2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題沖刺提升專題08圓中證明及計(jì)算問題含解析20222209256

1、專題08圓中證明及計(jì)算問題【例1】（2019·葉縣一模）如圖，o是abc的外接圓，點(diǎn)o在bc邊上，bac的平分線交o于點(diǎn)d，連接bd、cd，過點(diǎn)d作bc的平行線與ac的延長線相交于點(diǎn)p（1）求證：pd是o的切線；（2）求證：abcpbdcd；（3）當(dāng)ab5 cm，ac12 cm時(shí)，求線段pc的長【答案】見解析.【解析】（1）證明：連接odbadcad，弧bd=弧cd，bodcod90°，bcpa，odpbod90°，即odpa，pd是o的切線（2）證明：bcpd，pdcbcdbcdbad，badpdc，abd+acd180°，acd+pcd180

2、6;，abdpcd，badcdp，abcpbdcd（3）bc是直徑，bacbdc90°，ab5，ac12，由勾股定理得：bc13，由（1）知，bcd是等腰直角三角形，bdcd，abcpbdcdpc【變式1-1】（2018·焦作一模）如圖，abc內(nèi)接于o，且ab=ac，延長bc到點(diǎn)d，使cd=ca，連接ad交o于點(diǎn)e（1）求證：abecde；（2）填空：當(dāng)abc的度數(shù)為 時(shí)，四邊形aoce是菱形；若ae=6，be=8，則ef的長為 【答案】（1）見解析；（2）60；.【解析】（1）證明：連接ce，ab=ac，cd=ca，abc=acb，ab=cd，四邊形abce是圓內(nèi)接四邊形

3、，ecd+bce=bae +bce=180°，ecd=bae，同理，ced=abc，abc=acb=aeb，ced=aeb，abecde；（2）60；連接ao、oc，四邊形abce是圓內(nèi)接四邊形，abc+aec=180°，abc=60，aec=aoc=120°，oa=oc，oac=oca=30°，ab=ac，abc是等邊三角形，acb=60°，acb=cad+d，ac=cd，cad=d=30°，ace=30°，oae=oce=60°，即四邊形aoce是平行四邊形，oa=oc，四邊形aoce是菱形；由（1）得：abe

4、cde，be=de=8，ae=ce=6，d=ebc，由ced=abc=acb，得ecdcfb，=，afe=bfc，aeb=fcb，aefbcf，即，ef=【例2】（2019·省實(shí)驗(yàn)一模）如圖，ab為o的直徑，點(diǎn)c為ab上方的圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)c作o的切線l，過點(diǎn)a作直線l的垂線ad，交o于點(diǎn)d，連接oc，cd，bc，bd，且bd與oc交于點(diǎn)e（1）求證：cdecbe；（2）若ab4，填空：當(dāng)弧cd的長度是 時(shí)，obe是等腰三角形；當(dāng)bc 時(shí)，四邊形oadc為菱形【答案】（1）見解析；（2）；2【解析】（1）證明：延長ad交直線l于點(diǎn)f，ad垂直于直線l，afc90°，直線l為

5、o切線，ocf90°，afcocf90°，adoc，ab為o直徑，adb90°，oeb90°，ocdb，debe，decbec90°，cece，cdecbe；（2）如圖2，連接od，由（1）知oeb90°，當(dāng)obe是等腰三角形時(shí)，則oeb為等腰直角三角形，boeobe=45°，odob，oebd，docboe45°，ab4，od2，弧cd的長=；當(dāng)四邊形oadc為菱形時(shí)，則addcocao2，由（1）知，bcdc，bc2.【變式2-1】（2019·河南南陽一模）如圖，四邊形abcd是o的內(nèi)接四邊形，o的半

6、徑為2，b=135°，則弧ac的長為（）a. 2b. c. d. 【分析】根據(jù)弧長公式，需先確定弧ac所對(duì)的圓心角aoc的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍得到aoc=2d，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，求出d=180°b=45°，再代入弧長公式求解即可.【解析】解：四邊形abcd是o的內(nèi)接四邊形，d=180°b=45°，弧ac所對(duì)圓心角的度數(shù)為：2×45°=90°，o的半徑為2，弧ac的長為：=，故選b.1.（2018·洛陽三模）如圖，在rtabc中，acb=90°，以ac為直徑的o，與斜

