(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案(含解析)

1、第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)占圖匐°現(xiàn)昌符熊 翅。鼠eh瞅 辟麻 的團(tuán)等現(xiàn)a A必、過教材關(guān)1 .有理數(shù)指數(shù)哥(i)哥的有關(guān)概念正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥：ma-=nn/am(a>0, mnC N*,且 n> 1).15負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥:m 11a=(a>0, m>n an n am0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)正沒有意義.(2)有理數(shù)指數(shù)哥的性質(zhì)aras=(a>0, r, sCQ)；(ar)s= £(a>0, r, sCQ)；(ab)r = ab(a>0, b>0, rCQ).2 .指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)值域(0 , 十0°)過定點(diǎn)(

2、0,1)性質(zhì)當(dāng) x>0 時(shí)，y> 1; x<0 時(shí)，0vyv 1當(dāng) x>0 時(shí)，0Vyv 1; x<0 時(shí)，y> 1在區(qū)間(8, +OO )上是增函數(shù)在區(qū)間(一8, +OO )上是減函數(shù)小題體驗(yàn)a 1c1 .計(jì)算(2)612( 1)0的結(jié)果為()A. 9B. 7C. 10解析：選 B 原式=26X 2- 1 = 2 1 = 7.2 .函數(shù)f(x)=3x+1的值域?yàn)?)A. ( 1 , +°°)B . (1 , +°°)C. (0,1)D , 1 , +oo)解析：選 B .,3x>0,3x+1>1,即函數(shù)f

3、 (x) =3x+1的值域?yàn)?1 , +8).3 .若函數(shù)f (x) = ax(a>0,且aw1)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A2, 1 ,則f( 1)=.3答案：,34 .若指數(shù)函數(shù)f(x) =(a2)x為減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .解析：= f(x) =(a2)x為減函數(shù),.0<a-2<1,即 2<a<3.答案：(2,3)卜必過易錯(cuò)關(guān)1 .在進(jìn)行指數(shù)塞的運(yùn)算時(shí)，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的形式表示，并且結(jié)果不能同時(shí)含有根 號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)哥，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).2 .指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0, aw1)的圖象和性質(zhì)跟 a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a>1或 0v

4、av 1.小題糾偏1.判斷正誤(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打或"x” ).n Lnn n a =( .a) =a.()(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥apr以理解為m* a相乘.()(3)(-1)4=( -1)1=v.(答案：(1) x (2) x (3) x2.若函數(shù)y=(a1)x在(00,+8)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案：(1,2)考點(diǎn)一 指數(shù)嘉的化簡與求值 基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透題組練透1.化簡與求值:3 02 25 +212412 _ (0.01)0.55 12(2) 6a3 b3a12b 124a31-3 2解：原式=11 + -X41100=1+-6 1016155(2)原式=- 2a2

5、(4 a3 b 3)54ab °+(a3b 2) =-5a-3-lb3一需2.若11x2+x 2=3,33x2+ x2+2x2+x 2+3的值為解析:由 x-+ x -= 3,22得 x + x 1 + 2= 9,所以x+ x 1= 7,所以x2+x 2+2 = 49,所以x2+x 2 = 47.因?yàn)?31x2+x-2= (x2 + x-1 31118+2 22) -3(x2+x-2)= 答案：5謹(jǐn)記通法指數(shù)募運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)哥化成正指數(shù)哥的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分

6、數(shù)的，先化成假 分?jǐn)?shù).(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥，盡可能用哥的形式表示，運(yùn)用指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)來解答.7-9=18,所以原式=而京=5.考點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 重點(diǎn)保分型考點(diǎn)一一師生共研典例引領(lǐng)1.函數(shù)y= ax-a 1( a>0,且awi)的圖象可能是()J/ V Ur1 產(chǎn) £ABCD解析：選D函數(shù)y=ax1是由函數(shù)y= ax的圖象向下平移1個(gè)單位長度得到的，所以 A aa項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)a>1時(shí)，0<0< 1,平移距離小于1,所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)0vav1時(shí)，£>1,平移距離大于1,所以C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選 D.2.已知a>0,且aw1,

7、若函數(shù)y=| ax 2|與y=3a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析：當(dāng)0vav1時(shí)，作出函數(shù)y=|ax 2|的圖象，如圖a.若直線y = 3a與函數(shù)y= |ax2|(0 va<1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則由圖象可知0v3av2,所以0vav2.3當(dāng)a>1時(shí)，作出函數(shù)y=|ax2|的圖象，如圖b,若直線y=3a與函數(shù)y = |ax2|( a>1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則由圖象可知0v3av2,此時(shí)無解.所以a的取值范圍是 0, 2 .32答案：0,-3由題悟法指數(shù)函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用(1)畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0, aw1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1 ,a),

