)通信中，通信的每一位采用有限域中的元素，我們可以用有限域工具解決通信中的各種問題，一個(gè)好的糾錯(cuò)糾錯(cuò)碼在通信中真正能被采用，需要好的糾錯(cuò)編碼和糾錯(cuò)譯碼，使得工程上得以實(shí)用，糾錯(cuò)編碼是希望給出一種方便的辦法把信息一一對(duì)應(yīng)于中的碼字，要有簡(jiǎn)便的方法譯出正確的碼字。同時(shí)希望借此論文引起人們的關(guān)注。 1.3研究?jī)?nèi)容 (1)以有限域的發(fā)展為中心，并闡明與抽象域的關(guān)系，而且介紹了有限域發(fā)展過程中杰出數(shù)學(xué)家對(duì)域的研究所作出的貢獻(xiàn)，以及他們具有影響力的著作，多位數(shù)學(xué)家對(duì)域的概念所給出的的不同與聯(lián)系，使得對(duì)它及其抽象域的關(guān)系有了整體的把握，進(jìn)而對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程有更準(zhǔn)確的變化。- 2 -呂梁學(xué)院本科

15、畢業(yè)(論文) (2)對(duì)有限域的應(yīng)用給出了一些介紹，主要介紹在糾錯(cuò)編碼，線性碼和漢明碼等的應(yīng)用。第2章 有限域的發(fā)展歷程2.1 有限域發(fā)展的意識(shí)的階段2.1.1有限域發(fā)展的無意識(shí)階段 域的定義是：如果F是一個(gè)交換環(huán)，并且對(duì)每個(gè)元素，它都包含一個(gè)逆元，滿足方程，那么F稱為域。若一個(gè)集合R,具有加法和乘法兩種運(yùn)算，并滿足下列條件，則稱為域。(1)加法是可結(jié)合的，即對(duì)R的三個(gè)任意的元素、，都有. (2)加法是可交換的，即對(duì)R中的任意一個(gè)元素、，都有.(3)對(duì)于加法存在一個(gè)恒等元，有叫零元，通常用0表示，使得對(duì)R的每一個(gè)元素,都有 . (4)對(duì)于R中的每一個(gè)元都有一個(gè)加法逆元，通常用表示，使得. (5)

16、乘法是可結(jié)合的，即對(duì)于R的任意三個(gè)元、,都有.(6) 乘法對(duì)于加法是可分配的，即對(duì)R中的任意三個(gè)元、，都有和.(7)乘法是可交換的，即對(duì)于的任意兩個(gè)元、b,都有。(8)對(duì)于乘法存在一個(gè)恒等元,又叫單位元，使得對(duì)的任一元有.(9) 對(duì)于R中的任意非零元，都有一個(gè)乘法逆元，使得. 通常根據(jù)域中元的個(gè)數(shù)，可以將域分為有限域和無限域。域是可以進(jìn)行四則運(yùn)算的集合，鑰定義域，需要有完善的數(shù)系，人們?cè)?jīng)把零、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)，復(fù)數(shù)，引進(jìn)數(shù)系經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過程。1500百年左右，零已經(jīng)被人們接受作為一個(gè)數(shù)，無理數(shù)也用的更隨便了。到1700年左右，人們已經(jīng)很熟悉整數(shù)，分?jǐn)?shù)，無理數(shù)，負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)了，但是對(duì)這些新數(shù)還

17、有錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。在16世紀(jì)和17世紀(jì)，只有少數(shù)數(shù)學(xué)家承認(rèn)負(fù)數(shù)也是數(shù)，合理的進(jìn)行應(yīng)用。而承認(rèn)負(fù)數(shù)是方程的跟的數(shù)學(xué)家，更是甚少。18世紀(jì)時(shí)候，無理數(shù)概念的認(rèn)識(shí)沒有取得突破。后來人們?nèi)藗冇貌糠址质椒ㄇ蠓e分的時(shí)候用到了復(fù)試，所以就關(guān)于負(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)間的爭(zhēng)辯。一方面由于數(shù)系的擴(kuò)大，出現(xiàn)了加法和乘法的逆運(yùn)算。從算術(shù)開始，我們知道了有理數(shù)經(jīng)過加減乘除之后還是有理數(shù)，滿足一般的交換律，結(jié)合律，分配律，即是那是的有理數(shù)所購成的“域”。人們不知域的性質(zhì)就是上述的過程中已經(jīng)出現(xiàn)的，另一方面，17世紀(jì)起，就有了很多偉大的數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)論開始研究。并且得出了有限域的性質(zhì)，但是對(duì)域的概念認(rèn)識(shí)沒有深入。而對(duì)域有跨越

