等腰直角三角形難題

1、等腰直角三角形難題一、選擇題（共8小題）1如圖，在等腰直角ABC中AC=AB，BDAH于D，CHAH于H，HE、DF分別平分AHC和ADB，則下列結(jié)論中AHCBDA；DFHE；DF=HE；AE=BF其中，正確的結(jié)論有（）（只需填寫序號(hào)）ABCD2（2012黃埔區(qū)一模）將一個(gè)斜邊長為的一個(gè)等腰直角三角形紙片（如圖1），沿它的對(duì)稱軸折疊1次后得到另一個(gè)等腰直角三角形（如圖2），再將圖2的等腰直角三角形沿它的對(duì)稱軸折疊后得到又一個(gè)等腰直角三角形（如圖3），若連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形（如圖n+1）的斜邊長為（）ABCD3如圖：ABC中，ACB=90°，CAD

2、=30°，AC=BC=AD，CECD，且CE=CD，連接BD，DE，BE，則下列結(jié)論：ECA=165°，BE=BC；ADBE；=1其中正確的是（）ABCD4如圖，在2×3矩形方格紙上，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，則以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A24B38C46D505如圖，ABC中，AC=BC，ACB=90°，AE平分BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC于M，連CD下列結(jié)論：AC+CE=AB；CDA=45°；=定值其中正確的有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)6如圖，在等腰RtABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使MCN=45°

3、，記AM=m，MN=n，BN=x，則以線段x、m、n為邊長的三角形的形狀是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D隨x、m、n的變化而改變7（2006防城港）如圖，在五邊形ABCDE中，A=B，C=D=E=90°，DE=DC=4，AB=，則五邊形ABCDE的周長是（）ABCD8（2010鼓樓區(qū)二模）小明將一張正方形包裝紙，剪成圖1所示形狀，用它包在一個(gè)棱長為10的正方體的表面（不考慮接縫），如圖2所示小明所用正方形包裝紙的邊長至少為（）A40B30+2C20D10+10二、填空題（共12小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值）9下列說法：如圖1，ABC中，AB=AC，A=45°

4、，則ABC能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形如圖2，ABC中，AB=AC，A=36°，BD，CE分別為ABC，ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)F，則圖中等腰三角形有6個(gè)如圖3，ABC是等邊三角形，CDAD，且ADBC，則AD=AB如圖4，ABC中，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，且AE=AB，連接BE并延長至點(diǎn)D，使AD=AC，DAC=CAB，則DBC=DAB其中，正確的有_（請寫序號(hào)，錯(cuò)選少選均不得分）10已知ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)F、F，若FC=3厘米，BE=4厘米，則EFP的面積為_平方厘米11一個(gè)三角形三個(gè)

5、內(nèi)角之比為1：1：2，則這個(gè)三角形的三邊比為_12一個(gè)三角形不同頂點(diǎn)的三個(gè)外角的度數(shù)比是3：3：2，則這個(gè)三角形是_三角形13（2003黃浦區(qū)一模）已知第一個(gè)等腰直角三角形的面積為1，以第一個(gè)等腰直角三角形的斜邊為直角邊畫第二個(gè)等腰直角三角形，又以第二個(gè)等腰直角三角形的斜邊為直角邊畫第三個(gè)等腰直角三角形，以此類推，第13個(gè)等腰直角三角形的面積是_14（2007天水）如圖，AD是ABC的一條中線，ADC=45度沿AD所在直線把ADC翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C´的位置則=_15如圖，在等腰RtABC中，C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持

6、AD=CE連接DE、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化過程中，有下列五個(gè)結(jié)論：DFE是等腰直角三角形； 四邊形CDFE不可能為正方形；DE長度的最小值為4； 四邊形CDFE的面積保持不變；CDE面積的最大值為8其中正確結(jié)論是_16（2011貴陽）如圖，已知等腰RtABC的直角邊長為l，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰RtADE，依此類推到第五個(gè)等腰RtAFG，則由這五個(gè)等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為_17已知ABC的三邊長a、b、c滿足，則ABC一定是_三角形18（2010廈門）如圖，以第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長作為第個(gè)等腰直角三角