7、邊ab交于點(diǎn)d，e為bc邊的中點(diǎn)，連接de.（1）求證：de是o的切線；（2）填空：若b=30°，ac=，則bd=當(dāng)b=時(shí)，以o、d、e、c為頂點(diǎn)的四邊形是正方形.【答案】見解析.【解析】解：（1）連接od，ac為直徑，adc=90°，cdb=90°，e是bc的中點(diǎn)，de=ce=be，dce=edc，od=oc，ocd=odc，odc+cde=ocd+dce=90°，即ode=90°，de是o的切線；（2）3；45°，理由如下：b=30°，ac=，bca=90°，bc= ac÷tan30°=6，

8、de=3，由b=a=45°，oa=od，得ado=aod=45°，aod=90°，doc=90°，又ode=90°，四邊形odec是矩形，od=oc，四邊形odec是正方形.2.（2018·河南第一次大聯(lián)考）已知abc內(nèi)接于以ab為直徑的o，過點(diǎn)c作o的切線交ba的延長線于點(diǎn)d，且daab=12（1）求cdb的度數(shù)；（2）在切線dc上截取ce=cd，連接eb，判斷直線eb與o的位置關(guān)系，并證明【答案】見解析.【解析】解：（1）如圖，連接oc，cd是o的切線，ocd=90°da：ab=1：2，da=oc，do=2oc在rtdo

9、c中，sincdo=，cdo=30°，即cdb=30°（2）直線eb與o相切證明：連接oc，由（1）可知cdo=30°，cod=60°，oc=ob，obc=ocb=30°，cbd=cdb，cd=cb，cd是o的切線，oce=90°，ecb=60°， 又cd=ce，cb=ce，cbe為等邊三角形，eba=ebc+cbd=90°，eb是o的切線3.（2019·偃師一模）如圖，在rtabc 中，acb=90°，以 ac 為直徑的o與斜邊ab交于點(diǎn)d，e為bc邊上一點(diǎn)，且de是o的切線（1）求證：be=

10、ec；（2）填空：若b=30°，ac=2則de=；當(dāng)b=°時(shí)，以o，d，e，c為頂點(diǎn)的四邊形是正方形【答案】（1）見解析；（2）3；45.【解析】解：（1）證明：如圖，連接od，acb=90°，ac為o的直徑，ec為o的切線，de為o的切線，ec=ed，edo=90°，bde+ado=90°，od=oa，ado=a，bde+a=90°，a+b=90°，bde=b，be=ec；（2）3；45，理由如下：在rtabc中，b=30°，ac=2，bc=6，由（1）知，e是bc中點(diǎn)，de=bc=3；odec為正方形，dec=

11、90°，de=ce=be，b=45°，故答案為：3；45.4.如圖，ab為o的直徑，c為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)c作o的切線l的垂線bd，垂足為d，bd與o交于點(diǎn)e，連接oc，ce，ae，ae交oc于點(diǎn)f（1）求證：cdeefc；（2）若ab=4，連接ac當(dāng)ac= 時(shí)，四邊形obec為菱形；當(dāng)ac= 時(shí)，四邊形edcf為正方形【答案】見解析【解析】（1）證明：如圖，bdcd，cde=90°，ab是直徑，aeb=90°，cd是切線，fcd=90°，四邊形cfed矩形，cf=de，ef=cd，ce=ce，cdeefc（2）解：當(dāng)ac=2時(shí)，四邊形oceb

12、是菱形理由：連接oeac=oa=oc=2，aco是等邊三角形，cao=aoc=60°，afo=90°，eab=30°，aeb=90°，b=60°，oe=ob，oeb是等邊三角形，eob=60°，coe=180°60°60°=60°，co=oe，coe是等邊三角形，ce=co=ob=eb，四邊形oceb是菱形故答案為2當(dāng)四邊形defc是正方形時(shí)，cf=fe，cef=fce=45°，ocae，弧ac=弧ce，cae=cea=45°，ace=90°，ae是o的直徑，aoc