18、性的一步發(fā)生在古代，是在原本卷中的命題，就是：如果,且與互素，那么與n互素。這可以得出與n互素的整數(shù)集具有乘法封閉性。進(jìn)一步分析可得這個(gè)乘法與模取余一致。由此可以得出環(huán)/單位群。當(dāng)是素?cái)?shù)，那么是元有限域。 有限域論的重要結(jié)果是C.GBache給出的一個(gè)算法。即如果a、b是自然數(shù)且互素，計(jì)算非負(fù)整數(shù)和，使得，且。在剩余定理的算法中用到了這個(gè)算法。P.deFermat在研究完全數(shù)時(shí)能被素?cái)?shù)整除。之后，他證明了一般情況：如果是一個(gè)素?cái)?shù)，是和互素的任意整數(shù)，那么能被整除，即.即現(xiàn)在的Fermat定理。1736年L.Euler證明了Fermat定理，后來又發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)定理，并證明了之。并且利用這個(gè)定理他得

19、到了更多的結(jié)果，在1760年引進(jìn)了函數(shù)倆推廣，并且得出了定理：.其中與互素，即是現(xiàn)在的，表示Euler函數(shù)，是小于n且域n 互素的整個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)，所以當(dāng)n素?cái)?shù)時(shí)，其中就等于。L.Euler還證明若互素，則，記號(hào)是有C.F.Gauss在1801年引進(jìn)的，到現(xiàn)在一直出現(xiàn)在數(shù)學(xué)著作中。1796年，J.H.LAMBERT：如果為素?cái)?shù)，那么一定存在一個(gè)模本原元，而L.Euler在1744年寫到，對(duì)于大多數(shù)合數(shù)來書，本原元不存在，必須要證明上述的結(jié)論，但是他的證明存在不合理之處。后來數(shù)學(xué)王子C.F.Gauss也對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行研究。他否定了L.E.uler的證明，并且得出的結(jié)論更豐富,即：另為一由有限群。如果

20、對(duì)于的所有余數(shù),方程在中至多有個(gè)解，那么是循環(huán)群。同余是有限域中非常重要的概念，最先引進(jìn)同余符號(hào)的是C.F.Gauss.他在九章算術(shù)中引進(jìn)了這個(gè)符號(hào)，并進(jìn)行了系統(tǒng)的應(yīng)用。他在對(duì)模素?cái)?shù)的同余式的系統(tǒng)研究中，證明了元根的存在性，證明了模的 剩余類的乘法群是循環(huán)群。而E.Galois把這些結(jié)果推廣到了有限域，之后便開始了有限域論，但是他們盡管達(dá)到許多同余的性質(zhì)，但是沒有注意到有限域的概念，并沒有對(duì)有限域有了其他方面的利用。2.1.2有限域發(fā)展的有意識(shí)階段 19世紀(jì)，研究到的域有：有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、負(fù)數(shù)域、和模素?cái)?shù)的剩余類域。第一個(gè)構(gòu)造出有限域的是E.Glois,這是源于代數(shù)方程的求根問題。1830年

21、他在一篇論文論數(shù)論中以元為基礎(chǔ)，得出：每個(gè)有限域的個(gè)數(shù)必為某個(gè)素?cái)?shù)的的方冪.而且對(duì)每個(gè)素?cái)?shù)冪，本質(zhì)上只有一個(gè)元有限域，用域擴(kuò)張的方法構(gòu)造出了全部可能的有限域。E.Glois假定為上的模素?cái)?shù)的次不可約多項(xiàng)式，因而同余式?jīng)]有整根獲無理根，與利用引進(jìn)虛數(shù)解類似，構(gòu)造出表達(dá)式，得出這個(gè)表達(dá)式有且只有個(gè)值，有個(gè)非零值，而這些表達(dá)式可以進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，著個(gè)元素夠成一個(gè)域，即為現(xiàn)在的有限域。他指出由生成的域,是這些元素經(jīng)過加減乘除的到的全部元素構(gòu)成的集合。后來他證明了在一個(gè)特征為的Galois域中，元素的個(gè)素是的的方冪，而且有限域中存在本原元，表示一個(gè)有限域的乘法群是循環(huán)群，并且對(duì)于次不可約多項(xiàng)式就能得到

22、形如的元素，是存在的。即存在分裂域，而對(duì)于特征為0的完備域，即特征為且滿足映射為滿射的性質(zhì)的域，存在本原元。在這一點(diǎn)上有過證明：對(duì)于給定的次不可約多項(xiàng)式，使得形如的所有元素有依賴的一個(gè)根，相反，如果這個(gè)根是依賴形如的元素，那么。E.Galois在他的論文中又證明了，對(duì)于任意素?cái)?shù)次冪，總可以找到一個(gè)不可約的階同余多項(xiàng)式，它的一個(gè)根可以生成階的Gaois域。例如，模7是不可約，因此集合的元素夠成了階為的域。論文中蘊(yùn)含了域的概念，以及添加了方程的一個(gè)根的擴(kuò)域，稱為“虛數(shù)”。并沒有想到用公設(shè)去定義域和群，“交換”“分配”在后來的1841年才引入。 2.2 域的初始概念對(duì)有限域發(fā)展的影響2.2.1 從集

