高考數(shù)學主題復習——函數(shù)周期性與對稱性

1、函數(shù)的周期性與對稱性函數(shù)周期性與對稱性 1. 常見函數(shù)周期:y=sinx，最小正周期T2； y=cosx，最小正周期T2； y=tanx，最小正周期T； y=cotx，最小正周期T.周期函數(shù)f(x) 最小正周期為T,則y=Af(x+)+k 的最小正周期為T/|.2.幾種特殊的抽象函數(shù)的周期：函數(shù)滿足對定義域內任一實數(shù)（其中為常數(shù)）, ，則是以為周期的周期函數(shù)； ，則是以為周期的周期函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù)； ，則是以為周期的周期函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù).，則是以為周期的周期函數(shù).，則是以為周期的周期函數(shù).函數(shù)滿足（），若為奇函數(shù)，則其周期為，若為偶函數(shù)，則其周期為.函數(shù)的圖象關于直

2、線和都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)的圖象關于兩點、都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)的圖象關于和直線都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；（二）主要方法：判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)要抓住兩點：一是對定義域中任意的恒有; 二是能找到適合這一等式的非零常數(shù)，一般來說，周期函數(shù)的定義域均為無限集.解決周期函數(shù)問題時，要注意靈活運用以上結論，同時要重視數(shù)形結合思想方法的運用，還要注意根據(jù)所要解決的問題的特征來進行賦值。二、對稱性：函數(shù)關于原點對稱即奇函數(shù)： 函數(shù)關于對稱即偶函數(shù)： 函數(shù)關于直線 對稱：或或 者 函數(shù)關于點對稱：1f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)=0在區(qū)

3、間（0，6）內解的個數(shù)的最小值是 A2； B3； C4； D5（ ）2設函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）A0B1CD53已知f(x)是R上的偶函數(shù)，對都有f(x6)=f(x)f(3)成立，若f(1)=2，則f(2011)=( )A、2005 B、2 C、1 D、04 設f（x）是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f（x）在(0,3)內單調遞減，且y=f（x）的圖象關于直線x=3對稱，則下面正確的結論是 （ ）(A)； (B)；(C)； (D)5設函數(shù)與的定義域是,函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于A. B. C. D.6.已知定義在R上的函數(shù)f (x)的圖象關于成中心對稱，且滿足f (x) =, f

4、(0) = 2，則f (1) + f (2) + f (2010)的值為（ ）A2 B1 C0 D17.已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則的值是 高考資源網(wǎng) A.0 B. C.1 D. 8.若是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，則 9.定義域為R，且對任意都有，若則=_10設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x)的圖象關于直線對稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 。11：已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明: (

5、1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調遞減. 12. 已知函數(shù)yf (x)是定義在上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)是奇函數(shù)又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值. 證明：；求的解析式；求在4,9上的解析式.13設是R上的偶函數(shù)（）求a的值；（）證明f（x）在（0，+）上是增函數(shù)14設（）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于直線對稱對任意，都有（）（）·（），且f(1)=()求； ()證明（）是周期函數(shù)； （）記（），求參考答案7.解析：令，則；令，則由得，所以，故選擇A。8.2 9. 10.011.證明: (1)由f(x)+f

6、(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0. f(x)=f(x). f(x)為奇函數(shù). (2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減. 令0<x1<x2<1,則f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0<x1<x2<1,x2x1>0,1x1x2>0，>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0，x2x1<1x2x1,0<<1,由題意知f()<0，即f(x2)<f(x1). f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且

7、f(0)=0 f(x)在(1，1)上為減函數(shù).12.解：f (x)是以為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，當時，由題意可設，由得，是奇函數(shù)，又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù)，可設，而，當時，f (x)=-3x，從而當時，故時，f (x)= -3x，.當時，有，0. 當時， 13.（I） 解：依題意，對一切有，即 所以對一切成立. 由此得到即a2=1. 又因為a0，所以a=1. （II）證明一：設0x1x2， 由 即f（x）在（0，+）上是增函數(shù) 證明二：由得 當時，有此時 所以f（x）在（0，+）上是增函數(shù)14.()解：因為對，都有（）（）·（x）,所以（）0， ()證明：依題設（）關

