高考數(shù)學(xué)立體幾何空間幾何體的表面積與體積理

1、第2講空間幾何體的表面積與體積1圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及其側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺側(cè)(rr)l2.空間幾何體的表面積與體積公式表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VS底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VS底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR33.幾個與球有關(guān)的切、接的常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r；若球為正方體的外接球，則2Ra；若球為正方體的內(nèi)切球，則2ra；若球與正方體的各棱相切，則2Ra.(2)長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑

2、為R，則2R.(3)正四面體的棱長為a，外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r；外接球：球心是正四面體的中心；半徑Ra；內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑ra.判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和()(2)錐體的體積等于底面積與高之積()(3)球的體積之比等于半徑比的平方()(4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差()(5)長方體既有外接球又有內(nèi)切球()(6)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2S.()答案：(1)(2)×(3)×(4)(5)×(6)×某幾

3、何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A8 cm3B12 cm3C. cm3D. cm3解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是由一個正方體和一個正四棱錐構(gòu)成的組合體下面是棱長為2 cm的正方體，體積V12×2×28(cm3)；上面是底面邊長為2 cm，高為2 cm的正四棱錐，體積V2×2×2×2(cm3)，所以該幾何體的體積VV1V2(cm3)(2018·云南省11?？鐓^(qū)調(diào)研)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A1B2C3D6解析：選C.依題意，題中的幾何體是一個直三棱柱(其底面左、右相對)，其中底

4、面是直角邊長分別為1、2的直角三角形，側(cè)棱長為3，因此其體積為×33.一直角三角形的三邊長分別為6 cm，8 cm，10 cm，繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為_解析：旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以 cm為半徑的兩個同底面的圓錐，其表面積為S××6××8(cm2)答案： cm2(2017·高考全國卷)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為_解析：依題意得，長方體的體對角線長為，記長方體的外接球的半徑為R，則有2R，R，因此球O的表面積等于4R214.答案：14空間幾何體的表面積 典例引領(lǐng)(1)(2016

5、·高考全國卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17B18 C20D28(2)(2018·合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)一個幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖的弧線為四分之一圓周)，則該幾何體的表面積為()A726B724C486D484【解析】(1)由三視圖可得此幾何體為一個球切割掉后剩下的幾何體，設(shè)球的半徑為r，故×r3，所以r2，表面積S×4r2r217，選A.(2)由三視圖知，該幾何體由一個正方體的部分與一個圓柱的部分組合而成(如圖所示)，其表面積為16×2(164)

6、×24×(22)726，故選A.【答案】(1)A(2)A空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積問題應(yīng)注意銜接部分的處理(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題應(yīng)注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用通關(guān)練習(xí)1(2018·蘭州市診斷考試)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A(9)B(92)C(10)D(102)解析：選A.由三視圖可知，該幾何體為一個圓柱挖去一個同底的圓錐，且圓錐的高是圓柱高的一半故該幾何體的表面積S×124×

7、2×2×(9).2(2018·河南許昌月考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A94()B102()C112()D112()解析：選C.如圖所示，該幾何體是棱長為2的正方體截去兩個小三棱柱得到的四棱柱其表面積為2×22×12×2×2×112()空間幾何體的體積(高頻考點)空間幾何體的體積是每年高考的熱點，多與三視圖結(jié)合考查，題型多為選擇題、填空題，難度較小高考對空間幾何體的體積的考查常有以下兩個命題角度：(1)求簡單幾何體的體積；(2)求組合體的體積 典例引領(lǐng)角度一求簡單幾何體的體積(1)(補形

8、法)(2017·高考全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A90B63C42D36(2)(等積法)如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1­EDF的體積為_【解析】(1)法一：(補形法)如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得將圓柱補全，并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V×32&

9、#215;4×32×6×63.法二：(估值法)由題意，知V圓柱<V幾何體<V圓柱又V圓柱×32×1090，所以45<V幾何體<90.觀察選項可知只有63符合(2)(等積法)三棱錐D1­EDF的體積即為三棱錐F­DD1E的體積因為E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點，所以在正方體ABCD­A1B1C1D1中，EDD1的面積為定值，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以VD1­EDFVF­DD1E××1.【答案】(1)B(2)角度二求組合體的體積(1)(分割

10、法)(2017·高考浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.1B.3C.1D.3(2)(分割法)(2017·高考山東卷)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_【解析】(1)由幾何體的三視圖可得，該幾何體是由半個圓錐和一個三棱錐組成的，故該幾何體的體積V××3××2×1×31，故選A.(2)由題意知該幾何體是由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成，其中長方體的體積V12×1×12，兩個圓柱體的體積之和V2××