23、合的角度定義域上述已有E.Galois對(duì)域給出了改的概念，但是沒有給出具體定義。而最先提出域的概念的是L.Kronecker和R.Dedekind.是在研究數(shù)論問題提出的這個(gè)概念。L.Kronecker從元素元素確定的有理域開始，域中包含所有的的整系數(shù)的有理函數(shù)，他認(rèn)為若整數(shù)和有理數(shù)存在，則把添加到一個(gè)有理域中，就可以解決根號(hào)的問題。通過觀察除有 理數(shù)系數(shù)的多項(xiàng)式的余式可知，沒有根。原因是對(duì)于相同余式的多項(xiàng)式相等，可直接在與式集中定義基本運(yùn)算，所以塔門可以構(gòu)成一個(gè)新的有理域。L.Kronecker證明若是域中的不可約多項(xiàng)式，則存在以的一個(gè)根為添加元的單代數(shù)擴(kuò)張。因此，在任意給定的非常數(shù)多項(xiàng)式，

24、肯定會(huì)存在一個(gè)域，能使得多項(xiàng)式在其中有一個(gè)根。定理的證明不僅證明了存在性，而且給出了構(gòu)造要求的域的方法。R.Dedekind在研究唯一因子的分解問題時(shí)給出了數(shù)域的概念，但他更關(guān)注元素集合本身。他最先定義了次代數(shù)數(shù)，接著引進(jìn)了數(shù)域概念。它是由一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)構(gòu)成的域，滿足下列給出的條件：若,則.其中，最小的數(shù)域是有理數(shù)域，任何數(shù)域都包含它，最大的數(shù)域是復(fù)數(shù)域，每個(gè)數(shù)域都包含于其中。所以他與L.Kronecker不同，因?yàn)镽.Dedekind認(rèn)為，任意一個(gè)域包含著添加代數(shù)元的復(fù)數(shù)域中。給定任意復(fù)數(shù)集,R.Dedekind定義域是包含的最小域。后來集合論之父G.Cantor發(fā)現(xiàn)R.Dedekind的有

25、限域是可數(shù)集，而且這個(gè)集合中可包含無窮多個(gè)元素。再后來R.Dedekind在他的理想論中，介紹了Galois理論，但是證明過程中存在缺陷，為了彌補(bǔ)其不足，R.Dedekind，重點(diǎn)工作是把基本概念清楚的表達(dá)，于是，群和域這兩個(gè)概念就聯(lián)系到一起。R.Dedekind提出了“截?cái)唷?、“鏈”、“理想”分別是實(shí)數(shù)系、自然數(shù)系和代數(shù)數(shù)數(shù)系概念基礎(chǔ)。在這幾個(gè)概念之間有著密切的聯(lián)系，利用這幾個(gè)概念的目的是完全依賴數(shù)集運(yùn)算的性質(zhì)來證明定理。19世紀(jì)，不僅有理數(shù)、實(shí)數(shù)域、負(fù)數(shù)域外被發(fā)現(xiàn)，又出現(xiàn)了上述代數(shù)數(shù)域及代數(shù)函數(shù)，作為后來抽象域的五個(gè)來源。1893年H.Weber對(duì)E.Galois的工作抽象描述，之后便有了

26、域的抽象定義。這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)已經(jīng)表明了代數(shù)能夠處理實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)以外的集合。出現(xiàn)了諸如向量、四元數(shù)、矩陣、其他形式的超復(fù)數(shù)、替換、變換、替換和置換等構(gòu)成的集合，它們借助于其集合的運(yùn)算規(guī)律聯(lián)系起來，于是，各種代數(shù)涌現(xiàn)出來。代數(shù)從實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)這種特殊領(lǐng)域中解放出來，源于A.De Morgan等人的哲學(xué)遐想。A.De Morgan在1841年創(chuàng)立了“代數(shù)過程必不可少”的法則，但沒有在創(chuàng)造任何新的與算術(shù)中的數(shù)所遵守的不一樣的規(guī)則。之后的10年，越來越多的數(shù)學(xué)家對(duì)很多不聯(lián)系的代數(shù)中共同的內(nèi)容綜合起來進(jìn)行起來研究，將研究工作又提高到一個(gè)新水平。2.2.2 域的第一個(gè)抽象定義和H.Weber的工作域的第一個(gè)抽象定

27、義是數(shù)學(xué)家H.Weber給出的。在研究當(dāng)時(shí)代數(shù)和數(shù)論的基礎(chǔ)上，得出了重要的結(jié)論，在證明了Kronecker的定理后，1891年H.Weber詳細(xì)討論了復(fù)雜的乘法問題，把分析和數(shù)論緊密聯(lián)系在一起。1893年他發(fā)表了一篇論文，在前人的基礎(chǔ)上，給出了域的抽象定義，首先給出了域的一般定義，又把域定義為群的推廣形式。H.Weber的域?qū)嵸|(zhì)上是滿足下列條件的集合:(1) 集合中的元素滿足加法和乘法兩種運(yùn)算法則。(2) 集合關(guān)于加法構(gòu)成一個(gè)群。這里，兩個(gè)元的代數(shù)運(yùn)算稱為和，群的單位元稱為零元，逆運(yùn)算稱為減法.(3) 如果去掉加法群的單位元，那么其他元的關(guān)于乘法夠成一個(gè)群。這里，兩個(gè)元的逆運(yùn)算稱為乘積（或或）