7、形的腰，以第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長做為第個(gè)等腰直角三角形的腰，依此類推，若第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為厘米，則第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為_厘米19（2010丹東）已知ABC是直角邊長為1的等腰直角三角形，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰RtADE，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是_20已知ABC是軸對(duì)稱圖形，且三條高的交點(diǎn)恰好是C點(diǎn)，則ABC的形狀是_三、解答題（共6小題）（選答題，不自動(dòng)判卷）21（2010唐山一模）（1）如圖1，以等腰直角ABC的直角邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的

8、中點(diǎn)，則DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系為_；（2）如圖2，以任意直角ABC的直角邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中點(diǎn)，則DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系為_；（3）如圖3，以任意非直角ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中點(diǎn)，試判斷DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（4）如圖4，若以ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角ABE和ACD，其它條件不變，請直接寫出線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系22（2010平房區(qū)一模）如圖1，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作PDQ=90°，DP、DQ分

9、別交直線AC、BC于E、F，分別過E、F作AB的垂線，垂足分別為M、N（1）求證：EM+FN=AC；（2）把PDQ繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長線上時(shí)（如圖2），則線段EM、FN、AC之間滿足的關(guān)系式是_；（3）在PDQ繞點(diǎn)D由圖1到圖2的旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)DP交直線BC于點(diǎn)G，連接BE，若FG=10，AE=3CE，求BE的長23（2009莆田二模）已知在ABC中，A=90°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)（1）如圖，E、F分別是AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=AF，求證：DEF為等腰直角三角形；（2）在（1）的條件下，四邊形AEDF的面積是否變化，證明你的結(jié)論；（3）若E、F分別為AB，

10、CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE=AF，其他條件不變，那么DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論24（2007大連）兩個(gè)全等的RtABC和RtEDA如圖放置，點(diǎn)B、A、D在同一條直線上操作：在圖中，作ABC的平分線BF，過點(diǎn)D作DFBF，垂足為F，連接CE證明BFCE探究：線段BF、CE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論說明：如果你無法證明探究所得的結(jié)論，可以將“兩個(gè)全等的RtABC和RtEDA”改為“兩個(gè)全等的等腰直角ABC和等腰直角EDA（點(diǎn)C、A、E在同一條直線上）”，其他條件不變，完成你的證明，此證明過程最多得2分25（2009德城區(qū)）一位同學(xué)拿了兩塊45°的三角尺M(jìn)NK、ACB做了一個(gè)探

11、究活動(dòng)：將MNK的直角頂點(diǎn)M放在ABC的斜邊AB的中點(diǎn)處，設(shè)AC=BC=a（1）如圖1，兩個(gè)三角尺的重疊部分為ACM，則重疊部分的面積為_，周長為_；（2）將圖1中的MNK繞頂點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖2，此時(shí)重疊部分的面積為_，周長為_；（3）如果將MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖1，圖2的位置，如圖3所示，猜想此時(shí)重疊部分的面積為多少？并試著加以驗(yàn)證26（2007自貢）已知：三角形ABC中，A=90°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，（1）如圖，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE=AF，求證：DEF為等腰直角三角形；（2）若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE=AF，其

12、他條件不變，那么，DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論等腰直角三角形難題參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題）1如圖，在等腰直角ABC中AC=AB，BDAH于D，CHAH于H，HE、DF分別平分AHC和ADB，則下列結(jié)論中AHCBDA；DFHE；DF=HE；AE=BF其中，正確的結(jié)論有（）（只需填寫序號(hào)）ABCD考點(diǎn)：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：利用同角的余角相等，得CAH=ABD，再利用AAS判定AHCBDA；如圖，延長BD與AC相交于點(diǎn)M，延長FD、HE，兩延長線交于點(diǎn)G，證明CHBM，同旁內(nèi)角CHD與MDH互補(bǔ)，兩角的平分線互相垂直；