11、;12×1×2，所以該幾何體的體積VV1V22.【答案】(1)A(2)2 通關(guān)練習(xí)1(2018·昆明市教學(xué)質(zhì)量檢測)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A24B30C42D60解析：選A.由三視圖知，該幾何體是半徑為3的半球與底面半徑為3、高為4的半圓錐的組合體，所以該幾何體的體積V××33××32×424，故選A.2如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，則該

12、多面體的體積為_解析：法一：(分割法)因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示，過點C作CHDG于H，連接EH，即把多面體分割成一個直三棱柱DEH­ABC和一個斜三棱柱BEF­CHG.由題意，知V三棱柱DEH­ABCSDEH×AD(×2×1)×22，V三棱柱BEF­CHGSBEF×DE×22.故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG224.法二：(補形法)因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示，將多面體補成棱長為2的正方體，顯然所求多面體的體積即該正方體體積的一半又正方體的體積V正方體ABH

13、I­DEKG238，故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG×84.答案：4球與空間幾何體的接、切問題典例引領(lǐng)(1)(2017·高考全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()AB.C.D. (2)(2018·河南省六市第一次聯(lián)考)三棱錐P­ABC中，ABBC，AC6，PC平面ABC，PC2，則該三棱錐的外接球的表面積為()A.B.C.D.【解析】(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r212，所以，圓柱的體積V×1，故選B.(2)由題可知，ABC中AC邊上的高為，球心O在底面ABC的投影即

14、為ABC的外心D，設(shè)DADBDCx，所以x232(x)2，解得x，所以R2x21(其中R為三棱錐外接球的半徑)，所以外接球的表面積S4R2，故選D.【答案】(1)B(2)D若本例(2)中的ABC變?yōu)檫呴L為的等邊三角形求三棱錐外接球的表面積解：由題意得，此三棱錐外接球即為以ABC為底面、以PC為高的正三棱柱的外接球，因為ABC的外接圓半徑r××1，外接球球心到ABC的外接圓圓心的距離d1，所以外接球的半徑R，所以三棱錐外接球的表面積S4R28.處理球的“切”“接”問題的求解策略(1)“切”的處理與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過作截面來

15、解決如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作(2)“接”的處理把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑通關(guān)練習(xí)1(2018·貴陽市檢測)三棱錐P­ABC的四個頂點都在體積為的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16，則該三棱錐的高的最大值為()A4B6C8D10解析：選C.依題意，設(shè)題中球的球心為O、半徑為R，ABC的外接圓半徑為r，則，解得R5，由r216，解得r4，又球心O到平面ABC的距離為3，因此三棱錐P­ABC的高的最大值為538.2設(shè)球O內(nèi)切于正三

16、棱柱ABC­A1B1C1，則球O的體積與正三棱柱ABC­A1B1C1的體積的比值為_解析：設(shè)球O半徑為R，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面邊長為a，則R×a，即a2R，又正三棱柱ABC­A1B1C1的高為2R，所以球O的體積與正三棱柱ABC­A1B1C1的體積的比值為.答案：數(shù)學(xué)文化與立體幾何 典例引領(lǐng)(2018·山西五校聯(lián)考)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2

17、丈，高一丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為()A5 000立方尺B5 500立方尺C6 000立方尺D6 500立方尺【解析】該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點G，CD的中點H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F­GBCH與三棱柱ADE­GHF的體積之和又可以將三棱柱ADE­GHF割補成高為EF，底面積為S×3×1平方丈的一個直棱柱，故該楔體的體積V×2×2×3×15立方丈5 000立方尺【

18、答案】A求解與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的立體幾何問題應(yīng)過的三關(guān)(2018·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)我國南北朝時期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等已知某不規(guī)則幾何體與如圖所對應(yīng)的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()A4B8C8D82解析：選C.由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，可知題圖中的幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱，正方體的體積為238，半圓柱的體積為×(×12)&

19、#215;2，因此該不規(guī)則幾何體的體積為8，故選C.處理空間幾何體體積問題的思路(1)“轉(zhuǎn)”：指的是轉(zhuǎn)換底面與高，將原來不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為容易看出，并容易求解長度的高；(2)“拆”：指的是將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個簡單的幾何體，便于計算；(3)“拼”：指的是將小幾何體嵌入一個大幾何體中，如有時將一個三棱錐復(fù)原成一個三棱柱，將一個三棱柱復(fù)原成一個四棱柱，還臺為錐，這些都是拼補的方法易錯防范(1)求組合體的表面積時，要注意各幾何體重疊部分的處理(2)底面是梯形的四棱柱側(cè)放時，容易和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防出錯1.“牟合方蓋”是我國古

