2017屆二輪復習圓錐曲線的綜合應用專題卷全國通用資料

1、適考素能特訓一、選擇題1. 2016天津津南一模平面直角坐標系中，已知兩點A(3,1),B( 7771,3),若點C滿足OC= ROA+4OB(O為原點)，其中L 46R,且兀 + ；2=1,則點C的軌跡是()A.直線B.橢圓C.圓D.雙曲線答案 A777解析 設 C(x, y),因為 OC=OA+ 及OB,所以(x, y)= '(3,1)x= 34不,+ 4( 1,3),即彳ly =久+ 3及,. y+3x卜=10，解得d又4 + ?2= 1,_3y-x1 卜=10，y+3x 3yx所以F0+口0-=1,即x+2y=5,所以點C的軌跡為直線，故選A.2 V22. 2016長春質檢過雙

2、曲線x2 左=1的右支上一點P,分別向 圓。：(x + 4)2 + y2 = 4和圓C2： (x-4)2 + y2=1作切線，切點分別為M, N,貝U |PM|2- |PN|2的最小值為()A. 10B. 13C. 16D. 19答案 B解析 由題可知，|PM|2 - |PN|2 = (|PC112 - 4) - (|PC2|2- 1),因此|PM|2 一 |PN|2= |PCi|2- |PC2|2 - 3= (|PCi| |PC2|)(|PCi|+ IPC2I) 3 = 2(|PCi|十 |PC2|)-3>2|CiC2|-3= 13.故選 B.x2 v23. 2016山西質檢已知Fi、

3、F2分別是雙曲線孑一j=1(a>0, b>0) 的左、右焦點，且|FiF2| = 2,若P是該雙曲線右支上的一點，且滿足 |PFi| = 2|PF2|,則 PFF2面積的最大值是()4A. iB.33C.5D, 23答案 B|PFi| = 2|PF2|,解析 Yl|PFi|PF2|=2a,|PFi|=4a,|PF2|=2a,設 ZFiPF2=i6a2+4a2 4 la2-i/cos0= 2X4aX2a =a，.S2/PFiF2 =i)-X4aX2aXsin 0f2了=i6a42la4-i0a2+ iWa4當且僅當a2=|時，等號成立，故S/PFiF2的最大值是4,故選B. 934.

4、 20i6云南統(tǒng)檢已知雙曲線M的焦點Fi、F2在x軸上，直線由x+ 3y= 0是雙曲線M的一條漸近線，點P在雙曲線M上，且PFi PF2 =0,如果拋物線y2=i6x的準線經過雙曲線M的一個焦點，那么|PFi1肝2|=()B. 14D. 0A. 21C. 7答案 B解析 設雙曲線方程為|2-3=1(a>0, b>0), 直線"x+3y= 0是雙曲線M的一條漸近線,b a又拋物線的準線為x= 4,c=4又 a2+ b2=c2由得a = 3.設點P為雙曲線右支上一點， 由雙曲線定義得|PFi|PF2| = 6又PFi PF2 = 0, PFi JPF2, 在 RtzTFFz

5、中 |PFi|2+ |PF2|2= 82 聯(lián)立，解得|PFi| |PF2|=14.二、填空題5. 2016河南洛陽統(tǒng)考已知Fi、F2分別是雙曲線3x2-y2=3a2(a>0) 的左、右焦點，P是拋物線y2=8ax與雙曲線的一個交點，若|PFi|+|PF2| = 12,則拋物線的準線方程為 .答案 x= -2x2v2 一解析 將雙曲線方程化為標準方程得 點-毒=1,拋物線的準線1,? x=3a,即點P的橫坐標為3a.而x2v2,02-302=為x= 2a,聯(lián)立a 3aV v2 = 8ax|PFi|+|PF2|=12,由? |PF2| = 6a,又易知F2為拋物線的焦點,|PFi|-|PF2

6、|=2a|PF2|=3a+2a=6 a,得a= 1, 拋物線的準線方程為x= -2.6. 2016南昌一模已知拋物線C: x2 = 4y的焦點為F,過點F且 斜率為1的直線與拋物線相交于 M, N兩點.設直線l是拋物線C的切線，且l / MN , P為l上一點，則PM PN的最小值為.答案 14解析 由題意知F(0,1),所以過點F且斜率為1的直線方程為v =x+ 1,代入x2 = 4y,整理得x24x 4=0,解得x= 2受V2,所以可 取M(22也，3 2&), N(2 + 2及，3 + 2吸)，因為l/MN,所以可設 l的方程為y=x+m,代入x2=4y,整理得x24x 4m =

