自動(dòng)控制理論課件第七章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、第第7 7章章 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析離散系統(tǒng)的時(shí)域分析學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 離散信號(hào)及其表示；離散信號(hào)及其表示； 系統(tǒng)的差分方程和模擬圖；系統(tǒng)的差分方程和模擬圖； 單位函數(shù)和單位響應(yīng)；單位函數(shù)和單位響應(yīng)； 離散系統(tǒng)的卷積和及其應(yīng)用。離散系統(tǒng)的卷積和及其應(yīng)用。 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析，認(rèn)識(shí)信號(hào)的許多特征，連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析，認(rèn)識(shí)信號(hào)的許多特征，為系統(tǒng)分析提供了重要方法。與連續(xù)時(shí)間信號(hào)對(duì)應(yīng)為系統(tǒng)分析提供了重要方法。與連續(xù)時(shí)間信號(hào)對(duì)應(yīng)離散時(shí)間信號(hào)的分析與處理方法，同樣也是非常重離散時(shí)間信號(hào)的分析與處理方法，同樣也是非常重要的研究領(lǐng)域。要的研究領(lǐng)域。7.1 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)7.1.1 離散信號(hào)的概念與

2、表示離散信號(hào)的概念與表示 離散時(shí)間信號(hào)是在一系離散時(shí)間信號(hào)是在一系(t1,t2,t3,)列離散時(shí)列離散時(shí)刻才有意義的信號(hào)。離散信號(hào)是離散時(shí)間變量刻才有意義的信號(hào)。離散信號(hào)是離散時(shí)間變量tn的的函數(shù)。這種信號(hào)既可對(duì)連續(xù)信號(hào)取樣得到，也可以函數(shù)。這種信號(hào)既可對(duì)連續(xù)信號(hào)取樣得到，也可以對(duì)本來(lái)的離散取值得到。如每月的銷售額對(duì)本來(lái)的離散取值得到。如每月的銷售額,每天的每天的平均溫度等等。均為離散取值。平均溫度等等。均為離散取值。55如工程上的氣溫、壓力、流量、高度、電壓、電流等在離散時(shí)刻的數(shù)據(jù)，都屬于離散時(shí)間信號(hào)。離散信號(hào)由每隔時(shí)間T出現(xiàn)的樣點(diǎn)組成，則表示為f(nT).為了方便更具有意義，則 f(nT)

3、寫為f(n).這樣f(n)也可以表示離散時(shí)間函數(shù)也可以表示離散變量函數(shù)，又稱為f(n)為序列。 離散的函數(shù)值也常常畫成一條條的垂直線，如圖所示，其中每條直線的端點(diǎn)才是實(shí)際的函數(shù)值。在數(shù)字技術(shù)中函數(shù)的取樣值并不是任意取值的，而必須將幅度加以量化，也就是幅度的數(shù)值，只能在一組預(yù)定的數(shù)據(jù)中取值，如圖所示。f kt1t2t10012345678kt1t2t100k(a) 離散時(shí)間信號(hào)(b) 數(shù)字信號(hào)f kn把連續(xù)的模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)取樣、量化、編碼、轉(zhuǎn)變成離散的數(shù)字信號(hào)的過(guò)程稱為模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換（A/D轉(zhuǎn)換）；相反，由數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)變成模擬信號(hào)的過(guò)程稱為數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換D/A轉(zhuǎn)換）。利用這樣的轉(zhuǎn)換，可以把模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成

4、數(shù)字信號(hào)，如圖所示。A/D轉(zhuǎn)換器數(shù)字信號(hào)處理器D/A轉(zhuǎn)換器模擬信號(hào)輸入模擬信號(hào)輸出機(jī)器人系統(tǒng)對(duì)機(jī)械手的控制。信號(hào)的變化如下圖。1 1單位序列單位序列 0, 10, 0)(nnn 時(shí)移性時(shí)移性比例性比例性)(),(jncnc 抽樣性抽樣性)()0()()(nfnnf 注意：注意：nO)(n 11 jnjnjn, 1, 0)( n)1( n 11O 。不是面積不是面積取有限值取有限值在在，幅度為，幅度為表示，表示，強(qiáng)度強(qiáng)度用面積用面積0)(; 0 )( nntt 典型的離散信號(hào)利用單位序列表示任意序列利用單位序列表示任意序列mmnmn)()()( ,.,00305110nnf12341on nf5