13、是等腰直角三角形，ac=2ac=2時(shí)，四邊形defc是正方形故答案為25.（2019·三門峽二模）如圖，ab是半圓o的直徑，d為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)a，b重合），連接ad，過點(diǎn)o作ad的垂線，交半圓o的切線ac于點(diǎn)c，交半圓o于點(diǎn)e連接be，de（1）求證：bedc（2）連接bd，od，cd填空：當(dāng)aco的度數(shù)為 時(shí)，四邊形obde為菱形；當(dāng)aco的度數(shù)為 時(shí)，四邊形aodc為正方形【答案】（1）見解析；（2）30；45【解析】解：（1）證明：設(shè)ad，oc交于點(diǎn)p，ocad，apc90°c+cap90°ac是半圓o的切線，caocap+bad90°，

14、badc，bedbad，bedc；（2）30，理由如下：連接bd，如圖：ab是半圓o的直徑，adb90°，dabaco30°，dba60°，oead，弧ae=弧ad，dbeabe30°debdab30°，debabe，deabadb90°，即bdad，oead，oebd，四邊形obde 是平行四邊形oboe四邊形obde是菱形；故答案為30°；45，理由如下： 連接cd、od，bedaco45°，bod2bed90°，aod90°，ocad，oc垂直平分ad，ocdoca45°，acd

15、90°，aco90°，四邊形aodc是矩形，oaod，四邊形aodc是正方形，故答案為45°6.（2019·開封模擬）如圖，cd是o的直徑，且cd2cm，點(diǎn)p為cd的延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)p作o的切線pa、pb，切點(diǎn)分別為a、b（1）連接ac，若apo30°，試證明acp是等腰三角形；（2）填空：當(dāng)弧ab的長為 cm時(shí)，四邊形aobd是菱形；當(dāng)dp cm時(shí)，四邊形aobp是正方形【答案】（1）見解析；（2）；.【解析】解：（1）連接ao，pa是o的切線，pao90°，apo30°，aop60°，oaoc，ccao30&

16、#176;，capo=30°，acp是等腰三角形；（2）若四邊形aobd是菱形，則aoad，aood，aod是等邊三角形，aod60°，aob120°，cd=2，圓o的半徑為1，弧ab的長為：=.若四邊形aobp為正方形時(shí)，則paao1，則op=，od=1，pd=1，所以答案為：17.（2019·西華縣一模）如圖，ab為o的直徑，f為弦ac的中點(diǎn)，連接of并延長交弧ac于點(diǎn)d，過點(diǎn)d作o的切線，交ba的延長線于點(diǎn)e（1）求證：acde；（2）連接cd，若oa=ae=2時(shí)，求出四邊形acde的面積【答案】見解析【解析】證明：（1）f為弦ac（不是直徑）的中

17、點(diǎn)，af=cf，odac，de是o的切線，odde，acde （2）連接cd，acde， oa=ae=2，of=fd，af=cf，afo=cfd，afocfd，safo=scfd，s四邊形acde=sodeod=oa=ae=2，oe=4，由勾股定理得：de=2，s四邊形acde=sode= ×od×oe=×2×2=28.（2019·鄭州聯(lián)考）已知：如圖，abc內(nèi)接于o，ab為直徑，cba的平分線交ac于點(diǎn)f，交o于點(diǎn)d，deab于點(diǎn)e，且交ac于點(diǎn)p，連結(jié)ad（1）求證：dacdba；（2）求證：p是線段af的中點(diǎn)；（3）連接cd，若cd3，b

18、d4，求o的半徑和de的長【答案】見解析【解析】（1）證明：bd平分cba，cbddba，dac與cbd是弧cd所對(duì)的圓周角，daccbd，dacdba；（2）證明：ab為直徑，adb90°，deab于e，deb90°，ade+bdedbe+bde90°，adedbedac，pdpa，dfa+dafade+bde90°，pdfpfd，pdpf，papf，即p是線段af的中點(diǎn)；（3）解：cbddba，cd3，cdad3，由勾股定理得：ab5，即o的半徑為2.5，由de×abad×bd，即：5de3×4，de2.4即de的長為2.49.（2019·安陽二模）如圖，在矩形abcd中，點(diǎn)o在對(duì)角線ac上，以oa的長為半徑的圓o與ad，ac分別交于點(diǎn)e，f，且acbdce（1）判斷直線ce與o的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若tanacb，bc4，求o的半徑【答案】見解析【解析】（1）直線ce與o相切，證明：連接oe，oaoe，eaoaeo，acbdce，aeoacbdce，四邊形