7、 0,又直線l 與拋物線相切，所以=( 4)2 4( 4m)=0,所以m=1, l的方程為 y = x1.設點 P(x, x- 1),則PM = (2x球，4-x-2V2), PN =(2 x+2&, 4 x+2啦)，PM PN=(2-x)2-8+ (4-x)2-8=2x2- 12x + 4=2(x-3)2-14> -14.7. 2016石家莊質檢設拋物線C: y2 = 4x的焦點為F,過F的直 線l與拋物線交于A, B兩點，M為拋物線C的準線與x軸的交點， 若 tan/AMB=242,則|AB| =.答案 8解析 依題意作出圖象如圖所示，設 l: x= my+ 1, A(Xi,

8、 y)y2=4x,B(X2, y2),由得，y2 4my 4=0, -yi + y2 = 4m, y1y2=lx=my+ 1,y1 y2 ,/ , 、 2”4, XiX2=4 4=1, Xi + X2=m(yi+y2)+ 2=4m+2,.tan ZAMB = tan(zAMF + zBMF),y1y2X1 + 1X2 +1：-2也y1V21 "X1+ 1 X2+ 1y1(my2+2) y2(my + 2)2= 242, y1 y2 = 42m ,X1 + 1 X2+1 +y1y2,4jm2 + 1 = 42m2, m2=1,. |AB|= |AF|+|BF|=X1+ 1 + x2+

9、1 = 4m2+ 4=8.三、解答題8. 2016合肥質檢設A, B為拋物線y2 = x上相異兩點，其縱坐 標分別為1, 2,分別以A, B為切點作拋物線的切線 J吆 設1i, l2相交于點P.求點P的坐標;(2)M為A, B間拋物線段上任意一點，設PM= EA+ FB,試判 斷/計加否為定值？如果為定值，求出該定值；如果不是定值，請 說明理由.解(1)知 A(1,1), B(4, 2),設點 P 坐標為(xp, yp),，y 1 = k(x 1),切線 li： y-1 = k(x- 1),聯(lián)立y2=x,1由拋物線與直線11相切，解得k= 2，111.即 11： y=2x+2，同理 12： y

10、=4x1,xp = - 2,聯(lián)立11, 12的方程，可解得1y = 2,一 1、即點P的坐標為-2,可(2)設 M(y0, y(),且一2Wy001,由PM=?RA+ FB得-3h2, n cjo + 2, yo + 2 J=入和(y0+2)29，(y0 - 1 9尸 9，y0 + 2= 3 狂 6 %即 1 3解得羋+2=2(人胤一廠 f yo+2 1 y0I1廠 L、.則4計4尸二十=1,即4狂論定值1. 339. 2016山西四校二聯(lián)已知橢圓C: ' + y2=1(a>b>0)的離心率 a b為幸,以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2X-V2 3y+6=

11、 0相切.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知點A, B為動直線y=k(x-2)(k?0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點E,使得EA2+EA AB為定值？若存在，試求出點E的坐標和定值；若不存在，請說明理由.解(1)由>=當?shù)肅 =卓即c = %.又以原點且該圓與直線所以a=O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2 + y2= a2, 2x- >/2y+6= 0 相切，/6 乖,代入得c=2,弋22 + (一啦)2所以 b2=a2-c2=2.22所以橢圓c的標準方程為x + 2=1.22rx V否+2 = 1,得(1 + 3k2)x2 12k2x+ 12k2 6 =

12、 0.由< 6 2y= k x- 2設 A(x1, y0, B(x2, y2),12k212k2-6所以 x1 + x2=I, 2x2=".1+3k21+3k2根據(jù)題意，假設x軸上存在定點E(m,0),使得 EA2+ EA AB= (EA+ AB) EA= EA EB為定值,則EAEB=(x1 m, y1)(x2m, v2= (Xi-m)(X2-m)+yiy2=(k2+1)X1X2 (2k2 + m)(x + x2)+ (4k2 + m2)(3m2-12m+10jk2+(m2-6)-2，1 + 3k2要使上式為定值，即與k無關，3m212m+10= 3(m2 6),得m77汨=