8、于直線對稱，故（）（）， 即（）（），R又由（）是偶函數(shù)知（）（），R，（）（），R，將上式中以代換，得（）（），這表明（）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期. （）解：由()知（）， （）的一個周期是2 （）=（）,因此an=（三）典例分析： 問題1(山東)已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為 xyBA問題2(上海) 設的最小正周期且為偶函數(shù),它在區(qū)間上的圖象如右圖所示的線段,則在區(qū)間上, 已知函數(shù)是周期為的函數(shù)，當時，當 時，的解析式是 是定義在上的以為周期的函數(shù)，對，用表示區(qū)間，已知當時，求在上的解析式。 問題3（福建）定義在上的函數(shù)滿足，當時，則 ； ； （天津文） 設是定義在上以為周

9、期的函數(shù)，在內單調遞減，且的圖像關于直線對稱，則下面正確的結論是 問題4定義在上的函數(shù)，對任意，有，且，求證：；判斷的奇偶性；若存在非零常數(shù),使，證明對任意都有成立；函數(shù)是不是周期函數(shù)，為什么？問題5（全國）設是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關于直線對稱，對任意的，都有.設，求、；證明：是周期函數(shù).記，求.（四）鞏固練習： （北京春）若存在常數(shù)，使得函數(shù)滿足，的一個正周期為 設函數(shù)（）是以為周期的奇函數(shù)，且，則 函數(shù)既是定義域為的偶函數(shù)，又是以為周期的周期函數(shù)，若在上是減函數(shù)，那么在上是增函數(shù) 減函數(shù) 先增后減函數(shù) 先減后增函數(shù)設，記，則 （五）課后作業(yè)： 已知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且當時，則的

10、值為 設偶函數(shù)對任意，都有，且當時，則 設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對于任意的，都有，當時，則 已知是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，滿足，且時，.求時，的表達式；證明是上的奇函數(shù)（朝陽模擬）已知函數(shù)的圖象關于點對稱，且滿足，又，求的值（六）走向高考： （福建）是定義在上的以為周期的奇函數(shù)，且在區(qū)間內解的個數(shù)的最小值是 （安徽）定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個正周期若將方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)記為，則可能為 (全國)已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且滿足，當時，則等于( ) （安徽）函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若，則 (福建文）已知是周期為的奇函數(shù)，當時，設則（天津）定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期

11、函數(shù)，若的最小正周期是，且當時，則的值為 （天津）設是定義在上的奇函數(shù)，且的圖象關于直線對稱，則 （廣東）設函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間上，只有（）試判斷函數(shù)的奇偶性；（）試求方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)，并證明你的結論【選擇題】1.f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，它的最小正周期為T，則f（）的值為A.0B.C.TD.2.（2004天津）定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若f（x）的最小正周期是，且當x0，時，f（x）=sinx，則f（）的值為A. B.C.D.【填空題】3.設是定義在上，以2為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上，=,則= 4.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且等式f(4

12、+x)f(4-x)，對一切實數(shù)x成立，寫出f(x)的一個最小正周 5.對任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,則f(69)= 6.設f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且，又當x(0，3時，f(x)=2x，則f(2007)= ?！窘獯痤}】7.設函數(shù)f(x)的最小正周期為2002，并且f(1001+x)=f(1001x)對一切xR均成立，試討論f(x)的奇偶性.8.設f(x)為定義在實數(shù)集上周期為2的函數(shù)，且為偶函數(shù)，已知x2,3時f(x)=x，求x-2,0時f(x)的解析式。9.設f(x)是定義在（-，+）上的函數(shù)，對一切xR均有f(x)+f(x+2)=0，當-1<x1時，f(x)=2x-1，求當1<x3時，函數(shù)f(x)的解析式。10.（2005廣東）設函數(shù)在上滿足， f(7-x)=f(7+x)，且