代數(shù)學(xué)引論(聶靈沼丁石孫版)第一章習(xí)題集解答

1、第一章代數(shù)基本概念1 .如果群G中,對(duì)任意元素a,b有(ab) 2=a2b2,則G為交換稱.證明：對(duì)任意a,b GG,由空食建我們可得到(ab) 2=a(ba)b, a 2b2=a(ab)b再由已知條件以及消去律得到 ba=ab, 由此可見群G為交換群.2 .如果群G中，每個(gè)元素a都適合a2=e,則G為交換群.證明：方法1對(duì)任意a,b GG, ba=bae=ba(ab) 2=ba(ab)(ab) =ba 2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G為交換群.方法2對(duì)任意a,b GG,a2b2 =e=(ab) 2, 由上一題的結(jié)論可知G為交換群.3.設(shè)G是一非空的有限集合，

2、其中定義了一個(gè)乘法ab,適合條件：(1) a(bc)=(ab)c;(2)由 ab=ac 推出 a=c;(3)由 ac=bc 推出 a=b;證明G在該乘法下成一群.證明:方法1設(shè)G=a i,a2,an,k是1,2，,n中某一個(gè)數(shù)字，由(2)可知若iwj(I,j=1,2,n),有akai，ak aj<1>aiaaj ak<2>再由乘法的封閉性可知G=a 1,a2,an=a ka1，aka2,，akan<3>G=a 1,a2,an=a 1ak, a2ak,，anak<4>由<1>和<3>知對(duì)任意at GG,存在am GG,使得a

3、kam =a t.由<2>和<4>知對(duì)任意atGG,存在asGG,使得 asak=a t.由下一題的結(jié)論可知G在該乘法下成一群.下面用另一種方法證明，這種方法看起來有些長(zhǎng)但思路比較清楚。 方法2為了證明G在給定的乘法運(yùn)算下成一群，只要證明G內(nèi)存在名無單位無_),并且證明G內(nèi)每一個(gè)元素都可逆即可.為了敘述方便可設(shè) G=a 1,a2,an.(I )證明G內(nèi)存在幺元.<1> 存在atGG,使得aiat=a 1.(這一點(diǎn)的證明并不難，這里不給證明 );<2> 證明 aiat= a tai;因?yàn)閍i (at ai )at =(a lat) (aiat)=(

4、a i)2ai(aiat)at=(a iai)at=a i(aiat)= (a i)2, 故此ai(atai)at= a i(aiat)at.由條件,(2)可得到aiat= a tai.<3> 證明at就是G的幺元；對(duì)任意akGG,ai(atak) =(a iat)ak=a iak由條件可知ata k=a k.類似可證akat=a k.因此at就是G的幺元.(口)證明G內(nèi)任意元素都可逆；上面我們已經(jīng)證明 G內(nèi)存在幺元，可以記幺元為e,為了方便可用a,b,c,等符號(hào)記G內(nèi)元素.下面證明任意a G,存在b G,使得ab=ba=e.<i> 對(duì)任意aGG,存在b GG,使得ab

5、=e;(這一點(diǎn)很容易證明這里略過.)<2> 證明 ba=ab=e;因?yàn)閍(ab)b=aeb=ab=ea(ba)b=(ab)(ab)=ee=e再由條件(2),(3)知ba=ab.因此G內(nèi)任意元素都可逆.由(I ),( 口)及條件(I)可知G在該乘法下成一群.4 .設(shè)G是非空集合并在 G內(nèi)定義一個(gè)乘法ab.證明：如果乘法滿足結(jié)合律，并且對(duì)于任一對(duì)元素a,b GG,下列方程ax=b 和 ya=b分別在G內(nèi)恒有解，則G在該乘法下成一群.證明：取一元aGG,因xa=a在G內(nèi)有解，記一個(gè)解為ea ,下面證明eg 為G內(nèi)的左幺元.對(duì)任意 b GG, ax=b在G內(nèi)有解，記一個(gè)解為c,那么有ac=

6、b ,所以eab= e a(ac)= (e aa)c=ac=b,因此ea為G內(nèi)的左幺元再者對(duì)任意d GG, xd=e a在G內(nèi)有解，即G內(nèi)任意元素對(duì)ea存在左逆元，又因乘法滿足結(jié)合律，故此G在該 乘法下成一群.總結(jié)群有幾種等價(jià)的定義(1)幺半群的每一個(gè)元素都可逆，則稱該半群為群.,并且G內(nèi)包含幺元，G內(nèi)任意元,并且G內(nèi)包含左幺元，G內(nèi)任意,并且對(duì)于任一對(duì)元素 a,b GG,下列(2)設(shè)G是一個(gè)非空集合，G內(nèi)定義一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，該運(yùn)算滿足結(jié)合律 素都有逆元，則稱G為該運(yùn)算下的群.(3)設(shè)G是一個(gè)非空集合，G內(nèi)定義一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，該運(yùn)算滿足結(jié)合律 元素對(duì)左幺元都有左逆元，則稱G為該運(yùn)算下的群.(4)設(shè)