28、，單位元是（1），逆運(yùn)算稱為除法（除數(shù)不為0)。(4)加法和乘法都是可交換的。(5)加法關(guān)于乘法滿足分配律，即：.(6).(7)大多數(shù)人們熟悉的無限域例子是有理數(shù)域，事實(shí)上，若一個(gè)域的元素的個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)或素?cái)?shù)的方冪，則這個(gè)域是有限域。而后來H.Weber根據(jù)定義證明了，對(duì)于每個(gè)，有.還證明了，兩個(gè)元素的乘積不可能是0，除非至少其中一個(gè)元素為0。H.Weber假設(shè)對(duì)交換群添加第二種運(yùn)算乘法，讓其中的加法和乘法滿足分派律，則交換群就變成域，然后接著他提出了域的發(fā)展方向，將其感念進(jìn)一步推廣，例如，人們可以研究模為合數(shù)的同余式，從而得到零因子，但是，人們對(duì)于加法和乘法是否滿足交換律的情況開始研究，因此其

29、可性和有用性還需要進(jìn)一步考察。在H.Weber的重要著作代數(shù)教程中，在研究多項(xiàng)式方程可解性的時(shí)候用過函數(shù)，但是H.Weber只把它當(dāng)做傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一部分。在經(jīng)歷了500多頁的對(duì)多項(xiàng)式方程的求解的討論之后，他把數(shù)域定義為在四種運(yùn)算下封閉的數(shù)的集合，而且這個(gè)概念可以推廣函數(shù)域。事實(shí)上，在H.Weber的文章和書中，他的代數(shù)知識(shí)觀念十分復(fù)雜，到19世紀(jì)末，群論意識(shí)成熟的抽象的理論，人們開始重點(diǎn)研究群的結(jié)構(gòu)問題，認(rèn)為可以給出概念的抽象定義，并漸漸接受了兩個(gè)同構(gòu)的群實(shí)質(zhì)上是相同且具有同樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思想。H.Weber收到了R.Dedekind的影響，說明了用抽象術(shù)語闡述數(shù)學(xué)概念是一個(gè)固定趨勢(shì)，從本質(zhì)上來

30、說，這種抽象與20世紀(jì)數(shù)學(xué)的抽象不同。H.Weber認(rèn)為代數(shù)是以數(shù)系的已知性質(zhì)為基礎(chǔ)的，而數(shù)系的性質(zhì)并非源于更為基本的抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)。H.Weber收到了R.Dedekind認(rèn)為，群和域有著不同的作用。在Galois理論以及代數(shù)數(shù)論中域是主要研究對(duì)象，而群只是一種有效工具而已。在H.Weber的工作中，域是代數(shù)數(shù)論的主要研究對(duì)象，群是一種工具，用于研究Galois理論中域的擴(kuò)張性質(zhì)。19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)了公理化的趨勢(shì)。公理的作用在許多著作中表現(xiàn)的明顯出來，。其中，美國(guó)數(shù)學(xué)家E.H.Moore最早用“域”表現(xiàn)表示現(xiàn)在所謂的域。他與1893年證明：任何一個(gè)有限抽象域都有與某一個(gè)Galois域同構(gòu)，

31、后者的元素為，為某一素?cái)?shù)。對(duì)于每一個(gè)素?cái)?shù)和每一個(gè)正整數(shù)，都存在個(gè)有限域。知道1902-1912年，少數(shù)突出的數(shù)學(xué)家對(duì)群，對(duì)一般的域，對(duì)具體的實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域、對(duì)邏輯代數(shù)以及幾何基礎(chǔ)的公設(shè)體系的獨(dú)立性等都作了進(jìn)一步精心的分析。而且出版了關(guān)于公設(shè)系統(tǒng)的文章，在這些文章的部分結(jié)果，代數(shù)的公設(shè)方法最終稱為一種典范，數(shù)學(xué)家們找出了驚人了少而且簡(jiǎn)單的公設(shè)，為很多廣泛的代數(shù)理論提供了充分的基礎(chǔ)。域的抽象公理體系直到1903年由L.E.Dickson和E.V.Huntington分別獨(dú)立給出，之后所有這些公設(shè)集是已經(jīng)給出的公設(shè)集的自然推廣。L.E.Dickson和E.V.Huntington站在了時(shí)代發(fā)展的前沿

32、，順應(yīng)了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)，所有這些發(fā)展都在潛移默化的影響著有限域論的發(fā)展。2.2.3 L.E.Dickson對(duì)有限域的貢獻(xiàn) 研究有限域的早期著作最重要的是L.E.Dickson在1901年出版的線性群及對(duì)Galois域的解釋，這部著作是有限域論研究的一個(gè)重要的里程碑。他在這本書中的第一章給出了有限域的定義和性質(zhì)，通過模素?cái)?shù)的剩余類，引進(jìn)了抽象域的概念，同時(shí)給出了Fermat小定理：如果是一個(gè)素?cái)?shù)，是與互素的任意整數(shù)，那么能被整除，即.在詳細(xì)討論了域滿足的各種運(yùn)算法則之后，他給出了域的形式定義。即：個(gè)不同的元素構(gòu)成的集合形成一個(gè)域，如果集合的元素可以按照加、減、乘、除來組合，其中除數(shù)不能為零元

