二項式定理的高考常見題型及解題對策1

1、二項式定理的高考常見題型及解題對策二項式定理是初中學習的多項式乘法的繼續(xù)，它所研究的是一種特殊的多項式-二項式的乘方的展開式。二項式定理既是排列組合的直接應用，又與概率理論中的三大概率分布之一的二項分布有著密切聯(lián)系。掌握好二項式定理既可對初中學習的多項式的變形起到很好的復習，深化作用，又可以為進一步學習概率統(tǒng)計作好必要的知識儲備。所以有必要掌握好二項式定理的相關內容。二項式定理在每年的高考中基本上都有考到，題型多為選擇題，填空題，偶爾也會有大題出現(xiàn)。本文將針對高考試題中常見的二項式定理題目類型一一分析如下，希望能夠起到拋磚引玉的作用。題型一：求二項展開式1“”型的展開式例1求的展開式；解：原式

2、= = = 小結：這類題目一般為容易題目，高考一般不會考到，但是題目解決過程中的這種“先化簡在展開”的思想在高考題目中會有體現(xiàn)的。2 “”型的展開式 例2求的展開式；分析：解決此題，只需要把改寫成的形式然后按照二項展開式的格式展開即可。本題主要考察了學生的“問題轉化”能力。3二項式展開式的“逆用”例3計算；解：原式=小結：公式的變形應用，正逆應用，有利于深刻理解數(shù)學公式，把握公式本質。題型二：求二項展開式的特定項1 求指定冪的系數(shù)或二項式系數(shù)（1）求單一二項式指定冪的系數(shù)例4（03全國）展開式中的系數(shù)是 ；解：= 令則，從而可以得到的系數(shù)為：，填（2） 求兩個二項式乘積的展開式指定冪的系數(shù) 例

3、5（02全國）的展開式中，項的系數(shù)是 ； 解：在展開式中，的來源有： 第一個因式中取出，則第二個因式必出，其系數(shù)為； 第一個因式中取出1，則第二個因式中必出，其系數(shù)為的系數(shù)應為：填。（3） 求可化為二項式的三項展開式中指定冪的系數(shù)例6（04安徽改編）的展開式中，常數(shù)項是 ；解：上述式子展開后常數(shù)項只有一項，即 本小題主要考查把“三項式”的問題通過轉化變型后，用二項式定理的知識解決，考查了變型與轉化的數(shù)學思想。2 求中間項例7（00京改編）求（的展開式的中間項；解：展開式的中間項為 即：。 當為奇數(shù)時，的展開式的中間項是和；當為偶數(shù)時，的展開式的中間項是。3 求有理項例8（00京改編）求的展開式

4、中有理項共有 項；解：當時，所對應的項是有理項。故展開式中有理項有4項。 當一個代數(shù)式各個字母的指數(shù)都是整數(shù)時，那么這個代數(shù)式是有理式； 當一個代數(shù)式中各個字母的指數(shù)不都是整數(shù)（或說是不可約分數(shù)）時，那么這個代數(shù)式是無理式。4 求系數(shù)最大或最小項（1） 特殊的系數(shù)最大或最小問題例9（00上海）在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)是 ；解：要使項的系數(shù)最小，則必為奇數(shù)，且使為最大，由此得，從而可知最小項的系數(shù)為（2） 一般的系數(shù)最大或最小問題 例10求展開式中系數(shù)最大的項； 解：記第項系數(shù)為，設第項系數(shù)最大，則有 又，那么有 即解得，系數(shù)最大的項為第3項和第4項。（3） 系數(shù)絕對值最大的項例1

5、1在（的展開式中，系數(shù)絕對值最大項是 ；解：求系數(shù)絕對最大問題都可以將“”型轉化為型來處理，故此答案為第4項，和第5項。題型三：利用“賦值法”及二項式性質3求部分項系數(shù)，二項式系數(shù)和 例12（99全國）若， 則的值為 ； 解： 令，有， 令，有 故原式= = =例13（04天津）若， 則 ；解：， 令，有 令，有故原式= 在用“賦值法”求值時，要找準待求代數(shù)式與已知條件的聯(lián)系，一般而言：特殊值在解題過程中考慮的比較多。 例14設， 則 ；分析：解題過程分兩步走；第一步確定所給絕對值符號內的數(shù)的符號；第二步是用賦值法求的化簡后的代數(shù)式的值。 解： = =0題型四：利用二項式定理求近似值 例15求

6、的近似值，使誤差小于； 分析：因為=，故可以用二項式定理展開計算。 解：=， 且第3項以后的絕對值都小于，從第3項起，以后的項都可以忽略不計。= 小結：由，當?shù)慕^對值與1相比很小且很大時，等項的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內可以忽略不計，因此可以用近似計算公式：，在使用這個公式時，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項的取舍，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：。 利用二項式定理求近似值在近幾年的高考沒有出現(xiàn)題目，但是按照新課標要求，對高中學生的計算能力是有一定的要求，其中比較重要的一個能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二項式定理來求近似值。 題型五：利用二項式定理證明整除問題 例16（02濰坊模擬）求證：能被7整除。 證明： = = =49P+（） 又 =（7+1） = =7Q（Q）能被7整除。在利用二項式定理處理整除問題時，要巧妙地將非標準的二項式問題化歸到二項式