三角形中位線中的常見輔助線

1、三角形中位線中的常見輔助線知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一中點(diǎn)一、與中點(diǎn)有關(guān)的概念三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線等腰三角形底邊的中線三線合一（底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合）三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊.直角三角形斜邊中線：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半斜邊中線判定：若三角性一邊上的中線等于該邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形、與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線方法一：倍長中線解讀：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的

2、目的可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段,從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的。V方法二：構(gòu)造中位線解讀：凡是出現(xiàn)中點(diǎn)，或多個(gè)中點(diǎn)，都可以考慮取另一邊中點(diǎn)，或延長三角形一邊，從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的。方法三：構(gòu)造三線合一解讀：只要出現(xiàn)等腰三角形，或共頂點(diǎn)等線段，就需要考慮構(gòu)造三線合一，從而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：構(gòu)造斜邊中線解讀：只要出現(xiàn)直角三角形，或直角，則考慮連接斜邊中線段，第一可以出現(xiàn)三條等線段，第二可以出現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形，從而轉(zhuǎn)化線段關(guān)系。其他位置的也要能看出常見考點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線考點(diǎn)說凡是出現(xiàn)中點(diǎn)，或多個(gè)中點(diǎn)，都可以考慮取四邊形對(duì)角線中點(diǎn)、等腰三角形底邊中點(diǎn)、直角明：三角形斜邊中點(diǎn)或其

3、他線段中點(diǎn)；證七二角彩一滴，從而狀釗松I浩二角彩中位緯的目的。題中有中點(diǎn)，莫忘中位線”,與此很相近的幾何思想是題中有中線，莫忘加倍延”，這兩個(gè)是常用幾何思想，但注意倍長中線的主要目的是通過構(gòu)造三角形全等將分散的條件集中起來平移也有類似作用.典型例題【例1】已知：AD是AABC的中線，AE是乙、ABD的中線，且ABBD，求證：AC2AE.舉一反三1 .如右下圖，在ABC中，若B2C,ADBC,E為BC邊的中點(diǎn).求證：AB2DE.DE2 .在ABC中，ACB90,ACBC，以BC為底作等腰直角BCD,E是CD的中點(diǎn)，求證：AEEB且AEBE.【例2已知四邊形ABCD的對(duì)角線ACBD，E、F分別是A

4、D、BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF分別交AC、BD于M、N，求證：/AMN/BNM.舉一反三1 .已知四邊形ABCD中，ACBD,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF交AC于M；EF交BD于N,AC和BD交于G點(diǎn)-求證：GMNGNM.F2 .已知：在ABC中，BCAC，動(dòng)點(diǎn)D繞ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且ADBC，連結(jié)DC過AB、DC的中點(diǎn)E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N-(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合，取AC的中點(diǎn)H，連結(jié)HE、HF ,求證：AMFBNE(2)轉(zhuǎn)到圖2中的位置時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D旋BNE有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明.AMF與【例3】 如圖，在五邊形A

5、BCDE中，ABCAED 90 , BAG EAD , F為CD的中點(diǎn).求證:BFEF.舉一反三1如圖所示，在三角形ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長CA、CB到點(diǎn)E、F,使DE=DF.過E、F分別作直線CA、CB的垂線，相交于點(diǎn)P,設(shè)線段PA、PB的中點(diǎn)分別為M、N.求證：(1) DEM也FDN;(2) PAEPBF.C3. 已知：在ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM，和CAN,P是邊BC的中點(diǎn).求證：PMPNABD和ACE都是直角三角形，且ABD ACE的，連接CD4. 如圖所示，已知DE，設(shè)M為DE的中占八、(1)求證MBMC.MC是否成立?請(qǐng)證明你(2)設(shè)BADCA

6、E，固定RtABD,讓RtACE移至圖示位置，此時(shí)MB的結(jié)論.在A ABC中，M是BC邊中5.AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向/ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，點(diǎn)中點(diǎn)，連接MD和ME(1)如圖1所示，若AB=AC，貝UMD和ME的數(shù)量關(guān)系是如圖2所示，若AB-AC其他條件不變，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過程；的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中在任意ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC修“、的形狀.點(diǎn)，連接MD和ME，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接判斷 MED例4以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90連接DE,M、N

7、分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)如圖當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是;線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是90)后，如圖所示，問中得到的(2)將圖中的等腰RtABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)兩個(gè)結(jié)(0論是否發(fā)生改變？并說明理由.圖圖舉一反三1 .(1)如圖1,BD、CE分別是AABC的外角平分線，過點(diǎn)A作ADBD、AECE,垂足分別為D、E,1連接DE求證：DE/BC,DEABBCAC2(2)如圖2,BD、CE分別是ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變；(3)如圖 3, BD件不變。則在圖2、圖ABC的內(nèi)角平分線，CE ABC的外角平分線，其他條3兩種情況下，DE