8、(0,1) , 1,-.a(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象.(3) 一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.即時(shí)應(yīng)用1 .函數(shù)f(x)=1e|x1的圖象大致是()解析：選A將函數(shù)解析式與圖象對比分析，因?yàn)楹瘮?shù)f(x) = 1e1x1是偶函數(shù),且值域是(00, 0,只有A滿足上述兩個(gè)性質(zhì).2 .已知 f(x)=|2x1| ,當(dāng) avbvc時(shí)，有 f(a) >f (c)>f(b),則必有()A. a<0, b< 0, c< 0C. 2 av 2cB. av 0, b>

9、;0, c>0D . 1<2a+2c<2解析：選D作出函數(shù)f(x) = |2x1|的圖象如圖所示，因?yàn)?a vbvc,且有 f(a) >f (c) >f(b),所以必有 av0,0vcv1,且 12a 1| >|2 c 1| ,所以 1 2a>2c 1 ,則 2a+2c<2,且 2a+2c>1.故 選D.考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用題點(diǎn)多變型考點(diǎn)一一多角探明鎖定考向高考常以選擇題或填空題的形式考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，難度偏小，屬中低檔題.常見的命題角度有：(1)比較指數(shù)式的大小;(2)簡單指數(shù)方程或不等式的應(yīng)用;探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì).題點(diǎn)全

10、練角度一：比較指數(shù)式的大小1. (2018 杭州模擬)已知a=2 12 13 13 3, b= 3 2，c=石2，則a，b，c的大小關(guān)系是A. a>b>cC. a>c>bB. b> a>cD . c> a>b解析：選A -y=£在(0 , 十 °°)上是增函數(shù),3 522b= 一312>c=1 12 ”1 3<2, y= 3 在R上是減函數(shù),2 1.a= 3 3>b=2 13 2'a>b>c.故選 A.角度二：簡單指數(shù)方程或不等式的應(yīng)用2.(2018 湖州模擬)已知函數(shù)f(x)=

11、mr9x-3x,若存在非零實(shí)數(shù)X0,使得f(X0)=f(x。成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是()1 1A. 2, +°°B. 0, 2C. (0,2)D. 2 , +oo)解析：選B由題意得到f(-x)=f(x),所以 m- 9 x-3 x=mi- 9x-3x, x311整理得到：m= 3x 2+1 = -<2,3x+3又 m>0,1所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是0vm< 2,故選B.角度三：探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)3.已知函數(shù)f (x) =b ax(其中a,b為常數(shù)且a>0,aw 1)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(1,6) ,B(3,24)試確定f (x)；(2)若不等式；x

12、+ (xm>o在xC(巴 1上恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍. a b解：(1) .f(x) = b ax的圖象過點(diǎn) A(1,6) , R3,24),b , a= 6,b a3=24,+得a2= 4,又a>0且aw 1,a= 2, b=3,(2)由(1)知；x+ b xm>o在(-°0, 1上恒成立可轉(zhuǎn)化為在(8, 1上恒成立.令 g(x) = 2 x+ 3則g(x)在(00, 1上單調(diào)遞減,1 1 5 m< g(x)min=g(1)2 3 65故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是-oo, 6 .通法在握應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的常見3大題型及求解策略題型求解策略比較哥值的大小(1

13、)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)號(hào)冉利用單調(diào)性比較大?。?2)不能化成同底數(shù)白1 一般引入“ 1”等中間量比較大小解簡單指數(shù)不等式先利用哥的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)哥，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方法一致提醒在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)與“ 1”的大小關(guān)系不明確時(shí)，要分類討論.演練沖關(guān)1 .設(shè) a=0.601 b=0.61.5, c=1.501 則 a, b, c 的大小關(guān)系是（）A. avbv cB . a< c< bC. bvav cD . bv c< a解析：選C 因?yàn)楹瘮?shù)y=0.6

14、x在R上單調(diào)遞減，所以b= 0.61.5va=0.60.6v1.又c=1.5 >1,所以 b< a< c.0, x<0,22 . (2019 金華模擬)設(shè)函數(shù)f(x)= 2x 2 x 0 則滿足f(x 2)>f (x)的x的取值范圍是解析：由題意x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)>f(0) =0,而x<0時(shí)，f(x)=0, 故若 f(x22) >f(x),則 x2- 2>x,且 x2- 2>0,解得x>2或xv 啦.答案：(8,一鏡)U(2 , +oo)3 .函數(shù)f(x)= 2 x2+2x+ 1的單調(diào)減區(qū)間為 .解析：

