高考數(shù)學(xué)專題軌跡方程問題匯總已可排版打印詳細(xì)解析新人教A版

1、軌跡方程問題匯總11.已知點(diǎn)M(3，0)、N(3，0)、B(1，0)，O與MN相切于點(diǎn)B，過M、N與O相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡方程為_.解析:如圖，|PM|PN|=|PA|+|AM|PC|CN|=|MA|NC|=|MB|NB|=42=2.P點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,c=3,a=1,b2=8.方程為=1(x1).答案:x2=1(x1)12.點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)F(0，2)的距離和它到一條定直線y=8的距離之比是12，則M點(diǎn)的軌跡方程是_.解析:根據(jù)橢圓第二定義可知，橢圓焦點(diǎn)為(0，2)，y=8,e=.由c=2,=8,得a=4,滿足e=.橢圓方程為+=1.答案:+=116.(本

2、小題滿分10分)設(shè)F1、F2是雙曲線x2y2=4的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過F1作F1PF2的平分線的垂線，垂足為M，求點(diǎn)M的軌跡方程.解:如圖,F1(2，0)、F2(2，0)、M(x,y)，延長F1M與PF2相交于點(diǎn)N，設(shè)N(x0,y0).由已知可得M為F1N的中點(diǎn),又|NF2|=|PN|PF2|=|PF1|PF2|=2a=4,(x02)2+y02=16.(2x+22)2+(2y)2=16.x2+y2=4.評(píng)注:適當(dāng)運(yùn)用平面幾何知識(shí)把條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，會(huì)給我們解題帶來方便.17.(本小題滿分12分)如圖，某農(nóng)場(chǎng)在P處有一堆肥，今要把這堆肥料沿道路PA或PB送到莊稼地ABCD中去，已

3、知PA=100 m，PB=150 m，APB=60.能否在田地ABCD中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)，沿道路PA送肥較近；而另一側(cè)的點(diǎn)，沿道路PB送肥較近?如果能，請(qǐng)說出這條界線是一條什么曲線，并求出其方程.解:設(shè)M是這種界線上的點(diǎn)，則必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,即|MA|MB|=|PB|PA|=50.這種界線是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線靠近B點(diǎn)的一支.建立以AB為x軸，AB中點(diǎn) O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，則曲線為=1,其中a=25,c=|AB|.c=25,b2=c2a2=3750.所求曲線方程為=1(x25,y0).18.(本小題滿分12分)已知點(diǎn)F(1，0)，直線l:x=2.設(shè)

4、動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離為d,且|PF|=d,d.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若=，求向量與的夾角.解:(1)根據(jù)橢圓的第二定義知，點(diǎn)P的軌跡為橢圓.由條件知c=1,=2,a=.e=滿足|PF|=d.P點(diǎn)的軌跡為+=1.又d=x,且d,2x.x.軌跡方程為+y2=1(x).(2)由(1)可知，P點(diǎn)的軌跡方程為+y2=1(x),F(1,0)、P(x0,y0).=(1,0),=(x0,y0),=(1x0,y0).=,1x0=.x0=,y0=.又=|cos,1x0+0y0=1cos.cos=.=arccos.1【蒼山誠信中學(xué)文科】21（本小題滿分12分）如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)

5、N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E.（I）求曲線E的方程；（II）過點(diǎn)A且傾斜角是45的直線l交曲線E于兩點(diǎn)H、Q，求|HQ|.【解】（1）NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM|.2分又動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.且橢圓長軸長為焦距2c=2. 5分曲線E的方程為6分（2）直線的斜率直線的方程為8分由10分設(shè)，12分2【09屆蒼山文科】22（本小題滿分12分）設(shè)橢圓過點(diǎn)分別為橢圓C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且離心率 （1）求橢圓C的方程； （2）已知A為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)。若AM、AN 的斜率滿足求直線的方程；【解】（1）由題意橢圓的離

6、心率橢圓方程為3分又點(diǎn)（1，）在橢圓上，=1橢圓的方程為6分 （2）若直線斜率不存在，顯然不合題意；則直線l的斜率存在。7分設(shè)直線為，直線l和橢交于，。將依題意：9分由韋達(dá)定理可知：10分又而從而13分求得符合故所求直線MN的方程為：14分3【09屆濟(jì)寧文科】22（本小題滿分14分） 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求的值【解】 （1）設(shè)橢圓C的方程為， 拋物線方程化為，其焦點(diǎn)為，橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即， 3分 由，得，橢圓C的方程為6分（2）由（1）

7、得， 7分設(shè)，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入，并整理得， 9分 10分又，由，得， 12分 14分4【臨沂一中文科】21(本小題滿分12分)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為，且其右焦點(diǎn)到直線 的距離為 （）求橢圓的方程；（）是否存在斜率為，且過定點(diǎn)的直線，使與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且？若存在，求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由【解】（）設(shè)橢圓的方程為,由已知得. 1分設(shè)右焦點(diǎn)為，由題意得2分.3分橢圓的方程為. 4分（）直線的方程， 代入橢圓方程,得 5分 設(shè)點(diǎn)則6分設(shè)、的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.7分點(diǎn)在線段的中垂線上. 8分化簡(jiǎn),得.10分由得,11分所以,存在直線滿足

