2012年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)答案與解析

1、2012年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1（5分）（2012北京）已知集合A=xR|3x+20，B=xR|（x+1）（x3）0，則AB=（）A（，1）B（1，）C，3D（3，+）考點：一元二次不等式的解法；交集及其運算專題：集合分析：求出集合B，然后直接求解AB解答：解：因為B=xR|（x+1）（x3）0=x|x1或x3，又集合A=xR|3x+20=x|x，所以AB=x|xx|x1或x3=x|x3，故選：D點評：本題考查一元二次不等式的解法，交集及其運算，考查計算能力2（5分）（2012北京

2、）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（）A（1，3）B（3，1）C（1，3）D（3，1）考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析：由=1+3i，能求出在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)解答：解：=1+3i，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（1，3），故選A點評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘積運算，是基礎(chǔ)題解題時要認(rèn)真審題，注意復(fù)數(shù)的幾何意義的求法3（5分）（2012北京）設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是（）ABCD考點：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域；幾何概型專題：概率與統(tǒng)計分析：本題屬于幾何概型，

3、利用“測度”求概率，本例的測度即為區(qū)域的面積，故只要求出題中兩個區(qū)域：由不等式組表示的區(qū)域 和到原點的距離大于2的點構(gòu)成的區(qū)域的面積后再求它們的比值即可解答：解：其構(gòu)成的區(qū)域D如圖所示的邊長為2的正方形，面積為S1=4，滿足到原點的距離大于2所表示的平面區(qū)域是以原點為圓心，以2為半徑的圓外部，面積為=4，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率P=故選：D點評：本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到，本題是通過兩個圖形的面積之比得到概率的值4（5分）（2012北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A2B4C8D16考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)專題：

4、算法和程序框圖分析：列出循環(huán)過程中S與K的數(shù)值，不滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán)解答：解：第1次判斷后S=1，k=1，第2次判斷后S=2，k=2，第3次判斷后S=8，k=3，第4次判斷后33，不滿足判斷框的條件，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果：8故選C點評：本題考查循環(huán)框圖的應(yīng)用，注意判斷框的條件的應(yīng)用，考查計算能力5（5分）（2012北京）函數(shù)f（x）=的零點個數(shù)為（）A0B1C2D3考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，由于在定義域上兩個增函數(shù)的和仍為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，而f（0）0，f（）0由零點存在性定理可判斷此函數(shù)僅有一個零點解答：解：函數(shù)f

5、（x）的定義域為0，+）y=在定義域上為增函數(shù)，y=在定義域上為增函數(shù)函數(shù)f（x）=在定義域上為增函數(shù)而f（0）=10，f（1）=0故函數(shù)f（x）=的零點個數(shù)為1個故選B點評：本題主要考查了函數(shù)零點的判斷方法，零點存在性定理的意義和運用，函數(shù)單調(diào)性的判斷和意義，屬基礎(chǔ)題6（5分）（2012北京）已知an為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（）Aa1+a32a2Ba12+a322a22C若a1=a3，則a1=a2D若a3a1，則a4a2考點：等比數(shù)列的性質(zhì)專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：a1+a3=，當(dāng)且僅當(dāng)a2，q同為正時，a1+a32a2成立；，所以；若a1=a3，則a1=a1q2，從而可知a1=a

6、2或a1=a2；若a3a1，則a1q2a1，而a4a2=a1q（q21），其正負(fù)由q的符號確定，故可得結(jié)論解答：解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a1+a3=，當(dāng)且僅當(dāng)a2，q同為正時，a1+a32a2成立，故A不正確；，故B正確；若a1=a3，則a1=a1q2，q2=1，q=1，a1=a2或a1=a2，故C不正確；若a3a1，則a1q2a1，a4a2=a1q（q21），其正負(fù)由q的符號確定，故D不正確故選B點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)屬基礎(chǔ)題7（5分）（2012北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（）A28+6B30+6C56+12D60+12考點：由三視圖求面積、體積專題：立

7、體幾何分析：通過三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的表面積即可解答：解：三視圖復(fù)原的幾何體是底面為直角邊長為4和5的三角形，一個側(cè)面垂直底面的等腰三角形，高為4，底邊長為5，如圖，所以S底=10，S后=，S右=10，S左=6幾何體的表面積為：S=S底+S后+S右+S左=30+6故選：B點評：本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，注意表面積的求法，考查空間想象能力計算能力8（5分）（2012北京）某棵果樹前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，則m的值為（）A5B7C9D11考點：函數(shù)的圖象與圖象變化；函數(shù)的表示方法專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析

