高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線常見習(xí)題及解析經(jīng)典版

1、高考數(shù)學(xué)圓錐曲線常見習(xí)題及解析（經(jīng)典版）橢圓一、選擇題：1.已知橢圓方程,雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn),頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為 A.B. C.2 D.32雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，漸近線分別為，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)且在上，若PF1，/PF2，則雙曲線的離心率是（ ） A B2CD【答案】B【解析】雙曲線的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，漸近線，因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)且在上，所以設(shè)，因?yàn)镻F1，/PF2，所以，即，即，又，代入得，解得，即。所以，的斜率為，因?yàn)镻F1，所以，即，所以，所以，解得，所以雙曲線的離心率，所以選B.3已知雙曲線的一條漸近線的斜率為，且右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線

2、的離心率等于ABC2D24.拋物線上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是A.B.C.D.0 5.拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩漸近線圍成的三角形的面積為 A.B.C. 2 D.【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，雙曲線的兩漸近線為和，令，分別解得，所以三角形的低為，高為3，所以三角形的面積為，選D.6.過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于兩點(diǎn),它們到直線的距離之和等于5,則這樣的直線A有且僅有一條B有且僅有兩條C有無窮多條D不存在7.已知雙曲線的兩條漸近線均與相切，則該雙曲線離心率等于ABCD8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在點(diǎn)P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為（ ） A.（0， B

3、.（） C.（0，） D.（，1）9.過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（ ） A B C D二、填空題：10.若圓以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，截此拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為6，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；11.設(shè)F是拋物線C1：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線與雙曲線C2：的一條漸近線的一個公共點(diǎn)，且軸，則雙曲線的離心率為【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為.雙曲線的漸近線為，不妨取，因?yàn)椋?，所以，不妨取，又因?yàn)辄c(diǎn)也在上，所以，即，所以，即，所以，即，所以雙曲線的離心率為。12.已知雙曲線的方程為，則雙曲線的離心率是.13.若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，則=.【答案】【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)在

4、軸上。所以，所以。橢圓的離心率為，所以，解得。14.已知點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A 的坐標(biāo)是（4，a），則當(dāng)時，的最小值是。三、解答題：15.(本小題滿分13分)已知橢圓過點(diǎn),其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列.直線與軸正半軸和軸分別交于點(diǎn)、，與橢圓分別交于點(diǎn)、,各點(diǎn)均不重合且滿足（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，試證明：直線過定點(diǎn)并求此定點(diǎn).(2) 由題意設(shè)，設(shè)l方程為，由知，由題意，-7分同理由知， （*） -8分聯(lián)立得需 （*）且有（*）-10分（*）代入（*）得，由題意，(滿足（*）)， -12分得l方程為,過定點(diǎn)(1,0),即P為定點(diǎn). -13分16.

5、（本大題滿分13分）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點(diǎn)P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）求的取值范圍；（3）若B點(diǎn)在于x軸的對稱點(diǎn)是E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)。(2)解：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為由得：4分由得：設(shè)A(x1，y1)，B (x2，y2)，則6分17若橢圓: 和橢圓: 滿足,則稱這兩個橢圓相似，是相似比.()求過(且與橢圓相似的橢圓的方程；()設(shè)過原點(diǎn)的一條射線分別與()中的兩橢圓交于、點(diǎn)（點(diǎn)在線段上）.若是線段上的一點(diǎn)，若，成等比數(shù)列，求點(diǎn)的軌跡方程; 求的最大值和最小

6、值. () 當(dāng)射線的斜率不存在時,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)P(0,則,.即P(0,). 5分當(dāng)射線的斜率存在時，設(shè)其方程,P(由,則得同理7分又點(diǎn)P在上，則，且由,即所求方程是.又(0,)適合方程,故所求橢圓的方程是. 9分由可知,當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，,當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r, , 11分綜上,的最大值是8,最小值是4. 12分18.（本小題滿分12分）已知長方形ABCD，BC=1。以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy.（）求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過點(diǎn)P（0，2）的直線交（）中橢圓于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線，使得弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存

7、在，說明理由。（）由題意直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為.設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.聯(lián)立方程：消去整理得，有7分若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，則，所以，8分所以，即所以，即， 9分得. 10分所以直線的方程為，或.11分所在存在過P（0，2）的直線：使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)。12分19.（本小題滿分12分）如圖，直線l ：y=x+b與拋物線C ：x2=4y相切于點(diǎn)A。（1） 求實(shí)數(shù)b的值；（11） 求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.【解析】（I）由得 ()因?yàn)橹本€與拋物線C相切,所以,解得4分雙曲線題組一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2010·汕頭一模)中心在原

