高等代數(shù)知識結構

1、高等代數(shù)知識結構、高等代數(shù)知識結構圖行列式的計算行列式工具線性方程組矩陣矩陣的運算行列式的性質(zhì)矩陣的秩的初等變換線性方程組的解法及判別定理線性方程組線性方程組解的結構向量相關性極大線性無關組線性相關和線性無關二次型化為標準型（配方法， 線性方程組法，正交法）線性代數(shù)中心課題線性典范型j線性流形對角化正定性，合同單線性函數(shù)線性函數(shù)對稱雙線性函數(shù)J矩陣若爾當?shù)浞缎訧I-C定理高等代數(shù)線性空間線性變換特征值與特征向量矩陣的可對角化線性空間的性質(zhì)與同構, 子空間的判定坐標變換與基變換可對角化及不變子空間歐式空間的性質(zhì)研究范圍線性空間歐式空間正交化與正交補的求法正交變換與正交矩陣酉空間酉空間的性質(zhì)復數(shù)域

2、上的正交變換整除理論互素與同于1因式分解唯一性因式分解理論重因式復數(shù)域多項式根的理論實數(shù)域曰求法有理數(shù)域判定（愛紳斯坦因）多元多項式/對稱多項式根的判別式韋達定理、高等代數(shù)知識結構內(nèi)容（一）線性代數(shù)：工具：線性方程組1. 行列式:1行列式的計算設有n2個數(shù)，排成n行n列的數(shù)表aiiai2a2ia22anian2aina2n，即n階行列式.這個行列式等于所有取自不同行不同列的ann個元素的乘積aiji a2j2anjn的代數(shù)和，這里jij2 jn是1,2, , n的一個排列,每一項都按下列規(guī)則帶有符號：當jlj2 jn是偶排列時，帶正號；當ji j2 jn是奇排列時，帶負號.即a iia 2ia

3、 niai2a 22a n 2a nnji j2 jnjij2 jnaijia2j2anjn ,這里 表示jij2 jn對所有n級排列求和.a.行列式的性質(zhì)：性質(zhì)i.行列互換，行列式不變。性質(zhì)2. 一行的公因子可以提出來（或以一數(shù)乘行列式的一行就相當于用這個數(shù) 乘此行列式。性質(zhì)3.如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而 這兩個行列式除這一行以外與原行列式的對應行一樣。性質(zhì)4.如果行列式中兩行相同，那么行列式為零。(兩行相同就是說兩行對應 元素都相同)性質(zhì)5.如果行列式中兩行成比例。那么行列式為零。性質(zhì)6.把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。性質(zhì)7.對換行列式中兩行的位置

4、，行列式反號。2. 矩陣：a. 矩陣的秩：矩陣A中非零行的個數(shù)叫做矩陣的秩。b. 矩陣的運算定義 同型矩陣：指兩個矩陣對應的行數(shù)相等、對應的列數(shù)相等的矩陣.矩陣相等：設 A G)mn,B (bj)mn,若b。(i 1,2, ,m; j 1,2,n),稱線性:運算：A(aij )m n,B(bij ) mna11bna1nb1n加法:AB(a ijbij)m na m1bm1abmnmnk a11kam數(shù)乘:kA(k aij ) m n負矩陣：A (1 )Ak am1k amnanbna1nb1n減法:AB(ajbij)m na m1bm1amnbmn矩陣的乘法定義：設A(aij )ms, B(

5、bj )s n811a1s d11bmC11C1nAB其中元素3m1amsbs1bsnCm1Cmnb1 jCja” ai 2aisb2jaej ai2lb2jaiSbsj (i 1,2,m; jA B.bsj(3ij )m1,2,n)A的列數(shù)=B的行數(shù)。AB的行數(shù)=A的行數(shù);AB的列數(shù)=B的列數(shù).A與B的先后次序不能改變.(5)矩陣的初等變換 矩陣的等價變換形式主要有如下幾種：1 ）矩陣的i行（列）與j行（列）的位置互換；2 ）用一個非零常數(shù)k乘矩陣的第i行（列）的每個元；3 ）將矩陣的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的對應元上去3. 線性方程組一般線性方程組.這里所指的一般線性方程

6、組形式為ax1ax 2Lax nb1,ax1a222Laxnnb2,(i)LLLax1as22Lax nbs.（i）式中xi（ 1,2,K , n）代表未知量，旳（1,2,L , s; j 1,2,L ,n）稱為方程組的系數(shù)，bj（j1,2丄，n）稱為常數(shù)項.線性方程組（i）稱為齊次線性方程組，如果常數(shù)項全為零，即bb 2 Lbs 0.令ana12La1 nxb1a21a22La2nXxDb2A,BMMMMMMas1as2Lasnxnbs則（i）可用矩陣乘法表示為AXB，ACmn,XCn,B Cm.a.線性方程組的解法1）消元法在初等代數(shù)里，我們已經(jīng)學過用代入消元法和加減消元法解簡單的二元、

