高考一輪復(fù)習(xí)選修極坐標(biāo)與參數(shù)方程

1、選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程1坐標(biāo)系與極坐標(biāo)(1)理解坐標(biāo)系的作用(2)能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(3)能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示圖形時(shí)選擇坐標(biāo)系的意義2參數(shù)方程(1)了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義(2)能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程(3)掌握直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義，能用直線的參數(shù)方程解決簡單的相關(guān)問題知識點(diǎn)一極坐標(biāo)系1極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定

2、點(diǎn)O，點(diǎn)O叫作極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，Ox叫作極軸；再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位及其正方向，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫作點(diǎn)M的極徑，記為.極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫作點(diǎn)M的極角，記為.極坐標(biāo)：有序數(shù)對(，)叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，則它們之間的關(guān)系為：易誤提醒1極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化易錯(cuò)用互化公式在解決此類問題時(shí)考生要注意兩個(gè)方面：一是準(zhǔn)確應(yīng)用公式，二是注意方程中的限制條件2在極坐標(biāo)系下，點(diǎn)的極坐標(biāo)不

3、唯一性易忽視注意極坐標(biāo)(，)(，2k)，(，2k)(kZ)表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)自測練習(xí)1設(shè)平面上的伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為則在這一坐標(biāo)變換下正弦曲線ysinx的方程變?yōu)開解析：由知代入ysinx中得y3sin2x.答案：y3sin2x2點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，)，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為_解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(1，)在第四象限，與原點(diǎn)的距離為2，且OP與x軸所成的角為，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.答案：3(2015高考北京卷)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線(cossin)6的距離為_解析：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，)，直線(cossin)6的直角坐標(biāo)方程為xy60，所以點(diǎn)(1，)到直線的距離d1.答案：1知識點(diǎn)二參數(shù)方程參數(shù)方程的概念一

4、般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)x，y是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個(gè)允許值，由函數(shù)式所確定的點(diǎn)P(x，y)都在曲線C上，那么方程叫作這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫作參變數(shù)，簡稱參數(shù)相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫作普通方程易誤提醒1在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則不等價(jià)2直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義，且其幾何意義為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|t|.自測練習(xí)4在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為_解析：依題意，消去參數(shù)可得x2

5、y1，即xy10.答案：xy105在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓(為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線(t為參數(shù))平行的直線截橢圓所得的弦長為_解析：橢圓的普通方程為1，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)直線的普通方程為x2y20，過點(diǎn)(1,0)與直線x2y20平行的直線方程為x2y10，由得4x22x110，所以所求的弦長為.答案：考點(diǎn)一曲線的極坐標(biāo)方程|1在極坐標(biāo)系下，已知圓O：cossin和直線l：sin.(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0，)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)解：(1)圓O：cossin，即2cossin，圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2y2xy，即x2y2xy0，直線l：s

6、in，即sincos1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為：yx1，即xy10.(2)由得故直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為.2(2016長春模擬)已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為2，22cos2.(1)將圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程解：(1)由2知24，所以x2y24.因?yàn)?2cos2，所以222.所以x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為xy1.化為極坐標(biāo)方程為cossin1，即sin.直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的關(guān)注點(diǎn)(1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角的表示方法具有周期性，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)(，)的形式不唯一，即

7、一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無窮多個(gè)當(dāng)限定0，0,2)時(shí)，除極點(diǎn)外，點(diǎn)M的極坐標(biāo)是唯一的(2)當(dāng)把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，求極角應(yīng)注意判斷點(diǎn)M所在的象限(即角的終邊的位置)，以便正確地求出角0,2)的值考點(diǎn)二曲線的參數(shù)方程|1已知曲線C1：(t為參數(shù))曲線C2：(為參數(shù))(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為t，Q為C2上的動點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：(t為參數(shù))的距離的最小值解：(1)曲線C1：(x4)2(y3)21，曲線C2：1，曲線C1是以(4,3)為圓心，1為半徑的圓；曲線C2是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3

8、的橢圓(2)當(dāng)t時(shí)，P(4,4)，Q(8cos，3sin)，故M.曲線C3為直線x2y70，M到C3的距離d|4cos3sin13|，從而當(dāng)cos，sin時(shí)，d取最小值.2已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos，3sin)到l的距離為d|4cos3sin6|.則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin

9、()1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為.參數(shù)方程化為普通方程，主要用“消元法”消參，常用代入法、加減消元法、利用三角恒等式消元等在參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意保持同解變形考點(diǎn)三極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用|(2015高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin，C3：2cos.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值解(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐

10、標(biāo)為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R，0)，其中00，又0，且t10，t20.|PM|PN|t1|t2|t1t2|4(sincos)4sin，由，得，0)為極坐標(biāo)方程；(2)化曲線的極坐標(biāo)方程8sin為直角坐標(biāo)方程解：(1)將xcos，ysin代入x2y2r2，得2cos22sin2r2，2(cos2sin2)r2，r.所以，以極點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為r(04，直線l與圓C相離5傾斜角為的直線l過點(diǎn)P(8,2)，直線l和曲線C：(為參數(shù))交于不同的兩點(diǎn)M1，M2.(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，并寫出直線l的參數(shù)方程；(2)求|PM1|PM2|的取值范圍解：(

11、1)曲線C的普通方程為1，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)將l的參數(shù)方程代入曲線C的方程得：(8tcos)28(2tsin)232，整理得(8sin2cos2)t2(16cos32sin)t640，由(16cos32sin)2464(8sin2cos2)0，得cossin，故，|PM1|PM2|t1t2|.B組高考題型專練1(2015高考廣東卷改編)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sin，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A，求點(diǎn)A到直線l的距離解：由2sin得2，所以yx1，故直線l的直角坐標(biāo)方程為xy10，而點(diǎn)A對應(yīng)的直角坐標(biāo)為A(2，2)，所以點(diǎn)A(2，2)到直線l：xy10的距離為.2(2015高考全國卷)

12、在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積解：(1)因?yàn)閤cos，ysin，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos4sin40.(2)將代入22cos4sin40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.3(2015高考湖南卷)已知直線l：(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos.(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|MA|MB|的值解：(1)2cos等價(jià)于22cos.將2x2y2，cosx代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.(2)將代入，得t25t180，設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義知，|MA|MB|t1t2|18.4(2015高考陜西