13、利用角平分線的定義，得EHA=FDB，又EAH=FBD，AH=BD，得出EHAFDB，進(jìn)而得出結(jié)論；根據(jù)EHAFDB，得AE=BF解答：解：CAH+BAD=90°，ABD+BAD=90°CAH=ABD又CHA=ADB=90°，AC=ABAHCBDA（AAS）；如圖，延長BD與AC相交于點(diǎn)M，延長FD、HE，兩延長線交于點(diǎn)GCHD+HDM=90°+90°=180°CHBMDF平分ADBDG平分HDM又HE平分AHCHGD=90°DFHE；EHA=CHAFDB=ADB又CHA=ADBEHA=FDB又EAH=FBD，AH=BDEH

14、AFDBDF=HE；EHAFDBAE=BF；故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，同角的余角相等等知識(shí)2（2012黃埔區(qū)一模）將一個(gè)斜邊長為的一個(gè)等腰直角三角形紙片（如圖1），沿它的對(duì)稱軸折疊1次后得到另一個(gè)等腰直角三角形（如圖2），再將圖2的等腰直角三角形沿它的對(duì)稱軸折疊后得到又一個(gè)等腰直角三角形（如圖3），若連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形（如圖n+1）的斜邊長為（）ABCD考點(diǎn)：等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；規(guī)律型分析：通過分別計(jì)算折疊兩次后的等腰三角形的腰長，歸納總結(jié)得到折疊n次的等腰三角形的腰長等于的n次方，然后根據(jù)等腰直

15、角三角形的斜邊為腰長的倍，即可表示出圖1的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形的斜邊長解答：解：根據(jù)題意得出：第一次折疊后，如圖2，腰長為，第二次折疊后，如圖3，腰長為=（）2，依此類推，將圖1的等腰直角三角形折疊n次后新等腰三角形的腰長為（）n，則將圖1的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形的斜邊長為（）n=（）n1故選C點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理分別計(jì)算出折疊兩次后的等腰三角形的腰長，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，此類題目難度較大，屬于難題3如圖：ABC中，ACB=90°，CAD=30°，AC=BC=AD，CE

16、CD，且CE=CD，連接BD，DE，BE，則下列結(jié)論：ECA=165°，BE=BC；ADBE；=1其中正確的是（）ABCD考點(diǎn)：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)：CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出ECA=165°，從而得證結(jié)論正確；根據(jù)CECD，ECA=165°，利用SAS求證ACDBCE即可得出結(jié)論；根據(jù)ACB=90°，CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性質(zhì)和ACDBCE，求出CBE=30°

17、，然后即可得出結(jié)論；過D作DMAC于M，過D作DNBC于N由CAD=30°，可得CM=AC，求證CMDCND，可得CN=DM=AC=BC，從而得出CN=BN然后即可得出結(jié)論解答：解：CAD=30°，AC=BC=AD，ACD=ADC=（180°30°）=75°，CECD，DCE=90°，ECA=165°正確；CECD，ECA=165°（已證），BCE=ECAACB=16590=75°，ACDBCE（SAS），BE=BC，正確；ACB=90°，CAD=30°，AC=BC，CAB=ABC=4

18、5°BAD=BACCAD=4530=15°，ACDBCE，CBE=30°，ABF=45+30=75°，AFB=1801575=90°，ADBE證明：如圖，過D作DMAC于M，過D作DNBC于NCAD=30°，且DM=AC，AC=AD，CAD=30°，ACD=75°，NCD=90°ACD=15°，MDC=DMCACD=15°，在CMD和CND中，CMDCND，CN=DM=AC=BC，CN=BNDNBC，BD=CD正確所以4個(gè)結(jié)論都正確故選D點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判

19、定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題4如圖，在2×3矩形方格紙上，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，則以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A24B38C46D50考點(diǎn)：等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：網(wǎng)格型；規(guī)律型分析：以格點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長度可取8個(gè)數(shù)值：1，2，2，3以這些線段組成的等腰直角三角形的斜邊有以下四種情況，2，2，；然后按斜邊長分四類來進(jìn)行計(jì)數(shù)即可解答：解：（1）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是小正方形的對(duì)角線，這樣的線段有12條，每條這樣的線段對(duì)應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有2×12=24（個(gè)）

