平面向量的數(shù)量積教案

1、平面向量的數(shù)量積教學(xué)目標(biāo)：(i) 知識目標(biāo)：(1) 掌握平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義、性質(zhì)、運算律及坐標(biāo)表示(2) 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(ii) 能力目標(biāo)：(1) 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用平面向量積解決相關(guān)問題的能力(2) 正確運用向量運算律進(jìn)行推理、運算教學(xué)重點：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義2. 用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用教學(xué)過程：一、追溯1. 平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量 a與b，它們的夾角是0，則數(shù)量I a | b |cos v 叫a與b的數(shù)量積，記作 a b，即a b = I a | b |cos)(0乞二乞二)并規(guī)

2、定0與任何向量的 數(shù)量積為0.2平面向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b |cosr的乘積.3. 兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、一b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1 e a = a e =|a|cosr；2 a_b = a b = 03當(dāng)a與b同向時，a b = | a |b |；當(dāng)a與b反向時，a b = -|a |b 特別地a a = | a |2a b-4 COST =；5 |a b | < |a|b |a|b|4. 平面向量數(shù)量積的運算律 交換律：a b = b a 數(shù)乘結(jié)合律：(a)b = (a b ) = a( b )分配律：(a +

3、 b ) c = a c + b c5. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 已知兩個向量 a = (xyj , b = (x2 ,y2)，則 a b =為 x2 yj y2. 設(shè) a = (x, y)，則 | a F x2 y2 . 平面內(nèi)兩點間的距離公式如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為22(X1 ,yi)、(X2, y2)，那么丨 a 卜 (X1 - x2)(yi - y2). 向量垂直的判定 兩個非零向量= (x1,y1)， b=(x2,y2)，則a _ b ：= x1x2 y1y 0 兩向量夾角的余弦 COST = f "=X1X 2+% y2_( 0蘭日蘭兀).|a|

4、 4b|+ y： Jx22 + y22二、典型例題1.平面向量數(shù)量積的運算 例題i已知下列命題：彳 4> 44 H 4 a (-a) =0 ；(a b) c = a (b c)；rc_4lb_L»ra/k4. Tb)+其中正確命題序號是、.點評：掌握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運算律不同于實數(shù)的運算律 例題2 已知a =2, b=5,若(1)a|b; (2) ：_二(3) a與b的夾角為 300,分別求 0_b 解(1)當(dāng)a|b時, 卷a昭 當(dāng)a丄b時, ab=a©cos00=2 5 1 = 10或cos90° =2 5 0 =0.(3)當(dāng)a與b的夾角

5、為300時，0_b= a0_b=COS1800 =2x5x(1)=10.cos300 =2 5 -5. 3 .2變式訓(xùn)練：已知 a = (cos23°,cos670), b = (cos68°,cos22°)，求 b2 解:aLb = cos23° cos68° cos67° cos22°= cos23°si n 22° si n23°cos22° =s in 4 5° =2點評：熟練應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義式求值，注意兩個向量夾角的確定及分類完整2. 夾角問題氣 4 寸呻扌

6、 耳 >4例題3(2005年北京)若a =1,b =2,c=a + b,且c丄a,則向量a與向量b的夾角為 ()A. 300B. 600C. 1200D. 1500Hl 2+ ab解:依題意a (a b) =0=1cos： - 0= c 0 s12002故選C學(xué)生訓(xùn)練：已知a=3, a -b| = J7,求向量a與向量b的夾角. 已知 a =(1,-2),b =(4,2) ,£與(a-b)夾角為二，則 cost 二解:打啟沁1，故夾角為600.2 32依題意得(a - b) = (-3, -4) = cos -=變式訓(xùn)練：已知a,b是兩個非零向量，同時滿足 a卜卜礙，求a與a

7、b的夾角解:將a=2呻，二 a +兩邊平方得龍b =弓，故1與齢的夾角.為30°.法二：數(shù)形結(jié)合點評:注意兩個向量夾角共起點，靈活應(yīng)用兩個向量夾角的兩種求法3. 向量模的問題例題4已知向量a,b滿足a' =6, b =4 ,且a與b的夾角為600,求a +b和,a-3b'.解: / a =6,，” a 十 b'變式訓(xùn)練：A. Y,6B. -6,4C. -6,2D. -2,64 44.44(2006年福建)已知a與b的夾角為120°,a=3,a+b二.13 ,則b等于()解：；'a +b|B. 4卜'(3, k +2)| = J(k +

8、2)2 +9 蘭5 戶6 蘭 k 蘭 2 故選 CC. 3D. 1(2005年湖北)已知向量a =(2,2),b = (5,k)，若 a+b不超過5,則k的取值范圍()2二a，注意兩邊平方是常用的方法=扌+2ab+牛,”.肩 +2,aibcos120) +|b| =13,解得 b = 4,故選 b點評:涉及向量模的問題一般利用 a4.平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用_r_兀 .兀例題 5 (2006 年全國卷)已知向量 a=(sin r,1),b =(1,cosr), -:2 2(1)若a丄b,求日;(2)求a+b的最大值.r t亠亠rnnn解:(1)若 a _ b,則 sin v cos)- 0，二

9、 tan v - -1,( _一 ：二：一).二二一一224(2) a+b'b =、(sin1)2(1一cosb)2 二、3 2(sin 二 cos"巳 3 2 2sin®-)3 :V2, 一"，sin( )三(4,1,a+b 的最大值為 J3+2V2 = J(V2 + 1)2 = V2+1.例題6已知向量a = (cos ,sin ：),b =(cosB,sin B)，且 a,b滿足 ka' +b| =冋(1)求證(a b)_(a-b)；將a與b的數(shù)量積表示為關(guān)于 k的函數(shù)f(k)；(3) 求函數(shù)f(k)的最小值及取得最小值時向量a與向量b的夾角二.解:a (cos ,sin ：),b = (cos,sin ：)(a:亂uua-ibfo,故(2 b)_(auT 耳2*2二 ka +b =3'a -kb ,又二 a(2) *. ka +b' =|a - kb ,“2 #2b =1 k2 2kaLb 1=3-6ka_b 3k2,k2 14k,(k0)故 f(k)=k -4k,(k0