13、3'此時，E A2+E A A B=m26= 5,所以在x軸上存在定點 95使得EA2+EA AB為定值，且定值為9.10.2016云南統(tǒng)考已知焦點在y軸上的橢圓E的中心是原點 O, 離心率等于 乎，以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為 4乘.直線l: y=kx+m與y軸交于點P,與橢圓E交于A, B兩個相異點，且AP=點B.(1)求橢圓E的方程;(2)是否存在m,使OA+ QB=4OP?若存在，求m的取值范圍； 若不存在，請說明理由.22解(1)根據(jù)已知設橢圓E的方程為專=1(a>b>0),焦距為2c,c._3222a由已知得 a= 2， c= 2 a, b =

14、a c = 4.以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為 445,/4a2 + b2= 2v5a = 45,a = 2, b=1.橢圓E的方程為x2+1.(2)根據(jù)已知得 P(0, m),由AP= FB,得OPOA= XOB OP). OA+ OB=(1+ AOP. 77777.OA+ OB=4OP,(1+OP = 4OP.若m=0,由橢圓的對稱性得 AP=PB,即OA + OB=0. 777. m=0 能使OA+ QB=4OP成立.若m?0,則1+上4,解得上3.設 A(xi, kxi + m), B(x2, k.+ m),y= kx+ m,由<得(k2 + 4)x2 + 2mkx

15、+ m2 4=0,4x2+ y24= 0,由已知得 = 4m2k2 4(k2 + 4)(m24)>0,即k2m2+4>0, 2kmm2 4且 xi+x2=, xix2=.k2 + 4k2 + 4由 AP = 3PB得一x1 = 3x2,即 x1 = - 3x2.3(x1 + x2)2+4x1x2 = 0,吵 +41mzi!= 0 即 m2k2 + m2 k24=0.k2 + 42k2 + 4當 m2= 1 時，m2k2+m2k2 4= 0 不成立.4 m2k2G.k2m2+4>0,2224m4 m m 2 m2 + 4>0,即 2>0.m2 1m2 11<m

16、2<4,解得2Vm< 1 或 1<m<2.綜上，當2<m< 1,或 m=0,或 1<m<2 時， 777OA+ QB=4OP.11. 2015南寧適應性測試(二)已知拋物線C: y=2x2,直線l: y = kx+ 2交C于A, B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂 線交C于點N.(1)證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；(2)是否存在實數(shù)k,使以AB為直徑的圓M經過點N?若存在， 求k的值；若不存在，說明理由.解(1)證法一：設 A(x1, y0, B(x2, y2),把丫=卜乂+ 2 代入 y= 2x2 中，得 2x2 kx2=0,

17、.一一 k x1 + x2 - 2，Nn= xm =x1x2 k2 =4,.N點的坐標為(2x2)，= 4x,(2x2yk x4=k,即拋物線在點N處的切線的斜率為k.直線l: y=kx+ 2的斜率為k, 切線平行于AB.證法二：設 A(x1, y1), B(x, v2，把 y= kx+ 2 代入 y= 2x2 中,得2x2- kx-2=0,., k X1 + X2 2X1 + X2 kk k2.Xn=xm= 2 =4，. N 點的坐標為8 '' k2k k)設拋物線在點N處的切線li的方程為y-'8=mx-4 Lccmk k2將y = 2x2代入上式得2x2mx+彳m

18、=0,.直線li與拋物線C相切，.= m28mk k2T-8'=m2 2mk+ k2= (m k)2=0,. m=k,即 li AB.(2)假設存在實數(shù)k,使以AB為直徑的圓M經過點N.1 .M 是 AB 的中點， .|MN| = 2|AB|.1.、111由(1)知 yM =萬 + y2)= (kx1 + 2 + kx2 + 2) = k(X1 + X2) + 4=萬k2八k2八LT 4 + 2，k2 0 k2 八16.MNk軸，.|MN|=|yM Yn|=I+2g =8.|AB| = M + k2 “X1 + X2 4x1X2 = J + k2 52) 4X (-1)= 2/k2+