20、同理（2）當(dāng)斜邊長為2時(shí)，共有6+2×4=14（個(gè)） （3）當(dāng)斜邊長為2時(shí)，共有2×4=8（個(gè)） （4）當(dāng)斜邊長為時(shí)，共有4（個(gè)） 綜上所述，滿足要求的等腰直角三角形共有24+14+8+4=50（個(gè)）故選D點(diǎn)評(píng)：（1）利用分類討論的數(shù)學(xué)思想求解時(shí)，一定要做到分類既不重復(fù)，又不遺漏；（2）請讀者嘗試以下兩種思路解答本題：以等腰直角三角形的直角邊的不同情況來分類討論求解；利用軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱性求解5如圖，ABC中，AC=BC，ACB=90°，AE平分BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC于M，連CD下列結(jié)論：AC+CE=AB；CDA=45°；=定值其中正確

21、的有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)考點(diǎn)：等腰直角三角形；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題分析：過E作EQAB于Q，作ACN=BCD，交AD于N，過D作DHAB于H，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CE=EQ，DM=DH，根據(jù)勾股定理求出AC=AQ，AM=AH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定求出BQ=QE，即可求出；根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出CND=45°，證ACNBCD，推出CD=CN，即可求出；證DCMDBH，得到CM=BH，AM=AH，即可求出解答：解：過E作EQAB于Q，ACB=90&

22、#176;，AE平分CAB，CE=EQ，ACB=90°，AC=BC，CBA=CAB=45°，EQAB，EQA=EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ，QEB=45°=CBA，EQ=BQ，AB=AQ+BQ=AC+CE，正確；作ACN=BCD，交AD于N，CAD=CAB=22.5°=BAD，DBA=90°22.5°=67.5°，DBC=67.5°45°=22.5°=CAD，DBC=CAD，AC=BC，ACN=DCB，ACNBCD，CN=CD，ACN+NCE=90°，NCB+BC

23、D=90°，CND=CDN=45°，ACN=45°22.5°=22.5°=CAN，AN=CN，NCE=AEC=67.5°，CN=NE，CD=AN=EN=AE，正確，正確；過D作DHAB于H，MCD=CAD+CDA=67.5°，DBA=90°DAB=67.5°，MCD=DBA，AE平分CAB，DMAC，DHAB，DM=DH，在DCM和DBH中M=DHB=90°，MCD=DBA，DM=DH，DCMDBH，BH=CM，由勾股定理得：AM=AH，=2，正確；故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)三角形的外角性質(zhì)，三

24、角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵6如圖，在等腰RtABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使MCN=45°，記AM=m，MN=n，BN=x，則以線段x、m、n為邊長的三角形的形狀是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D隨x、m、n的變化而改變考點(diǎn)：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題分析：把ACN繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得CBD，這樣ACM+BCN=45°就集中成一個(gè)與MCN相等的角，在一條直線上的

25、m、x、n集中為DNB，只需判定DNB的形狀即可解答：解：如圖：作ACMBCD，ACM=BCD，CM=CD，MCN=NCD=45°，又CN=CN，MNCDNC，MN=ND，AM=BD=m，又DBN=45°+45°=90°，n2=m2+x2故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，難度較大，注意掌握旋下列情形常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換：（1）圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°；（2）圖形中有線段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對(duì)稱全等三角形；（3）圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端

26、點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合7（2006防城港）如圖，在五邊形ABCDE中，A=B，C=D=E=90°，DE=DC=4，AB=，則五邊形ABCDE的周長是（）ABCD考點(diǎn)：等腰直角三角形；多邊形內(nèi)角與外角菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：可連接CE，作AFCE，BGCE于F、G，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出AB、AE+BC，進(jìn)而求出答案解答：解：連接CE，作AFCE，BGCE于F、G，根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理和已知條件，可得CDE，AEF，BCG都是等腰直角三角形，則CE=4，F(xiàn)G=AB=，AE+BC=3×=6，所以五邊形的周長是4+4+