7、三 元線性方程組.實際上，這個方法比用行列式解方程組更具有普遍性但對于那些 高元的線性方程組來說，消元法是比較繁瑣的，不易使用 .2）應用克萊姆法則對于未知個數(shù)與方程個數(shù)相等的情形，我們有 定理1如果含有n個方程的n元線性方程組aX1ax 2Lax nb,aX1ax：2Laxn nb2LLLaX1ax2Lann nbn的系數(shù)矩陣a11a12La1na21A21Ma22La2nMMMan1an2Lann的行列式ana21a12a22LLai na2ndet AMMMMan1an2Lann0,那么線性方程組 有唯一解:Xjdet BjJ / det A(j1,2,L ,n),其中detBj是把矩陣

8、中第j列換成線性方程組的常數(shù)項bl,b2 , L ,bn所成的矩陣的行列式，即det Bja11a22MLLMLa1,j 1a2,j 1Man,j 1Mbnai,j ia2,j 1Man,j 1LLMLaina2nM,j 1,2,L ,n.ann此外，還可以敘述為，如果含有 n個未知數(shù)、n個方程的線性方程組Ax b的系數(shù)矩陣的行列式det A 0，則線性方程組Axb一定有解，且解是唯一的.廣義逆矩陣A法設A Cmn.如果存在G Cn m，使得AGA A，則稱G為矩陣A的一個1-廣義逆矩陣，記作A .矩陣A的1-逆總是存在的，但一般不是惟一的12，矩陣A的1-逆的全體記為代1.若A Cm n ,

9、 A Cnm為A的一個1-廣義逆矩陣，貝U對V, W Cn m為任意 的n m矩陣，矩陣A的一個1-廣義逆矩陣為G A V A AVAA ,同時還可以表示為G A V(Em AAE) ( n A A)W .廣義逆矩陣A的計算：(1) 設A Crmn (r 0)，且有P Cm m和n階置換矩陣Q使得PAQErK00(KC r (nr),則對任意的L C(nr )(m r)，n m矩陣G Q Er 0 PO L是A的一個1-廣義逆矩陣.若存在T C n使得PAT 巴 O O O則矩陣的1-逆的全體A1T ErL12 P L12 Cr(m r),L21 C(nr)r,L22 C(n rm( r)L2

10、1L22 設A Cmn，則A有惟一 1逆的充分必要條件是m n,且r(A) n，即A可逆.這個惟一的1逆就是A 1.4. 向量相關性a.判斷向量組線性相關的方法1) 線性相關2) 的對應分量成比例線性相關3) 含有零向量的向量組是線性相關的4) 向量組線性相關該組中至少有一個向量可由其余的向量線性表出5）部分相關則整體相關6）設向量組可由向量組線性表出,如果r>s,則線性相關；7）n+1個n維向量必線性相關（個數(shù)大于維數(shù)）8）該向量組的秩小于它所含向量的個數(shù)向量組線性相關9）n個n維的向量構成的行列式=0該向量組是線性相關的10）線性相關向量組中每個向量截短之后還相關b.判斷向量組線性無

11、關的方法1）線性無關2）的對應分量不成比例線性無關3）向量組線性無關該組中任何一個向量都不能由其余的向量線性表出4）整體無關則部分無關5）線性無關向量組中每個向量加長之后還無關6）該向量組的秩等于它所含向量的個數(shù)向量組線性無關7）n個n維的向量構成的行列式0該向量組是線性無關的（二）中心課題：線性規(guī)范型1. 二次型線性流型：二次型及其矩陣表示二次型的定義：以數(shù)域 P中的數(shù)為系數(shù)，關于Xi, X2,，Xn的二次齊次多 項式 f （Xi, X2,Xn）=aiiXi2+2ai2XiX2+ +2 ainXiXn2+a22X2 + + a2nX2Xn+（3）2+annXn稱為數(shù)域P上的一個n元二次型，簡

12、稱二次型。矩陣的合同關系：對于數(shù)域 P上的兩個n階矩陣A和B,如果存在可逆矩陣C, 使得B=CTA（則稱A和B是合同的，記為AB合同關系性質(zhì)：1）反身性：AA2）對稱性：AB則BA3）傳遞性：AB 且BC貝U AC二次型的標準形1) 實數(shù)域R(或復數(shù)域C)上的任意一個二次型都可經(jīng)過系數(shù)在實數(shù)域R(或復數(shù)域C)中的非退化線性變換化成平方和形式：d1y12+d2y22+dnyn2其中非零系數(shù)的個數(shù)唯一確定，等于該二次型的秩。上述形式的二次型稱為二 次型的標準形。2) 任何對稱矩陣都與一個對角矩陣合同。3) 復二次型的規(guī)范形：任何復系數(shù)二次型都可經(jīng)過復數(shù)域 C中的非退化線性變換化成如下最簡形式平 方