15、設(shè) u=-x2+2x+1, y= 2 u在 R 上為減函數(shù)，函數(shù) f (x) = x2+2x+1 的減區(qū)間即為函數(shù) ui= x2+2x+1的增區(qū)間.又u=x2 + 2x+1的增區(qū)間為(8, 1，.二 f(x)的減區(qū)間為(一8, 1.答案：(8, 1局。昌雕叫,幽博*庖方閡。的的偈含因一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1.化簡2324b+ 2 lab- a333l，一 ex、/a的結(jié)果是(A. aB. b2C. abD . ab解析：選A原式=1a3 a 8b4br+ 2a-b-+ a33 33a3 2b3x1a34% + 2a-br+ a33 331 a311a3-2b31. a3111=a -

16、a- - a- = a.333右42.已知 a=( .2)-,3b=2 35.1 c=93，a,b, c的大小關(guān)系是A. b<a<cC. bvcvaB . a< b< cD . c< a< b一、”4142.212斛析：選 A a=(也)3= 22X3=23, b=2g, c=% = 33,1<a< 2,2 vb<4.2-3 =娘,什 37.取 a = 2, b = 2,得 yjb a=39 11 10-10有avba,排除4. (2017 寧波期中D,故選B.)若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(-2,4),則 f(3)=有a>yb a,

17、排除C；b>2 b- a,排除 A；1139Ma =歷，b =記得，5式f(x)+f(x) <2的解集為解析：設(shè)指數(shù)函數(shù)解析式為 y=ax,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(一2,4),所以4= a2. r1 ,解得a=2,所以指數(shù)函數(shù)解析式為1 x y= 2x,所以f=13=8；55 _ 1不等式 f (x) + f ( x) V 2,即 255 5、，15°x+2x<5,設(shè)2x = t,不等式化為f+tQ,所以2t2-所以一1<x<1,所以不等式的解集為(一1,1).5t + 2V0 解得 gvt <2,即；<2xv2,1答案：7 (-1,

18、1) 85.若函數(shù)f (x) = ax-1(a>0, aw1)的定義域和值域都是0,2,則實(shí)數(shù)a=. 解析：當(dāng)a>1時(shí)，f(x) = ax1在0,2上為增函數(shù)，則 a21 = 2,，a=± y3.又,a>1,，a = y3.當(dāng)0vav1時(shí)，f(x)=ax1在0,2上為減函數(shù)，又. f(0) =0W2,0<a< 1 不成立.綜上可知，a=73.答案：,3二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1. (2018 貴州適應(yīng)性考試)函數(shù)y= ax+21(a>0且aw1)的圖象恒過的點(diǎn)是()A. (0,0)B , (0, - 1)C. (-2,0)D . (-2, -

19、 1)解析：選C 法一：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax(a>0, a1)的圖象恒過點(diǎn)(0,1),將該圖象向左平 移2個(gè)單位，再向下平移 1個(gè)單位得到y(tǒng)=ax+21(a> 0, aw 1)的圖象，所以y= ax+2 - 1(a >0, aw 1)的圖象恒過點(diǎn)(一2,0),選項(xiàng)C正確.法二：令 x+2=0, x=-2,得 f( 2) =a°1 = 0,所以 y=ax+2-1(a>0, a1)的圖象恒過點(diǎn)（ 2,0）2 .已知函數(shù),選項(xiàng)C正確.移一k個(gè)單位得到的，且函數(shù)y=ax+k是減函數(shù),y=kx+a的圖象如圖所示，則函數(shù) y=ax+k的圖象可能是（）解析：選B大于1,所以k&

20、gt;-1,所以一1vkv0.函數(shù)y=ax+k的圖象可以看成把 y = ax的圖象向右平故此函數(shù)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于1,結(jié)合所給的選項(xiàng)，故選 B.a3 .若函數(shù)f(x) =2-3a x+1, xwi是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是A.3B. 4C.2D. 3+ oo解析:選C依題意,0<a<1,a應(yīng)滿足2-3a<02- 3a-23解信鏟a*4.已知函數(shù)f（x） =1 -2 x, x>0, 2x-1, x<0,則函數(shù)“*）是（A.偶函數(shù)，在0 , +8）單調(diào)遞增B.偶函數(shù)，在0, +8）單調(diào)遞減C.奇函數(shù)，且單調(diào)遞增D.奇函數(shù)，且單調(diào)遞減f (x) = 2

21、x- 1,而一x<0,解析：選C 易知f（0） =0,當(dāng)x>0時(shí)，f（x） =1 2則 f( -x) = 2 x- 1 = f(x);當(dāng) x<0 時(shí)，f(x) = 2x-1, f (x) = 1 2x,而-x> 0,則 f (x) = 1-2 ( x) = 1-2x=-f(x).即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故選 C.5. (2018 溫州月考)若函數(shù)f (x) = ae-xex為奇函數(shù)，則 f (x1) v e 1 3的解集為 e()A. ( 8, 0)B . (oo, 2)C. (2 , +8)D . (0 , +oo)解析：選D由于函數(shù)f(x)為R上奇函數(shù)，