7、G是一個(gè)非空集合，G內(nèi)定義一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，該運(yùn)算滿足結(jié)合律方程ax=b 和 ya=b分別在G內(nèi)恒有解，則稱G為該運(yùn)算下的群.值得注意的是如果一個(gè)有限半群滿足左右消去律，則該半群一定是群5 .在S3中找出兩個(gè)元素x,y,適合(xy)12233 2,3 ,1, 3, 1,那么群表如下： 23121#x2y2.思路在一個(gè)群G中，x,y GG, xy=yx ? (xy) 2= x2y2(這一點(diǎn)很容易證明).因此只要找到S3中兩個(gè)不可交換 的元素即可.我們應(yīng)該在相交的輪換中間考慮找到這樣的元素x=(解：取),y=(那么(xy)2= (1 32)-(12 3) = x2y2.2 3注意我們可以通過 math

8、ematica軟件編寫Sn的群表輸出程序如下：Pra_,b_,n_：=(*兩個(gè)置換的乘積*) (Tableab皿I,1,n);Sen_:=(*1,2,n的所有可能的排列做成一個(gè)表格 *) (PermutationsTablei,I,1,n);Stablen_:=(* 生成 Sn 群表 *) (a=Sen;Tableprai,aj,n,I,1,n,j,1,n)當(dāng)n=3時(shí)群表如下：1 12 3說明:3表布置換(1 3 2),剩下的類似.為了讓更清楚，我們分別用e,a,b,c,d,f表不eabcdfeeabcdfaaedfbcbbceafdccbfdeaddfaecbffdcbae6 .對(duì)于n>

9、;2,作一階為2n的非交換群.7 . 設(shè)G是一群，a,b GG,如果a-1ba=b 1其中r為一正整數(shù)，證明a-ibai= br'.證明：我們采用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)k=1時(shí)，a-1 ba=b r=br ,結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)k=n時(shí)結(jié)論成立，即a-nban=br成立，下面證明當(dāng)k=n+1 時(shí)結(jié)論也成立.我們注意到a-1 bka= ?a-1 ba)( a-1 ba)(a-1 ba) = b kr,k個(gè)因此a-(n+1)ban+1=a-1(a-nban)a=a-1brna= bnr=bn+1 ,可見k=n+1時(shí)結(jié)論也成立.由歸納原理可知結(jié)論得證.8 .證明:群G為一交換群當(dāng)且僅當(dāng)映射 x? x

10、-1是一同映射. 證明：(I)首先證明當(dāng)群 G為一個(gè)交換群時(shí)映射x?x-1是一同構(gòu)映射.由逆元的唯一性及(x-1 )-1 = x可知映射x? x-1為一一對(duì)應(yīng)，又因?yàn)?xy)-1=y-1x-1,并且群G為一個(gè)交換群，可得y-1x-1 = x-1 y-1 .因此有(x y)-1=x-1 y-1 .綜上可知群G為一個(gè)交換群時(shí)映射x ? x-1是一同構(gòu)映射.(口)接著證明當(dāng)映射x? x-1是一同構(gòu)映射，則群G為一個(gè)交換群.若映射x? x-1是一同構(gòu)映射，則對(duì)任意x,y GG有(x y)-1=x -1 y-1 ,另一方面，由逆元的性質(zhì)可知(y x)-1=x-1 y-1 .因此對(duì)任意x, y G<

11、xy = yx,即映射x ? x-1是一同映射，則群G為一個(gè)交換群.9 .設(shè)S為群G的一個(gè)非空子集合，在 G中定義一個(gè)關(guān)系ab當(dāng)且僅當(dāng)ab-1 GS.證明這是一個(gè)等價(jià)關(guān)系的充分必要條件為S是一個(gè)子群.首先證明若是等價(jià)關(guān)系，則S是G的一個(gè)子群.對(duì)任意aGG,有aa,故此aa-1=e GS；對(duì)任意a,b GS,由(ab)b-1 =a GS,可知ab b ,又be-1=b «,故be,由傳遞性可知 abe,即 (ab)e-1=ab GS.再者因ae-1 =a GS,故26,由對(duì)稱性可知ea,即ea-1 =a-1 GS.可見S是G的一個(gè)子群.接著證明當(dāng)S是G的一個(gè)子群，下面證明是一個(gè)等價(jià)關(guān)系