8、：由已知中圖象表示某棵果樹前n年的總產(chǎn)量S與n之間的關(guān)系，可分析出平均產(chǎn)量的幾何意義為原點與該點邊線的斜率，結(jié)合圖象可得答案解答：解：若果樹前n年的總產(chǎn)量S與n在圖中對應(yīng)P（S，n）點則前n年的年平均產(chǎn)量即為直線OP的斜率由圖易得當(dāng)n=9時，直線OP的斜率最大即前9年的年平均產(chǎn)量最高，故選C點評：本題以函數(shù)的圖象與圖象變化為載體考查了斜率的幾何意義，其中正確分析出平均產(chǎn)量的幾何意義是解答本題的關(guān)鍵二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9（5分）（2012北京）直線y=x被圓x2+（y2）2=4截得的弦長為考點：直線與圓相交的性質(zhì)專題：直線與圓分析：確定圓的圓心坐標(biāo)與半徑，求得圓心到直線y=x

9、的距離，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，即可求得弦長解答：解：圓x2+（y2）2=4的圓心坐標(biāo)為（0，2），半徑為2圓心到直線y=x的距離為直線y=x被圓x2+（y2）2=4截得的弦長為2=故答案為：點評：本題考查直線與圓相交，考查圓的弦長，解題的關(guān)鍵是求得圓心到直線y=x的距離，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形求得弦長10（5分）（2012北京）已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1=，S2=a3，則a2=1，Sn=考點：等差數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的通項公式專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求出公差，從而可求出第二項，以及等差數(shù)列的前n項和解答：解：根據(jù)an為等差數(shù)列，S2=a

10、1+a2=a3=+a2；d=a3a2=a2=+=1Sn=故答案為：1，點評：本題主要考查了等差數(shù)列的前n項和，以及等差數(shù)列的通項公式，屬于容易題11（5分）（2012北京）在ABC中，若a=3，b=，則C的大小為考點：正弦定理專題：解三角形分析：利用正弦定理=，可求得B，從而可得C的大小解答：解：ABC中，a=3，b=，由正弦定理=得：=，sinB=又ba，BA=B=C=故答案為：點評：本題考查正弦定理，求得B是關(guān)鍵，易錯點在于忽視“中大變對大角，小邊對小角”結(jié)論的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12（5分）（2012北京）已知函數(shù)f（x）=lgx，若f（ab）=1，則f（a2）+f（b2）=2考點：對數(shù)的運

11、算性質(zhì)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由函數(shù)f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）由此能求出結(jié)果解答：解：函數(shù)f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=lg（ab）2=2lg（ab）=2故答案為：2點評：本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答13（5分）（2012北京）己知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點則的值為1考點：平面向量數(shù)量積的運算專題：平面向量及應(yīng)用分析：直接利用向量轉(zhuǎn)化，求出數(shù)量積即可解答：解：因為=1故答案為：1點評：本題考查平面向

12、量數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力14（5分）（2012北京）已知f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2若xR，f（x）0或g（x）0，則m的取值范圍是（4，0）考點：復(fù)合命題的真假；全稱命題專題：簡易邏輯分析：由于g（x）=2x20時，x1，根據(jù)題意有f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1時成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求解答：解：g（x）=2x2，當(dāng)x1時，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0此時f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1時恒成立則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下，且二次函數(shù)與x軸交點都在（1，0）的左面則4m0故答案為：（4，0）點評：本題主要考查了全

13、稱命題與特稱命題的成立，指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（13分）（2012北京）已知函數(shù)f（x）=（1）求f（x）的定義域及最小正周期；（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的定義域和值域；復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：（1）由sinx0可得xk（kZ），將f（x）化為f（x）=sin（2x）1即可求其最小正周期；（2）由（1）得f（x）=sin（2x）1，再由2k+2x2k+，xk（kZ）即可求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間解答：解：（1）由sinx0得xk（k

14、Z），故求f（x）的定義域為x|xk，kZf（x）=2cosx（sinxcosx）=sin2xcos2x1=sin（2x）1f（x）的最小正周期T=（2）函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為2k+，2k+（kZ）由2k+2x2k+，xk（kZ）得k+xk+，（kZ）f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：k+，k+（kZ）點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，注重輔助角公式的考察應(yīng)用，求得f（x=sin（2x）1是關(guān)鍵，屬于中檔題16（14分）（2012北京）如圖1，在RtABC中，C=90，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使

15、A1FCD，如圖2（1）求證：DE平面A1CB；（2）求證：A1FBE；（3）線段A1B上是否存在點Q，使A1C平面DEQ？說明理由考點：直線與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定專題：空間位置關(guān)系與距離；立體幾何分析：（1）D，E分別為AC，AB的中點，易證DE平面A1CB；（2）由題意可證DE平面A1DC，從而有DEA1F，又A1FCD，可證A1F平面BCDE，問題解決；（3）取A1C，A1B的中點P，Q，則PQBC，平面DEQ即為平面DEP，由DE平面，P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，可證A1C平面DEP，從而A1C平面DEQ解答：解：（1）D，E分別為AC