5、 . 13 235 . 11 nnn 2 2單位階躍序列單位階躍序列0001)(nnn0)()3()2() 1()()(kknnnnnn: )(樣值之和可以看作是無(wú)數(shù)個(gè)單位n) 1()()(nnn 積分關(guān)系。是差和關(guān)系，不再是微與nnnO111 2 33 3矩形序列矩形序列 NnnNnnRN, 00101)( )()()(NnnnRnN的關(guān)系：與no)(nRN111 2 31 N4 4單邊指數(shù)序列單邊指數(shù)序列 nanxn nanOn11 123410 aOn11 12341 a nanOn11 12341 a nanOn11 123401 a nan5 5正弦序列正弦序列數(shù)數(shù)值值。個(gè)個(gè)重重復(fù)復(fù)

6、一一次次正正弦弦包包絡(luò)絡(luò)的的則則序序列列每每當(dāng)當(dāng)?shù)牡乃偎俾事?。序序列列值值依依次次周周期期性性重重?fù)復(fù)正正弦弦序序列列的的頻頻率率10 ,102,:00 0sin nnx 15On1 10 0sin n t0sin 1 sin 0是周期序列應(yīng)滿足是周期序列應(yīng)滿足離散正弦序列離散正弦序列nnx N稱為序列的稱為序列的周期周期，為任意，為任意正整數(shù)正整數(shù)。 nxNnx 0cos nnx 余弦序列：余弦序列：7.1.2 離散信號(hào)的基本運(yùn)算 在數(shù)字信號(hào)處理中常常要在多個(gè)序列之間進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算，以得到一個(gè)新的序列。最基本的運(yùn)算是序列相加、相乘以及延時(shí)。 (1)兩序列同一時(shí)刻的取值逐個(gè)對(duì)應(yīng)相加或減所形成的

7、新序列。 ),()(),()(21nnfnnnf)() 1()()()()()(21nnnnnnfnfnf(2)兩序列的積：兩個(gè)序列相乘是指兩序列中同序列的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘的。 )()()()(),()(),()(2121nnnfnfnfnnfnnnf3.序列的延時(shí)(移位)：若序列f(n)滿足取值f(n)=f1(n-n0)，則稱序列f(n)是序列f1(n)延時(shí)n0個(gè)取樣間隔的復(fù)現(xiàn)，式中n0為整數(shù)。當(dāng)n0=1時(shí)，稱為單位延時(shí)，其運(yùn)算符號(hào)如圖所示。4.分支運(yùn)算：一個(gè)信號(hào)加到系統(tǒng)中兩點(diǎn)或更多點(diǎn)的過(guò)程稱為分支運(yùn)算，其運(yùn)算表示符號(hào)如圖所示。5.序列的標(biāo)乘： y(n) =Af(n)=表示序列x的每個(gè)取樣

8、值同乘以常數(shù)A所形成的新序列，其運(yùn)算符號(hào)如圖所示。 顯然我們可以把 看作是無(wú)窮多個(gè)單位取樣序列疊加而成的，故)(n0)()(mmnn7.2 離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng) 系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，則稱連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。若輸入信號(hào)和輸出信號(hào)都是離則稱連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。若輸入信號(hào)和輸出信號(hào)都是離散時(shí)間信號(hào)，則稱離散系統(tǒng)。散時(shí)間信號(hào)，則稱離散系統(tǒng)。7.2.1 差分方程差分方程拉氏變換法變換域分析零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)特解經(jīng)典法：齊次解時(shí)域分析:連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)微分方程描述微分方程描述 變換法變換域分析零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)特解經(jīng)典法：齊次解時(shí)域分析z