33、，這些運(yùn)算服從初等代數(shù)的法則，而且生成的和差積商唯一確定為集合的元素。其中。L.E.Dickson認(rèn)為Galois域與有限域是有區(qū)別的。只是在證明了：每個(gè)有限域在表示為Galois域之后，他才把有限域和Galois域看成是一樣。第二章證明：對(duì)任意素?cái)?shù)，每個(gè)正整數(shù)，都存在一個(gè)階的Galois域.這是有限域的存在唯一性定理；第三章對(duì)不可約齊次多項(xiàng)式進(jìn)行了分類和確定；第四章給出了Galois域的各種性質(zhì)，第五章介紹了Galois域上本原代換的解析表示。在1903年沒貨數(shù)學(xué)會(huì)刊上發(fā)表了論文中，給出了域的兩個(gè)新公理體系，對(duì)前人的工作有了新的提升與發(fā)展。第一個(gè)定義是：一個(gè)集合元素件的結(jié)合法則用 和表示，稱

34、為集合的域，如果滿足下列九條公設(shè)：對(duì)于集合的任意兩個(gè)元素，存在集合中的一個(gè)元素，使得 . 1.如果屬于集合，那么也屬于這個(gè)集合。 2.只要屬于集合時(shí)，就有. 3.只要屬于集合映射是，就有. 4.對(duì)于集合的任意兩個(gè)元素，存在集合中的一個(gè)元素，使得. 5.如果屬于集合，那么也屬于這個(gè)集合。 6.只要,屬于集合時(shí)，就有=. 7.只要,，)c,)屬于集合時(shí)，就()(). 8.對(duì)于集合的任意兩個(gè)元素，存在集合中的一個(gè)元素，使得(). 9.只要,()()屬于集合時(shí)有（)(). 第二個(gè)定義有11條公設(shè)，其中1,2,3,5,6,7,9條不變，第4條變?yōu)椋?集合中存在元素，使得對(duì)任意，都有，.如果存在滿足的元素

35、，那么對(duì)這樣的及每個(gè)元素，集合中存在元素，有.第8條 變?yōu)椋杭现写嬖谠?，使得?duì)每個(gè)元素，都有.如果存在滿足的元素，那么對(duì)這樣的和每一個(gè)元素，既滿足 的至少一個(gè)元素，集合中存在元素，使得=. 從定義，L.E.Dickson認(rèn)為第二個(gè)定義更直接，而且，我們也可以得到這個(gè)定義更接近現(xiàn)在的定義。在L.E.Dickson發(fā)表論文的同時(shí)，E.V.Huntington也在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的會(huì)刊上發(fā)表過一篇關(guān)于域的定義的論文。在文中，他給出了加法乘法需要滿足的各種條件，通過對(duì)這種條件的組合來構(gòu)成有的定義。他的文章中包含的記基本概念是“類”（集合），它有兩種集合(運(yùn)算)法則。然后他給出了有限域的一個(gè)例子：一組個(gè)整

36、數(shù)（為任意素?cái)?shù)），它們有，.另外的例子是關(guān)于數(shù)字0,1,2,3,4組成的集合，它們的和根據(jù)下面的乘法表定義： 事實(shí)上，對(duì)n個(gè)對(duì)象構(gòu)成的任何集合，如果元素個(gè)數(shù)n是素?cái)?shù)的冪，那么可以通過適當(dāng)定義來的得到域。有限域中的最突出的成就是美國(guó)數(shù)學(xué)家Wedderburnyu 1905年給出的稱為Wedderburn定理：如果是一個(gè)有限域環(huán)，那么F是一個(gè)域。經(jīng)過一代代數(shù)學(xué)家的努力，有限域論有了較完善的體系。L.E.Dickson在前人的基礎(chǔ)上進(jìn)行了系統(tǒng)的概括，把有限域理論標(biāo)書成了現(xiàn)代形式，他的研究在有限域的發(fā)展過程中起著至關(guān)重要的作用. E.Steinitz建立了抽象域理論，在后來的1910年出版了著作域的代

37、數(shù)理論給出了域的抽象概念，而且對(duì)抽象域進(jìn)行了研究，他給出的域的一般定義：有兩個(gè)運(yùn)算（加法和乘法）的一組元素，它們滿足結(jié)合律，交換律（有分配律把它們聯(lián)系起來），元素允許任意而明確的逆運(yùn)算，出了0作除數(shù)。他最重要的成就是：對(duì)每個(gè)基域K，存在擴(kuò)域L，使得它里面的系數(shù)在K中的所有多項(xiàng)式能分解成線性因子。因?yàn)檫@個(gè)最小的域沒有真正的代數(shù)擴(kuò)張，所以E.Steinitz稱之為代數(shù)封閉，并證明了它的存在性。從任意K域出發(fā)，可以作出各種類型的添加，一個(gè)單純的添加就是添加單個(gè)元素。這個(gè)擴(kuò)大的域一定會(huì)包含著下列的表達(dá)式：，他的其中屬于K。如果這些表達(dá)式互不相等，則這個(gè)擴(kuò)域就是的有理函數(shù)全體構(gòu)成的域，其中系數(shù)屬于K，這