22、所以f (0) =0? a=1,所以f(x)=一ex, ev1由于e為增函數(shù)，而F為減函數(shù)，e所以f(x) =一ex是減函數(shù)， e又因?yàn)?f(1)=e 1,由 f(x1)ve 1可得 f (x 1) vf ( 1) , x-1>- 1? x>0, ee故選D.6. 已知函數(shù)f (x) =a-x(a>0,且aw1),且f ( 2) > f ( 3),則a的取值范圍是 .一 1 V解析：因?yàn)?f(x) =a x= a x,且 f(-2) >f(-3),所以函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增， 1所以->1, a解得0v av 1.答案：(0,1)x+ 1, 0<

23、; x< 1,7. (2018 溫州模擬)已知函數(shù)f(x)= / 1 x>l設(shè)a>b>0,若f(a)=f(b),則bf(a)的取值范圍是.1解析：依題意，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)y=f(x)的大致圖象，結(jié)合圖象可知 be 2, 1 ,bf( a) = bf (b) = b( b+ 1) = b2+be 4, 2 .答案：3, 241 o1 8.若不等式2x因?yàn)?x2+ax< 22x+"2恒成立，+ax< 2恒成立，則a的取值范圍是 .1 v解析：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知y= 2、是減函數(shù)，所以x2+ax>2x + a2恒成立，所以 x2+(a2) xa

24、+2>0 恒成立，所以 = (a2)2 4( a+2) <0,即(a 2)( a2+ 4) <0,即(a 2)( a+2)<0,故有一2vav2,即a的取值范圍是(一2,2).答案：(一2,2)9.已知函數(shù) f (x) = ； ax2 4x+3. 3若a= 1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3,求a的值；(3)若f(x)的值域是(0 , +8),求a的值.解：當(dāng) a=1 時(shí)，f(x) = 1 -x2-4x+ 3, 3令 g(x) = x2-4x+ 3,1 t由于g(x)在(8, 2)上單調(diào)遞增，在( 2, +8)上單調(diào)遞減，而 y=在R上單3調(diào)遞減，所以

25、f(x)在(一8, 2)上單調(diào)遞減，在(一2, +8)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一2, +°°),單調(diào)遞減區(qū)間是(一 2).21 g(x)(2)令 g(x) =ax -4x+3, f(x)=-,3由于f(x)有最大值3,所以g(x)應(yīng)有最小值一1,a> 0,因此必有3a4 丁 =T,解得a=1,即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值等于1.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，1要使y= - g(x)的值域?yàn)?0, +8). 3應(yīng)使g(x) = ax2 - 4x+ 3的值域?yàn)?R,因此只能a=0.(因?yàn)槿鬭w0,則g(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R).故f(x)的值

26、域?yàn)?0 ,+8)時(shí)，a的值為0.10.已知函數(shù) f(x) = a1x+b|(a>0, bCR).(1)若f (x)為偶函數(shù)，求b的值;(2)若f(x)在區(qū)間2 , +8)上是增函數(shù)，試求 a, b應(yīng)滿足的條件.解：(1) .f(x)為偶函數(shù)，對對任意的xCR,都有f( -x)=f(x).即 a1x+b1 = ai+b1, |x + b| =| x+b| ,解得 b=0.(2)記 h( x) = | x+ b| =x+ b, x>- b,-x- b, x<- b.當(dāng)a> 1時(shí)，f(x)在區(qū)間2 , +°°)上是增函數(shù)，即h(x)在區(qū)間2 , +8)上

27、是增函數(shù)， 一 bw2, b> 2.當(dāng)0vav1時(shí)，f (x)在區(qū)間2 , 十°°)上是增函數(shù)，即 h(x)在區(qū)間2 , 十°°)上是減 函數(shù)，但h(x)在區(qū)間b, +8)上是增函數(shù)，故不存在 a, b的值，使f(x)在區(qū)間2 , 十 °°)上是增函數(shù). . f(x)在區(qū)間2 , +°°)上是增函數(shù)時(shí)，a, b應(yīng)滿足的條件為 a>l且bn 2. 三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1 . (2018 杭州模擬)已知定義在R上的函數(shù)g(x) =2x + 2 x+| x| ,則滿足g(2x 1) < g(3)的x的取值范圍是 .解析：= g(x) = 2x+2 x+|x| , g(-x) =2x+2-x+| -x| =2x+2 x+|x| =g(x),則函 數(shù) g(x)為偶函數(shù)，當(dāng) x>0 時(shí)，g(x) = 2x+2-x + x,則 g' (x) =