9、:離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)差分方程描述差分方程描述 差分方程的解法與微分方程類似差分方程的解法與微分方程類似 連續(xù)系統(tǒng)以微分方程來(lái)描述，離散系統(tǒng)則以差連續(xù)系統(tǒng)以微分方程來(lái)描述，離散系統(tǒng)則以差分方程來(lái)描述。分方程來(lái)描述。滿足下列微分方程和輸入電路，其輸出以下面)()(tutuRCscRtutudttduCcsc)()()()(1)(1)(tuRCtuRCdttduscc)()(nTunTttuTcc各點(diǎn)的取樣值其在取樣，對(duì)微分方程，用等間隔足夠小，則有微分的定義，當(dāng) TTnTuTnudttduccc)() 1()(可得取樣值為各點(diǎn)的也作等間隔取樣時(shí)，在當(dāng)輸入),()(nTunTttuss)(1)

10、(1)() 1(nTuRCnTuRCTnTuTnuscccc)()() 1(1nbunaunuTscc ，上式可以寫為令RCbRCa1,11似為差分方程。足夠小，微分方程就近這樣取樣間隔T理。程時(shí)，正是利用這一原數(shù)字計(jì)算機(jī)求解微分方如何表示？底的本息總額個(gè)月月，那么儲(chǔ)戶第，銀行支付的月利率為為個(gè)月的存款額銀行存款，若第設(shè)某人每月月初定期在)()(nynnfn得差分方程：存款數(shù)個(gè)月又存入的；第的月息額個(gè)月月底的本息總應(yīng)包括三部分，第分析：),() 1() 1();1(1)(nfnnynynynny)() 1()1 ()()() 1() 1()(nfnynynfnynyny。是一階非齊次差分方程為

11、各節(jié)點(diǎn)對(duì)地電壓為梯形電阻網(wǎng)絡(luò)，設(shè)各點(diǎn),.2 , 1 , 0),(nnuRnunuRnuRnunuKCL) 1()()()() 1(,有根據(jù)程。為常數(shù)，則求其差分方序號(hào)，0)() 12() 1() 1(nuanunu整理可得差分方程。是關(guān)于節(jié)點(diǎn)電壓的齊次階差分方程為輸出關(guān)系的，則描述系統(tǒng)輸入輸入信號(hào)為，為散系統(tǒng)，若響應(yīng)信號(hào)對(duì)于一個(gè)線性是不變離Nnfny-)()(二階差分方程。最小序號(hào)之差。上式為的最大序號(hào)與響應(yīng)序列序列差分方程的階數(shù)為未知)(0)2() 1() 12()(nunuanuMrNkrnfbknya0r0k)()()() 1() 1()()() 1()2() 1()(M1 -M10N1

12、 -N21MnfbMnfbnfbnfbNnyaNnyanyanyany程。分方程，右移位差分方上式差分方程為向后差。是滿足線性和時(shí)不變性離散系統(tǒng)的最重要性質(zhì)LTI)()(),(nynfnf則有和輸入齊次性：對(duì)于任意常數(shù))()(nynf即)()()()(),()(212121nynynfnfnfnf則有和可加性：對(duì)于輸入)()()()(,2211221121nynynfnf則有和線性：對(duì)于任意常數(shù)變性時(shí)不變系統(tǒng)也稱位移不則有數(shù)時(shí)不變性：對(duì)于任意整),()(,mnymnfm離散系統(tǒng)的時(shí)域模擬2 . 2 . 7器。器、常數(shù)乘法器和加法基本運(yùn)算單元為延時(shí)線性時(shí)不變差分方程，的運(yùn)算單元模擬。對(duì)于離散系統(tǒng)

