難點19軌跡方程的求法

1、難點 19 軌跡方程的求法難點 22 軌跡方程的求法求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個根本問題之一 . 求符合某種條件的動點的軌跡方 程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系 . 這 類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等根底知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學 思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們 的一大難點 .難點磁場()A、B為兩定點，動點 M到A與到B的距離比為常數(shù) 入,求點M 的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線 .案例探究例 1如下圖， P (4 ， 0) 是圓 x 2+y 2=36 內(nèi)的一點， A 、 B 是圓上

2、兩動點， 且滿足/ APB =90,求矩形 APBQ的頂點Q的軌跡方程.命題意圖：此題主要考查利用“相關(guān)點代入法求曲線的軌跡方程，屬級 題目.知識依托：利用平面幾何的根本知識和兩點間的距離公式建立線段 AB 中點的軌跡方 程.錯解分析：欲求 Q 的軌跡方程,應(yīng)先求 R 的軌跡方程,假設(shè)學生思考不深刻,發(fā)現(xiàn)不 了問題的實質(zhì),很難解決此題 .技巧與方法：對某些較復雜的探求軌跡方程的問題,可先確定一個較易于求得的點的 軌跡方程,再以此點作為主動點,所求的軌跡上的點為相關(guān)點,求得軌跡方程.解：設(shè) AB 的中點為 R ,坐標為 (x , y ),那么在 Rt ABP 中, |AR |=|PR |. 又因

3、為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在 Rt OAR中, |AR |2=|AO |2- |OR |2=36 (x2+y 2)又 |AR |=|PR |=(x -4) 2+y 2所以有(x 4) 2+y 2=36 (x 2+y 2), 即 x 2+y 2 4x 10=0因此點 R 在一個圓上,而當 R 在此圓上運動時, Q 點即在所求的軌跡上運動 . 設(shè) Q (x , y ), R (x 1, y 1) ,因為 R 是 PQ 的中點,所以 x 1=代入方程 x 2+y 2 4x 10=0, 得x +4y +0, , y 1=22x +42y x +410=0 ) +() 2-4 ?222整理得： x

4、 2+y 2=56, 這就是所求的軌跡方程 .例2設(shè)點A和B為拋物線y 2=4px (p 0)上原點以外的兩個動點，OA丄OB , 0M丄AB，求點 M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.(2000年北京、安徽春招)命題意圖：此題主要考查“參數(shù)法求曲線的軌跡方程，屬級題目知識依托：直線與拋物線的位置關(guān)系 .錯解分析：當設(shè) A 、 B 兩點的坐標分別為 (x 1, y 1),(x 2, y 2)時，注意對“ x1=x 2 的討論 .技巧與方法：將動點的坐標 x 、 y 用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消掉這些量，從 而就建立了關(guān)于 x 、 y 的關(guān)系 .解法一：設(shè) A (x 1, y 1), B (

5、x 2, y 2), M (x , y )依題意，有(?2? y 1=4px 1 ? 2? y 2=4px 2 ? y 1y 2=-1? ?x x ? 12? y y 1-y 2=-1 ? ?x x -x 12? y 1-y 2y -y 1x -x x -x 12一得(y 1 y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1 x 2)假設(shè) x 1 工x 2,那么有 y 1-y 24px 1-x 2y 1+y 23,得 y 122y 22=16p 2x 1x 2代入上式有y 1y 2= 16p 2代入，得 4p xy 1+y 2y 代入，得y -y 1y -y 14p=2y 1+y 2x -x 1yx

6、 -14p所以4p (y -y 1) 4p = 2y 1+y 24px -y 1即 4px y 12=y (y 1+y 2) y 12 y 1y 2 、代入上式，得 x 2+y 2 4px =0(x 工0)當x仁x 2時，AB丄x軸，易得 M (4p ,0)仍滿足方程.故點M的軌跡方程為x 2+y 2 4px =0x工0它表示以2p ,0 為圓心，以2p為 半徑的圓，去掉坐標原點 .解法二：設(shè) M x , y ，直線 AB 的方程為 y =kx +bx由0M丄AB，得k =y由 y 2=4px 及 y =kx +b ，消去 y , 得 k 2x 2+2kb 4p x +b 2=0b 2所以 x