38、樣的添加就是超越添加，就是一個(gè)超越擴(kuò)張。E.Steinitz得到的一個(gè)基本結(jié)果是：每個(gè)域K都可以從他的素域（所有子域的公共元素也是一個(gè)子域，就是素域）出發(fā)，經(jīng)過下列的添加得到：先作無限多的添加得到一個(gè)超越擴(kuò)張，再對(duì)這個(gè)超越擴(kuò)張作一系列的代數(shù)添加，如果一個(gè)域能夠從一個(gè)域經(jīng)過一系列單純的代數(shù)添加而得到，就說是是的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)張。若添加的次數(shù)的有限的，就說是是的有限代數(shù)擴(kuò)張。但不是每個(gè)域都可以經(jīng)過代數(shù)添加而擴(kuò)大，復(fù)數(shù)域就是。19世紀(jì)末、20世紀(jì)初，代數(shù)學(xué)正是蓬勃發(fā)展的時(shí)期，前文所提到的H.W.Veber的教材影響持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，同時(shí)期的研究人員B.L.Van der Waerden對(duì)其進(jìn)行豐富補(bǔ)充，最后，

39、在1930年到1931年，B.L.Van der Waerden的近世代數(shù)學(xué)，取得了很高的成就，取代了之前的刊物，成為代數(shù)學(xué)的經(jīng)典教材，因而有限域的理論基本成熟。2.3有限域發(fā)展的現(xiàn)狀作為僅含有有限多個(gè)元素的域，有限域理論是近世代數(shù)的一個(gè)分支，也是結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的一部分。然而囿于數(shù)學(xué)及其他科學(xué)技術(shù)在當(dāng)時(shí)的發(fā)展水平，有限域自誕生以來很久未被引起充分重視。直至最近幾十年，隨著離散數(shù)學(xué)的興起，有限域在眾多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，才引起了應(yīng)用數(shù)學(xué)界的興趣。有限域理論因此受到了重視。隨著技術(shù)的發(fā)展，它在通信理論，計(jì)算機(jī)科學(xué)，系統(tǒng)工程等許多領(lǐng)域中也有廣泛的應(yīng)用。當(dāng)前的近世代數(shù)課程的基本內(nèi)容已經(jīng)成為了這些領(lǐng)域中科技人員的

40、基本工具。(1)當(dāng)前在有限域運(yùn)算和多變量公鑰密碼硬件的優(yōu)化方面。作為少數(shù)能夠抵御量子計(jì)算機(jī)攻擊的公鑰密碼，多變量公鑰密碼的重要性日益日益顯現(xiàn)。多變量公鑰密碼的設(shè)計(jì)和安全性分析是密碼學(xué)界研究的的熱點(diǎn)。多變量公鑰密碼的基礎(chǔ)運(yùn)算由有限域的運(yùn)算組成，它們的優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠提升多變量硬件的性能。 第3章 有限域的應(yīng)用 3.1糾錯(cuò)碼 在數(shù)學(xué)通信中，不同形式的原始信息(生音，文字，圖像，數(shù)據(jù))利用物理手段統(tǒng)一編成離散的脈沖信號(hào)發(fā)出，脈沖信號(hào)只有有限多個(gè)狀態(tài)，假設(shè)有個(gè)狀態(tài)，可以表示成，并且可以看成是模同余類環(huán)中的元素，從而有加減乘運(yùn)算。如果是素?cái)?shù)，則是有限域，或者更一般的，是素?cái)?shù)方冪，通信的每位采用有限域中的元素

41、，我們可以用有限域工具解決通信中的各種問題。定義 表示有限域上的為向量空間。的每個(gè)非空子集合都叫做一個(gè)元碼，叫該碼的碼長(zhǎng)，中的向量叫做碼字。用表示中的碼字個(gè)數(shù)，即,則;叫做碼的信息位數(shù)(為實(shí)數(shù)，);叫做碼的效率(或信息率)。用一個(gè)概念來衡量碼的糾錯(cuò)能力，由上面直觀描述可知，這個(gè)概念應(yīng)當(dāng)是不同碼字之間的相應(yīng)位個(gè)數(shù)。定義 設(shè)和是中的兩個(gè)向量，則向量的Ham-ming權(quán)(weight)定義為非零分量的個(gè)數(shù)，表示成即 .而向量和向量之間的Hamming距離是指他們相異位的個(gè)數(shù)，表示成. 中的距離具有通常距離類似的性質(zhì)，以下將和分別記為和,對(duì)于,(1),并且當(dāng)且僅當(dāng);(2);(3)(三角不等式).定義