19、1 k2+ 16. k= 2存在實數(shù)k=i2,使以AB為直徑的圓M經過點N.12. 2016 湖南聯(lián)考已知圓 F1： (x+1)2+y2=r2與 F2： (X1)2+y2=(4r)2(0<r<4)的公共點的軌跡為曲線 E,且曲線E與y軸的正半軸相交于點M.(1)求E的方程；1(2)若曲線E上相異兩點A, B滿足直線MA, MB的斜率N積為1(i )判斷直線AB是否恒過定點？如果過定點，求出定點的坐標；如果不過定點，請說明理由；(五)求4人8乂的面積的最大值.解(1)設。Fi, OF2的公共點為Q,由已知得 |FiF2| = 2, |QFi| = r, |QF2| = 4r,故 |Q

20、Fi|+|QF2|=4>|FiF2|,因此曲線E是長軸長2a = 4,焦距2c=2的橢圓，且b2= a2 c2 = 3,一 ,x2 v2所以曲線E的方程為全+ y3=i.(2)( i )由曲線E的方程得上頂點 M(0, V3),記 A(xi, yi), B(x2, V2),由題意知 乂產0, X2*0.AB的方程為x= Xi,yi3 3 x2 =4若直線AB的斜率不存在，則直線故 yi= -y2,且 y2=y2 = 3J J,yi ，3 y2 3因此，kMAkMBMFF-=與已知不符，因此直線 AB的斜率存在.、八、，、-x2 y2設直線AB: y=kx+ m,代入橢圓E的方程十七小,得

21、(3+4 k2) x2 + 8kmx+ 4(m2 3) = 0.因為直線AB與曲線E有公共點A, B,所以方程有兩個非零不等實根Xi, X2,所以 Xi + X2= 一8km4 m23"Xi X2=7.3 +4k23+4k2又 kAM =yi V3 kXi + m一小=XiXiy2 V3 kX2 + m3 = =X2X2由 kAM kBM =4(kXi + mT3)(kX2 + m也)=XiX2,即(4k(Xi+X2)- 4XiX2 i)XiX2+ 4k(m-V3)(Xi + X2) + 4(m-木)=05所以 4(m23)(4k2i) + 4k(m73)( 8km) + 4(mV3

22、)2(3 + 4k2) =0,化簡得 m2 3V3m+6=0,故 m=3或 m=2V3.結合 XiX2±0 知 m = 2，3,即直線AB恒過定點N(0,2V3).(ii)由 Z>0 且 m=243得 k>3或 k< 3,i又 S以BM = |SAANM -SzBNM |= 2|MN| |Xi X2|3= "2"-8km '2-413 +4k2 J4 m233+4k263 + 4k2病工 + ；4k2-9當且僅當4k2 9=i2,即k=Xp時,MBM的面積最大，最大值為手.專題. 熱點I六、建模規(guī)范答題錐曲線中的最值問題典題例證22x y

23、2016山東局考平面直角坐標系xOy中，橢圓 C:孑+東=1(a>b>0)的離心率是 岑，拋物線E: x2 = 2y的焦點F是C的一個頂點.(1)求橢圓C的方程；(2)設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與 C交于不同的兩點A, B,線段AB的中點為D.直線OD與過P且垂直 于x軸的直線交于點M.求證：點M在定直線上；直線l與y軸交于點G,記 PFG的面積為Si , PDM的面積 為弓，求率的最大值及取得最大值時點 P的坐標.S2切入點 由條件求出橢圓方程，設出P點坐標，求出切線 方程后與橢圓方程聯(lián)立，順次求點 D、M的坐標.審題過程S關注點 利用表面公式表示出S1

24、，由函數(shù)知識求最值.注S2意設而不求思想的運用規(guī)范解答,a2-b2322(1)由題意知乂/=2 >可得：a =4b , 1n因為拋物線E的焦點F 0, 2 ,1所以 b=2，a=1,所以橢圓C的方程為x2 + 4y2= 1.r 、r 'm2'(2)證明：設 Pp, y (m>0).由 x2= 2y,可得 y，=x,所以直線l的斜率為m.因此直線l的方程為y m" = m(x m),2 my=mx 2 ,設 A%, y”, B(x2, y2), D(x°, y°).x2+ 4y2=1,聯(lián)立方程m2|y=mx-萬，得(4m2+ 1)x24m3x+ m4 1 = 0.由 A>0,