8、題意，直線的方程為 或.12分5【臨沂高新實(shí)驗(yàn)中學(xué)】21（本小題滿分12分）已知，橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)。 （1）求橢圓C的方程； （2）若直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)（M、N不是左右頂點(diǎn)），且以線段MN為直徑的圓過點(diǎn)A，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)?！窘狻浚?）橢圓方程為（4分）（2）設(shè)M，將代入橢圓方程得（6分）又以MN為直徑的圓過點(diǎn)A（2，0），且滿足，（9分）若，直線l恒過定點(diǎn)（2，0）不合題意舍去，若例1： 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中F1又是拋物線 y2 = 4 x的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)A(-1, 2)，B(3, 2)在雙曲線上(1)求點(diǎn)F2的軌跡

9、; (2)是否存在直線y = x+m與點(diǎn)F2的軌跡有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值，若不存在，說明理由解 (1) 由題意知F1(1, 0)，設(shè)F2(x , y)，則 | |AF1|-|AF2| | = | |BF1|-|BF2| | = 2a 0 A(-1, 2)，B(3, 2) 在已知雙曲線上，且 |AF1| = | BF1| =于是() 當(dāng) | AF1|-|AF2| = |BF1|-|BF2|時(shí)，有 |AF2| = |BF2| , 再代入得：F2的軌跡為直線 x = 1除去兩個(gè)點(diǎn)F1(1, 0), D(1, 4)() 當(dāng) | AF1|-|AF2| = - ( |BF1|-|BF2

10、| ) 時(shí)，有 | AF2| + |BF2| = |AF1| + |BF1| = 4 = |AB| , 點(diǎn)F2的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓Q，且除去F1(1, 0)，D(1, 4)兩點(diǎn)，故所求的軌跡方程為 l：x = 1與Q：( y0，y 4 )(2) 設(shè)存在直線L：y = x+ m滿足條件() 若L過點(diǎn)F1或點(diǎn)D， F1、D兩點(diǎn)既在直線l：x = 1上，又在橢圓Q上，但不在F2的軌跡上， L與F2的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意() )若L不過點(diǎn)F1和D兩點(diǎn)，(m-1, m3)，則L與l必有一個(gè)公共點(diǎn)E，且E點(diǎn)不在橢圓Q上， 要使L與F2的軌跡有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則L必與Q有且只有一個(gè)公共

11、點(diǎn)由 得 3x2-(10 -4m) x +2m2-8m +1= 0, 從而，有 = (10 -4m) 2-12(2m2-8m+1) = -8 ( m2-2m-11) , 當(dāng)= 0時(shí)，有即存在符合條件的直線 y = x+點(diǎn)評(píng) 這是“定義法”求軌跡的問題對(duì)于軌跡問題的求解，務(wù)必要注意軌跡的純粹性與完備性，這是我們最易忽略的考點(diǎn)二：交軌法求軌跡 例2.已知常數(shù)a 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，經(jīng)過原點(diǎn)O，以c +i為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A(0 , a)，以i -2c為方向向量的直線交于點(diǎn)P，其中R，試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E , F，使得 | PF | + | PF | 為定值，

12、若存在，求出E, F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由解 c +i = (, a)，i -2c = (1, -2a) , 由向量平行關(guān)系得 OP與AP的方程分別為y = ax，y-a = -2ax由此消去參數(shù)，得 點(diǎn)P(x ,y)滿足方程為, a 0 , 從而，有(1) 當(dāng)時(shí)，方程表示的是圓，不存在符合題意的兩個(gè)定點(diǎn) E，F(xiàn) ；(2) 當(dāng)0時(shí)，方程表示的是橢圓，故存在符合題意的兩個(gè)定點(diǎn)，即為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)：； (3) 當(dāng)時(shí)，方程表示的是橢圓，故存在合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)，即為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)：點(diǎn)評(píng) 這是“交軌法”求軌跡的問題將向量c +i與i-2c分別用坐標(biāo)表出是解題的關(guān)鍵回答問題時(shí)必須要分別回答，這是題目

13、的要求對(duì)于也可用直線的點(diǎn)斜式方程求得，讀者不妨試一試考點(diǎn)三：代入法(相關(guān)點(diǎn)法)例3 如圖, 兩點(diǎn)分別在射線OS,OT上移動(dòng),且,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足.(1)求的值(2)求點(diǎn)P的軌跡C的方程,并說明它表示怎樣的曲線.【解析】(1)由已知得(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為,得,它表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在軸上,且實(shí)軸長為2,焦距為4的雙曲線的右支.【點(diǎn)評(píng)】 (1)的結(jié)果表示點(diǎn)軌跡在曲線上,為解決(2),利用,建立與參數(shù)的關(guān)系,然后解出(用表示),代入即得所求軌跡,這就是代入法.考點(diǎn)四：與軌跡有關(guān)的綜合題例4 O為坐標(biāo)原點(diǎn), 和兩點(diǎn)分別在射線上移動(dòng),且,動(dòng)點(diǎn)P滿足,記點(diǎn)P的軌跡為C.(I)求的值;(II)求P點(diǎn)的軌跡C的方程,并說明它表示怎樣的曲線?(III)設(shè)點(diǎn)G(1,0),若直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn),且M、N兩