27、6+=14+故選B點(diǎn)評(píng)：此題主要是作輔助線，發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形注意：等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍8（2010鼓樓區(qū)二模）小明將一張正方形包裝紙，剪成圖1所示形狀，用它包在一個(gè)棱長為10的正方體的表面（不考慮接縫），如圖2所示小明所用正方形包裝紙的邊長至少為（）A40B30+2C20D10+10考點(diǎn)：等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：所求正方形的邊長即為AB的長，在等腰RtACF、CDE中，已知了CE、DE、CF的長均為10，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求得AC、CD的長，由AB=AC+CD+BD即可得解解答：解：如圖；連接AB，則AB必過C、D；RtACF中，AC=AF，CF=10；則A

28、C=AF=5；同理可得BD=5；RtCDE中，DE=CE=10，則CD=10；所以AB=AC+CD+BD=20；故選C點(diǎn)評(píng)：理清題意，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵二、填空題（共12小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值）9下列說法：如圖1，ABC中，AB=AC，A=45°，則ABC能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形如圖2，ABC中，AB=AC，A=36°，BD，CE分別為ABC，ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)F，則圖中等腰三角形有6個(gè)如圖3，ABC是等邊三角形，CDAD，且ADBC，則AD=AB如圖4，ABC中，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，且AE=AB，連接BE并延長至點(diǎn)D，使AD

29、=AC，DAC=CAB，則DBC=DAB其中，正確的有（請寫序號(hào)，錯(cuò)選少選均不得分）考點(diǎn)：等腰直角三角形；角平分線的定義；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題分析：不管過A（或過B或過C）作直線，都不能把三角形ABC分成兩個(gè)等腰三角形，即可判斷；求出A=ABD=DBC=ACE=BCE=36°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出三角形其余角的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的判定定理推出邊相等，即可判斷；求出ACD=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AD=AC，即可判斷；過C

30、作CFBD交AB的延長線于F，連接DC，EF，求出EF=BC，證三角形全等推出DE=EF，DC=CF，推出CD=BC，推出CDB=CBD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出CDB=CAB即可解答：解：若ABC中，AB=AC，A=45°，不論過A作直線（或過B作直線或過C作直線）都不能把三角形ABC化成兩個(gè)等腰三角形，錯(cuò)誤；圖中，有等腰三角形7個(gè)：ABD，CBD，ACE，CDE，BEF，CDF，F(xiàn)BC，錯(cuò)誤；等邊ABC，AB=AC，ACB=60°，ADBC，CDAD，DCB=D=90°，ACD=30°，AD=AC=AB，正確；過C作CFBD交AB的延長線于F，連接

31、DC，EF，=，AE=AB，AD=AC，AF=AC=AD，CE=BF，即BECF，CE=BF，四邊形BECF是等腰梯形，EF=BC，在DAC和FAC中，DACFAC，CD=CF，同理DE=EF，AD=AC，AE=AB，ADC=ACD，AEB=ABE，DAC=BAC，DAC+ACD+ADC=180°，CAB+AEB+ABE=180°，ACD=AEB，AEB=DEC，ACD=DEC，DE=CD，DC=CF=EF=ED，EF=CB，DC=BC，CBD=CDE，DCA=DEC=AEB=ABE，由三角形的內(nèi)角和定理得：CDE=CAB=DAB，DBC=DAB，正確故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考

32、查了等邊三角形性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判斷，角平分線定義，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，第小題證明過程偏難，對(duì)學(xué)生提出較高的要求，熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵10已知ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)F、F，若FC=3厘米，BE=4厘米，則EFP的面積為平方厘米考點(diǎn)：等腰直角三角形；三角形的面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題分析：根據(jù)題意PCF可看作PAE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，然后利用等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出EF的長，進(jìn)而可得出面積

33、解答：解：A、連接AP，在ABC中，AB=AC，BAC=90°，CP=BP，APC=EPF=90°，APF=90°APE=BPE，又AP=BP，F(xiàn)AP=EBP=45°，F(xiàn)APEBP，PE=PF，可知AF=BE，又AC=AB，AE=CF，EF2=AC2+AF2=25，PE=PF=厘米面積=平方厘米故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合等腰直角三角形考查了旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，難度較大，要學(xué)會(huì)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)解答幾何問題11一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：1：2，則這個(gè)三角形的三邊比為1：1：考點(diǎn)：等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)角度的關(guān)系可以求出三角形的角的度數(shù)，進(jìn)而就可以求