42、設(shè)是碼長(zhǎng)為的元碼(即為的非空子集合)，.定義最小距離為不同碼字之間Ham-ming距離的最小值，表示成,即 下面結(jié)果是整個(gè)糾錯(cuò)理論的基礎(chǔ)。對(duì)于實(shí)數(shù)，以表示不超過的最大整數(shù)，叫的整數(shù)部分.定理2 如果糾錯(cuò)碼最小距離為，則可檢查位錯(cuò)，也可以糾正.證明 設(shè)發(fā)出碼字,信道出錯(cuò)，但錯(cuò)位不超過，即錯(cuò)誤向量滿足，則受到向量，由可知，進(jìn)而，由于對(duì)每個(gè)碼字，所以也不為，這表明不是碼字，從而收方知道出錯(cuò)，即可檢查出為錯(cuò).現(xiàn)在設(shè)，這時(shí)，從而對(duì)每個(gè)碼字，由三角不等式知.這表明是唯一的與最近的碼字，收方將譯成是正確糾錯(cuò)，從而可糾位錯(cuò)。對(duì)于每個(gè)固定的有限域，元糾錯(cuò)碼有三個(gè)基本參數(shù)：(1)碼長(zhǎng);(2)碼字個(gè)數(shù)(或用信息位數(shù)

43、);(3)最小距離,.可以把糾錯(cuò)碼表示成，或者：元碼. 現(xiàn)在我們給出糾錯(cuò)碼三個(gè)參數(shù)之間一些相互制約的關(guān)系，是糾錯(cuò)碼的各種界，達(dá)到某個(gè)界的碼就是性能最好的糾錯(cuò)碼。 定理2(Hamming界) 如果存在糾錯(cuò)碼，給定公式如下所示： 其為 這里 .證明 對(duì)每個(gè)整數(shù)和向量，我們用表示和的Hamming距離的所有向量組成的集合叫做以為中心，半徑為的閉球.不難算出這個(gè)球中向量的個(gè)數(shù)：對(duì)每個(gè)，若與的Hamming距離為,則和恰有個(gè)分量不同.由于是固定的，個(gè)分量中選個(gè)的方法數(shù)為.在這個(gè)分量上的元素與不一致，從而每個(gè)分量均有中取法，其余分量上與一致，因此=的有。于是球中元素個(gè)數(shù)為 現(xiàn)在假設(shè)存在參數(shù)為的元碼,令，考

44、慮以中的每個(gè)碼字為中心的所有半徑均為的球,這樣的球共有個(gè)。對(duì)于其中兩個(gè)不同的球和，由可知這兩個(gè)球不相交，因若有向量同時(shí)在這兩個(gè)球中，則，由三角不等式，這與矛盾.于是，上述個(gè)球兩兩不相交，這些球所有元素個(gè)數(shù)之和為，它應(yīng)不超過整個(gè)空間的元素個(gè)數(shù)為，這就證明了上述定理。設(shè)為元碼。如果則稱為完全碼.完全碼是一類好的糾錯(cuò)碼，幾何上，如果是上述參數(shù)的元完全碼，則個(gè)球恰好填滿整個(gè)空間。定理2 (Singleton界)如果存在元碼，則 (即)證明 設(shè)是元碼，對(duì)每個(gè)，令是中的所有末位是的碼字去掉之后組成的中的一個(gè)子集合容易知道，對(duì)于碼長(zhǎng)為的個(gè)碼字，使得，所以必存在參數(shù)的元碼.由于的碼長(zhǎng)和最小距離均為，可知至多有

45、個(gè)碼字，于是，從而.如果即，則叫做極大距離可分碼。而Singleton界和Hamming界是糾錯(cuò)碼的參數(shù)之間需要滿足的必要條件。3.2線性碼定義 向量空間的一個(gè)上的線性子空間叫做元線性碼。即的一個(gè)非空子集合叫做線性碼，是指若,則對(duì)任意，均有.記(向量子空間的維數(shù))。則，所以的維數(shù)就是碼的信息位數(shù)，的碼長(zhǎng)為，根據(jù)定義，碼的最小距離為個(gè).引理3.2.1 對(duì)于線性碼,即為中所有個(gè)非零碼字的Hamming權(quán)的最小值。對(duì)于線線性碼可以利用線性代數(shù)工具，取的一組基，其中，則每個(gè)碼字可唯一表示成 其中是上秩為的(行列)矩陣，叫做線性碼的一個(gè)生成陣。可以先把個(gè)信息編碼成中的向量(共有個(gè))，為了糾錯(cuò)，再把它們編

46、成中的碼字,所以糾錯(cuò)編碼即是線性的單射另一方面的一個(gè)為向量子空間必是某個(gè)其次線性方程組的全部解其中 是上(行列)矩陣，并且秩為，叫做線性碼的一個(gè)校驗(yàn)陣。由定義可知，對(duì)每個(gè)，(長(zhǎng)為的零向量)所以可以用來檢查向量是否為中的碼字。校驗(yàn)陣還可以用來決定線性碼的最小距離。為此，我們把表示成列向量的形式： 引理3.2.2 設(shè)是參數(shù)為的元線性碼，是的一個(gè)校驗(yàn)陣。如果當(dāng)中任意個(gè)均線性無關(guān)，并且存在個(gè)列向量是線性相關(guān)的，則的最小距離是. 證明 設(shè)是中的Hamming權(quán)為的向量，即有個(gè)分量不為零，而其余分量為零，則這表明:中每個(gè)權(quán)為的非零碼字對(duì)應(yīng)給出中的個(gè)線性相關(guān)的列向量。從而的最小距離(即非零碼字的最小權(quán))，就