13、也可以用適當(dāng)試畫出其模擬框圖。分方程為，設(shè)一階離散系統(tǒng)的差例).() 1()(17nfnyny乘法器和一個(gè)加法器。的常數(shù)時(shí)器，一個(gè)系數(shù)為可見只要用一個(gè)單位延)() 1()(nfnyny本環(huán)節(jié)。的基本結(jié)構(gòu)是重要的基解：模擬一階差分方程aDf (n)y(n)圖描述，試畫出其模擬框差分方程設(shè)一數(shù)字處理器以如下例27解：將差分方程改寫)2() 1()()2() 1()(21021nfbnfbnfbnyanyany)2() 1()()2() 1()(21021nfbnfbnfbnyanyany圖如下則其上式關(guān)系的模擬框系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)3 . 2 . 7。便于推廣用于高階系統(tǒng)這種模擬圖規(guī)律性強(qiáng)，系數(shù)。對(duì)應(yīng)

14、方程左端移位項(xiàng)的和的系數(shù)；反饋通路對(duì)應(yīng)輸入信號(hào)項(xiàng)和通路與原方程比較，其前向21210,aabbb。零輸入的求解方法如下應(yīng)。零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響離散系統(tǒng)的響應(yīng)也分為設(shè)有如下一階差分方程例370) 1()(nyny試求零輸入響應(yīng)。已知起始狀態(tài), 2) 1(y各值。值以后的響應(yīng)起始狀態(tài)是是指統(tǒng)的零輸入響應(yīng)通常解：在無(wú)外加輸入時(shí)系),2(),1(0yyn故有) 1()(nyny響應(yīng)有如下形式的等比級(jí)數(shù)，故零輸入是公比為)(ny) 1 ()2()0() 1 () 1()(yyyynyny)0()0()(nynyn)0(2)(2) 1()0() 1()0(nnyyyyyn則得零輸入響應(yīng)：的值導(dǎo)出。應(yīng)由起始

15、狀態(tài)式中特征根決定的。列的形式，它有系統(tǒng)的輸入響應(yīng)具有指數(shù)序由此可見，一階系統(tǒng)零時(shí)的零輸入響應(yīng)。求系統(tǒng)在起始狀態(tài)設(shè)有二階離散系統(tǒng)例0, 6)2(2) 1(, 0)2(1 . 0) 1(7 . 0)(47nyynynyny指數(shù)序列的形式。知道特征根，就可得故特征根0-本例中，特征方程為2 . 05 . 021，可得特征根01 . 07 . 02的特征方程為，先寫出差分方程對(duì)應(yīng)解：與連續(xù)系統(tǒng)相同的02 . 05 . 0)(212211nKKKKnynnnn兩個(gè)特征根決定則零輸入響應(yīng)的形式有) 1 ()0()2() 1(21yyyyKK和導(dǎo)出初始值和，應(yīng)首先有起始狀態(tài)和確定系數(shù)2 . 1) 1(1

16、. 0)0(7 . 0) 1 (12)2(1 . 0) 1(7 . 0)0(0yyynyyyn時(shí)，時(shí)，2 . 12 . 05 . 0) 1 (2)0(2121KKyKKy從而有,32,3821KK得系數(shù)nnny)2 . 0(32)5 . 0(38)(得零輸入響應(yīng)0,)(2211nKKKnynnnnnn輸入響應(yīng)的基本形式號(hào)為零時(shí)，其零階差分方程，當(dāng)輸入信對(duì)于，零輸入響形式為差分方程齊次解的基本，解的基本形式為不同的是微分方程齊次求解過(guò)程非常相似，差分方程和微分方程的nitie定的初始狀態(tài)。響應(yīng)時(shí)注意正確運(yùn)用給.),(,21,13, 8 , 5 , 3 , 2 , 1 , 1 , 057并求解請(qǐng)寫