34、出邊的比解答：解：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：1：2三角分別為180°×=45°，180°×=45°，180°×=90°故三角形為等腰直角三角形，這個(gè)三角形的三邊比為1：1：點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形三邊及三角的關(guān)系，需同學(xué)們熟練掌握12一個(gè)三角形不同頂點(diǎn)的三個(gè)外角的度數(shù)比是3：3：2，則這個(gè)三角形是等腰直角三角形考點(diǎn)：等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知這個(gè)三角形的形狀解答：解：由題意，設(shè)這三個(gè)外角的度數(shù)分別為：3X，3X，2X，則對(duì)應(yīng)的相鄰的內(nèi)角分別為：18

35、0°3X，180°3X，180°2X，則180°3X+180°3X+180°2X=180°，解得X=45°，則三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為：45°，45°，90°，這個(gè)三角形是等腰直角三角形點(diǎn)評(píng)：本題通過設(shè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)和三角形內(nèi)角和定理建立方程，求得三角形的各角的度數(shù)后判定三角形的形狀13（2003黃浦區(qū)一模）已知第一個(gè)等腰直角三角形的面積為1，以第一個(gè)等腰直角三角形的斜邊為直角邊畫第二個(gè)等腰直角三角形，又以第二個(gè)等腰直角三角形的斜邊為直角邊畫第三個(gè)等腰直角三角形，以此類推，第

36、13個(gè)等腰直角三角形的面積是4096考點(diǎn)：等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：規(guī)律型分析：由已知條件得出規(guī)律：每作一次圖，三角形面積變?yōu)樵瓉淼?倍利用規(guī)律推理即可求解解答：解：根據(jù)題意：每作一次圖，三角形面積變?yōu)樵瓉淼?倍；且第一個(gè)等腰直角三角形的面積為1，故第13個(gè)等腰直角三角形的面積是1×212=4096點(diǎn)評(píng)：本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題14（2007天水）如圖，AD是ABC的一條中線，ADC=45度沿AD所在直線把ADC翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C´的位置則=考點(diǎn)：等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)可

37、知CD=CD，CDA=ADC=45°，易證明CDB是等腰直角三角形，所以可求得BC=BD=×BC，整理即可求得比值解答：解：CD=CD，CDA=ADC=45°CDC=BDC=90°BD=CDBD=CD；即CDB是等腰直角三角形，BC=BD=×BC=點(diǎn)評(píng)：本題利用了：折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；等腰直角三角形的性質(zhì)求解15如圖，在等腰RtABC中，C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE連接

38、DE、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化過程中，有下列五個(gè)結(jié)論：DFE是等腰直角三角形； 四邊形CDFE不可能為正方形；DE長度的最小值為4； 四邊形CDFE的面積保持不變；CDE面積的最大值為8其中正確結(jié)論是考點(diǎn)：等腰直角三角形；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；壓軸題分析：解答此題的關(guān)鍵是在于判斷DFE是否等腰直角三角形；做常規(guī)輔助線，連接CF，由SAS定理可得CFEADF，從而可證DFE=90°可得DF=EF，可得DFE是等腰直角三角形正確；，再由補(bǔ)割法可證是正確的判斷與，DFE是等腰直角三角形；可得DE=DF，當(dāng)DFBC時(shí)，DF最小，DE取最小值4，故錯(cuò)誤

39、，CDE最大的面積等于四邊形CDEF的面積減去DEF的最小面積，由可知是正確的，個(gè)，故正確解答：解；連接CFABC為等腰直角三角形，F(xiàn)CB=A=45°，CF=AF=FB，AD=CE，ADFCEF，EF=DF，CFE=AFD，AFD+CFD=90°CFE+CFD=EFD=90°，EDF是等腰直角三角形，正確；當(dāng)D、E分別為AC，BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDEF是正方形，因此錯(cuò)誤；ADFCEF，SCEF=SADF，是正確的；DEF是等腰直角三角形，當(dāng)DE最小時(shí)，DF也最小，即當(dāng)DFAC時(shí)，DE最小，此時(shí)DF=BC=4，DE=DF=4，錯(cuò)誤；當(dāng)CDE面積最大時(shí)，由知，此時(shí)D