47、等于中線性相關(guān)列向量的最小個(gè)數(shù)，由此即證引理。由于線性碼中的基有不同的選取方式，所以的生成陣不是唯一的。如果是上的一個(gè)階可逆方陣，對(duì)于，則也是的一組基，從而也是線性碼的一個(gè)生成陣。如果的前列是線性無關(guān)的，則適當(dāng)選取可逆方陣,總可使有形式：,其中是階單位方陣，而是上的行列矩陣。這是，就是的一個(gè)校驗(yàn)陣。例 考慮以為生成陣的二元線性碼,的前4列構(gòu)成的行列式其值為，于是的秩為,可知是的二元線性碼，這個(gè)碼具有碼字 (的四行之和)， (的第1.2.4行之和）， (的第1行之和)， (的第之和）.這四個(gè)碼字是線性無關(guān)的，從而也構(gòu)成線性碼的一組基。于是也有生成陣由此便可寫出線性碼的一個(gè)校驗(yàn)陣二元矩陣的列恰好是

48、上的長(zhǎng)為的全部非零列向量，任意兩列均線性無關(guān)，而第和第列相加為第列，即第這三列線性相關(guān)，由引理2可知線性碼的最小距離為。即是的二元線性碼。 定理2 (線性碼的糾錯(cuò)譯碼算法)設(shè)是參數(shù)的元線性碼，并且有校驗(yàn)陣，其中均是上長(zhǎng)為的列向量。如果碼字在傳送時(shí)錯(cuò)位個(gè)數(shù)，即收到向量，其中則用下列算法可以糾錯(cuò)：(1)計(jì)算,這是上長(zhǎng)為的列向量，叫做的校驗(yàn)向量；(2)如果(零向量)，則(無錯(cuò))；(3)如果，則必可表示成當(dāng)中不超過個(gè)列向量的線性組合：，其中，而均是中非零元素。這時(shí)，其中，而當(dāng)時(shí)，于是。換句話說，傳送時(shí)出現(xiàn)了為錯(cuò)誤，錯(cuò)位為，而錯(cuò)值分別為.例2 設(shè)是上的矩陣為校驗(yàn)陣的7元線性碼。中任意4列構(gòu)成方陣，其中是

49、中的不同元素。從而它的行列式不為零(范德蒙德)。這表明中任意列均線性無關(guān)。特別地，的秩為.中任意5列顯然線性相關(guān)，于是。所以是上參數(shù)為的線性碼。對(duì)于每個(gè)當(dāng)且僅當(dāng),所以線性碼是線性方程組在中的所有解組成的。分別令和.得到和。于是得到線性碼的生成陣 由于，從而可以糾正位錯(cuò)，設(shè)發(fā)出碼字。收方計(jì)算校驗(yàn)向量根據(jù)定理3.2可知，錯(cuò)誤在第2位和第5位，錯(cuò)值分別為1和2.即，于是發(fā)出的碼字為綜上所述，我們可以用生成陣或者校驗(yàn)陣來描述一個(gè)線性碼。特別是校驗(yàn)陣可決定線性碼的最小距離，并且可用來進(jìn)行糾錯(cuò)譯碼。3.3漢明碼參數(shù)為的元碼叫做完全碼，是指它達(dá)到漢明界，即 設(shè),中的非零向量共有，其中任意兩個(gè)非零向量和是線性

50、相關(guān)的，當(dāng)且僅當(dāng)存在，使得.我們將這樣兩個(gè)非零向量叫做是射影等價(jià)的。這是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，每個(gè)等價(jià)類中均恰有個(gè)向量,因?yàn)榕c非零向量等價(jià)的向量為，從而共有個(gè)等價(jià)類?，F(xiàn)在從每個(gè)等價(jià)類中取出一個(gè)代表向量，共取出個(gè)向量，每個(gè)向量表成長(zhǎng)為的列向量，排成上的一個(gè)的矩陣 定義 設(shè)，以為校驗(yàn)陣的元線性碼叫做漢明碼。 定理2 Hamming碼是是參數(shù)為的元完全線性碼。證明 ，,屬于不同的射影等價(jià)類。這個(gè)等價(jià)類取出的代表元構(gòu)成矩陣中的個(gè)列向量是線性無關(guān)的。這表明DE 秩為。于是，。進(jìn)而，中諸列不同的等價(jià)類，所以任意兩個(gè)不同的列向量是線性無關(guān)的。特別的，任意兩個(gè)不同的列之和是非零向量，從而必與中某個(gè)列向量等價(jià)。于是這三列是線性相關(guān)的，這表明。最后，由于可知Hamming碼是完全碼。例1 當(dāng)時(shí)，即是由全部個(gè)碼長(zhǎng)