17、出數(shù)列的差分方程個(gè)數(shù)值為第設(shè)數(shù)列的契數(shù)列。該數(shù)列為用是關(guān)于斐波那一個(gè)差分方程的重要應(yīng)例nyn0)2() 1()()2() 1()(nynynynynynyn用差分表示項(xiàng)總是前兩項(xiàng)之和，第解：觀察數(shù)列規(guī)律，其01-:, 1) 1 (, 0)0(2差分方程的特征方程方程初始條件：yy，解：25-1251210,)251()251()(21nKKnynn齊次解1)251()251() 1 (0)0(2121KKyKKy0,)251(55)251(55)(55,55121nnyKKnn557.3 卷積和及其應(yīng)用卷積和及其應(yīng)用 任意信號(hào)任意信號(hào)f(t)都可以表示為沖激信號(hào)的線性組合，都可以表示為沖激信號(hào)

18、的線性組合，7.3.1 離散信號(hào)的分解與卷積和離散信號(hào)的分解與卷積和 離散信號(hào)離散信號(hào)f(n)也可以表示為單位序列信號(hào)的線性也可以表示為單位序列信號(hào)的線性組合。組合。dtftf)()()()0()0(01)(nnn)()(0)()()(knknnfknkf)2()2() 1() 1 ()()0() 1() 1()2()2()(nfnfnfnfnfnf)()()(knkfnfk離散信號(hào)的時(shí)域分解公式。任意信號(hào)f(n)均可以表示為許多單位序列信號(hào)的線性組合。與連續(xù)信號(hào)中的積分換成了離散求和，這種離散求和稱為卷積和，簡(jiǎn)稱卷和正像連續(xù)信號(hào)f1(t)與f2(t)的卷積定義dtfftftf)()()()(

19、2121對(duì)于離散信號(hào)f1(n)與f2(n)的卷和定義kknfkfnfnf)()()()(2121)()()()()(nnfknkfnfk卷積和滿足的代數(shù)性質(zhì)：交換律，分配律，結(jié)合律。)()()()(1221nfnfnfnf計(jì)算卷和時(shí)，若n0時(shí)，f1(n)=0,則求和下限k從0開始；若nn時(shí)必然有f2(n-k)=0, 故求和上限只要到n即可。nkknfkfnfnf02121)()()()()()()()()()()(3121321nfnfnfnfnfnfnf)()()()()()(321321nfnfnfnfnfnf求卷和。）（，設(shè)序列例).()(),(32)(6711nnfnnfn解：這里f1

20、(n)和f2(n)均為因果序列，故nkknkkknnfnf0021)32()()32()()(nkknfkfnfnf02121)()()()(。的等比級(jí)數(shù)，求和即可上式公比為3/21111110aanaaannkk)()32(1 3321)32(1)()(1121nnfnfnn求卷和。設(shè)序列例. 0,3 , 1 , 2)(; 0,4 , 2 , 3 , 1)(721nnfnnf解：用乘法計(jì)算如下：)()(121019107221nfnf)(312)(423121nfnf8462423112693)0(f12,10,19,10, 7, 2)()(21nfnf求卷和。設(shè)序列例. 0, 0 , 3

21、, 1 , 2)(; 0, 0 , 4 , 2 , 3 , 1)(821nnfnnf解：用列表法如下：) 3()2() 1 ()0(2222ffff031203120936062401248) 4 () 3 () 2 () 1 () 0 (11111fffff042310000;10334)2(; 716) 1 (; 2)0(yyy;19928)3(y 在零狀態(tài)響應(yīng)中，單位響應(yīng)非常重要，其定義為在零狀態(tài)響應(yīng)中，單位響應(yīng)非常重要，其定義為7.3.2 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng))()(nhn為單位響應(yīng)，記為引起響應(yīng)稱統(tǒng)由單位序列零狀態(tài)條件下，離散系統(tǒng)的差分方程，設(shè)有一階因果離散系例97時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。應(yīng)是輸入解，根據(jù)定義，單位響)()(nnf則有方程改為),()(