【江海名師零距離】2015屆高三數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題4：解決利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題

1、專題四 解決利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題（1）【典題導(dǎo)引】例1已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍 解:(1)由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)由題意得，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)若為上的單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，在上單調(diào)遞減，；若為上的單調(diào)減函數(shù)，則在上恒成立，不可能實(shí)數(shù)的取值范圍為反思?xì)w納利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式或.若已知的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式或在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解例2(2013福建)已

2、知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值解:函數(shù)的定義域?yàn)?. (1)當(dāng)時(shí), , 在點(diǎn)處的切線方程為, 即；(2)由可知: 當(dāng)時(shí),函數(shù)為上的增函數(shù),函數(shù)無極值； 當(dāng)時(shí),由,解得； 時(shí),時(shí),，在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上:當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值,無極大值. 例3(2013山東)已知函數(shù)（1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，且對(duì)任意，試比較與的大小解:（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，.若，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是若，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，由得.解得，此時(shí)，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單

3、調(diào)遞增區(qū)間是.綜上所述：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由題意知：函數(shù)在處取得最小值，由（1）知，是的惟一極小值點(diǎn)，故，整理得.令，則，令得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以.故，即，即.例4. 已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒不在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得.是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，,解得.經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意,故；（2）當(dāng)時(shí), 函數(shù)的圖象不在直線的上方，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即.由(1)知，令，解得.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，解得

4、，這與矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在或取到，而，故只需，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍.說明：求在閉區(qū)間上的最大值,只需要比較在上的極大值(如果有的話)和端點(diǎn)函數(shù)值的大小,從而需要研究在上的單調(diào)性,從而需要知道的解相對(duì)于區(qū)間的分布情況,因?yàn)榈囊粋€(gè)解是定值,故只需討論另一解相對(duì)于區(qū)間的分布情況.【歸類總結(jié)】1. 在求曲線的切線方程時(shí)，注意兩點(diǎn)：（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程和求曲線過點(diǎn)的切線方程，在點(diǎn)處的切線，一定是以點(diǎn)為切點(diǎn)；過點(diǎn)的切線不管點(diǎn)在不在曲線上，點(diǎn)不一定是切點(diǎn)；（2）當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)未知時(shí)，應(yīng)首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解2. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式或.若已知f(x)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式或在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解3. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(最值) （1）求函數(shù)的最值可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值，有時(shí)也可以和圖象聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本