16、，AB的中點，DEBC，又DE平面A1CB，DE平面A1CB（2）由已知得ACBC且DEBC，DEAC，DEA1D，又DECD，DE平面A1DC，而A1F平面A1DC，DEA1F，又A1FCD，A1F平面BCDE，A1FBE（3）線段A1B上存在點Q，使A1C平面DEQ理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQBCDEBC，DEPQ平面DEQ即為平面DEP由（）知DE平面A1DC，DEA1C，又P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，A1CDP，A1C平面DEP，從而A1C平面DEQ，故線段A1B上存在點Q，使A1C平面DEQ點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判

17、定與性質(zhì)，考查學(xué)生的分析推理證明與邏輯思維能力，綜合性強，屬于難題17（13分）（2012北京）近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，先隨機抽取了該市三類垃圾箱總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）；“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）試估計廚余垃圾投放正確的概率；（2）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；（3）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a0，

18、a+b+c=600當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時，寫出a，b，c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時s2的值（求：S2=+，其中為數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)）考點：模擬方法估計概率；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差專題：概率與統(tǒng)計分析：（1）廚余垃圾600噸，投放到“廚余垃圾”箱400噸，故可求廚余垃圾投放正確的概率；（2）生活垃圾投放錯誤有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放錯誤的概率；（3）計算方差可得=，因此有當(dāng)a=600，b=0，c=0時，有s2=80000解答：解：（1）由題意可知：廚余垃圾600噸，投放到“廚余垃圾”箱400噸，故廚余垃圾投放正確的概率為；（2）由題意可知：生活垃

19、圾投放錯誤有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放錯誤的概率為；（3）由題意可知：a+b+c=600，a，b，c的平均數(shù)為200=，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2aca2+b2+c2，因此有當(dāng)a=600，b=0，c=0時，有s2=80000點評：本題考查概率知識的運用，考查學(xué)生的閱讀能力，屬于中檔題18（13分）（2012北京）已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a0），g（x）=x3+bx（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處有公共切線，求a，b的值；（2）當(dāng)a=3，b=9時，函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間k，2上的最大值為28，求k的取

20、值范圍考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：（1）根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，可知切點處的函數(shù)值相等，切點處的斜率相等，故可求a、b的值；（2）當(dāng)a=3，b=9時，設(shè)h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x29x+1，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的極值點，進(jìn)而可得k3時，函數(shù)h（x）在區(qū)間k，2上的最大值為h（3）=28；3k2時，函數(shù)h（x）在區(qū)間k，2上的最大值小于28，由此可得結(jié)論解答：解：（1）f（x）=ax2+1（a0），則f（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，則g（x）=3x2

21、+b，k2=3+b，由（1，c）為公共切點，可得：2a=3+b 又f（1）=a+1，g（1）=1+b，a+1=1+b，即a=b，代入式，可得：a=3，b=3（2）當(dāng)a=3，b=9時，設(shè)h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x29x+1則h（x）=3x2+6x9，令h（x）=0，解得：x1=3，x2=1；k3時，函數(shù)h（x）在（，3）上單調(diào)增，在（3，1上單調(diào)減，（1，2）上單調(diào)增，所以在區(qū)間k，2上的最大值為h（3）=283k2時，函數(shù)h（x）在區(qū)間k，2上的最大值小于28所以k的取值范圍是（，3點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函

22、數(shù)19（14分）（2012北京）已知橢圓C：+=1（ab0）的一個頂點為A（2，0），離心率為，直線y=k（x1）與橢圓C交于不同的兩點M，N，（）求橢圓C的方程；（）當(dāng)AMN的面積為時，求k的值考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）根據(jù)橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；（）直線y=k（x1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k24=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x1）的距離，利用AMN的面積為，可求k的值解答：解：（）橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為，b=橢圓

23、C的方程為；（）直線y=k（x1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k24=0設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=，|MN|=A（2，0）到直線y=k（x1）的距離為AMN的面積S=AMN的面積為，k=1點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是正確求出|MN|20（13分）（2012北京）設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表，abcdef滿足性質(zhì)P：a，b，c，d，e，f1，1，且a+b+c+d+e+f=0記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1，2），Cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值（1）對如下數(shù)表A，求k（A）的值110.80.10.31（2）設(shè)數(shù)表A形如1112ddd1其中1d0求k（A）的最大值；（）對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A，求k（A）的最大值考點：進(jìn)行簡單的演繹推理專題：推理和證明分析：（1）根據(jù)ri（A）