13、和：y12+y22+yr2，其中r唯一確定，等于該二次型的秩。上述形式的復 二次型稱為復二次型的規(guī)范形。2. 線性函數(shù)(三) 研究范圍：線性空間1. 線性空間簡單的說，線性空間是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構成此集合內(nèi)的另 一元素，任意元素與任意數(shù)(可以是實數(shù)也可以是復數(shù)，也可以是任意給定域中 的元素)相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。1) V對加法成Abel群，即滿足：(1) (交換律)x+y=y+x;(2) (結合律)(x+y) +z=x+ (y+z)(3) (零元素)在 V中有一元素0，對于V中任一元素(4) (負元素)對于 V中每一個元素x，都有V中的元素y,使得x+y=0;2) 數(shù)

14、量乘法滿足：(5) 1x=x;(6) k(lx)=(kl)x ；3) 數(shù)量乘法和加法滿足：(7) ( k+l ) x=kx+lx ；(8) k (x+y) =kx+ky.其中x，y，z為V中任意元素，k，l為數(shù)域F中的任意元素，1是F的乘法單位 丿元。數(shù)域F稱為線性空間V的系數(shù)域或基域，F(xiàn)中元素稱為純量或數(shù)量(scalar )， V中元素稱為向量(vector )。當系數(shù)域F為實數(shù)域時，V稱為實線性空間。當F為復數(shù)域時，V稱為復線性空 間。(1) V中零元素(或稱0向量)是唯一的。(2) ( 2) V中任一向量x的負元素(或稱負向量)是唯一的。(3) ( 3)kx=0(其中k是域F中元素，x是

15、V中元素)當且僅當k=0或x=0。(4)(-k)x=-(kx)=k(-x)。2. 歐氏空間定義1 .公因式：設V是實數(shù)域R上的線性空間(或稱為向量空間)，若V上定義著正定對稱雙線 性型g(g稱為內(nèi)積)，則V稱為(對于g的)內(nèi)積空間或歐幾里德空間(有時 僅當V是有限維時，才稱為歐幾里德空間)。具體來說，g是V上的二元實值函數(shù)，滿足如下關系：(1) g(x,y)=g(y,x)；(2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；(3) g(kx,y)=kg(x,y)；2 最大公因式：(4) g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0當且僅當x=0時成立。這里x,y,z是V中任意向量，k是任意

16、實數(shù)。二、多項式理論1. 整除理論整除：若多項式a： “f(x)”除以多項式b：“g(x)”，商為一個多項 式,且余數(shù)為零多項式。 我們就說a能被b整除(或說b能整除a)，記作b|a， 讀作“ b整除a”或“ a能被b整除”.1) 最大公因式多項式的最大公因式的定義定義(公因式與最大公因式)定義1若既是的因式，又是的因式，則稱是與的公因式。因所以任意兩個多項式都有公因式。2) 互素如果，那么就說，即兩個多項式只有零次公因式時，稱為互素。的公因式，就稱這兩個多項式互素2. 因式分解理論1)重因式定義 設p(x)為不可約多項式.如果f(x)能被p(x)的k次方整除而p (x)的 k+1次方不能,則

17、稱p(x)是f(x)的k重因式.若k=0,則p(x)不是f(x)的因式.若k=1,則稱p(x)是f(x)的單因式.f(x)的二階微商，階微商的微商：若k>1,則稱p(x)是f(x)的重因式.也可以定義高階微商的概念記為f'(x).一般地,f(x),一階微商f(x)的微商稱為的k階微商定義為f(x)的k-1 定理 如果不可約多項式p(x)是f(x)的k重因式(k> 1),那么它是f(x) 的k-1重因式.注意：該定理的逆定理一般不成立推論1 ：如果不可約多項式p(x)是f(x)的k (k > 1)重因式,那么p(x)分別 是 f(x),f'(x).f(k-1)(

18、x)的 k-1,k-2,.,1 重因式,但不是 f(k)(x)的因式推論2 :不可約多項式p(x)是f(x)的重因式的充分必要條件是p(x)為f(x)與 f(x) 推論3 :的公因式.多項式f(x)沒有重因式的充分必要條件是(f(x),f(x)=1.2)唯一性理論不可約多項式定義：數(shù)域P上次數(shù)的多項式p(x)稱為不可約多項式，如果p(x)不能表成數(shù)域 P上的兩個次數(shù)比p(x)低的多項式的乘積。唯一性指：數(shù)域P上每一個次數(shù)1的多項式f(x)均可分解成數(shù)域P上一些不可 約多項式的乘積。Fx中任一個次數(shù)不小于1的多項式都可以分解為F上的不 可約多項式的乘積，而且除去因式的次序以及常數(shù)因子外，分解的方法是惟一的。當F是復數(shù)域C時，根據(jù)代數(shù)基本定理，可證 Cx中不可約多項式都是一次的。 因此，每個復系數(shù)多項式都可分解成一次因式的連乘積。當F是實數(shù)域R時，由于實系數(shù)多項式