12、.對(duì)任意aGG,有aa-1 =e S,故此aa(自反性);若ab,則ab -1 GS,因?yàn)镾為G的子群，故 (ab-1)-1=ba -1 S,因此 ba(對(duì)稱性);若 a b , b c,那么 ab-1 GS,bc-1 GS,故 ab-1 bc-1 =ac-1 GS,因止匕 a c(傳 遞性).綜上可知是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.10 .設(shè)n為一個(gè)正整數(shù)，nZ為正整數(shù)加群Z的一個(gè)子群，證明nZ與Z同構(gòu). 證明：我們?nèi)菀鬃C明x ? nx為Z到nZ的同構(gòu)映射，故此nZ與Z同構(gòu).11 .證明:在S4中，子集合B=e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)是子群，證明B與U4不同構(gòu).證明

13、：可記a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3),那么置換的乘積表格如下:eabceeabcaaecbbbceaccbae由該表格可以知道 B中的元素對(duì)置換的乘法封閉，并且B的每一元都可逆(任意元的逆為其本身)，因此B為S4的子群.這個(gè)群(以及與其同構(gòu)的群)稱為Klein(C.L.Klein,1849-1925) 四元群.假設(shè)B與U4同構(gòu)，并設(shè)f為B到U4的同構(gòu)映射，則存在B中一元x使得f(x)=i(i為虛數(shù)單位)，那么f(x2)= f 2(x)=i 2=-1另一方面,f(x 2)=f(e)=1(注意x2=e),產(chǎn)生矛盾.所以假設(shè)不成立，即B與U4不同構(gòu).

14、討論B與U4都是4元交換群，但是后者是循環(huán)群，前者不是，這是這兩個(gè)群的本質(zhì)區(qū)別.12 .證明:如果在一階為2n的群中有一 n階子群，它一定是正規(guī)子群.證明:方法1設(shè)H是2n階群G的n階子群，那么對(duì)任意a?H,有H raH= ?,并且aH?G,H?G,又注意到aH和H中都有n個(gè)元素，故此H lH=G.同理可證對(duì)任意a?H,有H HHa= ? , H UHa=G ,因此對(duì)任意a?H,有aH=Ha.對(duì)任意a GH,顯然aH ?H, Ha ? H又因aH,Ha及H中都有n個(gè)元素，故aH=Ha=H.綜上可知對(duì)任意aGG,有aH=Ha , 因此H是G的正規(guī)子群.方法2設(shè)H是2n階群G的n階子群，那么任取a

15、 CH, h GH,顯然有aha-1 CH.對(duì)給定的x?H,有H nxH= ? , H UxH=G.這是因?yàn)槿艏僭O(shè)y H nxH,則存在h CH ,使得y=xh,即x=yh -1 CH產(chǎn)生矛盾，因此H HxH= ?;另一方面，xH?G,H?G,又注意到xH和H中都有n個(gè)元素，故此H UxH=G.那么任取a?H,由上面的分析可知 a&H,從而可令a=xh i這里hiGH.假設(shè)存在h GH,使得aha-1 ?H,則必有aha-1 GxH,從而可令aha-1 =xh 2這里h2 H.那么xh 1 ha-1 =xh 2,即a= h 2h1h CH, 產(chǎn)生矛盾.因止匕，任取 a?H, h +,

16、有 aha-1 CH.綜上可知對(duì)任取 aG, h GH,有aha-1 CH,因此H為G的一個(gè)正規(guī)子群.13 .設(shè)群G的階為一偶數(shù)，證明G中必有一元素awe適合a2=e.證明：設(shè)bGG,且階數(shù)大于2,那么b，b-1,而b-1的階數(shù)與b的階數(shù)相等.換句tB說G中階數(shù)大于2的元素成對(duì) 出現(xiàn)，幺元e的階數(shù)為1 ,注意到G的階數(shù)為宜偶數(shù)，故此必存在一個(gè) 2階元，（切確的說階數(shù)為2的元 素有奇數(shù)個(gè)）.討論1設(shè)G是一 2n階交換群，n為奇數(shù)則G中只有一個(gè)2階元.為什么？提示：采用反證法，并注意用Lagrange定理.2群G中，任取aG,有an=e ,那么G 一定是有限群?jiǎn)?？如果不是?qǐng)舉出反例，若是有限群，階