7、 1x 2=2, 消 x , 得 ky 2 4py +4pb =0k所以 y 1y 2=4pb，由 0A 丄 0B，得 y 1y 2= x 1x 2 kb 24pk所以 = 2, b = 4kpk kx代入，得 x 2+y 2 4px =0x 工 0 y故動點M的軌跡方程為x 2+y 2 4px =0x工0，它表示以2p ,0 為圓心，以2p 為半徑的圓，去掉坐標原點 .例 3某檢驗員通常用一個直徑為2 cm 和一個直徑為 1 cm 的標準圓柱，檢測一個直徑為 3 cm 的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個適宜的同號標準圓柱，問這兩個 標準圓柱的直徑為多少？命題意圖：此題考查“定義法求曲線的

8、軌跡方程，及將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力，屬級題目知識依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點錯解分析：正確理解題意及正確地將此實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是順利解答此題的關(guān) 鍵.技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當?shù)淖鴺讼?，找到動圓圓心的軌跡方程 .解：設(shè)直徑為 3,2,1 的三圓圓心分別為 O 、A 、B ，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓 P 、Q , 使它們與O O相內(nèi)切，與O A、O B相外切建立如下圖的坐標系，并設(shè)O P的半徑為 r ,那么|P A |+|PO|=1+r +1.5 r =2.5點P在以A、O為焦點，長軸長2.5的橢圓上，其方程為故 y =kx +b =k (x 4p ), 用 k =

9、 116(x +) 22+2y =1 253同理 P 也在以 O 、 B 為焦點，長軸長為 2 的橢圓上，其方程為14(x ) 2+y 2=1 23由、可解得P (1*, ), Q (, -)， r = -() 2+() 2=1* *414故所求圓柱的直徑為6cm. 7錦囊妙計求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法 .(1) 直接法 直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標化，列出等式化 簡即得動點軌跡方程 .(2) 定義法 假設(shè)動點軌跡的條件符合某一根本軌跡的定義 ( 如橢圓、雙曲線、拋物線、 圓等 ) ，可用定義直接探求 .分別隨另一變量的變化而變化，我們(

10、3) 相關(guān)點法 根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程 .(4) 參數(shù)法 假設(shè)動點的坐標 (x , y )中的 x , y可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性 . 要注意區(qū)別“軌跡與“軌跡方程 是兩個不同的概念 .殲滅難點訓練 一、選擇題1.( ) 橢圓的焦點是 F 1、F 2，P 是橢圓上的一個動點，如果延長 F 1P 到 Q ，使得 |PQ |=|PF 2| ，那么動點 Q 的軌跡是 ( )A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線的一支 D. 拋物線x 2y 22.( ) 設(shè) A 1、A 2 是橢圓=1的長軸兩個端點， P 1、P 2 是

11、垂直于 A 1A 2 的弦 +94的端點，那么直線A 1P 1與A 2P 2交點的軌跡方程為()x 2y 2A. +=194x 2y 2C. -=1 94 二、填空題y 2x 2B. +=1 94y 2x 2D. -=1943. ( ) ABC中，A 為動點，B、C 為定點，B ( sin B =a a,0), C (,0) ，且滿足條件 sin C 221sin A , 那么動點 A 的軌跡方程為 . 24. ( )高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m,如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為 A ( 5， 0) 、B (5， 0) ，那么地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的 點的軌跡

12、方程是 .三、解答題5. () A、B、C是直線I上的三點，且|AB |=|BC |=6, O O 切直線I于點A ,又過B、C作O O 異于I的兩切線，設(shè)這兩切線交于點 P，求點P的 軌跡方程x 2y 26. ( ) 雙曲線 2-2=1 的實軸為 A 1A 2 ,點 P 是雙曲線上的一個動點,引 A 1Q 丄a bA 1P , A 2Q丄A 2P , A 1Q與A 2Q的交點為 Q，求Q點的軌跡方程.x 2y 27. ( )雙曲線 2-2=1(m 0, n 0)的頂點為A 1、A 2，與y軸平行 的直線m nI 交雙曲線于點 P 、 Q .(1) 求直線 A 1P 與 A 2Q 交點 M 的