40、EF的面積最小，此時(shí)，SCDE=S四邊形CEFDSDEF=SAFCSDEF=168=8，正確綜上所述正確的有故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，是一道難題16（2011貴陽）如圖，已知等腰RtABC的直角邊長為l，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰RtADE，依此類推到第五個(gè)等腰RtAFG，則由這五個(gè)等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為15.5考點(diǎn)：等腰直角三角形；三角形的面積；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；壓軸題；規(guī)律型分析：根據(jù)ABC是邊長為L的等腰直角

41、三角形，利用勾股定理分別求出RtABC、RtACD、RtADE的斜邊長，然后利用三角形面積公式分別求出其面積，找出規(guī)律，再按照這個(gè)規(guī)律得出第四個(gè)、第五個(gè)等腰直角三角形的面積，相加即可解答：解：ABC是邊長為1的等腰直角三角形，SABC=×1×1=212；AC=，AD=2，SACD=××=1=222；SADE=×2×2=2=232第n個(gè)等腰直角三角形的面積是2n2SAEF=242=4，SAFG=252=8，由這五個(gè)等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為+1+2+4+8=15.5故答案為：15.5點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰直角三角形、三角形

42、面積公式和勾股定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)ABC是邊長為1的等腰直角三角形分別求出RtABC、RtACD、RtADE的面積，找出規(guī)律17已知ABC的三邊長a、b、c滿足，則ABC一定是等腰直角三角形考點(diǎn)：等腰直角三角形；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；勾股定理的逆定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷即可解答：解：ABC的三邊長a、b、c滿足，a1=0，b1=0，c=0，a=1，b=1，c=a2+b2=c2，ABC一定是等腰直角三角形點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是：一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與某個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

43、以及另一數(shù)的平方的和等于0，那么算術(shù)平方根的被開方數(shù)為0，絕對(duì)值里面的代數(shù)式的值為0，平方數(shù)的底數(shù)為0及勾股定理的逆定理18（2010廈門）如圖，以第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長作為第個(gè)等腰直角三角形的腰，以第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長做為第個(gè)等腰直角三角形的腰，依此類推，若第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為厘米，則第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為厘米考點(diǎn)：等腰直角三角形；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；規(guī)律型分析：先設(shè)第個(gè)等腰直角三角形的斜邊是x，第個(gè)的等腰直角三角形的斜邊是x，那么第個(gè)等腰直角三角形的斜邊是2x，從而有第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊是（）n1x，根據(jù)題意可得（）91x=16，解即可解答：解

44、：設(shè)第個(gè)等腰直角三角形斜邊長是x，根據(jù)題意得：（）91x=16，16x=16，x=點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是找出規(guī)律，然后才可以得出關(guān)于x的方程，解出x19（2010丹東）已知ABC是直角邊長為1的等腰直角三角形，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰RtADE，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是考點(diǎn)：等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；規(guī)律型分析：依次、反復(fù)運(yùn)用勾股定理計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果即可得到結(jié)論解答：解：根據(jù)勾股定理，第1個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是，第2個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是2=（）2，第3個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是2

45、=（）3，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是（）n點(diǎn)評(píng)：根據(jù)勾股定理一步一步計(jì)算，找出規(guī)律，解答20已知ABC是軸對(duì)稱圖形，且三條高的交點(diǎn)恰好是C點(diǎn)，則ABC的形狀是等腰直角三角形考點(diǎn)：等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：已知ABC是軸對(duì)稱圖形，則ABC是等腰三角形，且三條高的交點(diǎn)恰好是C點(diǎn)，故ABC是直角三角形；故ABC的形狀是等腰直角三角形解答：解：ABC是軸對(duì)稱圖形，且三條高的交點(diǎn)恰好是C點(diǎn)，則ABC的形狀是等腰直角三角形點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等三、解