17、數(shù)和n有什么關(guān)系？14 .令2箱02.)e- -,而這個(gè)群與群Dn同構(gòu).0 1e-A= (10)，B=( e0證明：集合B,B2，,Bn,AB,AB 2,AB n在矩陣的乘法下構(gòu)成一群 證明：下面證明G=B,B 2,Bn,AB,AB2,ABn在矩陣的乘法下構(gòu)成一群.(I )首先證明對(duì)乘法運(yùn)算封閉.下面進(jìn)行分類討論：(1) B%j=B i+j,注意到 Bn=(1 1)故此BiBj=B rGG這里 i+j=kn+r,k GZ,0<r <n. A BE=BrGG這里 i+j=kn+r,k GZ,0<r <n.(3)容易證明 BAB=A=AB n,BA=B iAB” =AB n

18、-t GG,這里 i=sn+t,k Z,0<t <n.那么 BiZABj)=( B i?A)Bj=(AB n-t) ?Bj G(4) (ABi)ZABj)=A(B iABj)=A(AB n-t) ?Bj)=A 2(Bn-t ?Bj)= B n-t 旬)G由(1),(2),(3),(4)知G對(duì)乘法運(yùn)算封閉.(口)因集合G對(duì)矩陣乘法封閉，再由矩陣乘法的，性質(zhì)可知，結(jié)合律肯定成立 (HI)顯然Bn=A 2=E為幺元.(IV)對(duì) Bi(i=1,2,n),有BiBn-i=E;對(duì) ABi(i=1,2,n),有(ABi)(Bn-i A)=E, 因此G內(nèi)任何一元都可逆.由(I), (n), (m)

19、, (IV)可知G在矩陣乘法下構(gòu)成一群.最后證明G與Dn同構(gòu).令 f:G fDnf(Bi)=Ti, f(AB =ST i(i=1,2,n),可以證明f就是G到Dn的同構(gòu)映射，這里不予證明了.15 .設(shè)i是一個(gè)正整數(shù)，群G中任意元素a,b都適合(ab)k=akbk, k=I,i+1,i+2,證明G為交換群. 證明：對(duì)任意a,b GGai+2 bi+2 =(ab) i+2 =(ab) (ab) i+1 =(ab) (a i+1 bi+1 )=a(ba i+1 )bi+1,根據(jù)消去律可得ai+1b=ba i+1.(1)同時(shí)ai+1 bi+1 =(ab) i+1 =(ab) (ab) i=(ab) (

20、a ibi)=a(ba i)bi+1,根據(jù)消去律可得aib=ba i.(2)因此ai+1 b=a(a ib)=a(ba i)=(ab)a i-(3)另外bai+1 =(ba)a i(4)結(jié)合(1),(3),(4)有(ab)a i=(ba)a i(5)ab=ba.由消去律可得到因此G為交換群.16 .在群SL2(Q)中，證明元素a=(1-0)的階為4 ,元素b=(-0-1)的階為3,而ab為無限階元素.證明：可以直接驗(yàn)證a的階為4, b 因?yàn)?.1 ab=(01)，對(duì)任何正整數(shù)n,、n /1 n、 /10、(ab)n=(0 IM。i)可見ab的階為無限.注意在一群中，有限階元素的乘積并不一定也是

21、有限階的,但兩個(gè)可交換的有限階元素的乘積一定是有 限階元素.問題若一群中所有元素的階數(shù)都有限，那么這個(gè)群一定是有限群?jiǎn)幔?7 .如果G為一個(gè)交換群，證明G中全體有限階元素組成一個(gè)子群.證明：交換群G中全體有限階元素組成的集合記為S,任取a, b S,并設(shè)a的階為m , b的階為n,則(ab) mn=(a m)n(bn)m=e因此ab為有限階元素，即 ab GS.a-1的階數(shù)與a相同，故此a-1也是有限階元素，即a-1 GS.綜上可知S為G的一個(gè)子群.18 .如果G只有有限多個(gè)子群，證明 G為有限群.證明：采用反證法證明.假設(shè)G為無限群，則G中元素只可能有兩種情況：(1)G中任意元素的階數(shù)都有限

22、、 (2)G中存在一個(gè)無限階元素.(1)首先看第一種情況：G中取a1，e,并設(shè)其階數(shù)為n1,則循環(huán)群G1= a1,a2,a； 1為G的一個(gè)子群；G中取a2?G1,并設(shè)其階數(shù)為n2,則循環(huán)群G2=a2 ,a2,，a；2為G的一個(gè)子群；G中取a3?G1UG2,并設(shè)其階數(shù)為n3,則循環(huán)群G3= a3,a2,，a；3為G的一個(gè)子群；我們一直這樣做下去， 可以得到G的互不相同的子群構(gòu)成的序列Gn(n=1,2,)，所以G有無窮多個(gè)子群，產(chǎn)生矛盾；(2)再看第二種情況：設(shè)a G G的階數(shù)為無窮，那么序列Gi=< a2> , G2=< a4> ,，Gn=< a2 > ,是G