20、代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是()解析：選B.根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時，俯視圖為B，故選B.2(2018·湖北省七市(州)聯(lián)考)如圖是一個幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖是兩個全等的等腰三角形，底邊長為4，腰長為3，則該幾何體的表面積為()A6B8C10D12解析：選C.根據(jù)三視圖，可以看出該幾何體是一個圓錐，

21、其底面圓的半徑r為2，母線長l為3，故該圓錐的表面積Sr(rl)×2×(23)10，故選C.3(2018·武漢市武昌調(diào)研考試)中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為()A1.2B1.6C1.8D2.4解析：選B.該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為的圓柱，右邊是一個長、寬、高分別為5.4x、3、1的長方體，所以組合體的體積VV圓柱V長方體·×x(5.4x)×3×112.6(其中3)，解得x1.6

22、.故選B.4(2018·江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A48B48C482D482解析：選A.該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S2×2×22×4×5×122×1248，故選A.5(2018·河南鄭州一中押題卷二)一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB上的動點，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF­BCE的體積為V2，則()A.B.C.D隨點M位置的變化而變化解析：選B.

23、由三視圖可知多面體ADF­BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長均為a.因為M是AB上的動點，且易知AB平面DFEC，所以點M到平面DFEC的距離等于點B到平面DFEC的距離，為a，所以V1VE­FMCVM­EFC×a·a·a，又V2a·a·a，故，故選B.6(2017·高考江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1 ，球O的體積為V2 ，則的值是_解析：設(shè)球O的半徑為r，

24、則圓柱的底面半徑為r、高為2r，所以.答案：7一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_解析：由三視圖可知，該幾何體是一個長方體內(nèi)挖去一個圓柱體，如圖所示長方體的長、寬、高分別為4，3，1，表面積為4×3×23×1×24×1×238，圓柱的底面圓直徑為2，母線長為1，側(cè)面積為2×12，圓柱的兩個底面面積和為2××122.故該幾何體的表面積為382238.答案：388(2018·山東日照模擬)現(xiàn)有一半球形原料，若通過切削將該原料加工成一正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值為_解

25、析：設(shè)球的半徑為R，正方體的棱長為a.由題意得當(dāng)正方體體積最大時，a2R2，所以Ra，所以所得工件體積與原料體積之比的最大值為.答案：9.如圖，在四邊形ABCD中，DAB90°，ADC135°，AB5，CD2，AD2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積解：由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面S圓臺側(cè)S圓臺下底S圓錐側(cè)(25)×5×25×2×2(604)，VV圓臺V圓錐(·22·52)×4×22×2.10已知一個幾何體的三視圖如圖所示(1)求此幾何體的表面積；(2

26、)如果點P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P到Q點的最短路徑的長解：(1)由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和S圓錐側(cè)(2a)·(a)a2，S圓柱側(cè)(2a)·(2a)4a2，S圓柱底a2，所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖則PQa，所以從P點到Q點在側(cè)面上的最短路徑的長為a.1某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A.B.C.D1解析：選A.由三視圖可得該幾何體的直觀圖為三棱錐ABCD，將其放在長方體中如圖

27、所示，其中BDCD1，CDBD，三棱錐的高為1，所以三棱錐的體積為××1×1×1.故選A.2(2018·福建泉州質(zhì)檢)如圖，在正方形網(wǎng)格紙上，實線畫出的是某多面體的三視圖及其部分尺寸若該多面體的頂點在同一球面上，則該球的表面積等于()A8B18C24D8解析：選C.設(shè)球的半徑為R.多面體是兩個正四棱錐的組合體(底面重合)兩頂點之間的距離為2R，底面是邊長為R的正方形，由R232R26，故該球的表面積S4R224.選C.3.在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC2，過A1，C1，B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾

28、何體ABCD­A1C1D1，這個幾何體的體積為，則經(jīng)過A1，C1，B，D四點的球的表面積為_解析：設(shè)AA1x，則VABCD­A1C1D1VABCD­A1B1C1D1VB­A1B1C12×2×x××2×2×x，則x4.因為A1，C1，B，D是長方體的四個頂點，所以經(jīng)過A1，C1，B，D四點的球的球心為長方體ABCD­A1B1C1D1的體對角線的中點，且長方體的體對角線為球的直徑，所以球的半徑R，所以球的表面積為24.答案：244(2017·高考全國卷)已知三棱錐S­ABC的