46、答題（共6小題）（選答題，不自動(dòng)判卷）21（2010唐山一模）（1）如圖1，以等腰直角ABC的直角邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中點(diǎn)，則DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系為DE=2AM；（2）如圖2，以任意直角ABC的直角邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中點(diǎn)，則DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系為DE=2AM；（3）如圖3，以任意非直角ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中點(diǎn)，試判斷DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（4）如圖4，若以ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角ABE和ACD，其它條件不變，請直接寫出線段

47、DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）易知四邊形BCDE是正方形，那么ED=BC，且ABC是等腰直角三角形，由此可得ED=BC=2AM（2）解法與（1）類似，由于ABE、ACD都是等腰直角三角形，可證得RtABCRtAED，則BC=DE，而AM是斜邊BC上的中線，即可得到ED=BC=2AM（3）與（1）（2）的結(jié)論相同，仍然要用全等三角形來求解延長BA到F，使得BA=AF，連接FC，易知AM是BCF的中位線，即CF=2AM，因此只需證得ED=CF即可由于EAF、CAD都是直角，減去同一個(gè)角DAF后，得到EAD=CAF，而

48、AF=AE、CA=AD，由此可得ADEACF，由此得證（4）思路和解法與（3）完全相同解答：解：（1）由于ABC、ABE和ACD都是全等的等腰直角三角形，所以AE=AB=AC=AD，且ECBD，則四邊形ABCD是正方形，故DE=BC=2AM（2）ABE和ACD都是等腰直角三角形，BAE=CAD=BAC=EAD=90°，且AE=AB，AC=AD，EADBAC，DE=BC；而AM是RtABC斜邊上的中線，則DE=BC=2AM（3）DE=2AM；理由如下：延長BA至F，使得BA=AF；則AM是BCF的中位線，CF=2AMBAE=EAF=CAD=90°，EAD=FAC=90

49、6;DAF，又AE=AF=AB，AD=AC，AEDAFC，得DE=CF，故DE=2AM（4）DE=2AM，解法和（3）完全相同點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大22（2010平房區(qū)一模）如圖1，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作PDQ=90°，DP、DQ分別交直線AC、BC于E、F，分別過E、F作AB的垂線，垂足分別為M、N（1）求證：EM+FN=AC；（2）把PDQ繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長線上時(shí)（如圖2），則線段EM、FN、AC之間滿足的關(guān)系式是EMFN=AC；（3）在

50、PDQ繞點(diǎn)D由圖1到圖2的旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)DP交直線BC于點(diǎn)G，連接BE，若FG=10，AE=3CE，求BE的長考點(diǎn)：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題分析：（1）連接CD，由D為等腰直角三角形斜邊AB的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一得到CD垂直于AB，CD為角平分線，從而得到ECD=B=45°，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=DB，再由EDC與CDF互余，且CDF與FDB互余，根據(jù)同角的余角相等得到EDC=FDB，根據(jù)ASA可得三角形CED與三角形FBD全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得ED=FD，再根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等，一對(duì)直角

51、相等，且DE=DF，根據(jù)AAS得到三角形EDM與三角形FND全等，可得MD=FN，又三角形AEM為等腰直角三角形，故EM=AM，所以EM+FN等量代換為AD，而在等腰直角三角形ACD中，根據(jù)45°的余弦函數(shù)定義可得AD=AC，從而得證；（2）連接CD，同理可得EMFN=AC；（3）過D作DH垂直于AC，又BC垂直于AC，得到DH與BC平行，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到H也為AC中點(diǎn)，得到DH為三角形ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到DH等于BC的一半，即為AC的一半，又AE=3EC，得到AC=2EC，從而得到BC=2EC，可得HD=EC，設(shè)CE=x，則AE=3x，AC=AECE=2x，可得AH=HC=CE=x，且AC=BC=EH=2EC=2x，由HAD=45°，AHD=90°，得到AHD為等腰直角三角形，同理AEM和FND都為等腰直角三角形，可表示出AM=EM=AE=x，進(jìn)而得到HD=AH=x，由EC=CH=x，得到C為HE的中點(diǎn)，即CG為中位線，根據(jù)三角形中位線定理得到CG=HD=x，用GB=BCCG，表示出GB，由第二問得到EMFN=AC，將表示出的EM及AC代入表示出FN，即為DN，利用勾股定理表示出BF，由GF=GB+BF