23、的互不相同的子群，所以 G有無窮多個(gè)子群，產(chǎn)生矛盾.綜上就可知“ G是無限群”這個(gè)假設(shè)不成立，因此 G是有限群.19 .寫出Dn的所有正規(guī)子群.20 .設(shè)H , K為群G的子群，HK為G的一子群當(dāng)且僅當(dāng) HK=KH. 證明：(I )設(shè)HK=KH ,下面證明HK為G的一子群.任取a,b HK,可令 a=h i ki, b=h 2k2 這里 hi e H , ki e k, i=i,2. 那么ab=(h iki)(h2k2)=h i(kih2)k2(1)因HK=KH ,故止匕 kih2= h 3k3(2)這里 h3C H , k3C K.由(i),(2)知 ab= h i(h3k3)k2=(h i

24、h3)(k3k2) & HK.(3)另外， a-i= (h iki)-i= k： h： KH=HK.(4)由(3),(4)知HK是G的子群.(口)HK為G的一子群，下面證明HK=KH.若a G HK,易知a, G KH. HK 是子群，任取a HK ,有a, G HK,因止匕(a" )-i=a G KH ,那么有 HK ? KH. 若 a G KH,易知 a, G HK. HK 是子群，任取 a KH ,有 a, G HK,因此(a" )-i=a G HK ,那么有 KH ? HK. 綜上知，HK=KH.21 .設(shè)H, K為有限群G的子群，證明|HK| =|H|?|

25、K| |H nK|.證明：因H nK為H的子群，那么可設(shè) H的空隙集分解式為H=h i(H HK) U h 2(H HK) U - U hr(H HK)這里r為H CK在H中的指數(shù)hiGH,當(dāng)iwj,hi-ihj?HCK(事實(shí)上等價(jià)于hj? K),i, j=i,2,1.又(H HK)K=K,所以HK=h iKUh2KU - UhrK.(1)注意到hi-1hj?K,所以當(dāng)i刁(i, j=1,2,r)時(shí)，hiK nhjK= ?.(2)由(1),(2)我們得到| HK| = r|K| =|H| ?|K|H HK|左陪集的相關(guān)結(jié)論總結(jié)設(shè)H為G的一子群，那么(1) aGaH;(2) aGH?aH=H;(

26、3) b aH? aH=bH;(4) aH=bH ? a-1 b G H; aH nbH #?,有 aH=bH.(22) M,N是群G的正規(guī)子群.證明：(i) MN=NM;(ii) MN是G的一個(gè)正規(guī)子群；(iii) 如果M HN=e,那么 MN/N與M 同構(gòu).證明：(i)方法1任取a G MN,可設(shè)a=mn(m GM, n G N).因?yàn)镸為G的正規(guī)子群，故n-1mn & M.所以a=n(n -1 mn)& NM ,故止匕 MN ? NM.同樣的方法可以證明 NM ? MN.因此MN=NM.方法2任取 a, b G MN ,可設(shè) a=m 1n 1(m 1 G M , n1 G

27、 N), b=m 2n2(m2G M , n2G N).下面只要證明 MN 為 G的一個(gè)子群即可(由第20題可知)，也就是說只要證明 ab -1 MN即可.因?yàn)閍b-1 =m 1nm2-1 m2-1 = m 1(n 1n2-1m 2-1n 2m-1 )(n m2-1),而M為G的正規(guī)子群，故n1n2-1m 2-1n 2n1-1 & M ,所以 ab-1 MN.(ii)由(i)可知MN為G的一個(gè)子群.任取a G MN,可設(shè)a=mn(m GM, n G N).因?yàn)镸和N為G的正規(guī)子群，對(duì)任意 g G G,有g(shù)-1ag= g -1mng= (g -1mg)(g -1ng) G MN.所以MN