8、點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的實(shí)軸與虛軸相等，一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則雙曲線方程為()Ax2y21 Bx2y22Cx2y2Dx2y2解析：由題意，設(shè)雙曲線方程為1(a>0)，則ca，漸近線yx，a22.雙曲線方程為x2y22.答案：B2已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為F1(，0)、F2(，0)，M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足·0，| |·| |2，則該雙曲線的方程是()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：·0，MF1MF2，|MF1|2|MF2|240，(|MF1|MF2|)2|MF1|22|MF1|·|MF2|MF2|2402×236，|M

9、F1|MF2|62a，a3，又c，b2c2a21，雙曲線方程為y21.答案：A題組二雙曲線的幾何性質(zhì)3.(2009·寧夏、海南高考)雙曲線1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A2 B2C. D1解析：雙曲線1的焦點(diǎn)為(4,0)或(4,0)漸近線方程為yx或yx.由雙曲線的對稱性可知，任一焦點(diǎn)到任一漸近線的距離相等，d2.答案：A4(2010·普寧模擬)已知離心率為e的曲線1，其右焦點(diǎn)與拋物線y216x的焦點(diǎn)重合，則e的值為()A. B.C. D.解析：拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，則a2716，a29，e.答案：C5(2009·江西高考)設(shè)F1和F2為雙曲線1(a0，b0)

10、的兩個焦點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2，P(0,2b)是正三角形的三個頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A. B2C. D3解析：tan60°，4b23c24(c2a2)3c2c24a24e2.答案：B6(2010·廣州模擬)已知點(diǎn)F是雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)解析：如圖，要使ABE為銳角三角形，只需AEB為銳角，由雙曲線對稱性知ABE為等腰三角形，從而只需滿足AEF<45°. 又

11、當(dāng)xc時，y，tanAEF<1，e2e2<0，又e>1，1<e<2.答案：B題組三直線與雙曲線的位置關(guān)系7.(2010·西安調(diào)研)過點(diǎn)P(4,4)且與雙曲線1只有一個交點(diǎn)的直線有()A1條 B2條C3條 D4條解析：如圖所示，滿足條件的直線共有3條答案：C8設(shè)雙曲線1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則AFB的面積為_解析：由題意知，A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，漸近線斜率k±，則直線方程為y(x5)，代入1，得x，y，即B(，)，SAFB×2×.答案：題組四雙曲線的綜合問題9.(

12、2010·德州模擬)P為雙曲線x21右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為_解析：雙曲線的兩個焦點(diǎn)為F1(4,0)、F2(4,0)，為兩個圓的圓心，半徑分別為r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值為(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.答案：510(1)已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱，且與圓x2y210相交于點(diǎn)P(3，1)，若此圓過點(diǎn)P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程；(2)已知雙曲線的離心率e，且與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，求該雙曲線的方程解：(

13、1)切點(diǎn)為P(3，1)的圓x2y210的切線方程是3xy10.雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱，兩漸近線方程為3x±y0.設(shè)所求雙曲線方程為9x2y2(0)點(diǎn)P(3，1)在雙曲線上，代入上式可得80，所求的雙曲線方程為1.(2)在橢圓中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，c，又e，a28，b22.雙曲線方程為1.11已知雙曲線C：y21，P是C上的任意點(diǎn)(1)求證：點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，求|PA|的最小值解：(1)證明：設(shè)P(x1，y1)是雙曲線上任意一點(diǎn)，該雙曲線的兩條漸近線方程分別是x2y0和x2y

14、0，點(diǎn)P(x1，y1)到兩條漸近線的距離分別是和.它們的乘積是·.點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|2(x3)2y2(x3)21(x)2.|x|2，當(dāng)x時，|PA|2的最小值為，即|PA|的最小值為.12(文)已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個不同的交點(diǎn)A和B，且·2(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍解：(1)設(shè)雙曲線C2的方程為1，則a2413，c24，由a2b2c2，得b2

15、1，故C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)，得k2且k21.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·2，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23，由得k21，故k的取值范圍為(1，)(，1)(理)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(，0)(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線：ykxm(k0，m0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A(0，1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)由已知得a，c2.又a2b2c2，得b21.故雙曲線C的方程為y21.(2)聯(lián)立整理得(13k2)x26km