13、軌跡方程；(2) 當m工n時，求所得圓錐曲線的焦點坐標、準線方程和離心率x 2y 28. ( )橢圓 2+2=1(a b 0),點P為其上一點，F(xiàn) 1、F 2為橢圓的焦點,Z F 1PF 2的外角平分線為l，點F 2關(guān)于l的對稱點為Q , F 2Q交l于點R(1) 當 P 點在橢圓上運動時，求 R 形成的軌跡方程；(2) 設(shè)點 R 形成的曲線為 C ，直線 l ：y =k (x +2a ) 與曲線 C 相交于 A 、B 兩點， 當AAOB的面積取得最大值時，求k的值.參考答案難點磁場解：建立坐標系如下圖，設(shè)|AB |=2a , 那么A ( a ,0 ) , B (a ,0). 設(shè)M (x ,y

14、 )是軌跡上任意一點 .(x +a ) 2+y 2|MA |那么由題設(shè)，得=入,坐標代入，得=22|MB |(x -a ) +y入,化簡得(1 入 2) x 2+(1 入 2) y 2+2a (1+ 入 2) x +(1 入 2) a 2=0 當入=1時，即|M A|=|M B|時，點M的軌跡方程是x =0 ,點M的軌跡是直線(y 軸).2a (1+ 入 2) 2(2) 當入工1時，點M的軌跡方程是 x +y +x +a =0. 點M的軌跡是以1- 入222a (1+ 入2) 2a 入(,0)為圓心，為半徑的圓.221- 入|1-入|殲滅難點訓練一、1.解析：t |PF 1|+|PF 2|=2

15、a ,|PQ |=|PF 2|,二 |PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ|=2a ,即|F 1Q |=2a ,二動點Q到定點F 1的距離等于定長2a ,故動點Q的軌跡是圓. 答案： A2. 解析：設(shè)交點 P (x , y), A 1( 3,0), A 2(3,0),P 1(x 0, y 0), P 2(x 0,y 0) tA 1、P 1、P 共線，二y -y 0yx -x 0x +3y+y 0yx -x 0x -3 A 2、P 2、P 共線，二x 0y 093y x 2y 2 解得 x 0=, y 0=, 代入得 -=1, 即-=1x x 9494答案：C11二、3. 解析：由 s

16、in C sin B =sin A , 得 c b =a ,2216x 216y 2a a應(yīng)為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為2-=1(x ).42a 3a 216x 216y 2a答案： 2-=1(x )4a 3a 24. 解析：設(shè) P (x , y )，依題意有225(x +5) +y3(x -5) +y22, 化簡得 P 點軌跡方程為4x 2+4y 2 85x +100=0.答案： 4x 2+4y 2 85x +100=0三、5.解：設(shè)過B、C異于I的兩切線分別切O O 于D、E兩點，兩切線交于點P .由切線的性質(zhì)知：|BA |=|BD |, |PD |=|PE |, |CA |=|CE

17、 | ，故 |PB |+|PC |=|BD|+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=186=|BC |，故由橢圓定義知，點 P 的軌跡是以 B 、 C 為兩焦點的橢圓，以 I 所在的直線為 x 軸，以 BC 的中點為原點，建立坐標系，可求得動點 P 的軌跡x 2y 2方程為=1(y工0) +81726. 解：設(shè) P (x 0, y 0) (x 工土 a ), Q (x , y ).v A 1( a ,0), A 2(a ,0).y 0 ? y ? x 0=- x (x 0 工土 a ) ? x +a x +a =

18、-1 ? ? 0得? 由條件 ? x 2-a 2y y y =0? ? 0?=-1y ? ? x -a x -a 0?而點 P (x 0, y 0) 在雙曲線上， b 2x 02 a 2y 02=a 2b 2.x 2-a 2222即 b ( x ) a () =a by化簡得Q點的軌跡方程為：a 2x 2 b 2y 2=a 4x 工土 a .又有 A 1( 7. 解： (1) 設(shè) P 點的坐標為 (x 1, y 1) ，那么 Q 點坐標為 (x 1,y 1),m ,0), A 2(m ,0), 那么 A 1P 的方程為： y =y 1(x +m ) x 1+my 1(x -m ) x 1-m222(x -m ) 2A 2Q 的方程為： y = 3得：y =2y 12x 1-mx 1y 1n 222又因點 P 在雙曲線上，故 2-2=1, 即 y 1=2(x 1-m 2).m n m x 2y 2代入并整理得 2+2=1. 此即為 M 的軌跡方程 .m n(2) 當m工n時，M的軌跡方程是橢圓.i 當m n時，焦點坐標為土 m -n ,0，準