28、為G的正規(guī)子群.(iii)易知N為MN的正規(guī)子群，因此 MN/N 是一個(gè)群.因?yàn)镸 HN=e,對(duì)任何 m imj M,有miN， mjN注.作一個(gè) MN/N 到M的映射f閏，f: MN/N f MmN ? m ,那么該映射顯然是一一對(duì)應(yīng)，另外f(m iN?m jN)= f(m imjN)= m mj,因此f為MN/N 到M的同構(gòu)映射，即 MN/N 與M同構(gòu).討論1 .只要M和N的一個(gè)是正規(guī)子群，那么 MN就是子群，或者說成立 MN=NM.這一點(diǎn)我們從（i）的證明方 法2可知.2 . M和N中有一個(gè)不是正規(guī)子群時(shí) MN 一定不是正規(guī)子群.注意1 . M HN=e,對(duì)任何 mimjCM,有 miN

29、mjN.證明：若存在 mi Gj GM,有 m iN=m jN ,那么 mimj-1 GN,而 mmj-1 GM.因此 mimj-1 G M CN ,產(chǎn)生矛 盾.2 .設(shè)f: MN/N f M mN ? m , 則由于對(duì)任何 mi¥mjGM,有miN wmjN ,故此f為MN/N 到M的一個(gè)映射.23.設(shè)G是一個(gè)群，S是G的一非空子集合.令C(S)=x GG|xa=ax,對(duì)一切 a SN(S)= x G|x-1Sx=S.證明：(i) C(S),N(S)都是G的子群；(ii) C(S)是N(S)的正規(guī)子群.證明：(i)首先證明C(S)是G的子群.任取x, yGC(S),那么對(duì)任意 a

30、G S有xa=ax , ya=ay.那么一方面， (xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy) , 所以 xy & C(S).另一方面，xa=ax ? a=x-1 ax? ax-1 =x -1 a所以 x-1 C(S).因此，C(S)是G的子群.接著證明N(S)都是G的子群.任取 x, y G N(S),貝U x-1 Sx=S , y-1 Sy=S.那么一方面，(xy)-1 S(xy)=x -1 (y-1 Sy)x=x -1 Sx=S 所以 xy & N(S).另一方面，x-1Sx=S ? S=xSx-1所以 x-1 N(S).因此，N(S)是G的子群

31、.(ii) 任取 xGC(S), aGS,則 xa=ax ,即 a=x-1ax,亦即 S= x -1 Sx.因此 xGN(S),即 C(S)? N(S).任取 xGC(S), yGN(S), aGS,貝 U 存在 ay G S 使得 yay-1=a y,因止匕 a=y -1 ayy.那么(y-1 xy)a(y -1 xy)-1 =y 1 x(yay -1 )x-1 y= y 1(xa yx-1)y= y -1 a yy=a ,(y-1xy)a=a(y -1xy).所以y-1xy e C(S),因此C(S)是N(S)的正規(guī)子群.24 .證明任意2階群都與乘法群1, -1同構(gòu).證明：略.25 .試

32、定出所有互不相同的 4階群.解：我們分類討論：(1)存在四階元；(2)不存在四階元.(1)若存在一個(gè)四階元，并設(shè) a為一個(gè)四階元，那么該四階群為<a>.(2)若不存在四階元，那么除了單位元e的階為1,其余元素的階只能是2,即設(shè)四階群G=e , a, b , c,那么 a2=b 2=c 2=e , ab=ba=c , ac=ca=b , bc=cb=a.群表如下：eabceeabcaaecbbbceaccbae這是Klein四階群.綜上可知，四階群群在同構(gòu)意義下只有兩種或者是四階循環(huán)群或者是Klein四階群.26 .設(shè)p為素?cái)?shù).證明任意兩個(gè)p階群必同構(gòu).證明：易知當(dāng)p為素?cái)?shù)時(shí)，p階群

33、必存在一個(gè)p階元，即p階群必是p階循環(huán)群，故兩個(gè)p階群必同構(gòu)27 . Z為整數(shù)環(huán)，在集合 S=Z XZ上定義(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b) ?c,d)=(ac+bd,ad+bc).證明S在這兩個(gè)運(yùn)算下成為幺環(huán).提示：(1,0)為該環(huán)的單位元素.證明：略.28 .在整數(shù)集上重新定義加法“”與乘法“?！睘閍 ® b=ab,aQb=a+b試問Z在這兩個(gè)運(yùn)算下是否構(gòu)成一環(huán).答：不構(gòu)成環(huán).29 .設(shè)L為交換幺環(huán)，在L中定義：a ® b=a+b-1,aQb=a+b-ab.這里e為單位元素，證明在新定義的運(yùn)算下，L仍稱為交換幺環(huán)，并且與原來的環(huán)同構(gòu)證明：(i)證明