8、、BC還平行嗎？它與ZAABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你寫出猜測，并給與證明.AAA2 .已知ABC中，ACB90,AB邊上的高線CH與ABC的兩條內(nèi)角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn)PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EFAB.cMAOB 60 , P、Q、R 分【例5等腰梯形ABCD中，AB/CD,ACBD,AC與BD交于點(diǎn)。，別是OA、BC、OD的中點(diǎn),求證：PQR是正三角形.舉一反三1.AD是ABC的中線，5是人口的中點(diǎn),BF的延長線交AC于E求證：AE-AC.3D【例6】如左下圖，在梯形ABCD中，ABCD,E、F分別是AC、BD中點(diǎn).求證：EFAB，且1EFABCD.2舉一反三

9、2.在課外小組活動(dòng)時(shí)，小慧拿來一道題(原問題)和小東,小明交流原問題：如圖1，已知ABC,ACB90,ABC45，分別以AB,BC為邊向外作ABD和BCE，且DADB,EBEC,ADBBEC90,連接DE交AB于點(diǎn)F,探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系。小慧同學(xué)的思路是：過點(diǎn)D作DGAB于G，構(gòu)造全等三角形，通過推理使問題得解小東同學(xué)說：我做過一道類似的題目，不同的是，ABC 30 , ADB BEC 60小明同學(xué)經(jīng)過合情推理，提出一個(gè)猜想，我們可以把問題推廣到一般情況。請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問題:(1)寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系1)中得到的(2)如圖2,若ABC3

10、0,ADBBED60.原問題中的其他條件不變,你在(結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明；(3)如圖 3,若 ADB BEC2ABC,原問題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明。圖1ECE圖2圖3BC、，點(diǎn) /W、真題演練1.已知：ZAOB中，ABOB2,COD中，CD0C3,ZABOZDCO.連接AD、N、P分別為AO、DOBC的中點(diǎn).、(1)如圖1,若A、C三點(diǎn)在同一直線上，且ZABO60。，則4PMN的形狀是一，此時(shí)AD(2)如圖2,若A、。、C三點(diǎn)在同一直線上，且ZABO2證明pmnCBAo，并計(jì)算罟的值(用含的式子表示)；PM的最大值.

11、(3)在圖2中，固定AOB，將COD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，直接寫出2.如圖,D是AABC中AB邊的中點(diǎn)，ZBCE和AACF都是等邊三角形，M、N分別是CE、CF的中點(diǎn).(1)求證：DMN是等邊三角形；(2)連接EF，Q是EF中點(diǎn)，CP_LEF于點(diǎn)P.求證：DP二DQ.同學(xué)們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面兩位同學(xué)的解題思路作為參考：小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點(diǎn)，因此考慮構(gòu)造三角形的中位線，添加出了一些輔助線；小慧同學(xué)想到要證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構(gòu)造出相應(yīng)的三角形呢？她考慮將NCM繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到要證的對(duì)應(yīng)線段的位置，由此猜想到了所需構(gòu)造的三角形的位置3.點(diǎn)在/、ABC中，D為

12、BC邊的中點(diǎn)，在三角形內(nèi)部取一P,使得/ABP=/ACP.過點(diǎn)P作PE_LAB于點(diǎn)E,PF_LAC于點(diǎn)F.(1)如圖1,當(dāng)AB=AC時(shí)，判斷的DE與DF的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論；(2)如圖2,當(dāng)ABAC,其它條件不變時(shí)，(1)中的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明理由.圖1圖2圖3圖1圖24.探究問題：已知AD、BE分別為ABC的邊BC、AC上的中線，且AD、BE交于點(diǎn)0.(1)ABC為等邊三角形，如圖1，則A0:0D=;(2)當(dāng)小明做完(1)問后繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若ABC為一般三角形(如圖2),(1)中的結(jié)論仍成立，請(qǐng)你給予證明(3)運(yùn)用上述探究的結(jié)果，解決下列問題：如圖3,在AABC中，點(diǎn)E是邊AC

13、的中點(diǎn)，AD平分/BAC,AD_LBE于點(diǎn)F，若AD=BE=4.求：ABC的周長.5.如圖1，在四邊形ABCD中，ABCD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點(diǎn)M、N，貝UBMECNE（不需證明）.（溫馨提示：在圖1中，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)H，連結(jié)HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HEHF，從而12，再利用平行線性質(zhì)，可證得BMECNE.）問題一：如圖2,在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)0,ABCD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF，分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷AOMN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論.問題二：如圖3，在ABC中，ACAB,D

14、點(diǎn)在AC上，ABCD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn),連結(jié)EF并延長，與BA的延長線交于點(diǎn)G，若EFC60,連結(jié)GD，判斷/AGD的形狀并證明.6.我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.經(jīng)過證明我們可得三角形重心具備下面的性質(zhì):重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1 請(qǐng)你用此性質(zhì)解決下面的問題已知：如圖，點(diǎn)0為等腰直角三角形ABC的重心,CAB 90，直線m過點(diǎn)0,過A B、C三點(diǎn)分別作直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E、(1)當(dāng)直線m與BC平行時(shí)(如圖1)，請(qǐng)你猜想線段BE、CF和AD三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明;(2)當(dāng)直線m繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)到與BC不平行時(shí)，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AD、BE、CF三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，不需證明.AVAOB和VCOD ，其中AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),7.以平