34、L在運(yùn)算下構(gòu)成交換群：由®的定義，得到(a ® b) ® c=(a+b-1)盟=a+b-1+c-1=a+b+c-2 a © (b © c)= a ©(b+c-i)= a+b+c-l-l=a+b+c-2這里2=1+1 ,所以(a ® b) ® c= a ® (b ® c).(1)同時(shí)由®的定義還可以得到a ® 1= 1 ® a=a , (2)a ® (2-a)=(2-a)電=1 , (3)a ® b=b ® a, (4)由(1),(2),

35、(3)(4)可知L在運(yùn)算中下構(gòu)成交換群.(ii)證明L中運(yùn)算。滿足結(jié)合律和交換律：容易證明這里略過.(iii)證明乘法。對(duì)加法中滿足分配律：因?yàn)閍 Q (b ® c)= a O(b+c-1)=a+(b+c-1)-a(b+c-1)=2a+b+c-ab-ac-1(aQ b) ® (aQ c)=(a+b-1)®(a+c-1)= (a+b-ab)+(a+c-ac)-1=2a+b+c-ab-ac-1所以aQ(b ® c)= (a Ob) ® (aQc).由于中和。滿足交換律，故此(b ® c) Ga= (b Q a) ® (cQ a)

36、.因此新定義的乘法。對(duì)新定義的加法滿足分配律(iv)設(shè)0為環(huán)(L, +, ?)的雯叵 則0。a=a Q0=a由(i), (ii), (iii), (iv)可得到(L,，。)為交換幺環(huán).(v)最后證明(L, +, ?與(L, ® ,。)同構(gòu)：設(shè)f: L fLx? 1-x ,容易證明f為(L, +, ?到(1, ® ,。)的同構(gòu)映射.30.給出環(huán)L與它的一個(gè)子環(huán)的例子，它們具有下列性質(zhì)：(i) L具有單位元素，但 S無單位元素；(ii) L沒有單位元素，但 S有單位元素；(iii) L, S都有單位元素，但互不相同；(iv) L不交換，但S交換.解：(i) L=Z , S=2Z

37、 ;a b_ a 0(ii) L=(0 Q)|a,b R, S=(o 0)|aGR；(iii) L=(a 0)|a,b GR, S= (a 0)|aG R;0 b0 0(iv) L=(b 0)|a,b R, S=(a 0)|aGR;31.環(huán)L中元素eL稱為一個(gè)左單位元，如果對(duì)所有的 a L,eLa= a ；元素eR稱為右單位元，如果對(duì)所有的 ae L,aeR=a.證明：(i) 如果L既有左單位元又有右單位元，則L具有單位元素；(ii) 如果L有左單位元，L無零因子，則L具有單位元素；(iii) 如果L有左單位元，但沒有右單位元，則 L至少有兩個(gè)左單位元素.證明：(i) 設(shè)eL為個(gè)左單位元，eR

38、為右單位元，貝U eLeR=e R=e記e=e R=e l,貝1J對(duì)所有的 aG L, ea=ae=a ,因此e為單位元素；(ii)設(shè)eL為一個(gè)左單位元，則對(duì)所有的a(w0)GL, a(eia)=a2；另一方面，a(eLa)=(ae L)a.所以a2=(ae L)a.因?yàn)長(zhǎng)無零因子，所以滿足消去律注,故此a= ae l.另外，若a=0 ,則a= ae L=e La. 因此左單位元eL正好是單位元.(iii)設(shè)eL為一個(gè)左單位元，因?yàn)?L中無右單位元，故存在 xGL,使得xeLx,即xe l-x網(wǎng)，則eL+ xe l-x-l,但是對(duì)所有的 aGL, (el+ xe L-x)a=a,因此 eL+

39、xe l-x為另一個(gè)左單位元，所以 L至少有 兩個(gè)左單位元素.注意L無零因子，則滿足消去律(參考教材46頁).32. 設(shè)F為一域.證明F無非平凡雙邊理想.證明：設(shè)I為F的任意一個(gè)理想，且I力0,則對(duì)任意aG0) G I,則a-1 G F,于是a-1 a=1 & I.從而F中任意元素f,有f?l=f gi,故I=F ,即F只有平凡雙邊理想.討論事實(shí)上，一個(gè)體(又稱除環(huán).)無非平凡雙邊理想.另一方面，若L是階數(shù)大于1的(交換)幺環(huán)，并且除 了平凡理想，沒有左或右理想，則 L是一體(域).33. 如果L是交換環(huán)，aGL,(i) 證明La=ra|r L是雙邊理想；(ii) 舉例說明，如果L非交

40、換，則La不一定是雙邊理想.證明：(i)容易當(dāng)證La為L(zhǎng)的一個(gè)加法群.任取ra G La, l L,則l(ra)=(lr)a & La, (ra)l=r(al)=r(la)=(rl)a & La故La為L(zhǎng)的一個(gè)雙邊理想.1 0(ii)設(shè)L=M 2(R),那么L顯然不是交換環(huán)，取 h=(1 0),下面考察Lh是否為L(zhǎng)的理想：取k= (1 2),容易驗(yàn)證h Lh, hk? Lh,因此Lh不是L的一個(gè)理想.0 0'34. 設(shè)I是交換環(huán)L的一個(gè)理想，令rad I=r 6 L|rn I 對(duì)某一正整數(shù) n,證明rad I也是一個(gè)理想.radl叫做理想I的根.35. 設(shè)L為交換幺環(huán)，

41、并且階數(shù)大于1,如果L沒有非平凡的理想，則 L是一個(gè)域.證明：只要證明非零元素均可逆即可.任取ae L,那么La和aL是L的理想，且La胃0 , aL胃0，因L無平凡的理想，故此La=aL=L ,因此ax=1和ya=1都有解，因而a為可逆元.36. Q是有理數(shù)域，M n(Q)為n階有理系數(shù)全體矩陣環(huán).證明無非平凡的理想(這種環(huán)稱為單 環(huán)).證明：我們社K為M n(Q)的非零理想，下面證明K=M n(Q).為了證明這一點(diǎn)，只要證明n階單位矩陣EG K.記Ej為除了第i行第j列元素為1 ,其余元素全為0的矩陣.那么Et , j = s EijEst=0, j，s而 E=E11+E22+Enn.我們

42、只要證明 Eii K(i=1,2,n)就有 EGK.設(shè) AGK,且 A，0,又令 A=(aj)nxn,假設(shè) akj,0,則有EikAEji=akjEii(i=1,2，,n).由于 akj，0,故存在逆元 akj-1.設(shè) B= a kj-1 Eii,則BEikAEji= a kj-1 EiiEikAEji= a kj-1 EikAEji=E ikEkj Ei=E ii.因?yàn)镵為理想，A e K,所以Eii=BEikAEjiG K,證畢.37 .設(shè)L為一環(huán)，a為L(zhǎng)中一非零元素.如果有一非零元素 b使aba=0 ,證明a是一個(gè)左零 因子或一右零因子.證明：若ab=0 ,貝U a為左零因子；若 ab，

43、0,貝U aba=(ab)a=0 ,故ab為右零因子.38 .環(huán)中元素x稱為一嘉零元素，如果有一正整數(shù)n使xn=0 ,設(shè)a為幺環(huán)中的一嘉零元素，證明1-a可逆.證明：設(shè)an=0 ,那么(1+a+a 2+ +a n-1 )(1-a)=(1-a) (1+a+a2+a n-1)=1-a n=1因此1-a可逆.39 .證明：在交換環(huán)中，全體嘉零元素的集合是一理想40 .設(shè)L為有限幺環(huán).證明由xy=1可得yx=1.證明：當(dāng)L只有一個(gè)元素，即L=0,亦即0=1 注,此時(shí)顯然有xy=1=xy ;當(dāng)L有多于一個(gè)元素時(shí)(即021 時(shí))，若xy=1 , y不是左零元注，因此yL=L.又因L為有限環(huán)，所以存在 zG

44、 L,使得yz=1.注意至I (xy)z=z , x(yz)=x ,所以 x=z ,即 yx=1.注意1 .幺環(huán)多于一個(gè)元素當(dāng)且僅當(dāng)0 ,1.2 .當(dāng)L有多于一個(gè)元素時(shí)(即0，1時(shí))，若xy=1 , y不是左零元.因?yàn)槿舸嬖趜，0使彳導(dǎo)yz=0 ,則z=(xy)z=x(yz)=0, 產(chǎn)生矛盾.41. 在幺環(huán)中，如果對(duì)元素a有b使ab=1但ba，1,則有無窮多個(gè)元素 x,適合ax=1.(Kaplansky 定理)證明：首先，若ab=1但ba，1 ,則a至少有兩個(gè)右逆元注.現(xiàn)在假設(shè)a只有n(>1)個(gè)右逆元，并設(shè)這些元素為xi(i=1,2,n).那么a(1-x ia+x i)=1(i=1,2,n),又當(dāng) iwj 時(shí),1-xia+x i wl-x ja+x i注,這里 i, j=1,2，,n.于是xi|i=1,2,n=1-x ia+x i| i=1,2，,n ,故存在xkG xi|i=1,2,n使得x1=1-x ka+x